diff --git a/451-Signal_Image/Cours/estimateur.tex b/451-Signal_Image/Cours/estimateur.tex index 43a9704..afc9362 100644 --- a/451-Signal_Image/Cours/estimateur.tex +++ b/451-Signal_Image/Cours/estimateur.tex @@ -286,7 +286,21 @@ Si $m \to\infty $ on montre que le MV est asymptotiquement efficace. (loi des gr \] $\tilde{\theta} \perp Y $ quand la puissance est minimale, $\tilde{\theta}$ et $Y$ sont décorrélées, on a extrait toute l'information commune. \end{prop} + \begin{figure}[H]\centering + \begin{tikzpicture} + \draw (-1,0,4.2) -- ++(0,0,-7) -- ++(5,0,0) -- ++(0,0,7) -- ++(-5,0,0)node[above,left]{\emph{ + \begin{tabular}{c} + sous espace \\ + d'observation + \end{tabular}}}; + \draw[->,>=latex] (1,0,3) -- (1,0,1) node[left]{$y_1$}; + \draw[->,>=latex] (1,0,3) -- (2,0,3) node[below]{$y_2$}; + \draw[->,>=latex] (1,0,3) -- (2,0,2) node[right]{$\hat{\theta}$}; + \draw[dashed] (2,0,2) -- node[midway,right]{$\tilde{\theta}$} (2,3,2)node{$\times$} node[above]{$\theta$}; + \end{tikzpicture} + \caption{Représentation des paramètres} +\end{figure} De plus : \begin{align*} E[\tilde{\theta}Y^T]& =E[\tilde{\theta}(Y-m_Y)^T] \\ @@ -320,13 +334,30 @@ Si $m \to\infty $ on montre que le MV est asymptotiquement efficace. (loi des gr On prendra le plus souvent une \og bonne \fg{} fonction (continue, paire , croissante ...) \end{defin} -\paragraph{Exemple de coût} -\begin{itemize} -\item quadratique -\item Valeur absolue -\item uniforme -\end{itemize} -% Insert graphique +\paragraph{Exemple de coût} on représente les fonctions de coût usuelles: + +\begin{figure}[H] + \centering + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[axis lines=middle, + xlabel={$\tilde{\theta}$}, + ylabel={$C(\tilde{\theta})$}, + ytick={0}, + ymax=20, + xtick={-1,1}, + xticklabels={$-\frac{\Delta}{2}$,$\frac{\Delta}{2}$}, + legend pos=outer north east + ] + \addplot+[no marks]{0.8*x^2}; + \addlegendentry{cout quadratique $|\tilde{\theta}|^2$} + \addplot+[no marks]{2*abs(x)}; + \addlegendentry{cout en valeur absolue $|\tilde{\theta}|$} + \addplot+[no marks] coordinates{(-5,4)(-1,4)(-1,0)(1,0)(1,4)(5,4)}; + \addlegendentry{cout uniforme $1 -\Pi_\Delta(\tilde{\theta})$} + \end{axis} + \end{tikzpicture} + \caption{Représentation des fonctions de coût classique} +\end{figure} \begin{defin} On appelle estimateur bayésiens l'estimateur qui minimise le coût moyen :