diff --git a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap2.tex b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap2.tex
index f9b1922..cb259ed 100644
--- a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap2.tex
+++ b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap2.tex
@@ -7,68 +7,15 @@ On se place dans le cas présent  en régime libre pour un système invariant, c
 On pose $u=0$, car la stabilité et la dynamique du système sont des caractéristiques intrinsèques d'un système, donc indépendantes de l'entrée.\\
 \end{rem}
 
-Pour étudier la stabilité, on se place dans le plan de phase. Celui-ci permet de situer les points d'équilibres et de vérifier la stabilité. Sa dimension est égale au nombre de variables d'état.\\
+Pour étudier la stabilité, on se place dans le plan de phase. Celui-ci permet de situer les points d'équilibres et de vérifier la stabilité. Sa dimension est égale au nombre de variables d'état.
 
 Ainsi, pour des systèmes du second ordre, on va avoir:
 \[\begin{matrix}
 x= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} &\text{et}& f(x)=\begin{pmatrix}f_1(x)\\f_2(x)\end{pmatrix}
 \end{matrix}\]
-L'espace des phases devient alors ici un plan de phase dans lequel on va rechercher les trajectoires.\\
+L'espace des phases devient alors ici un plan de phase dans lequel on va rechercher les trajectoires.
 
-Dans la suite, on s'intéressera au cas de dimension deux pour positionner et comprendre le problème.\\
-
-\section{Méthode la plus utilisée : iso-clines}
-Pour cette méthode, il s'agit de poser :
-\begin{align*}
-\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{f_2(x)}{f_1(x)} = Cst \\
-\end{align*}
-C'est-à-dire de rechercher les points tel que la pente en $x$ est égale à une constante donnée.\\
-
-\begin{example}[Pendule inversé]
-  Cas sans frottement : \[
-    \begin{cases}
-    x_1 &= \theta \\
-    x_2 &= \dot{\theta}
-  \end{cases}
-\Rightarrow
-\begin{cases}
-  x_1 & =x_2\\
-  x_2 & = -\frac{g}{l}sin(x_1)
-\end{cases}
-\]
-\smallbreak
-Les iso-clines vérifient donc :
-\begin{align*}
-\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{-\frac{g}{l}sin(x_1)}{x_2}\\
-&=C
-\intertext{donc les points décrivant la courbe ont pour équation:}
-x_2 &= -\frac{g}{lC}sin(x_1)
-\end{align*}
-On trace alors alors ces courbes pour différentes valeurs de constante et l'on obtient:
-\begin{center}
-\includegraphics[scale=0.4]{1/graph2.png}
-\end{center}
-
-L'iso-cline donne la pente de la trajectoire, ainsi, en suivant les pentes données d'iso-cline en iso-cline, on peut remonter à la trajectoire.\\
-A noter que pour $C$ infini on est sur l'axe de $x_1$ et pour $C$ nul sur celui de $x_2$.\\
-
-\begin{rem}
-sans frottement on atteint un cycle limite tandis qu'avec frottement on tend bien vers l'origine.
-\end{rem}
-\end{example}
-
-\section{Point d'équilibre }
-Les points d'équilibre sont les solutions à l'équation $\dot{x}=0$.\\
-
-\begin{example}[Pendule simple]
-\begin{align*}
-\dot{x_1} = 0 &\Rightarrow x_2 =0\\
-\dot{x_2} = 0 &\Rightarrow x_1 = n\pi \text{	avec, } n\in \mathbb{Z}
-\end{align*}
-\end{example}
-
-\begin{rem}
-Dans le cas où le système L possède un point d'équilibre, i.e. si la matrice $A$ est inversible, il est unique et $x=0$. Par contre, un système N.L peut avoir plusieurs points d'équilibre.\end{rem}
+Dans la suite, on s'intéressera au cas de dimension deux pour positionner et comprendre le problème.
 
 \section{Analyse qualitative du comportement}
 Soit le système LTI obtenu à partir de la linéarisation autour d'un point d'équilibre $x_0$.\\
@@ -76,23 +23,41 @@ On dit que ce point d'équilibre est stable si c'est un point de convergence des
 
 On étudie donc le système autour de son point d'équilibre, en linéarisant son équation autour de ce point. On a donc l'équation:
 \begin{align*}
-\delta \dot{x}&= A \delta x\\
+\Aboxed{\delta \dot{x}&= A \delta x}\\
 \text{où, } A&= \frac{\partial f(x)}{\partial x}|_{x=x_0} \text{	Jacobien de f en $x_0$}\\
 \text{et, }\delta x &= x-x_0
 \end{align*}
-\bigbreak
 
 \begin{rem}
 En N.L, la stabilité est associée aux points d'équilibre. Ainsi, un même système N.L peut avoir des points d'équilibre stables et instable.
 \end{rem}
-
-\begin{example}[Pendule] $x=\begin{pmatrix}2n\pi\\0\end{pmatrix}$ stable et $\begin{pmatrix}(2n+1)\pi\\0\end{pmatrix}$ instable.
-\end{example}
-
-L'analyse qualitative de la stabilité est faite par linéarisation.\\
-
+\begin{rem}
+  Cette approximation peux être réalisé dna sle cas d'un régime forcé:
+  \[
+    \begin{cases}
+      \dot{x} = f(x,u)\\
+      y = h(x,u)
+    \end{cases}
+  \]
+  avec $f(\bar{x},\bar{u}) = 0$ et on alors:
+  \[
+    \begin{cases}
+      f(\bar{x}+\delta x,\bar{u}+\delta u) = f(\bar{x},\bar{u}) + A. \delta x + B \delta u\\
+      h(\bar{x}+\delta x,\bar{u}+\delta u) = h(\bar{x},\bar{u}) + C. \delta x + D \delta u
+    \end{cases}
+  \]
+  Donc :
+  \[
+    \begin{cases}
+      \delta \dot{x} = A. \delta x + B. \delta u \\
+      \delta \dot{u} = C. \delta x + D. \delta u
+  \end{cases}
+  \]
+\end{rem}
+\emph{L'analyse qualitative de la stabilité est faite par linéarisation.} \\
+\begin{prop}
 La trajectoire pour une condition initiale $\delta x_0$ est solution de l'équation différentielle précédente, ie \[\delta x(t) = M exp(Jt)M^{-1}\delta x_0\] où J est la matrice diagonale ou de Jordan de A, la matrice d'évolution, et M la matrice de vecteurs propres tel que : $M^{-1}AM = J$.\\
-
+\end{prop}
 \subsection{Cas $\mathbb{R}$}
 $J = \begin{pmatrix}
 \lambda_1 &0 \\0&\lambda_2
@@ -110,13 +75,13 @@ Ceci permet de tracer les trajectoires dans la base modale.\\
 \begin{center}
 \includegraphics[scale=0.5]{1/graph3.png}
 \end{center}
-D'un coté on à la convergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$ et de l'autre la divergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$. On a un noeud qui est donc soit stable soit instable.\\
+D'un coté on à la convergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$ et de l'autre la divergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$. On a un \emph{noeud} qui est donc soit stable soit instable. Et son \emph{index topologique vaut $+1$}\\
 
 \item Dans le cas où  $\lambda_2 < 0 < \lambda_1 $, on obtient:
 \begin{center}
 \includegraphics[scale=0.5]{1/graph4.png}
 \end{center}
-On est dans un cas instable et il n'y a pas de point d'équilibre.\\
+On est dans un cas instable et on a un point selle, d'index $-1$ \\
 
 
 \item Dans le cas ou $\lambda_1 = 0$, on a:
@@ -183,30 +148,84 @@ r(t) = e^{\alpha t} r_0
 \]
 
 \section{Cycle limite}
+\begin{defin}
+  Un système $\dot{x}=f(x)$ possède un \emph{cycle limite} $\mathcal{C}$ si il existe un intervalle de temps $[t_0,t_0+T]$ et $\forall x_0 \in \mathcal{C}$ tel que la trajectoire $\chi(t,x_0)$ soit solution de $\dot{x}=f(x)$ et avec $\chi(t_0,x_0)=x_0$et vérifie :
+  \begin{itemize}
+  \item $\chi(t,x_0) \in \mathcal{C} \forall t\in[t_0,t_0+T[$
+  \item $\chi(t_0+T,x_0) =x_0$
+  \end{itemize}
+\end{defin}
+
+
 On considère un système oscillant, c'est à dire qu'il existe $T>0$ tel que $\forall t > 0$, $x(t+T) = x(t)$.\\
 (On exclut cependant le cas $x(t)$ = constante).
+\begin{rem}
+  Un point d'équilibre peut être interpréter comme un cycle limite singleton $ \forall T\in\R$.
+\end{rem}
 
-
-\paragraph{Cycle limite stable}:\\
-Pour toutes les conditions initiales appartenant au voisinage du cycle limite,\\
+\begin{prop}
+  \begin{description}
+  \item[Cycle limite stable]~\\
+Pour toutes les conditions initiales appartenant au voisinage du cycle limite.
 \[\exists t_0 > 0 \text{ et }T > 0 \text{ tel que } \forall t>t_0, \quad x(t+T) = x(t)\]
 i.e. toute trajectoire dans un voisinage du cycle limite converge dans un temps fini vers le cycle limite.
-
-\paragraph{Cycle limite instable}:\\
+\item[Cycle limite instable]~\\
 Toutes les trajectoires divergent du cycle limite.\\
 Pour toutes les CI n'appartenant pas au cycle limite, $ \exists t > 0 \text{ tel que} x(t) \notin \text{cycle limite} $.
 
-\paragraph{Cycle semi-stable}:\\
+\item[Cycle semi-stable]~\\
  Une partie des trajectoires converge et d'autres divergent du cycle limite.
+\end{description}
+\end{prop}
 
-\section*{Théorème de Bendixon}
+
+\begin{example}[Oscillateur de Van der Pol]
+\[
+  \begin{cases}
+\dot{x_1} & = x_2\\ \dot{x_2} & = -x_1 + (1-x_ 1^2)x_2
+\end{cases}
+\]
+
+Point d'équilibre $x^* =(0,0)$
+
+\begin{rem}
+Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable.
+\end{rem}
+
+%\img{0.3}{3/2.png}
+
+$\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange.\\
+
+\end{example}
+
+\begin{thm}[Index de Poincaré]
+  Dans le plan de phase( pour un système d'ordre 2) avec $N$ le nombre de noeuds, centre et foyer et $S$ le nombre de points selles.\\
+  Si un cycle limite existe, les points d'équilibre que le cycle limite encrecle sont tel que
+  \[
+N =S +1
+  \]
+\end{thm}
+ce théorème s'utilise souvent sous sa forme contraposée:
+\begin{corol}
+  Si $N\neq S+1$ alors il n'existe pas de cycle limite.
+\end{corol}
+
+\begin{proof}~ \\
+\begin{lemme}
+  Soit une courbe du plan de phase alors l'index de la courbe est la somme des index des points d'équilibre contenu dans cette courbe.
+\end{lemme}
+
+À partir de cette proposition on peux démontrer le théorème de l'index de Poincaré, car le cycle limite $\mathcal{C}$ est solution de l'équation dynamique. l'index de $\mathcal{C}$ vaut +1. Ainsi le nombre de points d'équiliobre ayant l'index +1 doit être supérieur d'une unité à ceux dont l'index est -1
+\end{proof}
+
+\section{Théorème de Bendixon}
 
 \begin{thm}
 Soit le système du second ordre $\dot{x}=f(x)$ avec $f$ le champ de vecteurs tel que $f:D\rightarrow\R^2$ avec $D$ un connexe (d'un seul tenant, non formé de la réunion d'ensemble disjoint) de $\R^2$ ne contenant pas de point d'équilibre.
 Si:
 \begin{itemize}
-\item $\exists x \in D$ tel que $\div f(x) \neq 0$
-\item $\div f$ ne change pas de signe dans $D$
+\item $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$
+\item $\divv f$ ne change pas de signe dans $D$
 \end{itemize}
 Alors $\dot{x}=f(x)$ n'a pas de cycle limite inclus dans $D$.
 \end{thm}
@@ -217,9 +236,9 @@ Par l'absurde, soit $\Gamma = \{x\in D, x(t), 0 \leq t \leq T\}$ est un cycle li
 $\forall x \in \Gamma$, $f(x)$ est tangent à $\Gamma$ tel que $f(x).n(x)=0$ où $n(x)$ est le vecteur normal de $\Gamma$ en $x$.
 
 Suivant le théorème de Green,
-\[ \oint_{\Gamma} f(x)n(x)dx = \iint_S \div f(x)dS  \text{ donc } \iint_S \div f(x)dS = 0\]
+\[ \oint_{\Gamma} f(x)n(x)dx = \iint_S \divv f(x)dS  \text{ donc } \iint_S \div f(x)dS = 0\]
 
-Si $\exists x \in D$ tel que $\div f(x) \neq 0$ et que $\div f$ ne change pas de signe dans $D$ (donc a fortiori dans $S\subset D$), on déduit de la continuité de l'opérateur $\div f$ dans $D$ que $\iint_S \div f(x)dS \neq 0$ : contradictoire.
+Si $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$ et que $\div f$ ne change pas de signe dans $D$ (donc a fortiori dans $S\subset D$), on déduit de la continuité de l'opérateur $\divv f$ dans $D$ que $\iint_S \div f(x)dS \neq 0$ : contradictoire.
 
 Ainsi, $D$ ne contient pas de cycle limite.
 \end{proof}
@@ -241,7 +260,9 @@ Calculons $\div f = \derivp[f_1]{x_1} + \derivp[f_2]{x_2} = -\alpha$.
 $\div f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cycle limite $(D=\R^2)$.
 \end{example}
 
-\section*{Théorème de Poincaré-Bendixon}
+
+
+\section{Théorème de Poincaré-Bendixon}
 
 \begin{thm}
 Soient le système du 2nd ordre $\dot{x}=f(x)$ et $O_{x_0}^+$ une trajectoire positive, i.e $O_{x_0}^+ = \{ x \in D, x = S(t,x_0), t \geq 0\}$ où $S(.,x) : \R \rightarrow D$ définit une solution de $\dot{x}=f(x)$ pour une trajectoire passant par $x$, avec un ensemble limite $\omega(x_0)$ i.e. $\omega(x_0) = \bigcap_{t \geq 0} \overline{O_{x_0}^+}$ \footnote{adhérence = plus petit fermé contenant l'ensemble}\\
@@ -326,3 +347,8 @@ x \text{ donc }
 \end{multicols}
 \end{example}
 \end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "main"
+%%% End:
diff --git a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4.tex b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4.tex
index 35ac115..bd80437 100644
--- a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4.tex
+++ b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4.tex
@@ -67,7 +67,7 @@ Nous avons défini une trajectoire, mais à partir de $\dot{x}=f(x)$, est-elle u
 \section{Théorème du point fixe}
 
 \begin{thm}
-Soient $X$ un espace de Banach de norme $\|.\|$, $S$ un fermé de $X$ et $T:S\rightarrow S$ une application contractante sur $S$, i.e. $\exists \rho \in [0,1[$ tel que $\forall (x,y) \in S^2, ||T(x)-T(y)|| \leq \rho ||x-y||$,
+Soient $X$ un espace de Banach de norme $\|.\|$, $S$ un fermé de $X$ et $T:S\rightarrow S$ une application contractante sur $X$, i.e. $\exists \rho \in [0,1[$ tel que $\forall (x,y) \in S^2, ||T(x)-T(y)|| \leq \rho ||x-y||$,
 \[ \text{ alors } \exists ! x^* \in S \text{ tel que } T(x^*)=x^*\]
 De plus, quelque soit la suite sur $S$ tel que $x_{n+1}=T(x_n)$, elle converge vers $ x^* $.
 \end{thm}
@@ -85,7 +85,7 @@ Soient le système dynamique défini par
 \[
 \dot{x}(t)=f(x(t)) \text{ et } x(t_0)=x_0, t \in \R \tag{$\ast$}
 \]
-Si $f:D \rightarrow \R^n$ est lipschitzienne sur $D$ alors $\forall x_0 \in \D, \exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que $(\ast)$ a une unique solution $x:[t_0,\tau] \rightarrow \R^n$
+Si $f:D \rightarrow \R^n$ est lipschitzienne sur $D$ alors \\ {\centering$\forall x_0 \in \D, \exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que $(\ast)$ a une unique solution $x:[t_0,\tau] \rightarrow \R^n$}
 \end{thm}
 
 \begin{proof}
@@ -108,7 +108,7 @@ $\exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que $(\tau - t_0) \leq \frac{r}{\alpha r + C}$
 \forall x,y \in S, \quad ||T(x)-T(y)|| & \leq \int_{t_0}^t || f(x(s))-f(y(s)) || ds \\
 & \leq \alpha \int_{t_0}^t || x(s) - y(s) || ds \\
 & \leq \alpha \max_{s\in [t_0,\tau]} ||x(s)-y(s)|| \int_{t_0}^t ds \\
-& \leq \alpha |||x(s)-y(s)||| (t-t_0) \quad \text{ avec } |||.|||=\max_{s\in [t_0,\tau]}(.)
+& \leq \alpha |||x(s)-y(s)||| (t-t_0) \quad \text{ avec } \|.\|=\max_{s\in [t_0,\tau]}(.)
 \end{align*}
 
 On veut $\alpha (t-t_0) \leq \alpha (\tau - t_0) \leq \rho$ avec $\rho<1$ donc $|||T(x)-T(y)|| \leq \rho |||x-y|||$.
@@ -120,635 +120,663 @@ $T:S \rightarrow S$ est contractante pour $\tau - t_0 \leq \min \{ \frac{r}{\alp
 (*) a une unique trajectoire.
 \end{proof}
 
-\begin{exemple}
-Soit le système $\dot{x}(t) = \sqrt{|x(t)|}$, $x(0)=0$, $t\geq 0$
-
-Ce système a une infinité de solutions paramétrées par $T$
-\[
-  \begin{cases}
-x(t) = 0 & \si 0 \leq t \leq T\\ \frac{(t-T)^2}{4} & \si t > T
-\end{cases}
-\]
-
-$\forall x,y \in \R_+$,
-\[ |\sqrt{x} - \sqrt{y}| = \frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \leq \alpha |x-y| \]
-donc $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \leq \alpha$.
-
-Ainsi, si $x$ et $y$ sont proches de 0, on peut rendre la partie à gauche de l'inégalité arbitrairement grande.
-\end{exemple}
-
-\section{Attracteur}
-
-\begin{defin}
-Un ensemble $M \subset D$ est positivement invariant du système
-
-\[G:\dot{x}(t) = f(x(t)), x(0) = x_0, t\in \R \quad \tag{$\ast$}\label{eq:sys} \]
-
-si $\chi_t(M) \subseteq M$ pour $t\geq 0$ où $\chi_t(M) = \{ \chi_t(x), x\in M \}$.\\
-
-Il est négativement invariant suivant la dynamique \eqref{eq:sys}   si $\chi_t(M) \subseteq M$ pour $t<0$. Ainsi $M$ est un ensemble invariant suivant \eqref{eq:sys} si $\chi_t(M) \subseteq M, \quad \forall t \in \R$
-\end{defin}
-
-\begin{prop}
-Si $M \subset D$ est un ensemble invariant suivant \eqref{eq:sys}, alors $\overline{M}$ l'adhérence de $M$ est invariant.
-\end{prop}
-
-\begin{proof}
-Soit la suite $(x_n)_{n\in\N} \subset M$ tel que $x_n \rightarrow x$ avec $x\in \overline{M}$.
-
-Puisque $M$ est invariant, alors $(\chi_t(x_n))_{n\in\N} \subset M$. De plus, $\chi_t(x_n) \rightarrow \chi_t(x) \in \overline{M}$ car c'est un fermé.
-
-Ainsi, $\overline{M}$ est invariant suivant \eqref{eq:sys}.
-\end{proof}
-
-\begin{defin}
-Un ensemble invariant fermé $M \subset D$ est un \emph{attracteur} du système \eqref{eq:sys}, s'il existe un voisinage $N$ de $M$ tel que $\forall x \in N, \exists t \in \R$ tel que $\chi_t(x) \in M$
-\end{defin}
-
-\begin{rem}
-Un cycle limite stable ou semi-stable est un attracteur.
-\end{rem}
-
-\begin{exemple}
-Soit le système :
-\[
-  \begin{cases}
-\dot{x_1}(t) = -x_2(t) + x_1(t)(1-x_1^2(t) - x_2^2(t)) \\ \dot{x_2}(t) = x_1(t) + x_2(t)(1-x_1^2(t) - x_2^2(t))
-\end{cases}
-\]
-
-En utilisant les coordonnées polaires, on trouve l'attracteur de $M$.\\
-
-On a en effet
-$r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ et $ \theta = \arctan\frac{x_2}{x_1}$
-
-donc
-$\dot{r} = \derivp[r]{x_1} \dot{x_1} + \derivp[r]{x_2}\dot{x_2} = r(1-r^2)$ et $\dot{\theta} = \derivp[\theta]{x_1}\dot{x_1} + \derivp[\theta]{x_2}\dot{x_2} = 1$\\
-
-Ainsi,
-
-$r>1 \quad \dot{r}<0 \Rightarrow r \rightarrow 1$
-
-$r<1 \quad \dot{r}>0 \Rightarrow r \rightarrow 1$
-
-$r=1$ un fermé $\Rightarrow$ Attracteur où $\forall (x_1,x_2) \in \R^2 / \{(0,0)\}$ car $x_1=x_2=0$ est un point d'équilibre, les trajectoires convergent vers le cercle unité. Suivant le théorème de Poincaré-Bendixon le cercle unité est un cycle limite, car c'est un compact et ne contient pas de point d'équilibre.
-\end{exemple}
-
-\section{Types de stabilité en non linéaire}
-
-\subsection{Stabilité suivant Lagrange}
-
-Le concept est basé sur l'énergie potentielle $V$. Puisque lesp oints d'équilibre du système correspondent aux points tels que $\derivp[V]{q}=0$ avec $q$ les coordonnées généralisées du mouvement, alors un point d'équilibre est stable suivant Lagrange si $\derivpp[V]{q} > 0$
-
-%\img{0.3}{3/1.png} %HALLELUJAH !
-
-Suivant Lagrange, un point d'équilibre est stable si de faibles perturbations induisent de faibles variations de la solution (trajectoire).
-
-\begin{rem}
-La notion de stabilité en non linéaire concerne les points d'équilibre et non le système. Dirichlet a formalisé la stabilité au sens de Lagrange avec les trajectoires.
-\end{rem}
-
-\begin{defin}
-Un point d'équilibre $x^*$ est stable au sens de Lagrange si et seulement si
-
-\[\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0 \text{ tel que } \forall t \in \R, || \chi(t_0,x_0)-x^* || \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))-x^* || \leq \epsilon\]
-\end{defin}
-
-Ainsi la stabilité suivant Lagrange est qu'un petit changement borné sur $x^*$ implique un petit changement borné après
-
-\[\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0 \text{ tel que }  ||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \epsilon \]
-
-Sans perte de généralité, on considère le point d'équilibre $x^* = 0$.
-
-%\img{0.5}{4/lag}
-
-\subsection{Stabilité au sens de Lyapunov}
-
-\begin{defin}
-\[\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow || \chi(t,\chi(t_0,x_0)) || \leq \epsilon\]
-\end{defin}
-
-Attention : il n'y a pas d'implication entre les deux.
-
-%\img{0.5}{4/lya}
-
-\begin{rem}
-La condition de Lagrange est sur la bornitude de la trajectoire (quelles que soient les conditions initiales, on borne la solution). Par contre, la condition de Lyapunov est sur la convergence dans un voisinage (il existe des conditions initiales pour lesquelles les trajectoires convergent vers $x^*$).
-\end{rem}
-
-\begin{example}[Oscillateur de Van der Pol]
-\[
-  \begin{cases}
-\dot{x_1} & = x_2\\ \dot{x_2} & = -x_1 + (1-x_ 1^2)x_2
-\end{cases}
-\]
-
-Point d'équilibre $x^* =(0,0)$
-
-\begin{rem}
-Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable.
-\end{rem}
-
-%\img{0.3}{3/2.png}
-
-$\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange.\\
-
-Par contre, pas stable au sens de Lyapunov car on a
-$ \forall \delta > 0, \nexists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| < \epsilon $
-
-\end{example}
-
-\begin{example}[Pendule sans frottement]
-L'origine est stable suivant Lyapunov avec $\delta = \epsilon$.
-
-Elle n'est pas stable suivant Lagrange $x_0=(x_1= \pi, x_2=0)$ : $\nexists \epsilon >0 \text{ tel que } ||\chi(t,\chi(0,s_0))|| < \epsilon$
-\end{example}
-
-\subsubsection{Stabilité uniforme}
-\begin{defin}
-Le point d'équilibre $x^* (x^* =0)$ est dit point d'équilibre uniformément stable si, pour la condition de Lyapunov, $\delta$ peut être choisi indépendamment des conditions initiales $t_0,x_0$
-\end{defin}
 
 
-\begin{defin}
-On définit les classes suivantes :
+\paragraph{Rappel : point d'équilibre}
+le système $\dot{x} =A x $ est stable si toutes ses valeurs propres sont à partie réelle négative, il existe un unique point d'équilibre $\overline{x}$ stable tq  $\dot{x} =0$ (si $\det(A) \neq 0$n $\overline{x}=0$).
+
+Dans le cas non linéaire on peux avoir plusieurs points d'équilibre, isolés, voire une infinité, ou aucun. Ainsi la stabilité en non linéaire n'est pas une caractéristique du système mais d'un point (ou un ensemble de point) qui sont généralement les points d'équilibre.
+
+\begin{example}[Pendule simple]
 \begin{enumerate}
-\item Si $\alpha : \R_+ \rightarrow \R_+$ est continue et strictement croissante, $\alpha$ est dite de classe $\Kc$.
+\item
+  % schema pendule
+  On a la représentation d'état ($x_1=\theta$,$x_2=\dot{\theta}$):
+  \[
+    \begin{cases}
+     \dot{ x_1} = x_2\\
+     \dot{x_2} = \frac{-g}{l}sin(x_1)-\frac{k}{m}x_2
+    \end{cases}
+  \]
+Les points d'équilibre vérifient $\dot{x_1}=\dot{x_2} = 0 $soit  $x_1= k\pi$,$k\in\Z$. physiquement on a deux points : $0$ et $\pi$.
 
-Si $\alpha$ croit indéfiniment (i.e. $\alpha (s) \rightarrow \infty$), alors $\alpha\in \Kc_{\infty}$
+\item soit le système NL:
+  \[
+    \begin{cases}
 
-\item $\phi$ est dite de classe $\Lc$ si $\phi:\R_+\rightarrow\R_+$ continue, strictement décroissante et $\phi(s) \rightarrow 0$
-
-\item $\beta$ est dite de classe $\Kc\Lc$ si $\beta:\R_+ \times \R_+ \rightarrow \R_+$ si $\beta(.,r)\in \Lc \text{ et } \beta(s,.) \in \Kc$
-
-Typiquement $\beta(s,r)=\alpha(s).\phi(r) \text{ avec } \alpha\in\Kc, \phi \in \Lc$.
-\end{enumerate}
-\end{defin}
-
-\begin{example}
-$\beta(||x_0||,|t|)=||x_0||e^{-\lambda |t|} \text{ avec } \lambda >0$
-
-Ainsi le but est d'arriver à vérifier pour une trajectoire du système $ ||\chi(t,x_0)|| \leq \beta(||x_0||,t),t \geq 0$ (enveloppe)
-\end{example}
-
-\begin{prop}
-L'origine est uniformément stable si et seulement si \[\exists c>0, \alpha \in \Kc \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq c \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \alpha (||\chi(t_0,x_0)||)\]
-\end{prop}
-
-\begin{proof}
-Condition suffisante.
-
-Soit $\alpha \in \Kc$ (strictement croissante et continue, donc $\alpha^{-1}$ existe).
-
-Pour $\epsilon >0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } \delta = \alpha^{-1}(\epsilon)$.
-
-Si $||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \alpha(\alpha^{-1}(\epsilon)) \leq \epsilon$\\
-
-Condition nécessaire.
-
-$\forall \epsilon>0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } ||s_0|| \leq \delta \Rightarrow ||s|| \leq \epsilon$
-
-Si $\epsilon_2 > \epsilon_1 \Rightarrow \delta_2 \geq \delta_1$ (suivant Lyapunov). On définit $\delta' \in \Kc \text{ tel que } \delta'<\delta$.
-
-Pour $\epsilon > 9, \exists \delta > 0 \text{ tel que }$
-\begin{align*}
-||s_0|| \leq \delta & \Rightarrow ||\delta|| \leq \epsilon\\
-||s_0|| \leq \delta' & \Rightarrow ||\delta|| \leq \epsilon \text{ car } \delta'<\delta
-\end{align*}
-
-Si on définit $\alpha(||.||)=(\delta')^{-1}$, $\forall \epsilon >0, \exists \delta'(\epsilon)$ où $||s_0||=\delta'(\epsilon) \Rightarrow \epsilon = (\delta')^{-1}(||s_0||)$
-
-Suivant Lyapunov, cela implique $||s|| \leq \epsilon \leq \alpha (||s_0||)$
-\end{proof}
-
-\subsection{Attractivité (convergence)}
-\begin{defin}
-$\exists r > 0, \forall \sigma > 0, \exists T > 0 \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq r \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \sigma, \forall t \geq T$
-
-%\img{0.5}{4/1.png}
-
-Autrement dit : $||s_0|| \leq r \Rightarrow \lim_{t\rightarrow \infty} ||\chi_t|| = 0$.
-
-On parle d'attractivité uniforme si $T$ ne dépend pas de $t_0$.
-\end{defin}
-
-\begin{prop}[Stabilité asymptotique]
-L'origine est asymptotiquement stable si et seulement si
-\begin{itemize}
-\item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
-\item $||s_0|| \leq r \Rightarrow ||s|| \leq \beta (||s_0||,t), \quad \beta \in \Kc\Lc$
-\end{itemize}
-\end{prop}
-
-\begin{prop}[Stabilité exponentielle]
-L'origine est exponentiellement stable si et seulement si
-\begin{itemize}
-\item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
-\item $\exists \alpha, \lambda, r >0 \text{ tel que } ||s_0|| \leq r \Rightarrow ||s|| \leq \alpha ||s_0|| e^{-\lambda t}$
-\end{itemize}
-\end{prop}
-\begin{prop}[Stabilité locale et globale]
-\begin{itemize}
-\item L'origine est globalement stable si la stabilité (asymptotique, exponentielle,...) ne dépend pas de la condition initiale, i.e. $\forall t_0 \in \R \text{ et } x_0 \in \R^n$ et dit localement stable (asymptotiquement, exponentiellement,...)
-\item Si la stabilité dépend de la CI, i.e. $\exists V_t \subset \R$ ou $V_x \in \R^n$ tel que $\forall t_0 \in V_t$ et $\forall x_0 \in V_x$, l'origine est stable.
-\end{itemize}
-\end{prop}
-\paragraph{Problème} Généralement, on n'a pas de solution analytique de l'équation différentielle. Ainsi, la stabilité ne peut pas être vérifiée via la trajectoire.
-
-\begin{defin}
-$V$ est une \emph{fonction de Lyapunov} si :
-\begin{enumerate}
-\item $V :
-  \begin{cases}
-\R^n & \rightarrow \R_+\\x & \mapsto V(x)
-\end{cases}
-$ telle que $V(0)=0$ et $V(x) \geq 0$ (définie semi-positive) ou telle que $V(0)=0$ et $V(x) > 0$ si $x\neq 0$ (définie positive)
-\item $V$ est radialement non bornée, i.e. $V(x) \rightarrow_{||x|| \rightarrow \infty} \infty$
-\end{enumerate}
-\end{defin}
-
-\begin{thm}[Stabilité au sens de Lyapunov]
-Soit $\dot{x}(t) = f(x(t))$ et $f(0)=0$ (origine est un point d'équilibre). On suppose qu'il existe $V$ (fonction de Lyapunov) continue et différentiable tel que
-\[ \exists D \subset \R^n, 0 \in \D \text{ où } \forall x \in \D, \quad \dot{V}(x) = (\derivp[V]{x})^Tf(x) \leq 0 \]
-Alors l'origine est stable au sens de Lyapunov sur $\D$.
-
-Si $\D = \R^n$, 0 est globalement stable au sens de Lyapunov.
-\end{thm}
-
-\begin{proof}
-Si $x=0$ est stable, alors $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } ||s_0|| \leq \delta \Rightarrow ||s|| \leq \epsilon$.
-
-Pour $\epsilon > 0$ on définit $0<r\leq \epsilon$ avec $B_r(0) = \{ x \in \D \text{ tel que } ||x|| \leq r \}$
-
-Soit $\alpha = \min_{||x|| = r} V(x)$ et on choisit $\beta$ tel que $\beta < \alpha$ et on définit $\Omega_{\beta} = \{ x \in B_r(0) \text{ tel que } V(x) \leq \beta \}$.
-
-$0\in \Omega_{\beta}$ car $V(0) = 0$ et $\Omega_{\beta} \subset B_r(0)$.
-
-Soit $x_0\in \Omega_{\beta} \subset \D$ : $\dot{V}(x) \leq 0$
-\begin{align*}
-\Rightarrow & V(x(t)-V(x_0) \leq 0 \quad (\text{ car } \in \D) \\
-\Rightarrow & V(x(t)) \leq V(x_0) \leq \beta \quad (\text{ car } x_0 \in \Omega_{\beta}) \\
-\Rightarrow & x(t) \in \Omega_{\beta} \subset B_r(0)\\
-\Rightarrow & ||x(t)|| \leq \epsilon \quad r \leq \epsilon
-\end{align*}
-
-(Autrement dit si on part de $\Omega_{\beta}$ on reste dans $\Omega_{\beta}$)
-
-$\delta(\epsilon)$ est le rayon de la boule de centre O et $\subset \Omega_{\beta}$
-\end{proof}
-
-\begin{thm}[Stabilité asymptotique]
-Soient le système $G:\dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$ et $V:\D \rightarrow\R_+$ une fonction de Lyapunov continue et différentiable telle que
-\[ \forall x \in \D, \quad \dot{V}(x) = (\derivp[V]{x})^T f(x) \leq -Q(x), \quad \text{ où } Q(x) \text{ est définie positive } \]
-
-Alors l'origine est asymptotiquement stable.
-\end{thm}
-
-\begin{example}
-
-$\dot{x}=Ax$ avec $x\in \R^n$
-
-Soit $P$ une matrice semi définie positive ($P^T = P \text{ et } \lambda(P) = 0 \Leftrightarrow \forall x\in \R^n, x^T P x \geq 0$)
-
-On définit $V(x) = x^TPx$ fonction de Lyapunov
-
-\begin{align*}
-\dot{V}(x) & = \dot{x}^T P x + x^T P \dot{x} \\
-& = x^T APx + x^T PAx \\&= x^T(A^TP + PA)x
-\end{align*}
-
-Suivant Lyapunov, A est Hurwitz si et seulement si $Re(\lambda(A)) < 0$.
-
-$\exists P > 0 \text{ tel que } A^TP + PA$ définie négative.
-
-On pose $P = \int_0^{\infty} e^{A^Tt}Qe^{At} dt$ avec $Q$ définie positive. On a donc $P$ définie positive.
-
-\[ \int_0^{\infty} (A^T e^{A^Tt} Q e^{At} + e^{A^T t} Q e^{At} A)dt = \int_0^{\infty} \dd{e^{A^Tt} Q e^{At}}{t} dt = [e^{A^Tt}Qe^{At}]_0^{\infty}\]
-
-Si $A$ est Hurwitz : $e^{At} \rightarrow_{t\rightarrow \infty} 0$
-
-\[A^T P + PA = -Q \text{ définie négative (équation de Lyapunov)} \]
-
-Pour le système linéaire
-\[ \dot{V}(x) = x^T (A^T P + PA)x \leq -x^T Q x\]
-$\Rightarrow$ Stabilité de Lyapunov $\Leftrightarrow$ Stabilité asymptotique
-\end{example}
-
-\begin{thm}[Stabilité exponentielle]
-Soient le système $G: \dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$, $\exists V : \D \rightarrow \R_+$ fonction de Lyapunov continue et différentiable telle que
-\begin{enumerate}
-\item $\exists \alpha > 0, \beta > 0$ et $c\geq 1$ tel que
-\[ \quad \forall x \in \D, \quad \alpha ||x||^c \leq V(x) \leq \beta ||x||^c\]
-\item $\exists \gamma > 0$ tel que
-\[ \quad \forall x \in \D, \dot{V} \leq - \gamma V \leq - \gamma ||x||^c \]
-\end{enumerate}
-Alors l'origine est exponentiellement stable. Si $\D=\R^n$, on a aussi la stabilité globale.
-\end{thm}
-
-\begin{proof}
-$\dot{V} \leq -\gamma V \Rightarrow V(x(t)) \leq V(x(0))e^{-\gamma t}$
-
-si $\dot{\hat{V}}=-\gamma \hat{V}$
-\begin{align*}
-V(x(0)) & \leq \beta ||x(0)||^c \\ \text{ et } V(x(t)) & \geq \alpha ||x(t)||^c \\
-V(x(0))e^{-\gamma t} & \geq \\
-\beta||x(0)||^c e^{-\gamma t} & \geq  \qquad \Rightarrow ||x(t)|| \leq (\frac{\beta}{\alpha})^{1/c}||x(0)||e^{-\frac{\gamma}{c}t}
-\end{align*}
-\end{proof}
-
-\begin{example}
-
-Soit le système NL
-
-\[
-  \begin{cases}
-\dot{x_1} & = -x_1^3 + x_2 ^3 + x_1x_2^2\\\dot{x_2} & = - x_2^2 x_1 - 5x_2^3
-\end{cases}
+    \dot{x_1}= \alpha + \sin(x_1(t)+x_2(t))+x_1(t)\\
+    \dot{x_2}=\alpha+ + \sin(x_1(t)+x_2(t))-x_1(t)
+  \end{cases}
 \]
-
-$(x_1,x_2)=(0,0),f(0)=0$ est-il asymptotiquement stable ?
-
-On pose $V(x) = \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2)$. $V(0) = 0$ et $V(x)>0, \forall x \neq 0$.
-
-\[ \dot{V}(x) = x_1\dot{x_1} + x_2 \dot{x_2} = -x_1^4 + x_1^2 x_2^2 - 5 x_2^4 \leq -\frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq - Q(x) \text{ tel que } Q(x) \geq 0 \]
-
-L'origine est globalement asymptotiquement stable.\\
-
-Est-il exponentiellement stable ?
-
-\[ \alpha ||x(t)||^c \leq V(x(t)) \leq \beta ||x(t)||^c \]
-
-$\beta=1,\alpha=\frac{1}{4}$
-
-\[ \dot{V} \leq - \frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq -\frac{9}{2}(x_1^4 + x_2^4) \]
-
-Pour $\D = \{ ||x|| \leq 1 \}, x_1^2 +x_2^2 \geq x_1^4 + x_2^4$ donc $-(x_1^2 + x_2^2) \leq -(x_1^4+x_2^4)$ : on ne peut pas borner $\dot{V}$ par $V$.
-
-Avec ce $V(x)$ on ne peut décider de la convergence exponentielle.
-\end{example}
-
-Si on arrive pas a vérifier la stabilité alors le point d'équilibre (ou l'origine) peut-être instable. Dans ce cas, comment vérifier l'instabilité du point d'équilibre (origine)?\\
-
-\begin{thm}[Théorème de Lyapunov d'instabilité]
-Soit le système G: $x=f(x)$, $f(0)=0$ et $t\geq 0$.\\
-Si $\exists V : \D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}_+$ continue, différentiable et définie positive ($0 \in \D$), tel que
-\[\forall x \in \D^*, \quad  \dot{V}(x) = \left( \frac{\partial V}{\partial x}\right)^T f(x) >0 \]
- alors l'origine est instable.
-\end{thm}
-
-\begin{proof}
-Instable $\Leftrightarrow$ $\exists \epsilon>0$ tel que $\forall \delta >0$, alors $||x_0|| \leq \delta$ et $||x|| \geq \epsilon$\\
-
-$\forall \delta > 0$ soit $r \in ]0;\delta[$ tel que:\\
-$B_r(0) = \{ x\in \D$ tel que $ ||x|| \leq r \}$ est compact.\\
-On pose $\alpha = max_{B_r(0)} V(x)$ et $x_0 \in B_r(0)$\\
-$V(x_0) = \alpha$, ainsi $V(x) - V(x_0) >0$ :
-\begin{align*}
-\Rightarrow & V(x) > \alpha\\
-\Rightarrow & x \notin B_r(0) \\
-\Rightarrow & x \in B_r^c(0)\\
-\Rightarrow & ||x||> r
-\end{align*}
-Donc $\exists \epsilon >0$ tel que $||x|| \geq \epsilon > r$
-\end{proof}
-
-\begin{thm}[Théorème de Barbashin-Krasovsky (Stabilité asymptotique)]
-Soit $\{0\}$ un point d'équilibre du système $\dot{x} = f(x)$ , où $f:\D \rightarrow \mathbb{R}^n$, localement lipschitzienne. On suppose qu'il existe $V$ continue, différentiable et définie positive telle que \[\dot{V} \leq 0\]
-Soit $S = \{x \in \D$ tel que $\dot{V(x)} = 0\}$.
-
-Si $x=0$ est le seul élément de $S$, alors l'origine est asymptotiquement stable.
-\end{thm}
-
-\begin{example}
-Soit le système :
-\[
-  \begin{cases}
-\dot{x_1} &= -x_1^3 + 2 x_2^3\\\dot{x_2} &= -2x_1x_2^2
-\end{cases}
-\]
-L'origine est un point d'équilibre.\\
-\begin{align*}
-V(x) &= \frac{1}{2}x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 >0\\
-\dot{V(x)} &= x_1\dot{x_1} + x_2\dot{x_2} = -x_1^4 \leq 0
-\end{align*}
-On ne peut pas conclure sur la stabilité asymptotique car $Q(x) = \frac{1}{2}x_1^4$ ne dépend pas de $x_2$. \\
-
-On utilise le théorème de Barbashin :
-\begin{align*}
-S = \{x \in \D \text{ tel que }\dot{V(x)} = 0\} \Rightarrow x_1 = 0\\
-\Rightarrow & \dot{x_2} = 0\\
-\Rightarrow & x_2 = 0\\
-\Rightarrow & S = \{0\}\\
-\Rightarrow & \text{Stabilité asymptotique}
-\end{align*}
-\end{example}
-
-\begin{thm}[Principe d'invariance de LaSalle]
-Soient $ \dot{x} = f(x)$ avec $f: \D \rightarrow \mathbb{R}^n$, $\Omega$ un compact positivement invariant tel que $\Omega \subset \D$, $V:\D\rightarrow\mathbb{R}_+$ continue, différentiable tel que $\dot{V} \leq 0 $ dans $\Omega$, $E= \{x \in \Omega$ tel que $ \dot{V}=0\}$ et M le plus grand ensemble positivement invariant inclus dans E.
-
-Alors toute solution $x$ tel que $x_0 \in \Omega$ converge vers M quand $t \longrightarrow \infty$. Autrement dit $\overline{M}$ est l'attracteur.
-\end{thm}
-
-
-\begin{example}[Barbashin]
-Soit le système \[
-  \begin{cases}
-\dot{x_1} & =x_2\\ \dot{x_2} & = -h(x_1) - g(x_2)
-\end{cases}
-\] où $h,g:[-a,a] \rightarrow \R$ avec $h(0)=g(0)=0$
-
-et $\forall x \neq 0, \quad x.h(x) >0 \text{ et }  x.g(x) >0$.\\
-
-L'origine est un point d'équilibre.\\
-
-Fonction de Lyapunov candidate :
-\[ V(x) = \int_0^{x_1} h(s)ds + \frac{1}{2}x_2^2 \]
-
-$x_1 = 0$ et $x_2=0 \Rightarrow V(x)=0$
-
-$x_1 \neq 0$ ou $x_2 \neq 0 \Rightarrow V(x) > 0$
-
-donc $V$ est définie positive.\\
-
-\begin{align*}
-\dot{V}(x) & = h(x_1) \dot{x_1}+ x_2 \dot{x_2}\\
-& = h(x_1)x_1 - x_2h(x_1) - g(x_1)x_2 \\
-& = -g(x_2)x_2 \leq -Q(x) \text{ définie positive, dépend de } x_1 \text{ et } x_2
-\end{align*}
-
-Barbashin :
-
-$E = \{ x \in  \R^2, \dot{V}(x) = 0 \}$
-
-$\dot{V}(x)=0 \Rightarrow x_2 = 0 \Rightarrow \dot{x_1}=0$
-
-$\dot{x_2} = 0 + x_2 = 0 \Rightarrow h(x_1)=0 \Rightarrow x_1 = 0$
-
-Alors $E=\{0\}$ stabilité asymptotique globale.
-\end{example}
-
-\begin{example}[Invariance de La Salle]
-Soit le système $\dot{x} = ax + u$, $a$ inconnu mais borné.
-
-$u=-kx$ et $\dot{k}= \gamma x^2, \gamma >0$
-
-On pose $x_1=x$ et $x_2=k$
-\[
-  \begin{cases}
-\dot{x_1} & = ax_1 - x_2x_1 \\\dot{x_2}&  = \gamma x_1^2
-\end{cases} \]
-
-La fonction de Lyapunov candidate
-\[ V(x) = \frac{1}{2} x_1^2 + \frac{1}{2\gamma} (x_2-b)^2, \quad \text{ avec } b>a \text{ car $a$ est borné} \]
-$V(0,b)=0$ et non pas l'origine
-
-$V(x) \geq 0, \forall x \in \R^d$
-\begin{align*}
-\dot{V}(x) & = x_1 \dot{x_1} + \frac{1}{\gamma}(x_2-b)\dot{x_2} \\
-& = ax_1^2 - x_1^2 x_2 + (x_2-b)x_1^2 \\
-& = x_1^2 (a-b) \leq 0
-\end{align*}
-
-$E = \{ x \in \R^2, \dot{V}=0 \} = \{ x_1 = 0 \}$ : attracteur
-
-Pour le système de départ, on veut montrer que $x\to0$ ie..e. $x_1 \to 0$ donc (attracteur) $x_1 \to 0$
-\end{example}
-
-\section{Extension du théorème de Lyapunov aux systèmes non autonomes, i.e. $\dot{x}=f(t,x)$}
-
-\begin{defin}
-Un système $G : \dot{x}(t) = f(t,x)$, $x(t_0=x_0, \forall t\geq t_0$ avec $f(t,0)=0$, $\forall t \geq 0 \Rightarrow x = 0$ est un point d'équilibre.
-
-L'origine est stable au sens de Lyapunov si et seulement si
-\[ \forall \epsilon > 0 \text{ et } t_0 \geq 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } || S(t_0,x_0) || \leq \delta \Rightarrow || S(t,S(t_0,x_0)) || \leq \epsilon, \forall t \geq t_0 \]
-\end{defin}
-
-\begin{thm}[Théorème de Lyapunov]
-L'origine du système $G$ est stable au sens de Lyapunov s'il existe une $V:[0,+\infty[ \times \D \rightarrow \R_+$ continue et différentiable telle que :
-\begin{itemize}
-\item $V(t,0) = 0, \forall t\geq 0$
-\item $V(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \D \setminus \{0\}$
-\item $\dot{V}(t,x) = \derivp[V(t,x)]{t} + (\derivp[V(t,x)]{x})^Tf(t,x) \leq 0$, $\forall (t,x) \in \R_+ \times \D$
-\end{itemize}
-
-S'il existe $Q(t,x)$ tel que
-\begin{itemize}
-\item $Q(t,0)=0, \forall t \geq 0$
-\item $Q(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \D \setminus \{0\}$
-\item $\dot{V}(t,x) \leq - Q(t,x), \forall (t,x) \in \R_+ \times \D$
-\end{itemize}
-
-Alors l'origine est asymptotiquement stable.\\
-
-Si $\exists \alpha > 0, \beta > 0, \gamma > 0 \text{ et } c \geq 1 \text{ tel que }$
-\begin{itemize}
-\item $\alpha ||x||^c \leq V(t,x) \leq \beta ||x||^c$
-\item $\dot{V}(,x) \leq - \gamma ||x||^c$
-\end{itemize}
-
-Alors l'origine est exponentiellement stable.
-\begin{rem}
-Si $\D = \R^n$ : l'origine est globalement stable
-\end{rem}
-
-\end{thm}
-
-Les démonstrations sont calquées sur celles du cas autonome, avec $x_1 = t \in \R_ +$, $x_2 = x \in \R^n$,  $x_2 = x \in \R^n$ donc $\dot{x_1} = 1$ et $\dot{x_2} = f(x_1,x_2)$
-
-\begin{example}[Système linéaire non stationnaire]
-$\dot{x}(t) = A(t) x(t)$ et $x(0)=x_0, t \geq 0$
-
-Soit $V(t,x)=x^TP(t)x$ où $P(t) > 9, \forall t \in \R_ +$
-
-$V(t,0) = 0, \forall t \in \R_+$ et $V(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \R^n \setminus \{0\}$
-
-\begin{align*}
-& \dot{V}(t,x) = x^T(t) \dot{P}(t) x(t) + x^T(t)A^T(t)P(t)x(t) + x^T(t)P(t)A(t)x(t) \leq 0 \\
-& \Leftrightarrow \dot{P}(t) + A^T(t)P(t) + P(t)A(t) \leq 0 \\
-\end{align*}
-Inégalité de Lyapunov dynamique
-
-Stabilité asymptotique :
-\[ P(t)+A^T(t)P(t) + P(t)A(t) = - Q(t) \]
-Équation de Lyapunov dynamique
-
-\[ \lambda_{min}(P(t)) ||x||^{1=c} \leq V(t,x) \leq \lambda_{max}(P(t)) ||x||^{1=c} \]
-
-$\forall t \in \R_+, \exists \gamma > 0$
-\[ \dot{V}(t,x) \leq -\lambda_{min}(Q(t))||x|| \] stabilité exponentielle
-\end{example}
-
-\begin{rem}
-Dans le cas non autonome, la fonction de Lyapunov candidate peut ne pas dépendre du temps, mais elle doit dépendre de toutes les variables d'état.
-\end{rem}
-
-\begin{example}
-Soit le système non-linéaire
-\begin{align*}
-\dot{x_1}(t) & = -x_1^3(t) + \sin \omega t x_2(t) \\
-\dot{x_2}(t) & = - \sin \omega t x_1(t)  - x_2^3(t)
-\end{align*}
-avec $x_1(0) = x_{10}, x_2(0) = x_{20}$ et $t\geq 0$
-
-L'origine est bien un point d'équilibre. Est-il asymptotiquement stable ?
-
-\begin{align*}
-V(x) & = \frac{1}{2} x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 \\
-\dot{V}(x) & = x_1 (-x_1^3 + \sin \omega t x_2) + x_2(-\sin \omega t x_1 - x_2^3) \\
-& = -x_1^4 - x_2 ^4 \leq 0 \text{ : stable } \\
-& \leq - \frac{1}{2}(x_1^4 + x_2^4) = -Q(x) \text{ : globalement aymptotiquement stable }
-\end{align*}
-\end{example}
-
-\section{Stabilité entrées-états (SEE)/ Input-States Stability (ISS)}
-
-Soit le système $ G: \dot{x}=f(x,u)$ où $f:\R^n \times \R^m \rightarrow \R^n$ ($m$ désigne le nombre d'entrées)
-
-Soit l'origine un point d'équilibre :
-
-\begin{enumerate}
-\item S'il est globalement stable, alors on peur analyser la SEE
-\item S'il est localement stable, alors la SEE est locale ($\D \subset \R^n$)
+Les point d'équilibre sont solutions de $\dot{x_1}=0$ et $\dot{x_2}=0$: on a pas de solution, en effet $\dot{x_1}+\dot{x_2} = 2\alpha+2\sin(x_1+x_2)$ pour $\alpha>1$
 \end{enumerate}
 
