update 424
This commit is contained in:
parent
a5d389c491
commit
fc8e710b3c
3 changed files with 759 additions and 702 deletions
|
@ -7,68 +7,15 @@ On se place dans le cas présent en régime libre pour un système invariant, c
|
|||
On pose $u=0$, car la stabilité et la dynamique du système sont des caractéristiques intrinsèques d'un système, donc indépendantes de l'entrée.\\
|
||||
\end{rem}
|
||||
|
||||
Pour étudier la stabilité, on se place dans le plan de phase. Celui-ci permet de situer les points d'équilibres et de vérifier la stabilité. Sa dimension est égale au nombre de variables d'état.\\
|
||||
Pour étudier la stabilité, on se place dans le plan de phase. Celui-ci permet de situer les points d'équilibres et de vérifier la stabilité. Sa dimension est égale au nombre de variables d'état.
|
||||
|
||||
Ainsi, pour des systèmes du second ordre, on va avoir:
|
||||
\[\begin{matrix}
|
||||
x= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} &\text{et}& f(x)=\begin{pmatrix}f_1(x)\\f_2(x)\end{pmatrix}
|
||||
\end{matrix}\]
|
||||
L'espace des phases devient alors ici un plan de phase dans lequel on va rechercher les trajectoires.\\
|
||||
L'espace des phases devient alors ici un plan de phase dans lequel on va rechercher les trajectoires.
|
||||
|
||||
Dans la suite, on s'intéressera au cas de dimension deux pour positionner et comprendre le problème.\\
|
||||
|
||||
\section{Méthode la plus utilisée : iso-clines}
|
||||
Pour cette méthode, il s'agit de poser :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{f_2(x)}{f_1(x)} = Cst \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
C'est-à-dire de rechercher les points tel que la pente en $x$ est égale à une constante donnée.\\
|
||||
|
||||
\begin{example}[Pendule inversé]
|
||||
Cas sans frottement : \[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
x_1 &= \theta \\
|
||||
x_2 &= \dot{\theta}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\Rightarrow
|
||||
\begin{cases}
|
||||
x_1 & =x_2\\
|
||||
x_2 & = -\frac{g}{l}sin(x_1)
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
\smallbreak
|
||||
Les iso-clines vérifient donc :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{-\frac{g}{l}sin(x_1)}{x_2}\\
|
||||
&=C
|
||||
\intertext{donc les points décrivant la courbe ont pour équation:}
|
||||
x_2 &= -\frac{g}{lC}sin(x_1)
|
||||
\end{align*}
|
||||
On trace alors alors ces courbes pour différentes valeurs de constante et l'on obtient:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.4]{1/graph2.png}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
L'iso-cline donne la pente de la trajectoire, ainsi, en suivant les pentes données d'iso-cline en iso-cline, on peut remonter à la trajectoire.\\
|
||||
A noter que pour $C$ infini on est sur l'axe de $x_1$ et pour $C$ nul sur celui de $x_2$.\\
|
||||
|
||||
\begin{rem}
|
||||
sans frottement on atteint un cycle limite tandis qu'avec frottement on tend bien vers l'origine.
|
||||
\end{rem}
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\section{Point d'équilibre }
|
||||
Les points d'équilibre sont les solutions à l'équation $\dot{x}=0$.\\
|
||||
|
||||
\begin{example}[Pendule simple]
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\dot{x_1} = 0 &\Rightarrow x_2 =0\\
|
||||
\dot{x_2} = 0 &\Rightarrow x_1 = n\pi \text{ avec, } n\in \mathbb{Z}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{rem}
|
||||
Dans le cas où le système L possède un point d'équilibre, i.e. si la matrice $A$ est inversible, il est unique et $x=0$. Par contre, un système N.L peut avoir plusieurs points d'équilibre.\end{rem}
|
||||
Dans la suite, on s'intéressera au cas de dimension deux pour positionner et comprendre le problème.
|
||||
|
||||
\section{Analyse qualitative du comportement}
|
||||
Soit le système LTI obtenu à partir de la linéarisation autour d'un point d'équilibre $x_0$.\\
|
||||
|
@ -76,23 +23,41 @@ On dit que ce point d'équilibre est stable si c'est un point de convergence des
|
|||
|
||||
On étudie donc le système autour de son point d'équilibre, en linéarisant son équation autour de ce point. On a donc l'équation:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\delta \dot{x}&= A \delta x\\
|
||||
\Aboxed{\delta \dot{x}&= A \delta x}\\
|
||||
\text{où, } A&= \frac{\partial f(x)}{\partial x}|_{x=x_0} \text{ Jacobien de f en $x_0$}\\
|
||||
\text{et, }\delta x &= x-x_0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\bigbreak
|
||||
|
||||
\begin{rem}
|
||||
En N.L, la stabilité est associée aux points d'équilibre. Ainsi, un même système N.L peut avoir des points d'équilibre stables et instable.
|
||||
\end{rem}
|
||||
|
||||
\begin{example}[Pendule] $x=\begin{pmatrix}2n\pi\\0\end{pmatrix}$ stable et $\begin{pmatrix}(2n+1)\pi\\0\end{pmatrix}$ instable.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
L'analyse qualitative de la stabilité est faite par linéarisation.\\
|
||||
|
||||
\begin{rem}
|
||||
Cette approximation peux être réalisé dna sle cas d'un régime forcé:
|
||||
\[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\dot{x} = f(x,u)\\
|
||||
y = h(x,u)
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
avec $f(\bar{x},\bar{u}) = 0$ et on alors:
|
||||
\[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
f(\bar{x}+\delta x,\bar{u}+\delta u) = f(\bar{x},\bar{u}) + A. \delta x + B \delta u\\
|
||||
h(\bar{x}+\delta x,\bar{u}+\delta u) = h(\bar{x},\bar{u}) + C. \delta x + D \delta u
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
Donc :
|
||||
\[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\delta \dot{x} = A. \delta x + B. \delta u \\
|
||||
\delta \dot{u} = C. \delta x + D. \delta u
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
\end{rem}
|
||||
\emph{L'analyse qualitative de la stabilité est faite par linéarisation.} \\
|
||||
\begin{prop}
|
||||
La trajectoire pour une condition initiale $\delta x_0$ est solution de l'équation différentielle précédente, ie \[\delta x(t) = M exp(Jt)M^{-1}\delta x_0\] où J est la matrice diagonale ou de Jordan de A, la matrice d'évolution, et M la matrice de vecteurs propres tel que : $M^{-1}AM = J$.\\
|
||||
|
||||
\end{prop}
|
||||
\subsection{Cas $\mathbb{R}$}
|
||||
$J = \begin{pmatrix}
|
||||
\lambda_1 &0 \\0&\lambda_2
|
||||
|
@ -110,13 +75,13 @@ Ceci permet de tracer les trajectoires dans la base modale.\\
|
|||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph3.png}
|
||||
\end{center}
|
||||
D'un coté on à la convergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$ et de l'autre la divergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$. On a un noeud qui est donc soit stable soit instable.\\
|
||||
D'un coté on à la convergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$ et de l'autre la divergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$. On a un \emph{noeud} qui est donc soit stable soit instable. Et son \emph{index topologique vaut $+1$}\\
|
||||
|
||||
\item Dans le cas où $\lambda_2 < 0 < \lambda_1 $, on obtient:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph4.png}
|
||||
\end{center}
|
||||
On est dans un cas instable et il n'y a pas de point d'équilibre.\\
|
||||
On est dans un cas instable et on a un point selle, d'index $-1$ \\
|
||||
|
||||
|
||||
\item Dans le cas ou $\lambda_1 = 0$, on a:
|
||||
|
@ -183,30 +148,84 @@ r(t) = e^{\alpha t} r_0
|
|||
\]
|
||||
|
||||
\section{Cycle limite}
|
||||
\begin{defin}
|
||||
Un système $\dot{x}=f(x)$ possède un \emph{cycle limite} $\mathcal{C}$ si il existe un intervalle de temps $[t_0,t_0+T]$ et $\forall x_0 \in \mathcal{C}$ tel que la trajectoire $\chi(t,x_0)$ soit solution de $\dot{x}=f(x)$ et avec $\chi(t_0,x_0)=x_0$et vérifie :
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\chi(t,x_0) \in \mathcal{C} \forall t\in[t_0,t_0+T[$
|
||||
\item $\chi(t_0+T,x_0) =x_0$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{defin}
|
||||
|
||||
|
||||
On considère un système oscillant, c'est à dire qu'il existe $T>0$ tel que $\forall t > 0$, $x(t+T) = x(t)$.\\
|
||||
(On exclut cependant le cas $x(t)$ = constante).
|
||||
\begin{rem}
|
||||
Un point d'équilibre peut être interpréter comme un cycle limite singleton $ \forall T\in\R$.
|
||||
\end{rem}
|
||||
|
||||
|
||||
\paragraph{Cycle limite stable}:\\
|
||||
Pour toutes les conditions initiales appartenant au voisinage du cycle limite,\\
|
||||
\begin{prop}
|
||||
\begin{description}
|
||||
\item[Cycle limite stable]~\\
|
||||
Pour toutes les conditions initiales appartenant au voisinage du cycle limite.
|
||||
\[\exists t_0 > 0 \text{ et }T > 0 \text{ tel que } \forall t>t_0, \quad x(t+T) = x(t)\]
|
||||
i.e. toute trajectoire dans un voisinage du cycle limite converge dans un temps fini vers le cycle limite.
|
||||
|
||||
\paragraph{Cycle limite instable}:\\
|
||||
\item[Cycle limite instable]~\\
|
||||
Toutes les trajectoires divergent du cycle limite.\\
|
||||
Pour toutes les CI n'appartenant pas au cycle limite, $ \exists t > 0 \text{ tel que} x(t) \notin \text{cycle limite} $.
|
||||
|
||||
\paragraph{Cycle semi-stable}:\\
|
||||
\item[Cycle semi-stable]~\\
|
||||
Une partie des trajectoires converge et d'autres divergent du cycle limite.
|
||||
\end{description}
|
||||
\end{prop}
|
||||
|
||||
\section*{Théorème de Bendixon}
|
||||
|
||||
\begin{example}[Oscillateur de Van der Pol]
|
||||
\[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\dot{x_1} & = x_2\\ \dot{x_2} & = -x_1 + (1-x_ 1^2)x_2
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Point d'équilibre $x^* =(0,0)$
|
||||
|
||||
\begin{rem}
|
||||
Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable.
|
||||
\end{rem}
|
||||
|
||||
%\img{0.3}{3/2.png}
|
||||
|
||||
$\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange.\\
|
||||
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{thm}[Index de Poincaré]
|
||||
Dans le plan de phase( pour un système d'ordre 2) avec $N$ le nombre de noeuds, centre et foyer et $S$ le nombre de points selles.\\
|
||||
Si un cycle limite existe, les points d'équilibre que le cycle limite encrecle sont tel que
|
||||
\[
|
||||
N =S +1
|
||||
\]
|
||||
\end{thm}
|
||||
ce théorème s'utilise souvent sous sa forme contraposée:
|
||||
\begin{corol}
|
||||
Si $N\neq S+1$ alors il n'existe pas de cycle limite.
|
||||
\end{corol}
|
||||
|
||||
\begin{proof}~ \\
|
||||
\begin{lemme}
|
||||
Soit une courbe du plan de phase alors l'index de la courbe est la somme des index des points d'équilibre contenu dans cette courbe.
|
||||
\end{lemme}
|
||||
|
||||
À partir de cette proposition on peux démontrer le théorème de l'index de Poincaré, car le cycle limite $\mathcal{C}$ est solution de l'équation dynamique. l'index de $\mathcal{C}$ vaut +1. Ainsi le nombre de points d'équiliobre ayant l'index +1 doit être supérieur d'une unité à ceux dont l'index est -1
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\section{Théorème de Bendixon}
|
||||
|
||||
\begin{thm}
|
||||
Soit le système du second ordre $\dot{x}=f(x)$ avec $f$ le champ de vecteurs tel que $f:D\rightarrow\R^2$ avec $D$ un connexe (d'un seul tenant, non formé de la réunion d'ensemble disjoint) de $\R^2$ ne contenant pas de point d'équilibre.
|
||||
Si:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\exists x \in D$ tel que $\div f(x) \neq 0$
|
||||
\item $\div f$ ne change pas de signe dans $D$
|
||||
\item $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$
|
||||
\item $\divv f$ ne change pas de signe dans $D$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Alors $\dot{x}=f(x)$ n'a pas de cycle limite inclus dans $D$.
|
||||
\end{thm}
|
||||
|
@ -217,9 +236,9 @@ Par l'absurde, soit $\Gamma = \{x\in D, x(t), 0 \leq t \leq T\}$ est un cycle li
|
|||
$\forall x \in \Gamma$, $f(x)$ est tangent à $\Gamma$ tel que $f(x).n(x)=0$ où $n(x)$ est le vecteur normal de $\Gamma$ en $x$.
|
||||
|
||||
Suivant le théorème de Green,
|
||||
\[ \oint_{\Gamma} f(x)n(x)dx = \iint_S \div f(x)dS \text{ donc } \iint_S \div f(x)dS = 0\]
|
||||
\[ \oint_{\Gamma} f(x)n(x)dx = \iint_S \divv f(x)dS \text{ donc } \iint_S \div f(x)dS = 0\]
|
||||
|
||||
Si $\exists x \in D$ tel que $\div f(x) \neq 0$ et que $\div f$ ne change pas de signe dans $D$ (donc a fortiori dans $S\subset D$), on déduit de la continuité de l'opérateur $\div f$ dans $D$ que $\iint_S \div f(x)dS \neq 0$ : contradictoire.
|
||||
Si $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$ et que $\div f$ ne change pas de signe dans $D$ (donc a fortiori dans $S\subset D$), on déduit de la continuité de l'opérateur $\divv f$ dans $D$ que $\iint_S \div f(x)dS \neq 0$ : contradictoire.
|
||||
|
||||
Ainsi, $D$ ne contient pas de cycle limite.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
@ -241,7 +260,9 @@ Calculons $\div f = \derivp[f_1]{x_1} + \derivp[f_2]{x_2} = -\alpha$.
|
|||
$\div f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cycle limite $(D=\R^2)$.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\section*{Théorème de Poincaré-Bendixon}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Théorème de Poincaré-Bendixon}
|
||||
|
||||
\begin{thm}
|
||||
Soient le système du 2nd ordre $\dot{x}=f(x)$ et $O_{x_0}^+$ une trajectoire positive, i.e $O_{x_0}^+ = \{ x \in D, x = S(t,x_0), t \geq 0\}$ où $S(.,x) : \R \rightarrow D$ définit une solution de $\dot{x}=f(x)$ pour une trajectoire passant par $x$, avec un ensemble limite $\omega(x_0)$ i.e. $\omega(x_0) = \bigcap_{t \geq 0} \overline{O_{x_0}^+}$ \footnote{adhérence = plus petit fermé contenant l'ensemble}\\
|
||||
|
@ -326,3 +347,8 @@ x \text{ donc }
|
|||
\end{multicols}
|
||||
\end{example}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "main"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
|
File diff suppressed because it is too large
Load diff
|
@ -1,4 +1,4 @@
|
|||
\documentclass{../../cours}
|
||||
\documentclass[openany]{../../cours}
|
||||
\usepackage{../../raccourcis}
|
||||
% Mise en page
|
||||
\title{Notes de Cours}
|
||||
|
@ -10,18 +10,21 @@
|
|||
|
||||
\maketitle
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\part{Analyse de la stabilité}
|
||||
\chapter{Classification}
|
||||
\subfile{chap1.tex}
|
||||
\chapter{Stabilité des systèmes linéaires} %premier cours en 2019
|
||||
\subfile{chap4.tex}
|
||||
\chapter{Caractérisation de la stabilité}
|
||||
\subfile{chap4b.tex}
|
||||
\chapter{Linéarisation}
|
||||
\subfile{chap2.tex}
|
||||
\chapter{Methode du premier harmonique}
|
||||
\subfile{chap3.tex}
|
||||
\chapter{Commandabilité et observabilité en non linéaire}
|
||||
\subfile{chap5.tex}
|
||||
\part{Outils pour la commande non linéaire}
|
||||
\part{Synthèse de lois de commandes non linéaires}
|
||||
%\subfile{chap2.tex}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: t
|
||||
%%% End:
|
||||
|
|
Loading…
Reference in a new issue