From dd9e8ef1ede5469bfe116e487d3f7ade9dec8a60 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Pierre-antoine Comby <comby@crans.org>
Date: Fri, 29 Mar 2019 16:10:41 +0100
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?424=20explosion=20c=C3=A9r=C3=A9brale=20du=2028?=
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 424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap7.tex | 84 +++++++++++++++--------
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+++ b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap7.tex
@@ -7,7 +7,7 @@ Dans la suite du chapitre on étudiera le modèle suivant : Affine en la command
       \dot{x} & = f(x) + g(x) u\\
       y & = h(x)
     \end{cases}
- \]
+ \]\nopagebreak
 \section{Commande par bouclage linéarisant}
 \begin{figure}[H]
   \centering
@@ -54,6 +54,7 @@ On cherche $r$ par le calcul des dérivées successives de $y=h(x)$ :
  \intertext{Si $L_gL_fh(x) \neq 0$, alors $r=2$. Sinon on continue...}
               y^{(r)} & = L_f^rh(x) + L_gL_f^{r-1}h(x)u
   \end{align*}
+
   \begin{rem}
   On a $1 \leq r \leq n$ car la procédure utilise la base canonique ($x_1=y,x_2=\dot{y}$) : la commande doit apparaître au maximum à la $n$-ième dérivée.
 \end{rem}
@@ -246,15 +247,15 @@ x_2 \neq 0
 $\Delta(x)$ est une distribution de champs de vecteurs.
 \end{exemple}
 
-\begin{defin}[Involution]
-La distribution $\Delta$ est involutive ssi 
-\[\forall f,g \in \Delta, \quad [f,g] \in \Delta, \quad \text{Homogénéité est mère de vertu} \]
+\begin{defin}
+La distribution $\Delta$ est \emph{involutive} ssi 
+\[\forall f,g \in \Delta, \quad [f,g] \in \Delta \]
 \end{defin}
 
-\begin{rem}
-$\Delta(x) = vect \{ f_1, \dots, f_p \}$ est une distribution involutive ssi 
+\begin{prop}
+$\Delta(x) = \vect{f_1& \dots & f_p}$ est une distribution involutive ssi 
 \[ \exists \alpha_{ij_k} : \R^n \mapsto \R \text{ tq } [f_i,f_j] = \sum_{k=1}^p \alpha_{ij_k}(x) f_k, \quad i = 1,\dots p, j = 1,\dots p\]
-\end{rem}
+\end{prop}
 
 \begin{exemple}
 \[ x_2 \neq 0 \Rightarrow \Delta(x) = vect\left\lbrace \vect{x_1 \\ x_2 \\ 2}, \vect{1 \\ 1 \\ 0} \right\rbrace\]
@@ -281,14 +282,17 @@ $\Delta$ est une distribution involutive pour $x_2 \neq 0$
 
 \newcommand{\lesys}{$\dot{x}=f(x)+g(x)u, x\in\R^n, u\in\R$}
 
-\begin{thm}[Théorème d'existence de $\phi_1$]
-Soit le système \lesys.
+\begin{thm}[Theoreme d'existence]
+  Soit le système $\Sigma$. Il existe un changement de base $z=\phi(x)$\\[1.5em]
 
-Il existe un changement de base $z=\phi(x)$ linéarisant sur $\Omega$ tel que $\phi^T(x) = [\phi_1(x), L_f\phi_1(x) \dots L_f^{n-1} \phi_1(x) ]$ ssi :
+  linéarisant  sur $\Omega$ tel que
+  \[\phi^T(x) = [\phi_1(x), L_f\phi_1(x) \dots L_f^{n-1} \phi_1(x) ]\]
+  ssi :
 \begin{itemize}
 \item $dim(g,ad_f g, \dots ad_f^{n-1} g) = n$ (Commandabilité Kalman)
-\item la distribution engendrée par $\{g, ad_f g, \dots ad_f^{n-1}g\}$ est involutive, $\forall x \in \Omega$ \footnote{Homogénéité est mère de vertu}
+\item la distribution engendrée par $\{g, ad_f g, \dots ad_f^{n-1}g\}$ est involutive, $\forall x \in \Omega$.
 \end{itemize}
+%   
 \end{thm}
 
 Ainsi, la procédure de linéarisation entrée-états est réalisée via les étapes suivantes :
@@ -349,24 +353,24 @@ z_2 & = L_f \phi_1 = CAx \\
 
 
 \subsection{Système à déphasage minimal}
-\begin{defin}[Cas linéaire]
-Si les zéros sont à partie $Re<0$
+\begin{defin}
+  Dans le \emph{cas linéaire} le système est a déphasage minimal si les zéros sont à partie $Re<0$.
 \end{defin}
 
 
-\begin{defin}[Cas non linéaire]
-dynamique des zéros stables, i.e. à l'origine on a :
+\begin{defin}
+  Dans le \emph{cas non linéaire} le sytème est à déphasage minimal si dynamique des zéros stables, i.e. à l'origine on a :
 \[\left\lbrace
 \begin{array}{cc}
 \dot{\eta_1} & = q(0,\eta) \\
 \vdots \\
 \dot{\eta_{n-r}} & = q(0,\eta)
 \end{array} \right. \text{ est stable} \]
-Ainsi, le le système est à déphasage non minimal, on applique la linéarisation $e-s$.
+Ainsi, quand le le système est à déphasage non minimal, on applique la linéarisation $e-s$.
 \end{defin}
 
 \subsection{Cas MIMO du bouclage linéarisant}
-Le linéarisation revient à trouver la commande qui réalise la réciproque de la non-linéarité : problème inverse. Dans le cas où le problème est non inversible d'une manière statique (i.e. algébrique), la solution est de réaliser une inversion dynamique (ex : l'observateur dans le cas linéaire).\\
+Le linéarisation revient à trouver la commande qui réalise la réciproque de la non-linéarité : problème inverse. Dans le cas où le problème est non inversible d'une manière statique (i.e. algébrique), la solution est alors de réaliser une inversion dynamique, à la manière de  l'observateur dans le cas linéaire.
 
 Soit le système non-linéaire :
 \begin{align*}
@@ -374,7 +378,7 @@ Soit le système non-linéaire :
 y & = \vect{k_1(x) \\ \vdots \\ k_p(x)} \text{ avec } x\in\R^n,y \in \R^p \text{ et } u=\vect{u_1 \\ \vdots \\ u_m} \in \R^m 
 \end{align*} 
 
-\begin{defin}[Degré relatif en MIMO]
+\begin{defin}
 Le degré relatif $r$ dans le cas MIMO est défini comme $r=r_1+\dots+r_p$ si $r_i$ est le degré relatif associé à la sortie $y_i$ tel que :
 \[ \forall j=1\dots m, L_{g_j}L_f^k h_i(x) = 0, \forall k < r_i-1\]
 \[ \exists j =1\dots m, L_{g_j}L_f^{r_i-1} h_i(x) \neq 0\]
@@ -395,15 +399,34 @@ Sans perte de généralité, on pose $m=p$. Calculons les dérivées successives
 On remarquera l'intérêt de poser $m=p$.
 
 On note $D(x)$ la matrice $\R^{p\times m}$ (dite de découplage). 
+\[
+D(x) =
+\begin{pmatrix}
+L_{g_1}L_f^{r_1-1}h_1 & \dots & L_{g_m}L_f^{r_1 - 1} h_1 \\
+  \vdots                     & \ddots     & \vdots                        \\
+  L_{g_1}L_f^{r_p-1}    & \dots & L_{g_m}L_f^{r_p-1} h_p
+\end{pmatrix}
+\]
 
-Si $D(x)$ est inversible, alors la commande linéarisante est :
-\[ u(x) = D(x)^{-1}( \vect{v_1 \\ \vdots \\ v_m} - \vect{L_f^{r-1} h_1(x) \\ \vdots \\ L_f^{r_p}h_p(x)}) \]
 
 
 \begin{prop}
 Le système MIMO est linéarisable si $r=\sum_{i=1}^p r_i = n$ avec $D(x)$ inversible.
 \end{prop}
 
+
+
+\begin{itemize}
+\item Si $D(x)$ est inversible, alors la commande linéarisante est :
+\[ u(x) = D(x)^{-1}( \vect{v_1 \\ \vdots \\ v_m} - \vect{L_f^{r-1} h_1(x) \\ \vdots \\ L_f^{r_p}h_p(x)}) \]
+On a un bouclage ``statique''.
+
+
+\item si $D(x)$ n'edst pas inversible alors on introduit une dynamique pour la rendre inversible. Une méthode simple pour trouver cette dynamique est de continuer à dériver après apparition de la commande ($u_j,\dot{u}_j$).
+\end{itemize}
+
+
+
 Dans le cas où $r<n$, alors le système MIMO est partiellement linéarisable. Ainsi, $\eta$ est le vecteur d'état des $n-r$ équations non linéaires restantes.
 \[ \dot{\eta} = P(z,\eta) + Q(z,\eta) u, \text{ avec } P_k(z,\eta) = L_f \eta_k \text{ et } Q_{k,j}(z,\eta) = L_{g_j}\eta_k, k = 1 \dots n-r, j = 1 \dots m \]
 
@@ -481,21 +504,24 @@ Dans le cas où le modèle est sous forme normale (forme obtenue pour le bouclag
 Si $m=r$ alors \[ u = \frac{1}{a(z)} (-b(z)+y_c^{(r)} + \sum_{i=1}^r \beta_{i-1} \epsilon^{(i-1)} \]
 $y_c^{(r)}$ bouclage linéarisant statique
 
-Si$m=r+1$ alors
+Si $m=r+1$ alors
 \[ \dot{u} = \frac{1}{a(z)} (-\dot{b}(z) - \dot{a}(z)u + y_c^{(m)} + \sum_{i=1}^m \beta_{i-1} \epsilon^{(i-1)}) \]
 $\dot{a}(z)u$ bouclage linéarisant dynamique
 Même démarche pour les degrés supérieurs de la poursuite asymptotique.
 \end{itemize}
-
-%\img{0.5}{6/1}
-
+\begin{figure}[ht]
+  \centering
+  \includegraphics[width=0.9\textwidth]{6/1.png}
+  \caption{ }
+  \label{fig:label}
+\end{figure}
 La difficulté de la poursuite asymptotique est la résolution de l'équation dynamique NL
 \[c(z_1 \dots z_n , u \dots u^{(k)} ) y_c^{(n)} - \sum_{i=1}^m \beta_{i-1} (y_c^{(i-1)} - z_i) \]
 
 Dans le cas des systèmes plats, la solution est obtenue via les sorties plates.
 
-\begin{defin}[Platitude]
-Un système est dit plat s'il a des sorties plates. Tous les états et entrées de commande du système sont exprimés en fonction des sorties plates et d'un nombre fini de leurs dérivées.\\
+\begin{defin}
+Un système est dit \emph{plat} s'il a des sorties plates. Tous les états et entrées de commande du système sont exprimés en fonction des sorties plates et d'un nombre fini de leurs dérivées.\\
 
 \noindent Cas SISO : $\dot{x} = f(x,u)$ est plat si \[\exists y \in \R \text{ tq } x = \phi(y,y^{(1)},\dots,y^{(\beta)}) \text{ et } u=\psi(y,y^{(1)},\dots,y^{(\delta)}), \beta,\delta \in \N\]
 
@@ -519,8 +545,7 @@ u_1 & = \frac{\dot{x_3}}{y_1} = \frac{(\ddot{y_2}-\dot{y_2})\dot{y_2}-\ddot{y_1}
 
 Un autre intérêt de la platitude est la planification simple de trajectoire.
 
-\begin{thm}
-[Principe de la planification de trajectoire]
+\begin{thm}[Principe de la planification de trajectoire]
 La planification peut comporter des contraintes sur la commande (énergie, saturation, ...) et sur les états (obstacles, limitation de vitesse, d'accélération...)
 Pour les systèmes plats, la planification est réalisée sur les sorties plates $y\in\R^p$ et la commande est déduite par $u=\psi(y_1,\dots,y_p^{(\delta_p)})$
 \end{thm}
@@ -539,14 +564,13 @@ Le système est plat où $q\in\R^n$ sont les sorties plates.\\
 
 La planification de trajectoire est réalisée sur les $q$, puis $u=K^{-1}(q,\dot{q})(M(q)\dot{q} + B(q,\dot{q}))$\\
 
-\newpage
+
 Commande en cassecade \footnote{Momo m'a tuer} :
 %\imgt{7/1}
 
 \[ C_0(p) = K >>1, \quad H_0(p) = \frac{H_1(p)}{1+KH_1(p)} \approx \frac{1}{K} \]
 \end{exemple}
 
-\newpage
 \section{Commandes hiérarchisées}
 
 \subsection{Échelles de temps}