451 rajout sur les SA

451-Signal_Image/Cours/chap2.tex

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+\documentclass[main.tex]{subfiles}
+\begin{document}
+\section{Stationnarité et ergodicité}
+\begin{defin}
+  Soit $(\Omega,\mathcal{E},P)$ un espace probabilisé.
+  Une famille/suite de VA indexé par le temps est un \emph{signal aléatoire} $\in\C^n$ noté : $X_t(\omega) ~ \forall t\in \R$ (ou $X_n(\omega) ~ \forall n \in \Z$)
+\end{defin}
+
+En ptratique on s'interesse àdes des signaux de dimension 1.
+\paragraph{Rappel:} on appelle trajectoire la réalisation / acquisition d'un signal. il existe deux types de moyenne possible:
+\begin{itemize}
+\item temporelle, idem que celle des signaux déterministes
+\item Statistique, ideme que pour les VA.
+\end{itemize}
+\begin{exemple}Soit le SA suivant:
+  $X(t,\omega) =A \sin(2\pi f_0 t)$ où $A$ est une variable aléatoire , (ici qui suit une loi uniforme).
+  Alors une réalisation de ce SA est $x(t)=a\sin(2 \pi f_0 t)$.
+  \begin{itemize}
+  \item $\overline{x(t,\omega)} = 0 = m_x$ et $\overline{x^22(t,\omega)} = \frac{a^2}{2}$
+  \item $E[X(t,\omega)] =\sin(2 \pi f_0 t)E[A] = m_X(t)$.
+  \end{itemize}
+\end{exemple}
+\subsection{Moyenne temporelle}
+On rappelle les différentes expression des 1er et 2nd ordre (si il existe) de trajectoire particulière.
+\begin{defin}
+  Les moments d'ordre 1 temporel sont des \emph{moyennes temporelle}:
+  \begin{itemize}
+  \item Temps continu
+    \[
+      \overline{x(t,\omega)}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x(t,\omega)\d t = m_x(\omega)
+    \]
+  \item Temps discret
+    \[
+      \overline{x[n,\omega]} =\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N}x[n,\omega] =m_x(\omega)
+    \]
+  \end{itemize}
+\end{defin}
+
+
+\begin{defin}
+  Les moments d'ordre 2 croisés définissent la fonction d'intercorrélation temporelle (($\omega$ est fixé )
+  \begin{itemize}
+  \item Temps continu:
+    \[
+      \overline{x(t,\omega)\cdot y^*(t-\tau,\omega)} = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x(t,\omega) y^*(t-\tau,\omega)\d t =C^p_{xy}(\tau,\omega)
+    \]
+  \item Temps discret:
+    \[
+\overline{x[n,\omega]y^*[n-k,\omega]} =\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N}x[n,\omega]y^*[n-k,\omega]
+    \]
+  \end{itemize}
+\end{defin}
+
+\begin{rem}
+On dit également que les  Les moments temporels dépendent de la trajectoire.
+
+Si $y=x$ on parle d'autocorrélation. De plus $C_{xx}^p(0)$ est la \emph{puissance de $x$}.
+\end{rem}
+\subsection{Ergodicité}
+\begin{defin}
+  \begin{itemize}
+  \item Un processus est \emph{ergodique au sens stricte}
+    si et seulement si toutes les moyennes temporelles sont indépendantes de la trajecoire considérée.
+  \item
+    Un processus est ergodique à l'ordre $n$ si et seulement si tous les moments jusqu'à l'ordre de $n$ sont indépendant de la trajectoire considéré.
+    Les moments temporel d'un signal ergodique ne sont pas des variables aléatoires.
+\end{itemize}
+\end{defin}
+\begin{rem}
+  Souvent $n=2$ Pour 2 SA on parle d'ergodicité dans leur ensemble.
+\end{rem}
+
+\subsection{Moyenne statistique}
+
+On considère les signaux aléatoire à des instants particuliers, fixé.
+
+\begin{rem}
+  En fixant le temps on peux définir les fonctions de répartition et la densité de probabilité  d'un signal aléatoire. Alors on peux exprimer les moments statistiques de ses signaux temporels:
+\end{rem}
+\begin{defin}
+  On défini la moyenne statistique (moment d'ordre 1):
+  \[
+    m_X(t) = E[X(t,\omega)] = \int_{\R}^{}x f_X(x,t) \d x
+  \]
+  et la fonction d'intercorrélation statistique (moment d'ordre 2):
+  \[
+    \gamma_{xy}(t_1,t_2) =E[X(t_1,\omega)y^{*}(t_2,\omega)] = \iint xy^{*}f_{x,y,t_1,t_2}\d x\d y
+  \]
+  Il en est de meme dans le cas discret.
+\end{defin}
+\subsection{Stationnarité}
+\begin{defin}
+  \begin{itemize}
+  \item Un processus aléatoire est\emph{ stationanaire au sens strict} ssi
+    toutes ses caractéristiques statistiques sont invariantes par tout
+    changement de l'origine des temps.
+  \[
+    f_{X}(x,t) = f_X(x,t+\tau) =f_X(x) \quad \forall \tau 
+  \]
+\item Un processus aléatoire est stationnaire au sens large /au second ordre ssi ses moments d'ordre 1 et 2 sont invariants par tout changement d'origine des temps.
+  \[
+    E[|X(t,\omega)|^2] = E[|X(t',\omega)|^2] < +\infty
+  \]
+\end{itemize}
+\end{defin}
+\subsection{Stationnarité et ergodicité}
+\section{Corrélation et densité spectrale de puissance}
+\section{Periodogramme}
+\section{Signaux aléatoire particulier}
+\subsection{SA indépendants}
+\subsection{SA décorrélés}
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "main"
+%%% End:

451-Signal_Image/Cours/main.tex

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 \chapter{Rappel d'élement de probabilité et de VA}
 \subfile{chap1.tex}
 \chapter{Signaux Aléatoire}
-
+\subfile{chap2.tex}
 \chapter{Filtrage des Signaux Aléatoires}
 \subfile{chap3.tex}