From bd8b826db9a44af3ef465210c785cb310ad733c3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Pierre-antoine Comby Date: Fri, 22 Mar 2019 22:09:28 +0100 Subject: [PATCH] 451 rajout sur les SA --- 451-Signal_Image/Cours/chap2.tex | 118 +++++++++++++++++++++++++++++++ 451-Signal_Image/Cours/main.tex | 2 +- 2 files changed, 119 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 451-Signal_Image/Cours/chap2.tex diff --git a/451-Signal_Image/Cours/chap2.tex b/451-Signal_Image/Cours/chap2.tex new file mode 100644 index 0000000..21aeb6c --- /dev/null +++ b/451-Signal_Image/Cours/chap2.tex @@ -0,0 +1,118 @@ +\documentclass[main.tex]{subfiles} +\begin{document} +\section{Stationnarité et ergodicité} +\begin{defin} + Soit $(\Omega,\mathcal{E},P)$ un espace probabilisé. + Une famille/suite de VA indexé par le temps est un \emph{signal aléatoire} $\in\C^n$ noté : $X_t(\omega) ~ \forall t\in \R$ (ou $X_n(\omega) ~ \forall n \in \Z$) +\end{defin} + +En ptratique on s'interesse àdes des signaux de dimension 1. +\paragraph{Rappel:} on appelle trajectoire la réalisation / acquisition d'un signal. il existe deux types de moyenne possible: +\begin{itemize} +\item temporelle, idem que celle des signaux déterministes +\item Statistique, ideme que pour les VA. +\end{itemize} +\begin{exemple}Soit le SA suivant: + $X(t,\omega) =A \sin(2\pi f_0 t)$ où $A$ est une variable aléatoire , (ici qui suit une loi uniforme). + Alors une réalisation de ce SA est $x(t)=a\sin(2 \pi f_0 t)$. + \begin{itemize} + \item $\overline{x(t,\omega)} = 0 = m_x$ et $\overline{x^22(t,\omega)} = \frac{a^2}{2}$ + \item $E[X(t,\omega)] =\sin(2 \pi f_0 t)E[A] = m_X(t)$. + \end{itemize} +\end{exemple} +\subsection{Moyenne temporelle} +On rappelle les différentes expression des 1er et 2nd ordre (si il existe) de trajectoire particulière. +\begin{defin} + Les moments d'ordre 1 temporel sont des \emph{moyennes temporelle}: + \begin{itemize} + \item Temps continu + \[ + \overline{x(t,\omega)}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x(t,\omega)\d t = m_x(\omega) + \] + \item Temps discret + \[ + \overline{x[n,\omega]} =\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N}x[n,\omega] =m_x(\omega) + \] + \end{itemize} +\end{defin} + + +\begin{defin} + Les moments d'ordre 2 croisés définissent la fonction d'intercorrélation temporelle (($\omega$ est fixé ) + \begin{itemize} + \item Temps continu: + \[ + \overline{x(t,\omega)\cdot y^*(t-\tau,\omega)} = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x(t,\omega) y^*(t-\tau,\omega)\d t =C^p_{xy}(\tau,\omega) + \] + \item Temps discret: + \[ +\overline{x[n,\omega]y^*[n-k,\omega]} =\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N}x[n,\omega]y^*[n-k,\omega] + \] + \end{itemize} +\end{defin} + +\begin{rem} +On dit également que les Les moments temporels dépendent de la trajectoire. + +Si $y=x$ on parle d'autocorrélation. De plus $C_{xx}^p(0)$ est la \emph{puissance de $x$}. +\end{rem} +\subsection{Ergodicité} +\begin{defin} + \begin{itemize} + \item Un processus est \emph{ergodique au sens stricte} + si et seulement si toutes les moyennes temporelles sont indépendantes de la trajecoire considérée. + \item + Un processus est ergodique à l'ordre $n$ si et seulement si tous les moments jusqu'à l'ordre de $n$ sont indépendant de la trajectoire considéré. + Les moments temporel d'un signal ergodique ne sont pas des variables aléatoires. +\end{itemize} +\end{defin} +\begin{rem} + Souvent $n=2$ Pour 2 SA on parle d'ergodicité dans leur ensemble. +\end{rem} + +\subsection{Moyenne statistique} + +On considère les signaux aléatoire à des instants particuliers, fixé. + +\begin{rem} + En fixant le temps on peux définir les fonctions de répartition et la densité de probabilité d'un signal aléatoire. Alors on peux exprimer les moments statistiques de ses signaux temporels: +\end{rem} +\begin{defin} + On défini la moyenne statistique (moment d'ordre 1): + \[ + m_X(t) = E[X(t,\omega)] = \int_{\R}^{}x f_X(x,t) \d x + \] + et la fonction d'intercorrélation statistique (moment d'ordre 2): + \[ + \gamma_{xy}(t_1,t_2) =E[X(t_1,\omega)y^{*}(t_2,\omega)] = \iint xy^{*}f_{x,y,t_1,t_2}\d x\d y + \] + Il en est de meme dans le cas discret. +\end{defin} +\subsection{Stationnarité} +\begin{defin} + \begin{itemize} + \item Un processus aléatoire est\emph{ stationanaire au sens strict} ssi + toutes ses caractéristiques statistiques sont invariantes par tout + changement de l'origine des temps. + \[ + f_{X}(x,t) = f_X(x,t+\tau) =f_X(x) \quad \forall \tau + \] +\item Un processus aléatoire est stationnaire au sens large /au second ordre ssi ses moments d'ordre 1 et 2 sont invariants par tout changement d'origine des temps. + \[ + E[|X(t,\omega)|^2] = E[|X(t',\omega)|^2] < +\infty + \] +\end{itemize} +\end{defin} +\subsection{Stationnarité et ergodicité} +\section{Corrélation et densité spectrale de puissance} +\section{Periodogramme} +\section{Signaux aléatoire particulier} +\subsection{SA indépendants} +\subsection{SA décorrélés} + +\end{document} + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "main" +%%% End: diff --git a/451-Signal_Image/Cours/main.tex b/451-Signal_Image/Cours/main.tex index 008c708..b7399d3 100644 --- a/451-Signal_Image/Cours/main.tex +++ b/451-Signal_Image/Cours/main.tex @@ -20,7 +20,7 @@ \chapter{Rappel d'élement de probabilité et de VA} \subfile{chap1.tex} \chapter{Signaux Aléatoire} - +\subfile{chap2.tex} \chapter{Filtrage des Signaux Aléatoires} \subfile{chap3.tex}