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451-Signal_Image/Cours/estimateur.tex

@@ -286,7 +286,21 @@ Si $m \to\infty $ on montre que le MV est asymptotiquement efficace. (loi des gr
   \]
   $\tilde{\theta} \perp Y $ quand la puissance est minimale, $\tilde{\theta}$ et $Y$ sont décorrélées, on a extrait toute l'information commune.
   \end{prop}
+  \begin{figure}[H]\centering
 
+  \begin{tikzpicture}
+    \draw (-1,0,4.2) -- ++(0,0,-7) -- ++(5,0,0) -- ++(0,0,7) -- ++(-5,0,0)node[above,left]{\emph{
+        \begin{tabular}{c}
+          sous espace \\
+          d'observation
+        \end{tabular}}};
+    \draw[->,>=latex] (1,0,3) -- (1,0,1) node[left]{$y_1$};
+    \draw[->,>=latex] (1,0,3) -- (2,0,3) node[below]{$y_2$};
+    \draw[->,>=latex] (1,0,3) -- (2,0,2) node[right]{$\hat{\theta}$};
+    \draw[dashed] (2,0,2) -- node[midway,right]{$\tilde{\theta}$} (2,3,2)node{$\times$} node[above]{$\theta$};
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{Représentation des paramètres}
+\end{figure}
   De plus :
   \begin{align*}
     E[\tilde{\theta}Y^T]& =E[\tilde{\theta}(Y-m_Y)^T] \\
@@ -320,13 +334,30 @@ Si $m \to\infty $ on montre que le MV est asymptotiquement efficace. (loi des gr
   On prendra le plus souvent une \og bonne \fg{} fonction (continue, paire , croissante ...)
 \end{defin}
 
-\paragraph{Exemple de coût}
-\begin{itemize}
-\item quadratique
-\item Valeur absolue
-\item uniforme
-\end{itemize}
-% Insert graphique
+\paragraph{Exemple de coût} on représente les fonctions de coût usuelles:
+
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}[axis lines=middle,
+      xlabel={$\tilde{\theta}$},
+      ylabel={$C(\tilde{\theta})$},
+      ytick={0},
+      ymax=20,
+      xtick={-1,1},
+      xticklabels={$-\frac{\Delta}{2}$,$\frac{\Delta}{2}$},
+      legend pos=outer north east
+      ]
+      \addplot+[no marks]{0.8*x^2};
+      \addlegendentry{cout quadratique $|\tilde{\theta}|^2$}
+      \addplot+[no marks]{2*abs(x)};
+      \addlegendentry{cout en valeur absolue $|\tilde{\theta}|$}
+      \addplot+[no marks] coordinates{(-5,4)(-1,4)(-1,0)(1,0)(1,4)(5,4)};
+      \addlegendentry{cout uniforme $1 -\Pi_\Delta(\tilde{\theta})$}
+    \end{axis}
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{Représentation des fonctions de coût classique}
+\end{figure}
 
 \begin{defin}
   On appelle estimateur bayésiens l'estimateur qui minimise le coût moyen :