-Dans le cas 1, on analyse la stabilité du système en SEE. Dans le cas 2, on analyse localement ($\D$) la stabilité du système en SEE.
-
-\begin{defin}
-Le système est dit SEE si $\forall u(t)$ et $\forall x_0 \in \R^n$ bornées, il existe une solution $x(t,x_0), \forall t \geq 0$ et $\exists \alpha \in \Kc\Lc$ et $\exists\gamma \in \Kc_{\infty}$ tels que :
-
-\[ ||x(t,x_0)|| \leq \alpha(||x_0||,t) + \gamma(||u||_{\infty})\]
-
-où $||u||_{\infty} = \sup_{t\geq0}||u(t)|| = \sup_{t\geq0} (u^Tu)^{1/2}$
-
-\end{defin}
-
-\begin{rem}
-\[ \lim_{t \to \infty} ||x(t,x_0)|| \leq \gamma (||u||_{\infty}) \]
-
-$\gamma$ gain asymptotique du système
-\end{rem}
-
-
-\begin{example}
-Soit le système $\dot{x}= Ax + Bu$
-
-A Hurwitz implique que l'origine est stable.
-
-Le système est-il SEE ?
-\[ x(t,x_0) = e^{At}x_0 + \int_0^t e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) de \tau \]
-
-\begin{align*}
-||x(t,x_0)|| \leq e^{\lambda_{min}(A)t}||x_0|| + \frac{1}{k} ||B||.||u||_{\infty} = \frac{1}{k} \gamma(||u||_{\infty}) \text{ où } k = -\lambda_{max}(A)
-\end{align*}
-
-$||B|| = \sup_{||v||=1} ||Bv||$
-SEE
 \end{example}
 
 
+\begin{rem}
+  Les points d'équilibre peuvent aussi être déterminer dans le cas du régime forcé : $\dot{x}(t) = f(\overline{x},\overline{u}) = 0$
+\end{rem}
+
 \end{document}
 
 %%% Local Variables:
 %%% mode: latex
 %%% TeX-master: "main"
 %%% End:
+
+% \subsection{Stabilité de Lagrange}
+
+% Le concept est basé sur l'énergie potentielle $V$. Puisque les points d'équilibre du système correspondent aux points tels que $\derivp[V]{q}=0$ avec $q$ les coordonnées généralisées du mouvement, alors un point d'équilibre est stable suivant Lagrange si $\derivpp[V]{q} > 0$
+
+% %\img{0.3}{3/1.png} %HALLELUJAH !
+
+% Suivant Lagrange, un point d'équilibre est stable si de faibles perturbations induisent de faibles variations de la solution (trajectoire).
+
+% \begin{rem}
+% La notion de stabilité en non linéaire concerne les points d'équilibre et non le système. Dirichlet a formalisé la stabilité au sens de Lagrange avec les trajectoires.
+% \end{rem}
+
+% \begin{defin}
+% Un point d'équilibre $x^*$ est stable au sens de Lagrange si et seulement si
+
+% \[\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0 \text{ tel que } \forall t \in \R, || \chi(t_0,x_0)-x^* || \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))-x^* || \leq \epsilon\]
+% \end{defin}
+
+% Ainsi la stabilité suivant Lagrange est qu'un petit changement borné sur $x^*$ implique un petit changement borné après
+
+% \[\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0 \text{ tel que }  ||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \epsilon \]
+
+% Sans perte de généralité, on considère le point d'équilibre $x^* = 0$.
+
+% %\img{0.5}{4/lag}
+
+% \subsection{Stabilité au sens de Lyapunov}
+
+% \begin{defin}
+% \[\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow || \chi(t,\chi(t_0,x_0)) || \leq \epsilon\]
+% \end{defin}
+
+% Attention : il n'y a pas d'implication entre les deux.
+
+% %\img{0.5}{4/lya}
+
+% \begin{rem}
+% La condition de Lagrange est sur la bornitude de la trajectoire (quelles que soient les conditions initiales, on borne la solution). Par contre, la condition de Lyapunov est sur la convergence dans un voisinage (il existe des conditions initiales pour lesquelles les trajectoires convergent vers $x^*$).
+% \end{rem}
+
+% \begin{example}[Oscillateur de Van der Pol]
+% \[
+%   \begin{cases}
+% \dot{x_1} & = x_2\\ \dot{x_2} & = -x_1 + (1-x_ 1^2)x_2
+% \end{cases}
+% \]
+
+% Point d'équilibre $x^* =(0,0)$
+
+% \begin{rem}
+% Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable.
+% \end{rem}
+
+% %\img{0.3}{3/2.png}
+
+% $\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange.\\
+
+% Par contre, pas stable au sens de Lyapunov car on a
+% $ \forall \delta > 0, \nexists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| < \epsilon $
+
+% \end{example}
+
+% \begin{example}[Pendule sans frottement]
+% L'origine est stable suivant Lyapunov avec $\delta = \epsilon$.
+
+% Elle n'est pas stable suivant Lagrange $x_0=(x_1= \pi, x_2=0)$ : $\nexists \epsilon >0 \text{ tel que } ||\chi(t,\chi(0,s_0))|| < \epsilon$
+% \end{example}
+
+% \subsubsection{Stabilité uniforme}
+% \begin{defin}
+% Le point d'équilibre $x^* (x^* =0)$ est dit point d'équilibre uniformément stable si, pour la condition de Lyapunov, $\delta$ peut être choisi indépendamment des conditions initiales $t_0,x_0$
+% \end{defin}
+
+
+% \begin{defin}
+% On définit les classes suivantes :
+% \begin{enumerate}
+% \item Si $\alpha : \R_+ \rightarrow \R_+$ est continue et strictement croissante, $\alpha$ est dite de classe $\Kc$.
+
+% Si $\alpha$ croit indéfiniment (i.e. $\alpha (s) \rightarrow \infty$), alors $\alpha\in \Kc_{\infty}$
+
+% \item $\phi$ est dite de classe $\Lc$ si $\phi:\R_+\rightarrow\R_+$ continue, strictement décroissante et $\phi(s) \rightarrow 0$
+
+% \item $\beta$ est dite de classe $\Kc\Lc$ si $\beta:\R_+ \times \R_+ \rightarrow \R_+$ si $\beta(.,r)\in \Lc \text{ et } \beta(s,.) \in \Kc$
+
+% Typiquement $\beta(s,r)=\alpha(s).\phi(r) \text{ avec } \alpha\in\Kc, \phi \in \Lc$.
+% \end{enumerate}
+% \end{defin}
+
+% \begin{example}
+% $\beta(||x_0||,|t|)=||x_0||e^{-\lambda |t|} \text{ avec } \lambda >0$
+
+% Ainsi le but est d'arriver à vérifier pour une trajectoire du système $ ||\chi(t,x_0)|| \leq \beta(||x_0||,t),t \geq 0$ (enveloppe)
+% \end{example}
+
+% \begin{prop}
+% L'origine est uniformément stable si et seulement si \[\exists c>0, \alpha \in \Kc \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq c \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \alpha (||\chi(t_0,x_0)||)\]
+% \end{prop}
+
+% \begin{proof}
+% Condition suffisante.
+
+% Soit $\alpha \in \Kc$ (strictement croissante et continue, donc $\alpha^{-1}$ existe).
+
+% Pour $\epsilon >0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } \delta = \alpha^{-1}(\epsilon)$.
+
+% Si $||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \alpha(\alpha^{-1}(\epsilon)) \leq \epsilon$\\
+
+% Condition nécessaire.
+
+% $\forall \epsilon>0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } ||s_0|| \leq \delta \Rightarrow ||s|| \leq \epsilon$
+
+% Si $\epsilon_2 > \epsilon_1 \Rightarrow \delta_2 \geq \delta_1$ (suivant Lyapunov). On définit $\delta' \in \Kc \text{ tel que } \delta'<\delta$.
+
+% Pour $\epsilon > 9, \exists \delta > 0 \text{ tel que }$
+% \begin{align*}
+% ||s_0|| \leq \delta & \Rightarrow ||\delta|| \leq \epsilon\\
+% ||s_0|| \leq \delta' & \Rightarrow ||\delta|| \leq \epsilon \text{ car } \delta'<\delta
+% \end{align*}
+
+% Si on définit $\alpha(||.||)=(\delta')^{-1}$, $\forall \epsilon >0, \exists \delta'(\epsilon)$ où $||s_0||=\delta'(\epsilon) \Rightarrow \epsilon = (\delta')^{-1}(||s_0||)$
+
+% Suivant Lyapunov, cela implique $||s|| \leq \epsilon \leq \alpha (||s_0||)$
+% \end{proof}
+
+% \subsection{Attractivité (convergence)}
+% \begin{defin}
+% $\exists r > 0, \forall \sigma > 0, \exists T > 0 \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq r \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \sigma, \forall t \geq T$
+
+% %\img{0.5}{4/1.png}
+
+% Autrement dit : $||s_0|| \leq r \Rightarrow \lim_{t\rightarrow \infty} ||\chi_t|| = 0$.
+
+% On parle d'attractivité uniforme si $T$ ne dépend pas de $t_0$.
+% \end{defin}
+
+% \begin{prop}[Stabilité asymptotique]
+% L'origine est asymptotiquement stable si et seulement si
+% \begin{itemize}
+% \item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
+% \item $||s_0|| \leq r \Rightarrow ||s|| \leq \beta (||s_0||,t), \quad \beta \in \Kc\Lc$
+% \end{itemize}
+% \end{prop}
+
+% \begin{prop}[Stabilité exponentielle]
+% L'origine est exponentiellement stable si et seulement si
+% \begin{itemize}
+% \item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
+% \item $\exists \alpha, \lambda, r >0 \text{ tel que } ||s_0|| \leq r \Rightarrow ||s|| \leq \alpha ||s_0|| e^{-\lambda t}$
+% \end{itemize}
+% \end{prop}
+% \begin{prop}[Stabilité locale et globale]
+% \begin{itemize}
+% \item L'origine est globalement stable si la stabilité (asymptotique, exponentielle,...) ne dépend pas de la condition initiale, i.e. $\forall t_0 \in \R \text{ et } x_0 \in \R^n$ et dit localement stable (asymptotiquement, exponentiellement,...)
+% \item Si la stabilité dépend de la CI, i.e. $\exists V_t \subset \R$ ou $V_x \in \R^n$ tel que $\forall t_0 \in V_t$ et $\forall x_0 \in V_x$, l'origine est stable.
+% \end{itemize}
+% \end{prop}
+% \paragraph{Problème} Généralement, on n'a pas de solution analytique de l'équation différentielle. Ainsi, la stabilité ne peut pas être vérifiée via la trajectoire.
+
+% \begin{defin}
+% $V$ est une \emph{fonction de Lyapunov} si :
+% \begin{enumerate}
+% \item $V :
+%   \begin{cases}
+% \R^n & \rightarrow \R_+\\x & \mapsto V(x)
+% \end{cases}
+% $ telle que $V(0)=0$ et $V(x) \geq 0$ (définie semi-positive) ou telle que $V(0)=0$ et $V(x) > 0$ si $x\neq 0$ (définie positive)
+% \item $V$ est radialement non bornée, i.e. $V(x) \rightarrow_{||x|| \rightarrow \infty} \infty$
+% \end{enumerate}
+% \end{defin}
+
+% \begin{thm}[Stabilité au sens de Lyapunov]
+% Soit $\dot{x}(t) = f(x(t))$ et $f(0)=0$ (origine est un point d'équilibre). On suppose qu'il existe $V$ (fonction de Lyapunov) continue et différentiable tel que
+% \[ \exists D \subset \R^n, 0 \in \D \text{ où } \forall x \in \D, \quad \dot{V}(x) = (\derivp[V]{x})^Tf(x) \leq 0 \]
+% Alors l'origine est stable au sens de Lyapunov sur $\D$.
+
+% Si $\D = \R^n$, 0 est globalement stable au sens de Lyapunov.
+% \end{thm}
+
+% \begin{proof}
+% Si $x=0$ est stable, alors $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } ||s_0|| \leq \delta \Rightarrow ||s|| \leq \epsilon$.
+
+% Pour $\epsilon > 0$ on définit $0<r\leq \epsilon$ avec $B_r(0) = \{ x \in \D \text{ tel que } ||x|| \leq r \}$
+
+% Soit $\alpha = \min_{||x|| = r} V(x)$ et on choisit $\beta$ tel que $\beta < \alpha$ et on définit $\Omega_{\beta} = \{ x \in B_r(0) \text{ tel que } V(x) \leq \beta \}$.
+
+% $0\in \Omega_{\beta}$ car $V(0) = 0$ et $\Omega_{\beta} \subset B_r(0)$.
+
+% Soit $x_0\in \Omega_{\beta} \subset \D$ : $\dot{V}(x) \leq 0$
+% \begin{align*}
+% \Rightarrow & V(x(t)-V(x_0) \leq 0 \quad (\text{ car } \in \D) \\
+% \Rightarrow & V(x(t)) \leq V(x_0) \leq \beta \quad (\text{ car } x_0 \in \Omega_{\beta}) \\
+% \Rightarrow & x(t) \in \Omega_{\beta} \subset B_r(0)\\
+% \Rightarrow & ||x(t)|| \leq \epsilon \quad r \leq \epsilon
+% \end{align*}
+
+% (Autrement dit si on part de $\Omega_{\beta}$ on reste dans $\Omega_{\beta}$)
+
+% $\delta(\epsilon)$ est le rayon de la boule de centre O et $\subset \Omega_{\beta}$
+% \end{proof}
+
+% \begin{thm}[Stabilité asymptotique]
+% Soient le système $G:\dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$ et $V:\D \rightarrow\R_+$ une fonction de Lyapunov continue et différentiable telle que
+% \[ \forall x \in \D, \quad \dot{V}(x) = (\derivp[V]{x})^T f(x) \leq -Q(x), \quad \text{ où } Q(x) \text{ est définie positive } \]
+
+% Alors l'origine est asymptotiquement stable.
+% \end{thm}
+
+% \begin{example}
+
+% $\dot{x}=Ax$ avec $x\in \R^n$
+
+% Soit $P$ une matrice semi définie positive ($P^T = P \text{ et } \lambda(P) = 0 \Leftrightarrow \forall x\in \R^n, x^T P x \geq 0$)
+
+% On définit $V(x) = x^TPx$ fonction de Lyapunov
+
+% \begin{align*}
+% \dot{V}(x) & = \dot{x}^T P x + x^T P \dot{x} \\
+% & = x^T APx + x^T PAx \\&= x^T(A^TP + PA)x
+% \end{align*}
+
+% Suivant Lyapunov, A est Hurwitz si et seulement si $Re(\lambda(A)) < 0$.
+
+% $\exists P > 0 \text{ tel que } A^TP + PA$ définie négative.
+
+% On pose $P = \int_0^{\infty} e^{A^Tt}Qe^{At} dt$ avec $Q$ définie positive. On a donc $P$ définie positive.
+
+% \[ \int_0^{\infty} (A^T e^{A^Tt} Q e^{At} + e^{A^T t} Q e^{At} A)dt = \int_0^{\infty} \dd{e^{A^Tt} Q e^{At}}{t} dt = [e^{A^Tt}Qe^{At}]_0^{\infty}\]
+
+% Si $A$ est Hurwitz : $e^{At} \rightarrow_{t\rightarrow \infty} 0$
+
+% \[A^T P + PA = -Q \text{ définie négative (équation de Lyapunov)} \]
+
+% Pour le système linéaire
+% \[ \dot{V}(x) = x^T (A^T P + PA)x \leq -x^T Q x\]
+% $\Rightarrow$ Stabilité de Lyapunov $\Leftrightarrow$ Stabilité asymptotique
+% \end{example}
+
+% \begin{thm}[Stabilité exponentielle]
+% Soient le système $G: \dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$, $\exists V : \D \rightarrow \R_+$ fonction de Lyapunov continue et différentiable telle que
+% \begin{enumerate}
+% \item $\exists \alpha > 0, \beta > 0$ et $c\geq 1$ tel que
+% \[ \quad \forall x \in \D, \quad \alpha ||x||^c \leq V(x) \leq \beta ||x||^c\]
+% \item $\exists \gamma > 0$ tel que
+% \[ \quad \forall x \in \D, \dot{V} \leq - \gamma V \leq - \gamma ||x||^c \]
+% \end{enumerate}
+% Alors l'origine est exponentiellement stable. Si $\D=\R^n$, on a aussi la stabilité globale.
+% \end{thm}
+
+% \begin{proof}
+% $\dot{V} \leq -\gamma V \Rightarrow V(x(t)) \leq V(x(0))e^{-\gamma t}$
+
+% si $\dot{\hat{V}}=-\gamma \hat{V}$
+% \begin{align*}
+% V(x(0)) & \leq \beta ||x(0)||^c \\ \text{ et } V(x(t)) & \geq \alpha ||x(t)||^c \\
+% V(x(0))e^{-\gamma t} & \geq \\
+% \beta||x(0)||^c e^{-\gamma t} & \geq  \qquad \Rightarrow ||x(t)|| \leq (\frac{\beta}{\alpha})^{1/c}||x(0)||e^{-\frac{\gamma}{c}t}
+% \end{align*}
+% \end{proof}
+
+% \begin{example}
+
+% Soit le système NL
+
+% \[
+%   \begin{cases}
+% \dot{x_1} & = -x_1^3 + x_2 ^3 + x_1x_2^2\\\dot{x_2} & = - x_2^2 x_1 - 5x_2^3
+% \end{cases}
+% \]
+
+% $(x_1,x_2)=(0,0),f(0)=0$ est-il asymptotiquement stable ?
+
+% On pose $V(x) = \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2)$. $V(0) = 0$ et $V(x)>0, \forall x \neq 0$.
+
+% \[ \dot{V}(x) = x_1\dot{x_1} + x_2 \dot{x_2} = -x_1^4 + x_1^2 x_2^2 - 5 x_2^4 \leq -\frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq - Q(x) \text{ tel que } Q(x) \geq 0 \]
+
+% L'origine est globalement asymptotiquement stable.\\
+
+% Est-il exponentiellement stable ?
+
+% \[ \alpha ||x(t)||^c \leq V(x(t)) \leq \beta ||x(t)||^c \]
+
+% $\beta=1,\alpha=\frac{1}{4}$
+
+% \[ \dot{V} \leq - \frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq -\frac{9}{2}(x_1^4 + x_2^4) \]
+
+% Pour $\D = \{ ||x|| \leq 1 \}, x_1^2 +x_2^2 \geq x_1^4 + x_2^4$ donc $-(x_1^2 + x_2^2) \leq -(x_1^4+x_2^4)$ : on ne peut pas borner $\dot{V}$ par $V$.
+
+% Avec ce $V(x)$ on ne peut décider de la convergence exponentielle.
+% \end{example}
+
+% Si on arrive pas a vérifier la stabilité alors le point d'équilibre (ou l'origine) peut-être instable. Dans ce cas, comment vérifier l'instabilité du point d'équilibre (origine)?\\
+
+% \begin{thm}[Théorème de Lyapunov d'instabilité]
+% Soit le système G: $x=f(x)$, $f(0)=0$ et $t\geq 0$.\\
+% Si $\exists V : \D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}_+$ continue, différentiable et définie positive ($0 \in \D$), tel que
+% \[\forall x \in \D^*, \quad  \dot{V}(x) = \left( \frac{\partial V}{\partial x}\right)^T f(x) >0 \]
+%  alors l'origine est instable.
+% \end{thm}
+
+% \begin{proof}
+% Instable $\Leftrightarrow$ $\exists \epsilon>0$ tel que $\forall \delta >0$, alors $||x_0|| \leq \delta$ et $||x|| \geq \epsilon$\\
+
+% $\forall \delta > 0$ soit $r \in ]0;\delta[$ tel que:\\
+% $B_r(0) = \{ x\in \D$ tel que $ ||x|| \leq r \}$ est compact.\\
+% On pose $\alpha = max_{B_r(0)} V(x)$ et $x_0 \in B_r(0)$\\
+% $V(x_0) = \alpha$, ainsi $V(x) - V(x_0) >0$ :
+% \begin{align*}
+% \Rightarrow & V(x) > \alpha\\
+% \Rightarrow & x \notin B_r(0) \\
+% \Rightarrow & x \in B_r^c(0)\\
+% \Rightarrow & ||x||> r
+% \end{align*}
+% Donc $\exists \epsilon >0$ tel que $||x|| \geq \epsilon > r$
+% \end{proof}
+
+% \begin{thm}[Théorème de Barbashin-Krasovsky (Stabilité asymptotique)]
+% Soit $\{0\}$ un point d'équilibre du système $\dot{x} = f(x)$ , où $f:\D \rightarrow \mathbb{R}^n$, localement lipschitzienne. On suppose qu'il existe $V$ continue, différentiable et définie positive telle que \[\dot{V} \leq 0\]
+% Soit $S = \{x \in \D$ tel que $\dot{V(x)} = 0\}$.
+
+% Si $x=0$ est le seul élément de $S$, alors l'origine est asymptotiquement stable.
+% \end{thm}
+
+% \begin{example}
+% Soit le système :
+% \[
+%   \begin{cases}
+% \dot{x_1} &= -x_1^3 + 2 x_2^3\\\dot{x_2} &= -2x_1x_2^2
+% \end{cases}
+% \]
+% L'origine est un point d'équilibre.\\
+% \begin{align*}
+% V(x) &= \frac{1}{2}x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 >0\\
+% \dot{V(x)} &= x_1\dot{x_1} + x_2\dot{x_2} = -x_1^4 \leq 0
+% \end{align*}
+% On ne peut pas conclure sur la stabilité asymptotique car $Q(x) = \frac{1}{2}x_1^4$ ne dépend pas de $x_2$. \\
+
+% On utilise le théorème de Barbashin :
+% \begin{align*}
+% S = \{x \in \D \text{ tel que }\dot{V(x)} = 0\} \Rightarrow x_1 = 0\\
+% \Rightarrow & \dot{x_2} = 0\\
+% \Rightarrow & x_2 = 0\\
+% \Rightarrow & S = \{0\}\\
+% \Rightarrow & \text{Stabilité asymptotique}
+% \end{align*}
+% \end{example}
+
+% \begin{thm}[Principe d'invariance de LaSalle]
+% Soient $ \dot{x} = f(x)$ avec $f: \D \rightarrow \mathbb{R}^n$, $\Omega$ un compact positivement invariant tel que $\Omega \subset \D$, $V:\D\rightarrow\mathbb{R}_+$ continue, différentiable tel que $\dot{V} \leq 0 $ dans $\Omega$, $E= \{x \in \Omega$ tel que $ \dot{V}=0\}$ et M le plus grand ensemble positivement invariant inclus dans E.
+
+% Alors toute solution $x$ tel que $x_0 \in \Omega$ converge vers M quand $t \longrightarrow \infty$. Autrement dit $\overline{M}$ est l'attracteur.
+% \end{thm}
+
+
+% \begin{example}[Barbashin]
+% Soit le système \[
+%   \begin{cases}
+% \dot{x_1} & =x_2\\ \dot{x_2} & = -h(x_1) - g(x_2)
+% \end{cases}
+% \] où $h,g:[-a,a] \rightarrow \R$ avec $h(0)=g(0)=0$
+
+% et $\forall x \neq 0, \quad x.h(x) >0 \text{ et }  x.g(x) >0$.\\
+
+% L'origine est un point d'équilibre.\\
+
+% Fonction de Lyapunov candidate :
+% \[ V(x) = \int_0^{x_1} h(s)ds + \frac{1}{2}x_2^2 \]
+
+% $x_1 = 0$ et $x_2=0 \Rightarrow V(x)=0$
+
+% $x_1 \neq 0$ ou $x_2 \neq 0 \Rightarrow V(x) > 0$
+
+% donc $V$ est définie positive.\\
+
+% \begin{align*}
+% \dot{V}(x) & = h(x_1) \dot{x_1}+ x_2 \dot{x_2}\\
+% & = h(x_1)x_1 - x_2h(x_1) - g(x_1)x_2 \\
+% & = -g(x_2)x_2 \leq -Q(x) \text{ définie positive, dépend de } x_1 \text{ et } x_2
+% \end{align*}
+
+% Barbashin :
+
+% $E = \{ x \in  \R^2, \dot{V}(x) = 0 \}$
+
+% $\dot{V}(x)=0 \Rightarrow x_2 = 0 \Rightarrow \dot{x_1}=0$
+
+% $\dot{x_2} = 0 + x_2 = 0 \Rightarrow h(x_1)=0 \Rightarrow x_1 = 0$
+
+% Alors $E=\{0\}$ stabilité asymptotique globale.
+% \end{example}
+
+% \begin{example}[Invariance de La Salle]
+% Soit le système $\dot{x} = ax + u$, $a$ inconnu mais borné.
+
+% $u=-kx$ et $\dot{k}= \gamma x^2, \gamma >0$
+
+% On pose $x_1=x$ et $x_2=k$
+% \[
+%   \begin{cases}
+% \dot{x_1} & = ax_1 - x_2x_1 \\\dot{x_2}&  = \gamma x_1^2
+% \end{cases} \]
+
+% La fonction de Lyapunov candidate
+% \[ V(x) = \frac{1}{2} x_1^2 + \frac{1}{2\gamma} (x_2-b)^2, \quad \text{ avec } b>a \text{ car $a$ est borné} \]
+% $V(0,b)=0$ et non pas l'origine
+
+% $V(x) \geq 0, \forall x \in \R^d$
+% \begin{align*}
+% \dot{V}(x) & = x_1 \dot{x_1} + \frac{1}{\gamma}(x_2-b)\dot{x_2} \\
+% & = ax_1^2 - x_1^2 x_2 + (x_2-b)x_1^2 \\
+% & = x_1^2 (a-b) \leq 0
+% \end{align*}
+
+% $E = \{ x \in \R^2, \dot{V}=0 \} = \{ x_1 = 0 \}$ : attracteur
+
+% Pour le système de départ, on veut montrer que $x\to0$ ie..e. $x_1 \to 0$ donc (attracteur) $x_1 \to 0$
+% \end{example}
+
+% \section{Extension du théorème de Lyapunov aux systèmes non autonomes, i.e. $\dot{x}=f(t,x)$}
+
+% \begin{defin}
+% Un système $G : \dot{x}(t) = f(t,x)$, $x(t_0=x_0, \forall t\geq t_0$ avec $f(t,0)=0$, $\forall t \geq 0 \Rightarrow x = 0$ est un point d'équilibre.
+
+% L'origine est stable au sens de Lyapunov si et seulement si
+% \[ \forall \epsilon > 0 \text{ et } t_0 \geq 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } || S(t_0,x_0) || \leq \delta \Rightarrow || S(t,S(t_0,x_0)) || \leq \epsilon, \forall t \geq t_0 \]
+% \end{defin}
+
+% \begin{thm}[Théorème de Lyapunov]
+% L'origine du système $G$ est stable au sens de Lyapunov s'il existe une $V:[0,+\infty[ \times \D \rightarrow \R_+$ continue et différentiable telle que :
+% \begin{itemize}
+% \item $V(t,0) = 0, \forall t\geq 0$
+% \item $V(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \D \setminus \{0\}$
+% \item $\dot{V}(t,x) = \derivp[V(t,x)]{t} + (\derivp[V(t,x)]{x})^Tf(t,x) \leq 0$, $\forall (t,x) \in \R_+ \times \D$
+% \end{itemize}
+
+% S'il existe $Q(t,x)$ tel que
+% \begin{itemize}
+% \item $Q(t,0)=0, \forall t \geq 0$
+% \item $Q(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \D \setminus \{0\}$
+% \item $\dot{V}(t,x) \leq - Q(t,x), \forall (t,x) \in \R_+ \times \D$
+% \end{itemize}
+
+% Alors l'origine est asymptotiquement stable.\\
+
+% Si $\exists \alpha > 0, \beta > 0, \gamma > 0 \text{ et } c \geq 1 \text{ tel que }$
+% \begin{itemize}
+% \item $\alpha ||x||^c \leq V(t,x) \leq \beta ||x||^c$
+% \item $\dot{V}(,x) \leq - \gamma ||x||^c$
+% \end{itemize}
+
+% Alors l'origine est exponentiellement stable.
+% \begin{rem}
+% Si $\D = \R^n$ : l'origine est globalement stable
+% \end{rem}
+
+% \end{thm}
+
+% Les démonstrations sont calquées sur celles du cas autonome, avec $x_1 = t \in \R_ +$, $x_2 = x \in \R^n$,  $x_2 = x \in \R^n$ donc $\dot{x_1} = 1$ et $\dot{x_2} = f(x_1,x_2)$
+
+% \begin{example}[Système linéaire non stationnaire]
+% $\dot{x}(t) = A(t) x(t)$ et $x(0)=x_0, t \geq 0$
+
+% Soit $V(t,x)=x^TP(t)x$ où $P(t) > 9, \forall t \in \R_ +$
+
+% $V(t,0) = 0, \forall t \in \R_+$ et $V(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \R^n \setminus \{0\}$
+
+% \begin{align*}
+% & \dot{V}(t,x) = x^T(t) \dot{P}(t) x(t) + x^T(t)A^T(t)P(t)x(t) + x^T(t)P(t)A(t)x(t) \leq 0 \\
+% & \Leftrightarrow \dot{P}(t) + A^T(t)P(t) + P(t)A(t) \leq 0 \\
+% \end{align*}
+% Inégalité de Lyapunov dynamique
+
+% Stabilité asymptotique :
+% \[ P(t)+A^T(t)P(t) + P(t)A(t) = - Q(t) \]
+% Équation de Lyapunov dynamique
+
+% \[ \lambda_{min}(P(t)) ||x||^{1=c} \leq V(t,x) \leq \lambda_{max}(P(t)) ||x||^{1=c} \]
+
+% $\forall t \in \R_+, \exists \gamma > 0$
+% \[ \dot{V}(t,x) \leq -\lambda_{min}(Q(t))||x|| \] stabilité exponentielle
+% \end{example}
+
+% \begin{rem}
+% Dans le cas non autonome, la fonction de Lyapunov candidate peut ne pas dépendre du temps, mais elle doit dépendre de toutes les variables d'état.
+% \end{rem}
+
+% \begin{example}
+% Soit le système non-linéaire
+% \begin{align*}
+% \dot{x_1}(t) & = -x_1^3(t) + \sin \omega t x_2(t) \\
+% \dot{x_2}(t) & = - \sin \omega t x_1(t)  - x_2^3(t)
+% \end{align*}
+% avec $x_1(0) = x_{10}, x_2(0) = x_{20}$ et $t\geq 0$
+
+% L'origine est bien un point d'équilibre. Est-il asymptotiquement stable ?
+
+% \begin{align*}
+% V(x) & = \frac{1}{2} x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 \\
+% \dot{V}(x) & = x_1 (-x_1^3 + \sin \omega t x_2) + x_2(-\sin \omega t x_1 - x_2^3) \\
+% & = -x_1^4 - x_2 ^4 \leq 0 \text{ : stable } \\
+% & \leq - \frac{1}{2}(x_1^4 + x_2^4) = -Q(x) \text{ : globalement aymptotiquement stable }
+% \end{align*}
+% \end{example}
+
+% \section{Stabilité entrées-états (SEE)/ Input-States Stability (ISS)}
+
+% Soit le système $ G: \dot{x}=f(x,u)$ où $f:\R^n \times \R^m \rightarrow \R^n$ ($m$ désigne le nombre d'entrées)
+
+% Soit l'origine un point d'équilibre :
+
+% \begin{enumerate}
+% \item S'il est globalement stable, alors on peur analyser la SEE
+% \item S'il est localement stable, alors la SEE est locale ($\D \subset \R^n$)
+% \end{enumerate}
+
+% Dans le cas 1, on analyse la stabilité du système en SEE. Dans le cas 2, on analyse localement ($\D$) la stabilité du système en SEE.
+
+% \begin{defin}
+% Le système est dit SEE si $\forall u(t)$ et $\forall x_0 \in \R^n$ bornées, il existe une solution $x(t,x_0), \forall t \geq 0$ et $\exists \alpha \in \Kc\Lc$ et $\exists\gamma \in \Kc_{\infty}$ tels que :
+
+% \[ ||x(t,x_0)|| \leq \alpha(||x_0||,t) + \gamma(||u||_{\infty})\]
+
+% où $||u||_{\infty} = \sup_{t\geq0}||u(t)|| = \sup_{t\geq0} (u^Tu)^{1/2}$
+
+% \end{defin}
+
+% \begin{rem}
+% \[ \lim_{t \to \infty} ||x(t,x_0)|| \leq \gamma (||u||_{\infty}) \]
+
+% $\gamma$ gain asymptotique du système
+% \end{rem}
+
+
+% \begin{example}
+% Soit le système $\dot{x}= Ax + Bu$
+
+% A Hurwitz implique que l'origine est stable.
+
+% Le système est-il SEE ?
+% \[ x(t,x_0) = e^{At}x_0 + \int_0^t e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) de \tau \]
+
+% \begin{align*}
+% ||x(t,x_0)|| \leq e^{\lambda_{min}(A)t}||x_0|| + \frac{1}{k} ||B||.||u||_{\infty} = \frac{1}{k} \gamma(||u||_{\infty}) \text{ où } k = -\lambda_{max}(A)
+% \end{align*}
+
+% $||B|| = \sup_{||v||=1} ||Bv||$
+% SEE
+% \end{example}
+
+
+% \section{Attracteur}
+% \emph{vu après}
+
+% \begin{defin}
+% Un ensemble $M \subset D$ est positivement invariant du système
+
+% \begin{equation}\label{eq:sys}
+% G:\dot{x}(t) = f(x(t)), x(0) = x_0, t\in \R \quad \tag{$\ast$}
+% \end{equation}
+
+
+% si $\chi_t(M) \subseteq M$ pour $t\geq 0$ où $\chi_t(M) = \{ \chi_t(x), x\in M \}$.\\
+
+% Il est négativement invariant suivant la dynamique \eqref{eq:sys}   si $\chi_t(M) \subseteq M$ pour $t<0$. Ainsi $M$ est un ensemble invariant suivant \eqref{eq:sys} si $\chi_t(M) \subseteq M, \quad \forall t \in \R$
+% \end{defin}
+
+% \begin{prop}
+% Si $M \subset D$ est un ensemble invariant suivant \eqref{eq:sys}, alors $\overline{M}$ l'adhérence de $M$ est invariant.
+% \end{prop}
+
+% \begin{proof}
+% Soit la suite $(x_n)_{n\in\N} \subset M$ tel que $x_n \rightarrow x$ avec $x\in \overline{M}$.
+
+% Puisque $M$ est invariant, alors $(\chi_t(x_n))_{n\in\N} \subset M$. De plus, $\chi_t(x_n) \rightarrow \chi_t(x) \in \overline{M}$ car c'est un fermé.
+
+% Ainsi, $\overline{M}$ est invariant suivant \eqref{eq:sys}.
+% \end{proof}
+
+% \begin{defin}
+% Un ensemble invariant fermé $M \subset D$ est un \emph{attracteur} du système \eqref{eq:sys}, s'il existe un voisinage $N$ de $M$ tel que $\forall x \in N, \exists t \in \R$ tel que $\chi_t(x) \in M$
+% \end{defin}
+
+% \begin{rem}
+% Un cycle limite stable ou semi-stable est un attracteur.
+% \end{rem}
+
+% \begin{exemple}
+% Soit le système :
+% \[
+%   \begin{cases}
+% \dot{x_1}(t) = -x_2(t) + x_1(t)(1-x_1^2(t) - x_2^2(t)) \\ \dot{x_2}(t) = x_1(t) + x_2(t)(1-x_1^2(t) - x_2^2(t))
+% \end{cases}
+% \]
+
+% En utilisant les coordonnées polaires, on trouve l'attracteur de $M$.\\
+
+% On a en effet
+% $r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ et $ \theta = \arctan\frac{x_2}{x_1}$
+
+% donc
+% $\dot{r} = \derivp[r]{x_1} \dot{x_1} + \derivp[r]{x_2}\dot{x_2} = r(1-r^2)$ et $\dot{\theta} = \derivp[\theta]{x_1}\dot{x_1} + \derivp[\theta]{x_2}\dot{x_2} = 1$\\
+
+% Ainsi,
+
+% $r>1 \quad \dot{r}<0 \Rightarrow r \rightarrow 1$
+
+% $r<1 \quad \dot{r}>0 \Rightarrow r \rightarrow 1$
+
+% $r=1$ un fermé $\Rightarrow$ Attracteur où $\forall (x_1,x_2) \in \R^2 / \{(0,0)\}$ car $x_1=x_2=0$ est un point d'équilibre, les trajectoires convergent vers le cercle unité. Suivant le théorème de Poincaré-Bendixon le cercle unité est un cycle limite, car c'est un compact et ne contient pas de point d'équilibre.
+% \end{exemple}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "main"
+%%% End:
diff --git a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/main.tex b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/main.tex
index c7ad584..eae0a48 100644
--- a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/main.tex
+++ b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/main.tex
@@ -1,4 +1,4 @@
-\documentclass{../../cours}
+\documentclass[openany]{../../cours}
 \usepackage{../../raccourcis}
 % Mise en page
 \title{Notes de Cours}
@@ -10,18 +10,21 @@
 
 \maketitle
 \tableofcontents
-\part{Analyse de la stabilité}
 \chapter{Classification}
 \subfile{chap1.tex}
 \chapter{Stabilité des systèmes linéaires} %premier cours en 2019
 \subfile{chap4.tex}
+\chapter{Caractérisation de la stabilité}
+\subfile{chap4b.tex}
 \chapter{Linéarisation}
 \subfile{chap2.tex}
 \chapter{Methode du premier harmonique}
 \subfile{chap3.tex}
 \chapter{Commandabilité et observabilité en non linéaire}
 \subfile{chap5.tex}
-\part{Outils pour la commande non linéaire}
-\part{Synthèse de lois de commandes non linéaires}
-%\subfile{chap2.tex}
 \end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: t
+%%% End: