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Pierre-antoine Comby 2019-01-22 17:52:56 +01:00
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424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap1.tex
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@ -15,18 +15,18 @@
\newpage \newpage
\section{Définition} \section{Définition}
\paragraph{Définition }:\\ \begin{defin}
Un système est dit Non Linéaire (N.L) si on n'a pas le principe de superposition, i.e. pour une entrée $\sum \lambda_i u_i$ on a en sortie $y \neq \sum \lambda_iy_i$.\\ Un système est dit Non Linéaire (N.L) si on n'a pas le principe de superposition, i.e. pour une entrée $\sum \lambda_i u_i$ on a en sortie $y \neq \sum \lambda_iy_i$.
\end{defin}
\paragraph{Définition - Commande}:\\
Pour la commande, les systèmes N.L englobent les systèmes Linéaires (L), i.e. les systèmes L forment un sous-ensemble identifié au principe de superposition. \\ Pour la \emph{commande}, les systèmes N.L englobent les systèmes Linéaires (L), i.e. les systèmes L forment un sous-ensemble identifié au principe de superposition.
Exemple de systèmes N.L : Exemple de systèmes N.L :
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Equation de Navier-Stokes (Mécanique des fluides) \item Equation de Navier-Stokes (Mécanique des fluides)
\item Equation de Boltzmann (Cinétique d'un gaz peu dense) \item Equation de Boltzmann (Cinétique d'un gaz peu dense)
\end{itemize} \end{itemize}
\bigbreak
\begin{example} \begin{example}
Système N.L décrit par des EDO (Équations Différentielles Ordinaires): le pendule simple\\ Système N.L décrit par des EDO (Équations Différentielles Ordinaires): le pendule simple\\
@ -82,8 +82,8 @@ y = g(x,t,u)& \text{ avec, } & x\in \mathbb{R}^n\text{, }u\in \mathbb{R}^m\text{
Ainsi la solution est noté $\chi (t,x_0)$, qui donne la valeur de $x$ à l'intsant t pour une condirtion initiale $x_0$ Ainsi la solution est noté $\chi (t,x_0)$, qui donne la valeur de $x$ à l'intsant t pour une condirtion initiale $x_0$
\begin{defin}[Trajectoire] \begin{defin}
La trajectoire $\chi$ d'un système dynamique $G$ sur $\mathcal{D}\subset \R^n$ où $n$ est la dimension de $G$ , est une application : La \emph{trajectoire} $\chi$ d'un système dynamique $G$ sur $\mathcal{D}\subset \R^n$ où $n$ est la dimension de $G$ , est une application :
\[ \[
\chi: \R \times \mathcal{D} \to \mathcal{D} \chi: \R \times \mathcal{D} \to \mathcal{D}
\] \]
@ -93,6 +93,8 @@ Ainsi la solution est noté $\chi (t,x_0)$, qui donne la valeur de $x$ à l'ints
\item Consistance $\chi(0,x) = x$ \item Consistance $\chi(0,x) = x$
\item Propriété de Groupe $ \chi(t,\chi(\tau,x))=\chi(t+\tau,x)$ \item Propriété de Groupe $ \chi(t,\chi(\tau,x))=\chi(t+\tau,x)$
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{defin}
\begin{rem} \begin{rem}
suivant la propriété 1. on a : suivant la propriété 1. on a :
\[ \[
@ -105,18 +107,27 @@ Ainsi la solution est noté $\chi (t,x_0)$, qui donne la valeur de $x$ à l'ints
\end{rem} \end{rem}
L'ensemble $\mathcal{D}$ dans lequel évolue la trajectoire est nommée \emph{espace de phase} L'ensemble $\mathcal{D}$ dans lequel évolue la trajectoire est nommée \emph{espace de phase}
\end{defin}
Dans le cas causal, on se limite à $ \chi: \R_+ \times \mathcal{D} \to \mathcal{D}$. Dans le cas causal, on se limite à $ \chi: \R_+ \times \mathcal{D} \to \mathcal{D}$.
Pour $t$ fixé on note $\chi_t :=\chi(t,x) \mathcal{D}\to \mathcal{D}$ Pour $t$ fixé on note $\chi_t :=\chi(t,x) \mathcal{D}\to \mathcal{D}$
\begin{prop} \begin{prop}
L'application inverse de $\chi_t$ et$\chi_{-t}$ est un homéomorphisme ie bijectif continu et inverse continu L'application inverse de $\chi_t$ et$\chi_{-t}$ est un homéomorphisme:
\begin{itemize}
\item continu
\item bijectif
\item inverse continu
\end{itemize}
\end{prop} \end{prop}
\begin{proof} \begin{proof}
on montre l'injectivité et la surjectivité de $\chi$. on montre l'injectivité et la surjectivité de $\chi$.
La propriété 1. permet de montrer la continuité. La propriété 1. permet de montrer la continuité.
\end{proof} \end{proof}
\end{document} \end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End: