From 5e0903914394e30b36f6bef7a3e5a4fe0f2d61c8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Pierre-antoine Comby Date: Thu, 2 May 2019 09:40:57 +0200 Subject: [PATCH] Finition sur le cours de 433 --- .../Cours/chap25.tex | 86 +++++++++ .../Cours/chap26.tex | 173 +++++++++++++++++- 2 files changed, 255 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/433-Electronique_transmission_numerique/Cours/chap25.tex b/433-Electronique_transmission_numerique/Cours/chap25.tex index 0b806b6..6b5dd48 100644 --- a/433-Electronique_transmission_numerique/Cours/chap25.tex +++ b/433-Electronique_transmission_numerique/Cours/chap25.tex @@ -6,13 +6,99 @@ En numérique on utilise un égaliseur pour garantir le respect du critère de nyquist. \section{Egaliseur numérique } +On rappele le schéma de chaine de transimission numérique: +\begin{figure}[H] + \centering + \begin{tikzpicture} + [every node/.style={draw,rectangle,minimum height=4em,node distance=0.5cm,scale=0.8}] + \node (S) at (0,0){Source}; + \node (CS) [right= of S]{\begin{tabular}{c}Codage \\ source\end{tabular}}; + \node (CC) [right= of CS]{\begin{tabular}{c}Codage \\ canal\end{tabular}}; + \node (CBB) [right= of CC]{\begin{tabular}{c}Filtre emission \\ $G(f)$\end{tabular}}; + \node (C) [right= of CBB]{ + \begin{tabular}{c} +Canal\\ H(f) + \end{tabular} +}; + \node (A) [right= of C][adder]{}; + \node (Demod)[right= of A]{ + \begin{tabular}{c} +filtre de Reception\\ Gr(f) + \end{tabular} +}; + \node (E) [right= of Demod]{ + \begin{tabular}{c} +Egaliseur \\(E) + \end{tabular} +}; + \node (Decod)[right= of E]{Detecteur}; + \tikzset{every node/.style={}} + \draw (S) -- (CS) -- (CC) -- (CBB)-- (C) -- (A.1) (A.3) -- (Demod) -- (E) -- (Decod); + \draw[latex-] (A.4) -- ++(0,1) node[above]{Bruit}; + \end{tikzpicture} + \caption{Principe d'une chaine de transmission numérique} +\end{figure} +\begin{prop} +On considère que le canal de transmission est idéal: +\[ + h(t) = K. \delta(t-\tau) \text{ soit } H(f) = K.e^{-2j\pi f\tau} +\] +Alors : +\begin{itemize} +\item Signal en sortie du canal n'est pas déformé +\item Si l'impulsion du canal vérifie le critère de Nyquist, en se + placant au meme rythme d'échantillonnage T pour ensuite detecter les + différents niveau correspondant à un code m-aire. +\end{itemize} +\end{prop} +\begin{rem} + Pour un canal quelconque on a le bruit , l'attenuation, une bande limitée... Tout cela peux conduire à une erreur de décodage sur les echantillons. + On place donc un \emph{egaliseur} pour compenser ces effets dans la chaine de reception du signal. +\end{rem} \section{Réglage de l'égaliseur} +\begin{rem} + Le rôle de l'égaliseur n'est pas le meme suivant le type de transmission (analogique/numérique). + \begin{itemize} + \item En transmission analogique on veux : + \[ + H(f).E(f) = exp(-2\pi f\tau) + \] + Pour compenser le retard dans le canal de transmission pour qu'il soit idéal du point de vue du recepteur. + \item Pour une transmission numérique : + Il faut que l'impulsion perçu respecte (après l'égaliseur)le premier critère de Nyquist. + \end{itemize} +\end{rem} +\begin{prop} +Pour respecter le critère de Nyquist en numérique il faut que: + \[ +\sum_{n} G\left(f-\frac{n}{T}\right) \cdot H\left(f-\frac{n}{T}\right) \cdot G_{r}\left(f-\frac{n}{T}\right) \cdot E\left(f-\frac{n}{T}\right)=T +\] +\end{prop} +\begin{rem} + POur une impulsion issue d'un filtre rectangulaire + \[ +G\left(f-\frac{n}{T}\right) . H\left(f-\frac{n}{T}\right) \cdot G_{r}\left(f-\frac{n}{T}\right) \cdot E\left(f-\frac{n}{T}\right)=T \cdot \operatorname{rect}_{1 / T}(f) +\] +\end{rem} +\begin{rem} + \begin{itemize} + \item Comme nous l’avons vu au chapitre précédent, on choisit plutôt + un impulsion de Nyquist. + \item L’égaliseur est implémenté numériquement + et s’apparente à un filtre numérique. + \item Différentes stratégies + d’optimisations sont possibles (Moindres carrés, adaptatifs, + etc...). +\end{itemize} +\end{rem} + +ajout sur le diagramme de l'oeil.... \end{document} %%% Local Variables: diff --git a/433-Electronique_transmission_numerique/Cours/chap26.tex b/433-Electronique_transmission_numerique/Cours/chap26.tex index 4516115..6987279 100644 --- a/433-Electronique_transmission_numerique/Cours/chap26.tex +++ b/433-Electronique_transmission_numerique/Cours/chap26.tex @@ -31,17 +31,182 @@ avec $b(t)$ brui blanc gaussien. \end{rem} \subsection{Exemple d'application} -\section{Introduction du rapport signal sur bruit} -\subsection{Cas d'un mot à $N$ digits} +\subsubsection{cas binaire antipolaire} +Pour une transmission binaire equiprobable ,où : +\begin{itemize} +\item $u(t_0) = +1V$,si le bit transmis est un $1_l$ +\item $u(t_0) = -1V$,si le bit transmis est un $0_l$ +\item ajout d'un bruit de variance $\sigma^2$. +\end{itemize} +On place le seuil de décision au centre (à $0V$) +La probabilité de faire une erreur est alors: +\[ +\epsilon = P(\text{tx} 0_l).P(\text{rx} 1_l) + P(\text{tx} 1_l).P(\text{rx} 0_l) +\] +Ce que l'on réecrit : +\[ +\epsilon = P(0_l).P(r(t_0)>0)+P(1_l).P(r(t_0)<0) +\] +\begin{align*} + \varepsilon=& \frac{1}{2} \times \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \left(-\frac{(x+\Delta / 2)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) d x \\ &+\frac{1}{2} \times \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \left(-\frac{(x-\Delta / 2)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) d x +\end{align*} +\[ + \begin{aligned} \varepsilon &=\frac{1}{2} \int_{\Delta / 2 \sigma}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2}\right) d x+\frac{1}{2} \int_{\Delta / 2 \sigma}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2}\right) d x \\ + &=\int_{\Delta / 2 \sigma}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2}\right) + \end{aligned} +\] +C'est la fonction de répartition complémentée de la loi normale. + +\begin{align*} G_{c}\left(\frac{\Delta}{2 \sigma}\right) &=\int_{\Delta / 2 \sigma}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2}\right) d x \\ &=1-\int_{-\infty}^{\Delta / 2 \sigma} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x)^{2}}{2}\right) d x \\ &=1-F\left(\frac{\Delta}{2 \sigma}\right) \end{align*} + +\begin{defin} + Dans les télecom on utlise les fonciton $erf$ et $erfc$ +\[ +\operatorname{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{x}^{+\infty} \exp \left(-r^{2}\right) d r=1-\operatorname{erf}(x) +\] +\end{defin} \begin{rem} - Waterfilling + On a : + \[ +G_{c}(x)=\frac{1}{2} \cdot \operatorname{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) +\] \end{rem} +\subsubsection{Code m-aire unipolaire} +soit un code $m$-aire unipolaire tel que: +\begin{itemize} +\item écrat entre niveaux uniforme vallant $\Delta$. +\item seuils de décision situés à $\Delta/2$. +\end{itemize} +\[ + \begin{aligned} \varepsilon=& p(0) \cdot \operatorname{prob}\left(u>\frac{\Delta}{2}\right)+p(m-1) \cdot \operatorname{prob}\left(u<-\frac{\Delta}{2}\right) \\ &+\sum_{k=1}^{m-2} p(k) \cdot \operatorname{prob}\left(|u| \geq \frac{\Delta}{2}\right) + \end{aligned} +\] + +avec $p(k)$ probabilité de transmettre le niveau $k$.pour des niveaux +equiprobables: +\[ +\varepsilon=\frac{2(m-1)}{m} . G_{c}\left(\frac{\Delta}{2 \sigma}\right)=\frac{(m-1)}{m} \cdot \operatorname{erfc}\left(\frac{\Delta}{2 \sqrt{2} \sigma}\right) +\] + +\section{Introduction du rapport signal sur bruit} +\paragraph{Rappel}: La puissance d'un signal aléatoire est: +\[ +S=\sum_{k=0}^{m-1} p(k) \cdot a_{k}^{2} +\] +Si tous les niveaux sont équiprobables et pour un écart constants entre +niveaux $\Delta$, on obtient : + +\begin{itemize} +\item pour les code $m$-aires unipolaires : $S=\frac{(m-1)(2 m-1)}{6} + \Delta^{2}$ +\item pour les cas antipolaires : + $S=\frac{m^{2}-1}{12} \Delta^{2}$ +\end{itemize} + + +\begin{prop} + Avec les calculs précédents on obtient: + \begin{itemize} + \item Cas unipolaire : + \[\varepsilon=\frac{2(m-1)}{m} . G_{c}\left(\sqrt{\frac{3}{2(m-1)(2 m-1)} \cdot \frac{S}{N}}\right)\] + \item cas antipolaire: + \[ +\varepsilon=\frac{2(m-1)}{m} \cdot G_{C}\left(\sqrt{\frac{3}{m^{2}-1} \cdot \frac{S}{N}}\right) +\] +\item Pour le binaire on a respectivement: + \[ + \epsilon_b = G_c\left(\sqrt{\frac{S}{2N}}\right) \text{ et } \epsilon_b = G_c\left(\sqrt{\frac{S}{N}}\right) + \] + \end{itemize} +\end{prop} +\subsection{Cas d'un mot à $N$ digits} + +\begin{prop} + Soit un sytème de transmission dont le taux moyen d’erreur par élément binaire $\epsilon_b$ , avec lequel on transmet une information à l’aide de mots de longueur n (n digits), on peut dire : + \begin{itemize} + \item que la probabilité pour qu’un élément binaire soit juste est $(1 - \epsilon b )$ + \item que la probabilité que tous les éb du mot, qui sont indépendants, soient justes, donc que le mot n’ait pas d’erreur, est $M(0) = (1 - \epsilon b )^n$ + \item que la probabilité pour qu’il n’y ait qu’une erreur (un seul élément binaire faux dans le mot) est $M(1) = n.\epsilon_b .(1 -\epsilon_b)^{n-1}$. + \item que la probabilité pour qu’il y ait k erreurs dans le mot (k0)=1-\left(1-\varepsilon_{b}\right)^{n}\simeq n\epsilon_b +\] +\item que la probabilité pour qu’il y ait plus d’une erreur dans le mot est: + \[ +M(>1)=1-\left(1-\varepsilon_{b}\right)^{n}-n \cdot \varepsilon_{b} \cdot\left(1-\varepsilon_{b}\right)^{n-1} +\]càd tous les cas possible +sauf ceux où il n’y a pas d’erreur et ceux où il n’y a qu’une erreur. + + +\end{itemize} +\end{prop} +\section{Filtre adapté (Optimisation du RSB)} +\subsection{Conception du filtre adpaté} + +On a vu que le BER est directement lié au RSB. L'objectif du filtre de réception est donc de maximiser le RSB à l'instant de prise de décision, on parle alors de filtre adapté. +\begin{prop} + Àl'instant de décision on a : + \[ + \frac{\mathcal{S}}{\mathcal{N}}= \frac{r^2(t_0+nT)}{E[b^2(t_0+nT)]} + \] + \begin{itemize} + \item $r(t) = g_r(t)\ast s(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}g_r(t-\tau)s(\tau)\d \tau$ + \item $b(t) = g_r(t)\ast n(t) $ + \item $n$ un BABG centrée et de variance $\sigma_n$. + \end{itemize} +\end{prop} + +On fait les hypothèses suivantes: +\begin{itemize} +\item L'égaliseur a parfaitement compensé l'effet du canal +\item Le sysytème est parfaitement synchronisé $\implies s(t_0+nT)\simeq g_e(t_0+nT)$ +\end{itemize} + + +\begin{defin} + \emph{Puissance de bruit} + +\[ + \begin{aligned} + \mathcal{N} &=\int_{-\infty}^{+\infty} \phi_{b b}(f) d f \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\left|G_{r}(f)\right|^{2} \phi_{n n}(f) d f \\ &=\frac{\sigma_{n}^{2}}{2} \int_{-\infty}^{+\infty}\left|g_{r}(\tau)\right|^{2} d f + \end{aligned} +\] +\emph{Puissance du signal} +\[ +r\left(t_{0}+n T\right)=\int_{-\infty}^{+\infty} g_{e}\left(t_{0}+n T-\tau\right) g_{r}(\tau) d \tau +\] +Puis +\[ +\begin{aligned} \mathcal{S}\left(t_{0}+n T\right) &=\left|r\left(t_{0}+n T\right)\right|^{2} \\ &=\left|\int_{-\infty}^{+\infty} g_{e}\left(t_{0}+n T-\tau\right) g_{r}(\tau) d \tau\right|^{2} \\ \end{aligned} +\] +\end{defin} +\begin{prop} + On a d'apres l'inégalité de Cauchy-Schwarz: + \[ + \mathcal{S}\left(t_{0}+n T\right) \leq \int_{-\infty}^{+\infty}\left|g_{e}\left(t_{0}+n T-\tau\right)\right|^{2} d \tau \times \int_{-\infty}^{+\infty}\left|g_{r}(\tau)\right|^{2} d \tau + \] + + La puissance sera maximale si $g_r(t) =C\times g_e^*(t_0+nT-\tau)$ avec $C$ une constante.On choisit donc cette expression pour le filtre adapté. + + On a le RSB suivant: + \[ +\mathcal{S} / \mathcal{N}=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}\left|g_{e}\left(t_{0}+n T-\tau\right)\right|^{2} d \tau}{\frac{\sigma_{0}^{2}}{2}} +\] +\end{prop} + +\subsection{Réalisation du filtre adapté} + +On réalise filtre adatpé en réalisatant une corrélation entre $g_e$ et $s$. Tout est très bien expliqué dans le cours de l'UE451. \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex -%%% TeX-master: "main" +%%% TeX-master: t %%% End: