Finition sur le cours de 433

433-Electronique_transmission_numerique/Cours/chap25.tex

@@ -6,13 +6,99 @@
 En numérique on utilise un égaliseur pour garantir le respect du critère de nyquist.
 \section{Egaliseur numérique }
 
+On rappele le schéma de chaine de transimission numérique:
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    [every node/.style={draw,rectangle,minimum height=4em,node distance=0.5cm,scale=0.8}]
+    \node (S) at (0,0){Source};
+    \node (CS)   [right= of S]{\begin{tabular}{c}Codage \\ source\end{tabular}};
+    \node (CC)   [right= of CS]{\begin{tabular}{c}Codage \\ canal\end{tabular}};
+    \node (CBB)  [right= of CC]{\begin{tabular}{c}Filtre emission \\ $G(f)$\end{tabular}};
+    \node (C)    [right= of CBB]{
+      \begin{tabular}{c}
+Canal\\ H(f)
+      \end{tabular}
+};
+    \node (A)    [right= of C][adder]{};
+    \node (Demod)[right= of A]{
+      \begin{tabular}{c}
+filtre de Reception\\ Gr(f)
+      \end{tabular}
+};
+    \node (E)    [right= of Demod]{
+      \begin{tabular}{c}
+Egaliseur \\(E)
+      \end{tabular}
+};
+    \node (Decod)[right= of E]{Detecteur};
+    \tikzset{every node/.style={}}
+    \draw (S) -- (CS) -- (CC) -- (CBB)-- (C) -- (A.1) (A.3) -- (Demod) -- (E) -- (Decod);
+    \draw[latex-] (A.4) -- ++(0,1) node[above]{Bruit};
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{Principe d'une chaine de transmission numérique}
+\end{figure}
+\begin{prop}
 
+On considère que le canal de transmission est idéal:
+\[
+  h(t) = K. \delta(t-\tau) \text{ soit } H(f) = K.e^{-2j\pi f\tau}
+\]
+Alors :
+\begin{itemize}
+\item Signal en sortie du canal n'est pas déformé
+\item Si l'impulsion du canal vérifie le critère de Nyquist, en se
+  placant au meme rythme d'échantillonnage T pour ensuite detecter les
+  différents niveau correspondant à un code m-aire.
+\end{itemize}
+\end{prop}
+\begin{rem}
+  Pour un canal quelconque on a le bruit , l'attenuation, une bande limitée... Tout cela peux conduire à une erreur de décodage sur les echantillons.
 
+  On place donc un \emph{egaliseur} pour compenser ces effets dans la chaine de reception du signal.
+\end{rem}
 \section{Réglage de l'égaliseur}
+\begin{rem}
+  Le rôle de l'égaliseur n'est pas le meme suivant le type de transmission (analogique/numérique).
+  \begin{itemize}
+  \item En transmission analogique on veux :
+    \[
+      H(f).E(f) = exp(-2\pi f\tau)
+    \]
+    Pour compenser le retard dans le canal de transmission pour qu'il soit idéal du point de vue du recepteur.
+  \item Pour une transmission numérique :
 
+    Il faut que l'impulsion perçu respecte (après l'égaliseur)le premier critère de Nyquist.
+  \end{itemize}
+\end{rem}
 
+\begin{prop}
+Pour respecter le critère de Nyquist en numérique il faut que:
+  \[
+\sum_{n} G\left(f-\frac{n}{T}\right) \cdot H\left(f-\frac{n}{T}\right) \cdot G_{r}\left(f-\frac{n}{T}\right) \cdot E\left(f-\frac{n}{T}\right)=T
+\]
+\end{prop}
 
+\begin{rem}
+  POur une impulsion issue d'un filtre rectangulaire
+  \[
+G\left(f-\frac{n}{T}\right) . H\left(f-\frac{n}{T}\right) \cdot G_{r}\left(f-\frac{n}{T}\right) \cdot E\left(f-\frac{n}{T}\right)=T \cdot \operatorname{rect}_{1 / T}(f)
+\]
+\end{rem}
 
+\begin{rem}
+  \begin{itemize}
+  \item Comme nous l’avons vu au chapitre précédent, on choisit plutôt
+    un impulsion de Nyquist.
+  \item   L’égaliseur est implémenté numériquement
+    et s’apparente à un filtre numérique.
+  \item   Différentes stratégies
+    d’optimisations sont possibles (Moindres carrés, adaptatifs,
+    etc...).
+\end{itemize}
+\end{rem}
+
+ajout sur le diagramme de l'oeil....
 \end{document}
 
 %%% Local Variables:

433-Electronique_transmission_numerique/Cours/chap26.tex

@@ -31,17 +31,182 @@ avec $b(t)$ brui blanc gaussien.
 \end{rem}
 
 \subsection{Exemple d'application}
-\section{Introduction du rapport signal sur bruit}
+\subsubsection{cas binaire antipolaire}
-\subsection{Cas d'un mot à $N$ digits}
+Pour une transmission binaire equiprobable ,où :
+\begin{itemize}
+\item $u(t_0) = +1V$,si le bit transmis est un $1_l$
+\item $u(t_0) = -1V$,si le bit transmis est un $0_l$
+\item ajout d'un bruit de variance $\sigma^2$.
+\end{itemize}
+On place le seuil de décision au centre (à $0V$)
+La probabilité de faire une erreur est alors:
 
+\[
+\epsilon  = P(\text{tx} 0_l).P(\text{rx} 1_l) + P(\text{tx} 1_l).P(\text{rx} 0_l) 
+\]
+Ce que l'on réecrit :
+\[
+\epsilon = P(0_l).P(r(t_0)>0)+P(1_l).P(r(t_0)<0)
+\]
 
+\begin{align*}
+    \varepsilon=& \frac{1}{2} \times \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \left(-\frac{(x+\Delta / 2)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) d x \\ &+\frac{1}{2} \times \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \left(-\frac{(x-\Delta / 2)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) d x
+\end{align*}
+\[
+  \begin{aligned} \varepsilon &=\frac{1}{2} \int_{\Delta / 2 \sigma}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2}\right) d x+\frac{1}{2} \int_{\Delta / 2 \sigma}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2}\right) d x \\
+    &=\int_{\Delta / 2 \sigma}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2}\right)
+  \end{aligned}
+\]
+C'est la fonction de répartition complémentée de la loi normale.
+
+\begin{align*} G_{c}\left(\frac{\Delta}{2 \sigma}\right) &=\int_{\Delta / 2 \sigma}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2}\right) d x \\ &=1-\int_{-\infty}^{\Delta / 2 \sigma} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x)^{2}}{2}\right) d x \\ &=1-F\left(\frac{\Delta}{2 \sigma}\right) \end{align*}
+
+\begin{defin}
+  Dans les télecom on utlise les fonciton $erf$ et $erfc$
+\[
+\operatorname{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{x}^{+\infty} \exp \left(-r^{2}\right) d r=1-\operatorname{erf}(x)
+\]
+\end{defin}
 
 \begin{rem}
-  Waterfilling
+  On a :
+  \[
+G_{c}(x)=\frac{1}{2} \cdot \operatorname{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)
+\]
 \end{rem}
+\subsubsection{Code m-aire unipolaire}
+soit un code $m$-aire unipolaire tel que:
+\begin{itemize}
+\item écrat entre niveaux uniforme vallant $\Delta$.
+\item seuils de décision situés à $\Delta/2$.
+\end{itemize}
+\[
+  \begin{aligned} \varepsilon=& p(0) \cdot \operatorname{prob}\left(u>\frac{\Delta}{2}\right)+p(m-1) \cdot \operatorname{prob}\left(u<-\frac{\Delta}{2}\right) \\ &+\sum_{k=1}^{m-2} p(k) \cdot \operatorname{prob}\left(|u| \geq \frac{\Delta}{2}\right)
+  \end{aligned}
+\]
+
+avec $p(k)$ probabilité de transmettre le niveau $k$.pour des niveaux
+equiprobables:
+\[
+\varepsilon=\frac{2(m-1)}{m} . G_{c}\left(\frac{\Delta}{2 \sigma}\right)=\frac{(m-1)}{m} \cdot \operatorname{erfc}\left(\frac{\Delta}{2 \sqrt{2} \sigma}\right)
+\]
+
+\section{Introduction du rapport signal sur bruit}
+\paragraph{Rappel}: La puissance d'un signal aléatoire est:
+\[
+S=\sum_{k=0}^{m-1} p(k) \cdot a_{k}^{2}
+\]
+Si tous les niveaux sont équiprobables et pour un écart constants entre
+niveaux $\Delta$, on obtient :
+
+\begin{itemize}
+\item pour les code $m$-aires unipolaires : $S=\frac{(m-1)(2 m-1)}{6}
+  \Delta^{2}$
+\item pour les cas antipolaires :
+  $S=\frac{m^{2}-1}{12} \Delta^{2}$
+\end{itemize}
+
+
+\begin{prop}
+  Avec les calculs précédents on obtient:
+  \begin{itemize}
+  \item Cas unipolaire :
+    \[\varepsilon=\frac{2(m-1)}{m} . G_{c}\left(\sqrt{\frac{3}{2(m-1)(2 m-1)} \cdot \frac{S}{N}}\right)\]
+  \item cas antipolaire:
+    \[
+\varepsilon=\frac{2(m-1)}{m} \cdot G_{C}\left(\sqrt{\frac{3}{m^{2}-1} \cdot \frac{S}{N}}\right)
+\]
+\item Pour le binaire on a respectivement:
+  \[
+    \epsilon_b = G_c\left(\sqrt{\frac{S}{2N}}\right) \text{ et } \epsilon_b = G_c\left(\sqrt{\frac{S}{N}}\right)
+  \]
+  \end{itemize}
+\end{prop}
+\subsection{Cas d'un mot à $N$ digits}
+
+\begin{prop}
+  Soit un sytème de transmission dont le taux moyen d’erreur par élément binaire $\epsilon_b$ , avec lequel on transmet une information à l’aide de mots de longueur n (n digits), on peut dire :
+  \begin{itemize}
+  \item   que la probabilité pour qu’un élément binaire soit juste est $(1 - \epsilon b )$
+  \item que la probabilité que tous les éb du mot, qui sont indépendants, soient justes, donc que le mot n’ait pas d’erreur, est $M(0) = (1 - \epsilon b )^n$ 
+  \item que la probabilité pour qu’il n’y ait qu’une erreur (un seul élément binaire faux dans le mot) est $M(1) = n.\epsilon_b .(1 -\epsilon_b)^{n-1}$.
+  \item que la probabilité pour qu’il y ait k erreurs dans le mot (k<n) est 
+    \[
+M(k)=C_{n}^{k} \varepsilon_{b}^{k}\left(1-\varepsilon_{b}\right)^{n-k}
+\]
+\item que la probabilité pour qu’il y ait au moins une erreur dans le mot est
+  \[
+M(>0)=1-\left(1-\varepsilon_{b}\right)^{n}\simeq n\epsilon_b
+\]
+\item que la probabilité pour qu’il y ait plus d’une erreur dans le mot est:
+  \[
+M(>1)=1-\left(1-\varepsilon_{b}\right)^{n}-n \cdot \varepsilon_{b} \cdot\left(1-\varepsilon_{b}\right)^{n-1}
+\]càd tous les cas possible
+sauf ceux où il n’y a pas d’erreur et ceux où il n’y a qu’une erreur.
+    
+    
+\end{itemize}
+\end{prop}
+\section{Filtre adapté (Optimisation du RSB)}
+\subsection{Conception du filtre adpaté}
+
+On a vu que le BER est directement lié au RSB. L'objectif du filtre de réception est donc de maximiser le RSB à l'instant de prise de décision, on parle alors de filtre adapté. 
+\begin{prop}
+  Àl'instant de décision on a :
+  \[
+    \frac{\mathcal{S}}{\mathcal{N}}= \frac{r^2(t_0+nT)}{E[b^2(t_0+nT)]}
+  \]
+  \begin{itemize}
+  \item $r(t) = g_r(t)\ast s(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}g_r(t-\tau)s(\tau)\d \tau$
+  \item $b(t) = g_r(t)\ast n(t) $
+  \item $n$ un BABG centrée et de variance $\sigma_n$.
+  \end{itemize}
+\end{prop}
+
+On fait les hypothèses suivantes:
+\begin{itemize}
+\item L'égaliseur a parfaitement compensé l'effet du canal
+\item Le sysytème est parfaitement synchronisé $\implies s(t_0+nT)\simeq g_e(t_0+nT)$
+\end{itemize}
+
+
+\begin{defin}
+  \emph{Puissance de bruit}
+
+\[
+  \begin{aligned}
+    \mathcal{N} &=\int_{-\infty}^{+\infty} \phi_{b b}(f) d f \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\left|G_{r}(f)\right|^{2} \phi_{n n}(f) d f \\ &=\frac{\sigma_{n}^{2}}{2} \int_{-\infty}^{+\infty}\left|g_{r}(\tau)\right|^{2} d f
+  \end{aligned}
+\]
+\emph{Puissance du signal}
+\[
+r\left(t_{0}+n T\right)=\int_{-\infty}^{+\infty} g_{e}\left(t_{0}+n T-\tau\right) g_{r}(\tau) d \tau
+\]
+Puis
+\[
+\begin{aligned} \mathcal{S}\left(t_{0}+n T\right) &=\left|r\left(t_{0}+n T\right)\right|^{2} \\ &=\left|\int_{-\infty}^{+\infty} g_{e}\left(t_{0}+n T-\tau\right) g_{r}(\tau) d \tau\right|^{2} \\  \end{aligned}
+\]
+\end{defin}
+\begin{prop}
+  On  a d'apres l'inégalité de Cauchy-Schwarz:
+  \[
+ \mathcal{S}\left(t_{0}+n T\right) \leq \int_{-\infty}^{+\infty}\left|g_{e}\left(t_{0}+n T-\tau\right)\right|^{2} d \tau \times \int_{-\infty}^{+\infty}\left|g_{r}(\tau)\right|^{2} d \tau
+  \]
+
+  La puissance sera maximale si $g_r(t) =C\times g_e^*(t_0+nT-\tau)$ avec $C$ une constante.On choisit donc cette expression pour le filtre adapté.
+
+  On a le RSB suivant:
+  \[
+\mathcal{S} / \mathcal{N}=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}\left|g_{e}\left(t_{0}+n T-\tau\right)\right|^{2} d \tau}{\frac{\sigma_{0}^{2}}{2}}
+\]
+\end{prop}
+
+\subsection{Réalisation du filtre adapté}
+
+On réalise filtre adatpé en réalisatant une corrélation entre $g_e$ et $s$. Tout est très bien expliqué dans le cours de l'UE451.
 \end{document}
 
 %%% Local Variables:
 %%% mode: latex
-%%% TeX-master: "main"
+%%% TeX-master: t
 %%% End: