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424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap2.tex

@@ -7,68 +7,15 @@ On se place dans le cas présent  en régime libre pour un système invariant, c
 On pose $u=0$, car la stabilité et la dynamique du système sont des caractéristiques intrinsèques d'un système, donc indépendantes de l'entrée.\\
 \end{rem}
 
-Pour étudier la stabilité, on se place dans le plan de phase. Celui-ci permet de situer les points d'équilibres et de vérifier la stabilité. Sa dimension est égale au nombre de variables d'état.\\
+Pour étudier la stabilité, on se place dans le plan de phase. Celui-ci permet de situer les points d'équilibres et de vérifier la stabilité. Sa dimension est égale au nombre de variables d'état.
 
 Ainsi, pour des systèmes du second ordre, on va avoir:
 \[\begin{matrix}
 x= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} &\text{et}& f(x)=\begin{pmatrix}f_1(x)\\f_2(x)\end{pmatrix}
 \end{matrix}\]
-L'espace des phases devient alors ici un plan de phase dans lequel on va rechercher les trajectoires.\\
+L'espace des phases devient alors ici un plan de phase dans lequel on va rechercher les trajectoires.
 
-Dans la suite, on s'intéressera au cas de dimension deux pour positionner et comprendre le problème.\\
-
-\section{Méthode la plus utilisée : iso-clines}
-Pour cette méthode, il s'agit de poser :
-\begin{align*}
-\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{f_2(x)}{f_1(x)} = Cst \\
-\end{align*}
-C'est-à-dire de rechercher les points tel que la pente en $x$ est égale à une constante donnée.\\
-
-\begin{example}[Pendule inversé]
-  Cas sans frottement : \[
-    \begin{cases}
-    x_1 &= \theta \\
-    x_2 &= \dot{\theta}
-  \end{cases}
-\Rightarrow
-\begin{cases}
-  x_1 & =x_2\\
-  x_2 & = -\frac{g}{l}sin(x_1)
-\end{cases}
-\]
-\smallbreak
-Les iso-clines vérifient donc :
-\begin{align*}
-\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{-\frac{g}{l}sin(x_1)}{x_2}\\
-&=C
-\intertext{donc les points décrivant la courbe ont pour équation:}
-x_2 &= -\frac{g}{lC}sin(x_1)
-\end{align*}
-On trace alors alors ces courbes pour différentes valeurs de constante et l'on obtient:
-\begin{center}
-\includegraphics[scale=0.4]{1/graph2.png}
-\end{center}
-
-L'iso-cline donne la pente de la trajectoire, ainsi, en suivant les pentes données d'iso-cline en iso-cline, on peut remonter à la trajectoire.\\
-A noter que pour $C$ infini on est sur l'axe de $x_1$ et pour $C$ nul sur celui de $x_2$.\\
-
-\begin{rem}
-sans frottement on atteint un cycle limite tandis qu'avec frottement on tend bien vers l'origine.
-\end{rem}
-\end{example}
-
-\section{Point d'équilibre }
-Les points d'équilibre sont les solutions à l'équation $\dot{x}=0$.\\
-
-\begin{example}[Pendule simple]
-\begin{align*}
-\dot{x_1} = 0 &\Rightarrow x_2 =0\\
-\dot{x_2} = 0 &\Rightarrow x_1 = n\pi \text{	avec, } n\in \mathbb{Z}
-\end{align*}
-\end{example}
-
-\begin{rem}
-Dans le cas où le système L possède un point d'équilibre, i.e. si la matrice $A$ est inversible, il est unique et $x=0$. Par contre, un système N.L peut avoir plusieurs points d'équilibre.\end{rem}
+Dans la suite, on s'intéressera au cas de dimension deux pour positionner et comprendre le problème.
 
 \section{Analyse qualitative du comportement}
 Soit le système LTI obtenu à partir de la linéarisation autour d'un point d'équilibre $x_0$.\\
@@ -76,23 +23,41 @@ On dit que ce point d'équilibre est stable si c'est un point de convergence des
 
 On étudie donc le système autour de son point d'équilibre, en linéarisant son équation autour de ce point. On a donc l'équation:
 \begin{align*}
-\delta \dot{x}&= A \delta x\\
+\Aboxed{\delta \dot{x}&= A \delta x}\\
 \text{où, } A&= \frac{\partial f(x)}{\partial x}|_{x=x_0} \text{	Jacobien de f en $x_0$}\\
 \text{et, }\delta x &= x-x_0
 \end{align*}
-\bigbreak
 
 \begin{rem}
 En N.L, la stabilité est associée aux points d'équilibre. Ainsi, un même système N.L peut avoir des points d'équilibre stables et instable.
 \end{rem}
-
-\begin{example}[Pendule] $x=\begin{pmatrix}2n\pi\\0\end{pmatrix}$ stable et $\begin{pmatrix}(2n+1)\pi\\0\end{pmatrix}$ instable.
-\end{example}
-
-L'analyse qualitative de la stabilité est faite par linéarisation.\\
-
+\begin{rem}
+  Cette approximation peux être réalisé dna sle cas d'un régime forcé:
+  \[
+    \begin{cases}
+      \dot{x} = f(x,u)\\
+      y = h(x,u)
+    \end{cases}
+  \]
+  avec $f(\bar{x},\bar{u}) = 0$ et on alors:
+  \[
+    \begin{cases}
+      f(\bar{x}+\delta x,\bar{u}+\delta u) = f(\bar{x},\bar{u}) + A. \delta x + B \delta u\\
+      h(\bar{x}+\delta x,\bar{u}+\delta u) = h(\bar{x},\bar{u}) + C. \delta x + D \delta u
+    \end{cases}
+  \]
+  Donc :
+  \[
+    \begin{cases}
+      \delta \dot{x} = A. \delta x + B. \delta u \\
+      \delta \dot{u} = C. \delta x + D. \delta u
+  \end{cases}
+  \]
+\end{rem}
+\emph{L'analyse qualitative de la stabilité est faite par linéarisation.} \\
+\begin{prop}
 La trajectoire pour une condition initiale $\delta x_0$ est solution de l'équation différentielle précédente, ie \[\delta x(t) = M exp(Jt)M^{-1}\delta x_0\] où J est la matrice diagonale ou de Jordan de A, la matrice d'évolution, et M la matrice de vecteurs propres tel que : $M^{-1}AM = J$.\\
-
+\end{prop}
 \subsection{Cas $\mathbb{R}$}
 $J = \begin{pmatrix}
 \lambda_1 &0 \\0&\lambda_2
@@ -110,13 +75,13 @@ Ceci permet de tracer les trajectoires dans la base modale.\\
 \begin{center}
 \includegraphics[scale=0.5]{1/graph3.png}
 \end{center}
-D'un coté on à la convergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$ et de l'autre la divergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$. On a un noeud qui est donc soit stable soit instable.\\
+D'un coté on à la convergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$ et de l'autre la divergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$. On a un \emph{noeud} qui est donc soit stable soit instable. Et son \emph{index topologique vaut $+1$}\\
 
 \item Dans le cas où  $\lambda_2 < 0 < \lambda_1 $, on obtient:
 \begin{center}
 \includegraphics[scale=0.5]{1/graph4.png}
 \end{center}
-On est dans un cas instable et il n'y a pas de point d'équilibre.\\
+On est dans un cas instable et on a un point selle, d'index $-1$ \\
 
 
 \item Dans le cas ou $\lambda_1 = 0$, on a:
@@ -183,30 +148,84 @@ r(t) = e^{\alpha t} r_0
 \]
 
 \section{Cycle limite}
+\begin{defin}
+  Un système $\dot{x}=f(x)$ possède un \emph{cycle limite} $\mathcal{C}$ si il existe un intervalle de temps $[t_0,t_0+T]$ et $\forall x_0 \in \mathcal{C}$ tel que la trajectoire $\chi(t,x_0)$ soit solution de $\dot{x}=f(x)$ et avec $\chi(t_0,x_0)=x_0$et vérifie :
+  \begin{itemize}
+  \item $\chi(t,x_0) \in \mathcal{C} \forall t\in[t_0,t_0+T[$
+  \item $\chi(t_0+T,x_0) =x_0$
+  \end{itemize}
+\end{defin}
+
+
 On considère un système oscillant, c'est à dire qu'il existe $T>0$ tel que $\forall t > 0$, $x(t+T) = x(t)$.\\
 (On exclut cependant le cas $x(t)$ = constante).
+\begin{rem}
+  Un point d'équilibre peut être interpréter comme un cycle limite singleton $ \forall T\in\R$.
+\end{rem}
 
-
-\paragraph{Cycle limite stable}:\\
-Pour toutes les conditions initiales appartenant au voisinage du cycle limite,\\
+\begin{prop}
+  \begin{description}
+  \item[Cycle limite stable]~\\
+Pour toutes les conditions initiales appartenant au voisinage du cycle limite.
 \[\exists t_0 > 0 \text{ et }T > 0 \text{ tel que } \forall t>t_0, \quad x(t+T) = x(t)\]
 i.e. toute trajectoire dans un voisinage du cycle limite converge dans un temps fini vers le cycle limite.
-
-\paragraph{Cycle limite instable}:\\
+\item[Cycle limite instable]~\\
 Toutes les trajectoires divergent du cycle limite.\\
 Pour toutes les CI n'appartenant pas au cycle limite, $ \exists t > 0 \text{ tel que} x(t) \notin \text{cycle limite} $.
 
-\paragraph{Cycle semi-stable}:\\
+\item[Cycle semi-stable]~\\
  Une partie des trajectoires converge et d'autres divergent du cycle limite.
+\end{description}
+\end{prop}
 
-\section*{Théorème de Bendixon}
+
+\begin{example}[Oscillateur de Van der Pol]
+\[
+  \begin{cases}
+\dot{x_1} & = x_2\\ \dot{x_2} & = -x_1 + (1-x_ 1^2)x_2
+\end{cases}
+\]
+
+Point d'équilibre $x^* =(0,0)$
+
+\begin{rem}
+Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable.
+\end{rem}
+
+%\img{0.3}{3/2.png}
+
+$\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange.\\
+
+\end{example}
+
+\begin{thm}[Index de Poincaré]
+  Dans le plan de phase( pour un système d'ordre 2) avec $N$ le nombre de noeuds, centre et foyer et $S$ le nombre de points selles.\\
+  Si un cycle limite existe, les points d'équilibre que le cycle limite encrecle sont tel que
+  \[
+N =S +1
+  \]
+\end{thm}
+ce théorème s'utilise souvent sous sa forme contraposée:
+\begin{corol}
+  Si $N\neq S+1$ alors il n'existe pas de cycle limite.
+\end{corol}
+
+\begin{proof}~ \\
+\begin{lemme}
+  Soit une courbe du plan de phase alors l'index de la courbe est la somme des index des points d'équilibre contenu dans cette courbe.
+\end{lemme}
+
+À partir de cette proposition on peux démontrer le théorème de l'index de Poincaré, car le cycle limite $\mathcal{C}$ est solution de l'équation dynamique. l'index de $\mathcal{C}$ vaut +1. Ainsi le nombre de points d'équiliobre ayant l'index +1 doit être supérieur d'une unité à ceux dont l'index est -1
+\end{proof}
+
+\section{Théorème de Bendixon}
 
 \begin{thm}
 Soit le système du second ordre $\dot{x}=f(x)$ avec $f$ le champ de vecteurs tel que $f:D\rightarrow\R^2$ avec $D$ un connexe (d'un seul tenant, non formé de la réunion d'ensemble disjoint) de $\R^2$ ne contenant pas de point d'équilibre.
 Si:
 \begin{itemize}
-\item $\exists x \in D$ tel que $\div f(x) \neq 0$
-\item $\div f$ ne change pas de signe dans $D$
+\item $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$
+\item $\divv f$ ne change pas de signe dans $D$
 \end{itemize}
 Alors $\dot{x}=f(x)$ n'a pas de cycle limite inclus dans $D$.
 \end{thm}
@@ -217,9 +236,9 @@ Par l'absurde, soit $\Gamma = \{x\in D, x(t), 0 \leq t \leq T\}$ est un cycle li
 $\forall x \in \Gamma$, $f(x)$ est tangent à $\Gamma$ tel que $f(x).n(x)=0$ où $n(x)$ est le vecteur normal de $\Gamma$ en $x$.
 
 Suivant le théorème de Green,
-\[ \oint_{\Gamma} f(x)n(x)dx = \iint_S \div f(x)dS  \text{ donc } \iint_S \div f(x)dS = 0\]
+\[ \oint_{\Gamma} f(x)n(x)dx = \iint_S \divv f(x)dS  \text{ donc } \iint_S \div f(x)dS = 0\]
 
-Si $\exists x \in D$ tel que $\div f(x) \neq 0$ et que $\div f$ ne change pas de signe dans $D$ (donc a fortiori dans $S\subset D$), on déduit de la continuité de l'opérateur $\div f$ dans $D$ que $\iint_S \div f(x)dS \neq 0$ : contradictoire.
+Si $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$ et que $\div f$ ne change pas de signe dans $D$ (donc a fortiori dans $S\subset D$), on déduit de la continuité de l'opérateur $\divv f$ dans $D$ que $\iint_S \div f(x)dS \neq 0$ : contradictoire.
 
 Ainsi, $D$ ne contient pas de cycle limite.
 \end{proof}
@@ -241,7 +260,9 @@ Calculons $\div f = \derivp[f_1]{x_1} + \derivp[f_2]{x_2} = -\alpha$.
 $\div f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cycle limite $(D=\R^2)$.
 \end{example}
 
-\section*{Théorème de Poincaré-Bendixon}
+
+
+\section{Théorème de Poincaré-Bendixon}
 
 \begin{thm}
 Soient le système du 2nd ordre $\dot{x}=f(x)$ et $O_{x_0}^+$ une trajectoire positive, i.e $O_{x_0}^+ = \{ x \in D, x = S(t,x_0), t \geq 0\}$ où $S(.,x) : \R \rightarrow D$ définit une solution de $\dot{x}=f(x)$ pour une trajectoire passant par $x$, avec un ensemble limite $\omega(x_0)$ i.e. $\omega(x_0) = \bigcap_{t \geq 0} \overline{O_{x_0}^+}$ \footnote{adhérence = plus petit fermé contenant l'ensemble}\\
@@ -326,3 +347,8 @@ x \text{ donc }
 \end{multicols}
 \end{example}
 \end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "main"
+%%% End:

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/main.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\documentclass{../../cours}
+\documentclass[openany]{../../cours}
 \usepackage{../../raccourcis}
 % Mise en page
 \title{Notes de Cours}
@@ -10,18 +10,21 @@
 
 \maketitle
 \tableofcontents
-\part{Analyse de la stabilité}
 \chapter{Classification}
 \subfile{chap1.tex}
 \chapter{Stabilité des systèmes linéaires} %premier cours en 2019
 \subfile{chap4.tex}
+\chapter{Caractérisation de la stabilité}
+\subfile{chap4b.tex}
 \chapter{Linéarisation}
 \subfile{chap2.tex}
 \chapter{Methode du premier harmonique}
 \subfile{chap3.tex}
 \chapter{Commandabilité et observabilité en non linéaire}
 \subfile{chap5.tex}
-\part{Outils pour la commande non linéaire}
-\part{Synthèse de lois de commandes non linéaires}
-%\subfile{chap2.tex}
 \end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: t
+%%% End: