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\documentclass[main.tex]{subfiles}
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\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
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\newcommand{\Kc}{\mathcal{K}}
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\newcommand{\Lc}{\mathcal{L}}
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\begin{document}
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\section{Trajectoire}
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Dans le cas linéaire, la trajectoire est la solution au système $\dot{x}=Ax$ avec $x(0)=x_0$. Cette solution est unique. Qu'en est-il en non-linéaire?
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\begin{defin}
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Un système dynamique sur $\D \subset \R^n$, où $n$ est la dimension du système, est un triplet $(\D,\R,\chi)$ où $\chi:\R \times \D \rightarrow \D$ est une trajectoire, tel que les axiomes suivants sont vérifiés:
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\begin{enumerate}
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\item Continuité : $\chi(\cdot,\cdot)$ est continue sur $\R \times \D$ et $\forall t \in \R$, $\chi(\cdot,x)$ est dérivable.
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\item Consistance : $\chi(0,x_0)=x_0$, $\forall x_0\in \D$.
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\item Propriété de groupe : $\chi(\tau, \chi(t,x_0)) = \chi(t+\tau,x_0)$, $\forall x_0\in \D$.
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\end{enumerate}
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\end{defin}
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\begin{rem}
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\begin{itemize}
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\item On dénote le système $(\D,\R,s)$ par $G$, où $\chi(\cdot,\cdot)$ est la trajectoire et $\D$ est l'espace de phase.
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\item On dénote la trajectoire $\chi(t,\cdot) : \D \rightarrow\D$ par $\chi_t(x_0)$ ou $\chi_t$.
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\end{itemize}
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\end{rem}
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\begin{prop}
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Suivant l'axiome de consistance, $\chi_0(x_0)=x_0$ et suivant la propriété de groupe :
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\[ (\chi_{\tau} \circ \chi_t)(x_0) = (\chi_t \circ \chi_{\tau})(x_0) = \chi_{t+\tau}(x_0) \]
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Ainsi l'application inverse de $\chi_t$ est $\chi_{-t}$ où $\chi_t$ est un homéomorphisme (bijective, continue, inverse continue).
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\end{prop}
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\begin{proof}
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En effet, montrons que $\chi_t$ est injective.
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Soit $y,z\in \D$ tels que $\chi_t(z)=\chi_t(y)$.
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On a $z=s_0(z)=\chi(0,z)=\chi(t-t,z)=\chi(-t,\chi(t,z))=\chi(-t,\chi(t,y))=\chi(0,y)=y$
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$\chi_t$ est surjective : $\forall z \in D, \exists y z\in \D$ tel que $y=\chi(-t,z)$.
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Enfin, $\chi_t$ est continue sur $\R$ donc $\chi_{-t}$ est continue.
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\end{proof}
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\begin{exemple}
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Système linéaire causal de dimension $n$ ($n$ variables d'état)
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$s:[0,+\infty[ \times \R^n \rightarrow \R^n$ où $\chi(t,x)=e^{At}x$ où $A\in\R^n$ matrice d'évolution
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Ainsi $\chi_t(x) = e^{At}x$ où $\chi_t :
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\begin{cases}
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\R^n & \rightarrow \R\\x & \mapsto e^{At}x
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\end{cases}
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$
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On a $(\chi_{\tau} \circ \chi_t) (x) = \chi_{\tau}(\chi_t(x)) = e^{A\tau}e^{At}x = \chi_{t+\tau}(x)$
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\end{exemple}
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\begin{prop}
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Suivant l'axiome 1, le système $G$ peut être décrit par une équation différentielle sur $\D$. En particulier, la fonction $f:\D \rightarrow \R^n$ définie par $f(x) = \dd{\chi(t,x)}{t}|_{t=0}$. Ainsi, $f(x)$ est un champ de vecteur sur $\D$ où pour $x\in\D,f(x)\in\R^n$ correspond au vecteur tangent à la trajectoire en $t=0$.
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\end{prop}
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\begin{exemple}
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Système linéaire $f(x)=\dd{e^{At}x}{t}|_{t=0}=Ax$
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\end{exemple}
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\emph{Nous avons défini une trajectoire, mais à partir de $\dot{x}=f(x)$, est-elle unique ?}
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\section{Trajectoire et point d'équilibre}
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\subsection{Théorème du point fixe}
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\begin{thm}[Point fixe]
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Soient $X$ un espace de Banach de norme $\|.\|$, $S$ un fermé de $X$ et $T:S\rightarrow S$ une application contractante sur $X$, i.e. $\exists \rho \in [0,1[$ tel que $\forall (x,y) \in S^2, ||T(x)-T(y)|| \leq \rho ||x-y||$,alors
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\[ \exists ! x^* \in S \text{ tel que } T(x^*)=x^*\]
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De plus, quelque soit la suite sur $S$ tel que $x_{n+1}=T(x_n)$, elle converge vers $ x^* $.
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\end{thm}
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\begin{defin}
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Soit deux espaces munis de leur normes $(X,d_x)$ et $(Y,d_y)$ et une application $f:(X,d_x) \rightarrow (Y,d_y)$.
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On dit que $f$ est \emph{lipschitzienne} si $\exists \alpha > 0$ tel que
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\[\forall x,y \in X, \quad d_y(f(x),f(y)) \leq \alpha d_x(x,y)\]
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\end{defin}
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\begin{rem}
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Une fonction lipschitzienne est uniformément continue.
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\end{rem}
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\begin{thm}[Cauchy-Lipschitz]
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Soient le système dynamique défini par
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\begin{equation*}
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\dot{x}(t)=f(x(t)) \text{ et } x(t_0)=x_0\tag{$\ast$}
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\end{equation*}
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Si $f: \D \rightarrow \R^n$ est lipschitzienne sur $\D$ alors $\forall x_0 \in \D, \exists \tau \in ]t_0,t_1[$
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tel que $(\ast)$ a une unique solution $ x:[t_0,\tau] \rightarrow \R^n $
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\end{thm}
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\begin{proof}
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Soient $T(x) = x_0 + \int_t^{t_0}f(s)ds$, $t\in[t_0,\tau] = x(t)$
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et on définit $S = \{ x(t) \text{ tel que } t\in [t_0,\tau], ||x-x_0|| \leq r \}$
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Ainsi, $\forall x \in S$
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\begin{align*}
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||T(x) - x_0|| & = ||\int_{t_0}^t f(s)ds || \\
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& = || \int_{t_0}^t (f(s)-f(t_0)+f(t_0))ds || \\
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& \leq \int_{t_0}^t ||f(s)-f(t_0)||s + \int_{t_0}^t ||f(x_0)||ds \\
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& \leq (\alpha r + C) ds \quad (f \text{ lipsch. et } ||s-x_0|| \leq r) \\
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& \leq (\alpha r + C)(t-t_0) \leq r
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\end{align*}
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$\exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que $(\tau - t_0) \leq \frac{r}{\alpha r + C}$ donc $T:S\rightarrow S$.
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\begin{align*}
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\forall x,y \in S, \quad ||T(x)-T(y)|| & \leq \int_{t_0}^t || f(x(s))-f(y(s)) || ds \\
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& \leq \alpha \int_{t_0}^t || x(s) - y(s) || ds \\
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& \leq \alpha \max_{s\in [t_0,\tau]} ||x(s)-y(s)|| \int_{t_0}^t ds \\
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& \leq \alpha |||x(s)-y(s)||| (t-t_0) \quad \text{ avec } \|.\|=\max_{s\in [t_0,\tau]}(.)
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\end{align*}
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On veut $\alpha (t-t_0) \leq \alpha (\tau - t_0) \leq \rho$ avec $\rho<1$ donc $|||T(x)-T(y)|| \leq \rho |||x-y|||$.
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Il suffit de choisir $\tau$ tel que $\tau - t_0 \leq \frac{\rho}{\alpha}$
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$T:S \rightarrow S$ est contractante pour $\tau - t_0 \leq \min \{ \frac{r}{\alpha r + C}, \frac{\rho}{\alpha} \}$
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(*) a une unique trajectoire.
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\end{proof}
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\paragraph{Rappel:}
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Dans le cas linéaire, le système $\dot{x} =A x $ est stable si toutes ses valeurs propres sont à partie réelle négative, il existe un unique point d'équilibre $\overline{x}$ stable tq $\dot{x} =0$ (si $\det(A) \neq 0$n $\overline{x}=0$).
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\subsection{Points d'équilibres}
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\begin{defin}
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\begin{itemize}
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\item Les \emph{points d'équilibre} d'un système vérifient $\dot{x_{eq}} = 0$
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\item Dans le cas non linéaire on peux avoir plusieurs points d'équilibre, isolés, voire une infinité, ou aucun.
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\item La stabilité en non linéaire n'est pas une caractéristique du système mais d'un point (ou un ensemble de point) qui sont généralement les points d'équilibre.
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\end{itemize}
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\end{defin}
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\begin{exemple}[Pendule simple] \\
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\draw[decorate,decoration={border,amplitude=0.5cm,segment length=0.5cm}] (-2,0) -- (2,0);
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\draw[dashed,latex-] (0,0.5) -- (0,-3);
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|
\draw[very thick] (-2,0)-- (2,0);
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\draw[fill=white] (0,0) circle(0.2) node{$\bullet$} -- (-70:3)node{$\bullet$};
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\draw (0,-1) arc (-90:-70:1) node[midway,below]{$\theta$};
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\end{tikzpicture}
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\caption{Pendule simple}
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\end{figure}
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On a la représentation d'état ($x_1=\theta$,$x_2=\dot{\theta}$):
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\[
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\begin{cases}
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\dot{ x_1} = x_2\\
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\dot{x_2} = \frac{-g}{l}sin(x_1)-\frac{k}{m}x_2
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\end{cases}
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\]
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Les points d'équilibre vérifient $\dot{x_1}=\dot{x_2} = 0$ soit $x_1= k\pi$,$k\in\Z$. physiquement on a deux points : $0$ et $\pi$.
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\item soit le système NL:
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\[
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\begin{cases}
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\dot{x_1}= \alpha + \sin(x_1(t)+x_2(t))+x_1(t)\\
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\dot{x_2}=\alpha+ + \sin(x_1(t)+x_2(t))-x_1(t)
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\end{cases}
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\]
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Les point d'équilibre sont solutions de $\dot{x_1}=0$ et $\dot{x_2}=0$: on a pas de solution, en effet $\dot{x_1}+\dot{x_2} = 2\alpha+2\sin(x_1+x_2)$ pour $\alpha>1$
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\end{enumerate}
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\end{exemple}
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\begin{rem}
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Les points d'équilibre peuvent aussi être déterminer dans le cas du régime forcé : $\dot{x}(t) = f(\overline{x},\overline{u}) = 0$
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\end{rem}
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\section{Critère Qualitatif}
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\paragraph{But}: Tracer les trajectoires $\chi(t,x_0),\forall x_0\in \D$ dans l'espace de phase $\R^n$ où $n$ est la dimension du système.
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Cette méthode est réalisée pour les systèmes du second ordre ,plan de phase dans $\R^2$, voire dans $\R^3$. Les systèmes mécaniques sont des exemples typiques, notamment via les équation de Lagrange $\ddot{q} =l(q,\dot{q})$ avec $q$ coordonnées généralisées. même si le modèle est d'ordre $2n$ où $n = dim(q)$ on peux tracer les coordonnées deux à deux $x_1= q_i ,x_2 = \dot{q_i}$, dans le plan de phase.
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\subsection{Méthode pour tracer les trajectoires}
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\begin{enumerate}
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\item Méthodes informatique :
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\begin{itemize}
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\item On utlise une intégration numérique pour différentes conditions initiale
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\item Graphe des pentes générés numériquement en étudiant $\deriv[x_1]{x_2} = \frac{f_1(x_1,x_2)}{f_2(x_1,x_2)}$
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\end{itemize}
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\item Méthode papier-crayon
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\begin{itemize}
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\item Méthode isocline : peut être manuelle et/ou numérique.
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\item Solution explicite des équations\\
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On élimine le temps de manière explicite ou non.
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\end{itemize}
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\end{enumerate}
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Dans l'analyse de la stabilité on s'intéresse au comportement dans un voisinage du point d'équilibre.
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\begin{defin}
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Pour déterminer \emph{l'index topologique} on utilise la méthode suivante:
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\begin{enumerate}
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\item Une courbe autour du point d'équilibre choisie d'une manière arbitraire et supposée de taille infinitésimale
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\item Avec une paramétrisation dans le sens trigonométrique
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\item On considère une suite arbitraire de point $(x_n)$ dans le sens de la paramétrisation
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\item Pour chaque point $x_n$ on évalue $f(x_n$) où $f$ vérifie $\dot{x} =f(x)$.
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\item Tous les vecteurs $f(x_n)_{n=1...N}$ sont ramenés aux point d'équilibre.
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\end{enumerate}
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Ainsi \emph{l'index topologique} est la mesure de l'angle (modulo $2\pi$) que l'extrémité des vecteurs $(f(x_i))$ parcours dans le sens trigonométrique.
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\end{defin}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$};
|
|
\draw (x) circle (1.5) (20:1.5) node[inputarrow,rotate=110]{};
|
|
\foreach \a in {0,1,2,3,4,5,6,7}
|
|
{\draw[red,-latex] (\a*45:1.5) -- ++(\a*45:0.5);
|
|
\node at (\a*45:2.4){$f(x_\a)$}; }
|
|
\node at (5,0){$\bullet$};
|
|
\foreach \a in {0,1,2,3,4,5,6,7}
|
|
{\draw[red,-latex] (5,0) -- ++(\a*45:0.8);
|
|
\draw (5,0)++(\a*45:1.2)node{$f_\a$}; }
|
|
\node at (5,0){$\bullet$};
|
|
\node[draw,rectangle] at (10,0){index = +1};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\begin{tikzpicture}
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\node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$};
|
|
\draw (x) circle (1.5)(20:1.5) node[inputarrow,rotate=110]{};
|
|
\foreach \a/\r in {0/1.2,1/1,2/1,3/1,4/1.2,5/1,6/1,7/1}
|
|
{\draw[red,-latex] (\a*45:1.5) -- ++(-\a*45:0.5);
|
|
\node at (\a*45:\r*2){$f(x_\a)$}; }
|
|
\foreach \a in {0,1,2,3,4,5,6,7}
|
|
{\draw[red,-latex] (5,0) -- ++(-\a*45:0.8);
|
|
\draw (5,0)++(-\a*45:1.2)node{$f_\a$}; }
|
|
\node at (5,0){$\bullet$};
|
|
\node[draw,rectangle] at (10,0){index = -1};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}
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|
\node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$};
|
|
\draw (x) circle (1.5)(20:1.5) node[inputarrow,rotate=110]{};
|
|
\foreach \a/\t/\r in {0/0/2.5,1/45/2.5,2/0/1.8,3/90/2,4/-45/2,5/45/1.8,6/0/1.8,7/90/2}
|
|
{\draw[red,-latex] (\a*45:1.5) -- ++(\t:0.7);
|
|
\node at (\a*45:\r){$f(x_\a)$}; }
|
|
\foreach \a/\l in {0/137,1/26,2/4,7/5}
|
|
{\draw[red,-latex] (5,0) -- ++(\a*45:0.8);
|
|
\draw (5,0)++(\a*45:1.2)node{$f_{\l}$}; }
|
|
\node at (5,0){$\bullet$};
|
|
\node[draw,rectangle] at (10,0){index = 0};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Détermination de l'index topologique}
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\end{figure}
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Il reste maintenant à chercher les trajectoires autour des points d'équilibres.
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\subsection{Méthode isocline}
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Pour cette méthode, il s'agit de poser :
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\begin{align*}
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\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{f_2(x)}{f_1(x)} = Cst \\
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|
\end{align*}
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C'est-à-dire de rechercher les points tel que la pente en $x$ est égale à une constante donnée.\\
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\begin{exemple}[Pendule inversé]
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Cas sans frottement : \[
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\begin{cases}
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x_1 &= \theta \\
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|
x_2 &= \dot{\theta}
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|
\end{cases}
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|
\Rightarrow
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\begin{cases}
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x_1 & =x_2\\
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|
x_2 & = -\frac{g}{l}sin(x_1)
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|
\end{cases}
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|
\]
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|
\smallbreak
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|
Les iso-clines vérifient donc :
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\begin{align*}
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|
\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{-\frac{g}{l}sin(x_1)}{x_2}\\
|
|
&=C
|
|
\intertext{donc les points décrivant la courbe ont pour équation:}
|
|
x_2 &= -\frac{g}{lC}sin(x_1)
|
|
\end{align*}
|
|
On trace alors alors ces courbes pour différentes valeurs de constante et l'on obtient:
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|
\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.4]{1/graph2.png}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
L'iso-cline donne la pente de la trajectoire, ainsi, en suivant les pentes données d'iso-cline en iso-cline, on peut remonter à la trajectoire.\\
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|
A noter que pour $C$ infini on est sur l'axe de $x_1$ et pour $C$ nul sur celui de $x_2$.\\
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|
|
|
\begin{rem}
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|
sans frottement on atteint un cycle limite tandis qu'avec frottement on tend bien vers l'origine.
|
|
\end{rem}
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|
\end{exemple}
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\subsection{Méthode par suppression temporelle}
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\subsubsection{Méthode explicite}
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À partir des solutions des équations différentielles on se débarasse de la paramétrisation temporelle pour obtenir la trajectoire:
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\begin{exemple}
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\[
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\begin{cases}
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|
\dot{x_1} = x_0 \cos(t) + \dot{x_0} \sin(t)\\
|
|
\dot{x_2} = -x_0 \sin(t) + \dot{x_0} \cos(t)\\
|
|
\end{cases}
|
|
\]
|
|
On a $\dot{x_1}^2+\dot{x_2}^2 = x_0^2+\dot{x_0}^2$ soit un cercle de rayon $\sqrt{x_0^2+\dot{x_0}^2}$
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|
\end{exemple}
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\subsubsection{Méthode implicite}
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|
Le temps est élimié à partir de l'équation différentielle puis l'orbite est obtenue par intégration
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\begin{exemple}
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|
\[
|
|
\begin{cases}
|
|
\dot{x_1}=x_2\\
|
|
\dot{x_2} = -x_1
|
|
\end{cases}
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|
\implies \frac{\d x_2}{x_2} =\d t = \frac{\d x_1}{x_1}
|
|
\]
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|
Donc : \[
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|
\int_{x_20}^{x_2}x_2\d x_2 = - \int_{x_10}^{x_1}x_1\d x_1
|
|
\]
|
|
Ainsi on a : $ x_1^2+x_2^2 = x_{10}^2+x_{20}^2$.
|
|
\end{exemple}
|
|
|
|
\begin{rem}
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|
Les méthodes par élimination du temps ne s'appliquent que pour les systèmes avec des dynamiques relativement simple.
|
|
\end{rem}
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|
\end{document}
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