424 explosion cérébrale du 28/03
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@ -7,7 +7,7 @@ Dans la suite du chapitre on étudiera le modèle suivant : Affine en la command
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\dot{x} & = f(x) + g(x) u\\
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y & = h(x)
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\end{cases}
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\]
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\]\nopagebreak
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\section{Commande par bouclage linéarisant}
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\begin{figure}[H]
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\centering
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@ -54,6 +54,7 @@ On cherche $r$ par le calcul des dérivées successives de $y=h(x)$ :
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\intertext{Si $L_gL_fh(x) \neq 0$, alors $r=2$. Sinon on continue...}
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y^{(r)} & = L_f^rh(x) + L_gL_f^{r-1}h(x)u
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\end{align*}
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\begin{rem}
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On a $1 \leq r \leq n$ car la procédure utilise la base canonique ($x_1=y,x_2=\dot{y}$) : la commande doit apparaître au maximum à la $n$-ième dérivée.
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\end{rem}
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@ -246,15 +247,15 @@ x_2 \neq 0
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$\Delta(x)$ est une distribution de champs de vecteurs.
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\end{exemple}
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\begin{defin}[Involution]
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La distribution $\Delta$ est involutive ssi
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\[\forall f,g \in \Delta, \quad [f,g] \in \Delta, \quad \text{Homogénéité est mère de vertu} \]
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\begin{defin}
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La distribution $\Delta$ est \emph{involutive} ssi
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\[\forall f,g \in \Delta, \quad [f,g] \in \Delta \]
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\end{defin}
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\begin{rem}
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$\Delta(x) = vect \{ f_1, \dots, f_p \}$ est une distribution involutive ssi
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\begin{prop}
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$\Delta(x) = \vect{f_1& \dots & f_p}$ est une distribution involutive ssi
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\[ \exists \alpha_{ij_k} : \R^n \mapsto \R \text{ tq } [f_i,f_j] = \sum_{k=1}^p \alpha_{ij_k}(x) f_k, \quad i = 1,\dots p, j = 1,\dots p\]
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\end{rem}
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\end{prop}
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\begin{exemple}
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\[ x_2 \neq 0 \Rightarrow \Delta(x) = vect\left\lbrace \vect{x_1 \\ x_2 \\ 2}, \vect{1 \\ 1 \\ 0} \right\rbrace\]
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@ -281,14 +282,17 @@ $\Delta$ est une distribution involutive pour $x_2 \neq 0$
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\newcommand{\lesys}{$\dot{x}=f(x)+g(x)u, x\in\R^n, u\in\R$}
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\begin{thm}[Théorème d'existence de $\phi_1$]
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Soit le système \lesys.
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\begin{thm}[Theoreme d'existence]
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Soit le système $\Sigma$. Il existe un changement de base $z=\phi(x)$\\[1.5em]
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Il existe un changement de base $z=\phi(x)$ linéarisant sur $\Omega$ tel que $\phi^T(x) = [\phi_1(x), L_f\phi_1(x) \dots L_f^{n-1} \phi_1(x) ]$ ssi :
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linéarisant sur $\Omega$ tel que
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\[\phi^T(x) = [\phi_1(x), L_f\phi_1(x) \dots L_f^{n-1} \phi_1(x) ]\]
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ssi :
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\begin{itemize}
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\item $dim(g,ad_f g, \dots ad_f^{n-1} g) = n$ (Commandabilité Kalman)
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\item la distribution engendrée par $\{g, ad_f g, \dots ad_f^{n-1}g\}$ est involutive, $\forall x \in \Omega$ \footnote{Homogénéité est mère de vertu}
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\item la distribution engendrée par $\{g, ad_f g, \dots ad_f^{n-1}g\}$ est involutive, $\forall x \in \Omega$.
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\end{itemize}
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%
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\end{thm}
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Ainsi, la procédure de linéarisation entrée-états est réalisée via les étapes suivantes :
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@ -349,24 +353,24 @@ z_2 & = L_f \phi_1 = CAx \\
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\subsection{Système à déphasage minimal}
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\begin{defin}[Cas linéaire]
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Si les zéros sont à partie $Re<0$
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\begin{defin}
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Dans le \emph{cas linéaire} le système est a déphasage minimal si les zéros sont à partie $Re<0$.
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\end{defin}
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\begin{defin}[Cas non linéaire]
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dynamique des zéros stables, i.e. à l'origine on a :
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\begin{defin}
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Dans le \emph{cas non linéaire} le sytème est à déphasage minimal si dynamique des zéros stables, i.e. à l'origine on a :
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\[\left\lbrace
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\begin{array}{cc}
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\dot{\eta_1} & = q(0,\eta) \\
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\vdots \\
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\dot{\eta_{n-r}} & = q(0,\eta)
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\end{array} \right. \text{ est stable} \]
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Ainsi, le le système est à déphasage non minimal, on applique la linéarisation $e-s$.
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Ainsi, quand le le système est à déphasage non minimal, on applique la linéarisation $e-s$.
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\end{defin}
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\subsection{Cas MIMO du bouclage linéarisant}
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Le linéarisation revient à trouver la commande qui réalise la réciproque de la non-linéarité : problème inverse. Dans le cas où le problème est non inversible d'une manière statique (i.e. algébrique), la solution est de réaliser une inversion dynamique (ex : l'observateur dans le cas linéaire).\\
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Le linéarisation revient à trouver la commande qui réalise la réciproque de la non-linéarité : problème inverse. Dans le cas où le problème est non inversible d'une manière statique (i.e. algébrique), la solution est alors de réaliser une inversion dynamique, à la manière de l'observateur dans le cas linéaire.
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Soit le système non-linéaire :
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\begin{align*}
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@ -374,7 +378,7 @@ Soit le système non-linéaire :
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y & = \vect{k_1(x) \\ \vdots \\ k_p(x)} \text{ avec } x\in\R^n,y \in \R^p \text{ et } u=\vect{u_1 \\ \vdots \\ u_m} \in \R^m
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\end{align*}
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\begin{defin}[Degré relatif en MIMO]
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\begin{defin}
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Le degré relatif $r$ dans le cas MIMO est défini comme $r=r_1+\dots+r_p$ si $r_i$ est le degré relatif associé à la sortie $y_i$ tel que :
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\[ \forall j=1\dots m, L_{g_j}L_f^k h_i(x) = 0, \forall k < r_i-1\]
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\[ \exists j =1\dots m, L_{g_j}L_f^{r_i-1} h_i(x) \neq 0\]
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@ -395,15 +399,34 @@ Sans perte de généralité, on pose $m=p$. Calculons les dérivées successives
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On remarquera l'intérêt de poser $m=p$.
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On note $D(x)$ la matrice $\R^{p\times m}$ (dite de découplage).
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\[
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D(x) =
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\begin{pmatrix}
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L_{g_1}L_f^{r_1-1}h_1 & \dots & L_{g_m}L_f^{r_1 - 1} h_1 \\
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\vdots & \ddots & \vdots \\
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L_{g_1}L_f^{r_p-1} & \dots & L_{g_m}L_f^{r_p-1} h_p
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\end{pmatrix}
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\]
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Si $D(x)$ est inversible, alors la commande linéarisante est :
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\[ u(x) = D(x)^{-1}( \vect{v_1 \\ \vdots \\ v_m} - \vect{L_f^{r-1} h_1(x) \\ \vdots \\ L_f^{r_p}h_p(x)}) \]
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\begin{prop}
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Le système MIMO est linéarisable si $r=\sum_{i=1}^p r_i = n$ avec $D(x)$ inversible.
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\end{prop}
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\begin{itemize}
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\item Si $D(x)$ est inversible, alors la commande linéarisante est :
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\[ u(x) = D(x)^{-1}( \vect{v_1 \\ \vdots \\ v_m} - \vect{L_f^{r-1} h_1(x) \\ \vdots \\ L_f^{r_p}h_p(x)}) \]
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On a un bouclage ``statique''.
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\item si $D(x)$ n'edst pas inversible alors on introduit une dynamique pour la rendre inversible. Une méthode simple pour trouver cette dynamique est de continuer à dériver après apparition de la commande ($u_j,\dot{u}_j$).
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\end{itemize}
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Dans le cas où $r<n$, alors le système MIMO est partiellement linéarisable. Ainsi, $\eta$ est le vecteur d'état des $n-r$ équations non linéaires restantes.
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\[ \dot{\eta} = P(z,\eta) + Q(z,\eta) u, \text{ avec } P_k(z,\eta) = L_f \eta_k \text{ et } Q_{k,j}(z,\eta) = L_{g_j}\eta_k, k = 1 \dots n-r, j = 1 \dots m \]
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@ -481,21 +504,24 @@ Dans le cas où le modèle est sous forme normale (forme obtenue pour le bouclag
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Si $m=r$ alors \[ u = \frac{1}{a(z)} (-b(z)+y_c^{(r)} + \sum_{i=1}^r \beta_{i-1} \epsilon^{(i-1)} \]
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$y_c^{(r)}$ bouclage linéarisant statique
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Si$m=r+1$ alors
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Si $m=r+1$ alors
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\[ \dot{u} = \frac{1}{a(z)} (-\dot{b}(z) - \dot{a}(z)u + y_c^{(m)} + \sum_{i=1}^m \beta_{i-1} \epsilon^{(i-1)}) \]
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$\dot{a}(z)u$ bouclage linéarisant dynamique
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Même démarche pour les degrés supérieurs de la poursuite asymptotique.
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\end{itemize}
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%\img{0.5}{6/1}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\includegraphics[width=0.9\textwidth]{6/1.png}
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\caption{ }
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\label{fig:label}
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\end{figure}
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La difficulté de la poursuite asymptotique est la résolution de l'équation dynamique NL
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\[c(z_1 \dots z_n , u \dots u^{(k)} ) y_c^{(n)} - \sum_{i=1}^m \beta_{i-1} (y_c^{(i-1)} - z_i) \]
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Dans le cas des systèmes plats, la solution est obtenue via les sorties plates.
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\begin{defin}[Platitude]
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Un système est dit plat s'il a des sorties plates. Tous les états et entrées de commande du système sont exprimés en fonction des sorties plates et d'un nombre fini de leurs dérivées.\\
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\begin{defin}
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Un système est dit \emph{plat} s'il a des sorties plates. Tous les états et entrées de commande du système sont exprimés en fonction des sorties plates et d'un nombre fini de leurs dérivées.\\
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\noindent Cas SISO : $\dot{x} = f(x,u)$ est plat si \[\exists y \in \R \text{ tq } x = \phi(y,y^{(1)},\dots,y^{(\beta)}) \text{ et } u=\psi(y,y^{(1)},\dots,y^{(\delta)}), \beta,\delta \in \N\]
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@ -519,8 +545,7 @@ u_1 & = \frac{\dot{x_3}}{y_1} = \frac{(\ddot{y_2}-\dot{y_2})\dot{y_2}-\ddot{y_1}
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Un autre intérêt de la platitude est la planification simple de trajectoire.
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\begin{thm}
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[Principe de la planification de trajectoire]
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\begin{thm}[Principe de la planification de trajectoire]
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La planification peut comporter des contraintes sur la commande (énergie, saturation, ...) et sur les états (obstacles, limitation de vitesse, d'accélération...)
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Pour les systèmes plats, la planification est réalisée sur les sorties plates $y\in\R^p$ et la commande est déduite par $u=\psi(y_1,\dots,y_p^{(\delta_p)})$
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\end{thm}
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@ -539,14 +564,13 @@ Le système est plat où $q\in\R^n$ sont les sorties plates.\\
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La planification de trajectoire est réalisée sur les $q$, puis $u=K^{-1}(q,\dot{q})(M(q)\dot{q} + B(q,\dot{q}))$\\
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\newpage
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Commande en cassecade \footnote{Momo m'a tuer} :
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%\imgt{7/1}
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\[ C_0(p) = K >>1, \quad H_0(p) = \frac{H_1(p)}{1+KH_1(p)} \approx \frac{1}{K} \]
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\end{exemple}
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\newpage
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\section{Commandes hiérarchisées}
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\subsection{Échelles de temps}
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