From ebefbc8036dd18e21bc16deea64ff911b72b9659 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pierre-antoine Comby <comby@crans.org>
Date: Tue, 22 Jan 2019 17:52:56 +0100
Subject: [PATCH] proper def

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 424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap1.tex | 33 +++++++++++++++--------
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+++ b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap1.tex
@@ -15,18 +15,18 @@
 \newpage
 \section{Définition}
 
-\paragraph{Définition }:\\
-Un système est dit Non Linéaire (N.L) si on n'a pas le principe de superposition, i.e. pour une entrée $\sum \lambda_i u_i$ on a en sortie $y \neq \sum \lambda_iy_i$.\\
+\begin{defin}
+Un système est dit Non Linéaire (N.L) si on n'a pas le principe de superposition, i.e. pour une entrée $\sum \lambda_i u_i$ on a en sortie $y \neq \sum \lambda_iy_i$.
+\end{defin}
 
-\paragraph{Définition - Commande}:\\
-Pour la commande, les systèmes N.L englobent les systèmes Linéaires (L), i.e. les systèmes L forment un sous-ensemble identifié au principe de superposition. \\
+
+Pour la \emph{commande}, les systèmes N.L englobent les systèmes Linéaires (L), i.e. les systèmes L forment un sous-ensemble identifié au principe de superposition.
 
 Exemple de systèmes N.L :
 \begin{itemize}
 \item Equation de Navier-Stokes (Mécanique des fluides)
 \item Equation de Boltzmann (Cinétique d'un gaz peu dense)
 \end{itemize}
-\bigbreak
 
 \begin{example}
   Système N.L décrit par des EDO (Équations Différentielles Ordinaires): le pendule simple\\
@@ -82,8 +82,8 @@ y = g(x,t,u)& \text{	avec, } & x\in \mathbb{R}^n\text{, }u\in \mathbb{R}^m\text{
 Ainsi la solution est noté $\chi (t,x_0)$, qui donne la valeur de $x$ à l'intsant t pour une condirtion initiale $x_0$
 
 
-\begin{defin}[Trajectoire]
-  La trajectoire $\chi$ d'un système dynamique $G$ sur $\mathcal{D}\subset \R^n$ où $n$ est la dimension de $G$ , est une application :
+\begin{defin}
+  La \emph{trajectoire} $\chi$ d'un système dynamique $G$ sur $\mathcal{D}\subset \R^n$ où $n$ est la dimension de $G$ , est une application :
   \[
     \chi: \R \times \mathcal{D} \to \mathcal{D}
   \]
@@ -93,6 +93,8 @@ Ainsi la solution est noté $\chi (t,x_0)$, qui donne la valeur de $x$ à l'ints
   \item Consistance $\chi(0,x) = x$
   \item Propriété de Groupe $ \chi(t,\chi(\tau,x))=\chi(t+\tau,x)$
   \end{enumerate}
+\end{defin}
+
   \begin{rem}
     suivant la propriété 1. on a :
     \[
@@ -105,18 +107,27 @@ Ainsi la solution est noté $\chi (t,x_0)$, qui donne la valeur de $x$ à l'ints
   \end{rem}
 
 L'ensemble $\mathcal{D}$ dans lequel évolue la trajectoire est nommée \emph{espace de phase}
-\end{defin}
+
 
 Dans le cas causal, on se limite à $ \chi: \R_+ \times \mathcal{D} \to \mathcal{D}$.
 
 Pour $t$ fixé on note $\chi_t :=\chi(t,x) \mathcal{D}\to \mathcal{D}$
 \begin{prop}
-  L'application inverse de $\chi_t$ et$\chi_{-t}$ est un homéomorphisme ie bijectif continu et inverse continu
+  L'application inverse de $\chi_t$ et$\chi_{-t}$ est un homéomorphisme:
+  \begin{itemize}
+  \item continu
+  \item bijectif
+  \item inverse continu
+\end{itemize}
+
 \end{prop}
 \begin{proof}
   on montre l'injectivité et la surjectivité de $\chi$.
   La propriété 1. permet de montrer la continuité.
 \end{proof}
-
-
 \end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "main"
+%%% End: