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38f2abe05b
6 changed files with 235 additions and 149 deletions
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@ -1,7 +1,6 @@
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\documentclass[main.tex]{subfiles}
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\begin{document}
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\section{Concept du modèle d'état}
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\subsection{Définitions}
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@ -385,6 +384,26 @@ De plus,
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En pratique, soit $V\in \mathbb{K}^{n\times }$ inversible, tel que $V^{-1}AV = J$, $J\in \mathbb{K}^{n \times n}$ matrice de Jordan ou bien $J = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1...\lambda_n), \lambda_i$ valeurs propres de A
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||||
\begin{thm}[Exponentielle d'un bloc de Jordan]
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||||
On note $J_p(\lambda) \in \K^{p\times p}$ le $p$-ième bloc de jordan $
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\begin{bmatrix}
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||||
\lambda & 1& & \\
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||||
& \ddots & \ddots & \\
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& & \lambda & 1
|
||||
\end{bmatrix}$
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On a :
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\[
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||||
e^{J_p(\lambda)t} = e^{\lambda t}
|
||||
\begin{bmatrix}
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1 & t & \frac{t^2}{2} & \dots & \frac{t^p-1}{(p-1)!}&\frac{t^p}{p!} \\
|
||||
& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots &\frac{t^p-1}{(p-1)!}\\
|
||||
& & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
|
||||
& & & \ddots & \ddots & \frac{t^2}{2}\\
|
||||
& & & & \ddots & t\\
|
||||
& & & & & 1 \\
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\]
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||||
\end{thm}
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||||
\begin{prop}
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\[A^k = V J^k V^{-1}\] ou bien si $J = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1...\lambda_n)$, \[A^k = V \Lambda^k V^{-1} \]
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@ -392,12 +411,11 @@ En pratique, soit $V\in \mathbb{K}^{n\times }$ inversible, tel que $V^{-1}AV = J
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|||
\[ e^{tA} = e^{tVJV^{-1}} = V e^{tJ} V^{-1} \]
|
||||
ou si $J = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1...\lambda_n)$,
|
||||
\[ e^{tA} = V e^{t\Lambda}V^{-1} \]
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||||
|
||||
$\Lambda^k = \text{diag}(\lambda_i^k)$
|
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||||
$e^{t\Lambda} = \text{diag}(e^{t\lambda_i})$
|
||||
\end{prop}
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\subsubsection{Cas analogique}
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\begin{thm}
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||||
La solutions de l'équation d'état est:
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@ -452,6 +470,61 @@ k=1 & x_2 = & A_dx_1 + B_du_1 \\
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||||
\subsection{Modèle d'état pour quelques associations de systèmes (TD1)}
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\newpage
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\section{Stabilité}
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||||
\subsection{Concept de stabilité}
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\emph{sur le poly}
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||||
On étudie la stabilité d'un système dynamique au sens de \textsc{Lyapunov}.
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||||
\begin{defin}
|
||||
Un état d'équilibre du système autonome est un vecteur d'état, noté $x_e\in \K^n$ tel que
|
||||
\[
|
||||
A x_e =0
|
||||
\]
|
||||
\end{defin}
|
||||
|
||||
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||||
\begin{defin}
|
||||
Un point d'équilibre $x_e,u_e$ est :
|
||||
\begin{description}
|
||||
\item[ - simplement stable] ~\\
|
||||
si pour tout voisinage $V_1$ de $x_e$, il existe un voisinage $V_2$ tel que $\forall x_0 \in V_2, \forall t, x(t) \in V_1 $
|
||||
\item[- asymptotiquement stable]~\\
|
||||
Si il existe un voisinage $V_1$ de $x_e$ tel que $\forall x_0 \in V_1$, $x(t)\xrightarrow[t\to\infty]{} x_e$
|
||||
\item[- globalement asymptotiquement stable] ~\\
|
||||
si $\forall x_0$, $x(t)\xrightarrow[t\to\infty]{} x_e$.
|
||||
\item[- instable] sinon
|
||||
\end{description}
|
||||
\end{defin}
|
||||
|
||||
\subsection{Caractérisation des différents type de stabilité}
|
||||
Soit $A \in \K^{n\times n}$ une matrice d'évolution d'un système $(\Sigma)$, de valeurs propres $\lambda_1, ..., \lambda_r$ deux à deux disctintes et de multiplicité algébrique (ordre des racines du polynome annulateur, taille des sous-espace propres) respectives $m_1, ... ,m_r $. on note $\nu_1 ,...,\nu_r$ les multiplicité géométrique (taille des sous-espaces caractéristiques \footnote{$\forall k\ge \nu_i , (A-\lambda_iI_n)^k = 0$})
|
||||
\begin{thm}[Stabilité analogique]
|
||||
La stabilité de l'origine (apres translation d'état) est donnée par :
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item si $\exists i $ tq $\Re(\lambda_i)>0 $ alors 0 est \textbf{instable}
|
||||
\item sinon:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item si $\forall i , \Re(\lambda_i)<0$ alors 0 est \textbf{globalement asymptotiquement stable}
|
||||
\item si $\exists j, \Re(\lambda_j) = 0 $ et $\nu_j>1$ alors 0 est \textbf{instable}
|
||||
\item si $\forall j, \Re(\lambda_j) = 0 $ et $\nu_j=1$ alors 0 est \textbf{stable sans être asymptotiquement stable}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{thm}
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||||
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||||
\begin{thm}[Stabilité numérique]
|
||||
La stabilité de l'origine (apres translation d'état) est donnée par :
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item si $\exists i $ tq $|\lambda_i| > 1 $ alors 0 est \textbf{instable}
|
||||
\item sinon:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item si $\forall i , |\lambda_i|<1$ alors 0 est \textbf{globalement asymptotiquement stable}
|
||||
\item si $\exists j, |\lambda_j| = 1 $ et $\nu_j>1$ alors 0 est \textbf{instable}
|
||||
\item si $\forall j, |\lambda_j| =1 $ et $\nu_j=1$ alors 0 est \textbf{stable sans être asymptotiquement stable}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{thm}
|
||||
\section{Commandabilité et observabilité}
|
||||
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||||
Problème : existe-t-il une commande $u(t)$ permettant de passer d'un point de fonctionnement à $t=t_1$ à un autre à $t=t_2$ ?
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||||
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@ -673,7 +746,6 @@ De même :
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\end{proof}
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\section{Relation modèle d'état / fonction de transfert}
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||||
\subsection{Modèle d'état vers fonction de transfert}
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@ -721,43 +793,6 @@ Or, $P_A(p) = det(p1_n-A)$. $Adj(p1_n-A)\in\K^{n\times n}[X]$ Les éléments de
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\emph{Voir polycopié}
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||||
\subsubsection*{Formes canoniques à matrice d'évolution compagnon}
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\paragraph{Exemple :} $4y^{(3)}(t)-2y^{(1)}(t)+8y(t) = 2u^{(1)}(t)-u(t)$\\
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||||
|
||||
On se ramène à une forme conforme au cours (coefficient de plus haut degré égal à 1) :
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||||
\[ y^{(3)}(t)-\frac{1}{2}y^{(1)}(t)+2y(t) = \frac{1}{2}u^{(1)}(t)-\frac{1}{4}u(t)\]
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
Forme compagnon horizontal de type I :
|
||||
\[ A_c = \left[\begin{array}{ccc}
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 1 \\
|
||||
-2 & 1/2 & 0
|
||||
\end{array} \right]
|
||||
\quad
|
||||
B_c = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\1 \end{array} \right] \]
|
||||
\[ C_c = [-1/4 \quad 1/2 \quad 0], \quad D=0\]
|
||||
|
||||
Forme compagnon horizontal de type II :
|
||||
\[ A_c = \left[\begin{array}{ccc}
|
||||
0 & 1/2 & -2 \\
|
||||
1 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & 0
|
||||
\end{array} \right]
|
||||
\quad
|
||||
B_c = \left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\0 \end{array} \right] \]
|
||||
\[ C_c = [0 \quad 1/2 \quad -1/4] , \quad D=0\]
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
Forme compagnon vertical de type I :
|
||||
\[ A_o = \left[\begin{array}{ccc}
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
1/2 & 0 & 1 \\
|
||||
-2 & 0 & 0
|
||||
\end{array}\right]
|
||||
\quad
|
||||
B_o = \left[\begin{array}{c}-1/4 \\ 1/2 \\ 0 \end{array} \right] \]
|
||||
\[ C_c = [ 1\quad 0 \quad 0] , \quad D=0\]
|
||||
|
||||
\subsubsection*{Forme modale (pôles simples)}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
|
|
@ -780,8 +815,136 @@ y & = [1/\gamma_1 \quad 1/\gamma_2 \quad 1/\gamma_3]x_m+0, \quad \forall \gamma_
|
|||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\subsection{Changement de base vers une forme canonique}
|
||||
\subsubsection{Forme canonique de commandabilité}
|
||||
\begin{defin}
|
||||
Pour un système $(\Sigma)$ la forme canonique de commandabilité est :
|
||||
\[ \begin{array}{ll}
|
||||
A_c =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\
|
||||
\vdots & \ddots & \ddots &\ddots & \vdots \\
|
||||
\vdots & & \ddots &\ddots & 0 \\
|
||||
0 & \cdots & \cdots &0 &1 \\
|
||||
-a_0 &-a_1 & \cdots &-a_{n-2} &-a_{n-1} \\
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
& B_c =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
0 \\
|
||||
\vdots \\
|
||||
\vdots \\
|
||||
0 \\
|
||||
1
|
||||
\end{bmatrix} \\
|
||||
C_c =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\quad b_0 & \quad b_1& \cdots & \quad b_{n-2} & \quad b_{n-1}
|
||||
\end{bmatrix} &
|
||||
D_c = D
|
||||
\end{array}
|
||||
\]
|
||||
$A_c$ est une matrice compagnon horizontale de type I .
|
||||
|
||||
\end{defin}
|
||||
\paragraph{Détermination de la matrice de passage}~\\
|
||||
On cherche M tel que $M^{-1}AM = A_c $ et $ M^{-1}B = B_c$ . En décrivant $M$ par ses colonnes : $M =\vect{ m_1 & ... & m_n}$ on a :
|
||||
\[
|
||||
m_n = B
|
||||
\]
|
||||
et \[\left\{
|
||||
\begin{array}{rl}
|
||||
m_{n-1}-a_{n-1}B &= AB \\
|
||||
m_{n-2}-a_{n-2}B &= Am_{n_1}\\
|
||||
&\vdots\\
|
||||
m_1- a_1 B &= A m_2\\
|
||||
-a_0B &= Am_1
|
||||
\end{array}\right.
|
||||
\]
|
||||
Soit encore :
|
||||
\[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
m_{n-1} &= (A+a_{n-1}I_n)B \\
|
||||
m_{n-2} &= (A^2+a_{n-1}A +a_{n-2}I_n)B \\
|
||||
&\vdots\\
|
||||
m_{1} &= (A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+ ... + a_1A + a_0 I_n)B
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
\begin{prop}
|
||||
La matrice $M$ est une matrice de changement de base vers la forme canonique de commandabilité si et seulement si:
|
||||
\[
|
||||
rg(M)) = rg(\vect{B & AB & \cdots & A^{n-1} &B}) =rg(\mathcal{C}(A,B) = n
|
||||
\]
|
||||
Cette matrice est donc inversible ssi le système est commandable.
|
||||
\end{prop}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\subsubsection{Forme canonique d'observabilité}
|
||||
|
||||
\begin{defin}
|
||||
Pour un système $(\Sigma)$ la forme canonique de commandabilité est :
|
||||
\[ \begin{array}{ll}
|
||||
A_c =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
-a_{n-1} & 1 & 0 & \dots & 0 \\
|
||||
-a_{n-2} & 0 & \ddots &\ddots &\vdots \\
|
||||
\vdots & \vdots & \ddots & 1& 0 \\
|
||||
-a_{1} & 0 & \cdots &0 &1 \\
|
||||
-a_0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
& B_c =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
b_{n-1} \\
|
||||
b_{n-2} \\
|
||||
\vdots \\
|
||||
b_{1} \\
|
||||
b_{0}
|
||||
\end{bmatrix} \\
|
||||
C_o =
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\quad1_{~}&\quad0& \cdots & \cdots & 0
|
||||
\end{bmatrix} &
|
||||
D_o = D
|
||||
\end{array}
|
||||
\]
|
||||
$A_c$ est une matrice compagnon verticale de type I .
|
||||
|
||||
\end{defin}
|
||||
|
||||
\paragraph{Détermination de la matrice de passage}~\\
|
||||
On cherche M tel que $M^{-1}AM = A_o $ et $ CM = C_oM$ . Soit egalement:
|
||||
\[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
M^{-1}A = A_oM^{-1}\\
|
||||
C = C_0M^{-1}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
On pose $T=M^{-1}$ alors , en décrivant la matrice suivant ces $n$ lignes
|
||||
$T= vect{t_1 \\ t_2 \\ \vdots \\ t_n\\ }$
|
||||
\[
|
||||
t_1 = C
|
||||
\]
|
||||
et
|
||||
\[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
t_2 &= C(A+a_{n-1}I_n) \\
|
||||
t_3 &= C(A^2+a_{n-1}A +a_{n-2}I_n) \\
|
||||
&\vdots\\
|
||||
t_{n} &= C(A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+ ... + a_1 I_n)
|
||||
-a_0 C =t_nA
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{prop}
|
||||
La matrice $T$ est une matrice de changement de base vers la forme canonique d'observabilité si et seulement si
|
||||
\[
|
||||
rg(T) = rg(\vect{C& CA& ...& CA^{n-1}}^T) =rg(\mathcal{O}(C,A) = n
|
||||
\]
|
||||
Cette matrice est donc inversible ssi le système est commandable.
|
||||
\end{prop}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsubsection{forme modale}
|
||||
|
||||
\emph{Voir polycopié}
|
||||
|
||||
\subsection{Dualité observation-commande}
|
||||
\[ (S) :
|
||||
|
|
@ -796,8 +959,9 @@ y & = Cx+Du
|
|||
\[G(s) = C(s1_n-A)^{-1}B+D \in \R[X]\]
|
||||
$G(s)$ est scalaire, donc en transposant ($G(s)=G(s)^T, D=D^T$) :
|
||||
\[G(s) = B^T(s1_n-A)^{-1}C^T+D \in \R[X]\]
|
||||
|
||||
Ainsi, $\exists \tilde{x}\in \R^n$ tel que
|
||||
\begin{defin}
|
||||
On a donc forme duale du modèle d'état (monovariable uniquement).
|
||||
$\exists \tilde{x}\in \R^n$ tel que
|
||||
\[ (S) :
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{array}{ll}
|
||||
|
|
@ -807,8 +971,7 @@ y & = B^T\tilde{x}+Du
|
|||
\right.
|
||||
\]
|
||||
|
||||
C'est la forme duale du modèle d'état (monovariable uniquement).
|
||||
|
||||
\end{defin}
|
||||
\subsection{Commandabilité et observabilité pour les formes canoniques}
|
||||
|
||||
Une forme canonique :
|
||||
|
|
@ -1236,7 +1399,7 @@ La dynamique du système $(\Sigma)$ bouclé au correcteur est donné par l'union
|
|||
\end{itemize}
|
||||
\end{prop}
|
||||
|
||||
|
||||
\newpage
|
||||
\section{Modèle d'état d'un système analogique discrétisé par un CNA-BOZ}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
|
|
@ -1264,7 +1427,7 @@ Pour $(\Sigma)$ on a :
|
|||
x(t) &= e^{tA}x_0 + \int_0^t e^{(t-\tau)A}Bu(\tau)d\tau
|
||||
\intertext{Pour $t=kT_e$}
|
||||
x_k &= e^{kT_eA}x_0 + \int_0^{kT_e} e^{(kT_e-\tau)A}Bu(\tau)d\tau\\
|
||||
\intertext{Alors}
|
||||
\intertext{}
|
||||
x_{k+1} &= e^{T_eA}\left(e^{kT_eA}x_0+ \int_0^{kT_e} e^{(kT_e-\tau)A}Bu(\tau)d\tau+ \int_{kT_e}^{(k+1)T_e} e^{(kT_e-\tau)A}Bu(\tau)d\tau \right) \\
|
||||
x_{k+1} &= e^{T_eA}\left(x_k - \int_0^{-T_e} e^{\sigma A}Bu_kd\sigma \right) \\
|
||||
x_{k+1} &= \underbracket{e^{T_eA}}_{A_d}x_k + \underbracket{\int_0^{T_e} e^{\sigma A}Bd\sigma}_{B_d} u_k
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -1,38 +1,11 @@
|
|||
\documentclass[12pt,a4paper,french]{book}
|
||||
% Packages
|
||||
\usepackage[utf8x]{inputenc} % encodage
|
||||
\usepackage{mathtools} % math
|
||||
\usepackage{cancel} % rayer des trucs en maths
|
||||
\usepackage{amsfonts} % math
|
||||
\usepackage{amssymb} % math
|
||||
\usepackage{mathrsfs}
|
||||
\usepackage{graphicx} % pour inserer des graphiques
|
||||
\usepackage[french]{babel} % pour ecrire en francais
|
||||
\usepackage[left=2.00cm, right=2.00cm, top=3.00cm, bottom=3.00cm]{geometry} % la mise en page
|
||||
\usepackage{fancyhdr} % la mise en page
|
||||
\usepackage[dvipsnames,x11names]{xcolor} % Un peu de couleur !
|
||||
\usepackage{float}
|
||||
\usepackage{subcaption}
|
||||
\usepackage{enumitem}
|
||||
\usepackage{multicol}
|
||||
\usepackage{subfiles} % Gere les sous-fichier
|
||||
\usepackage{hyperref} % Creer des lien dans le pdf, en particulier sur la table des matières
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
\usetikzlibrary{fit}
|
||||
\usetikzlibrary{positioning}
|
||||
\usepackage{schemabloc}
|
||||
\usepackage{circuitikz}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\documentclass{../../cours}
|
||||
\usepackage{../../raccourcis}
|
||||
\usepackage{../../boites}
|
||||
\hypersetup{
|
||||
colorlinks = true,
|
||||
linkcolor=.,
|
||||
}
|
||||
\usepackage{multicol}
|
||||
% Mise en page
|
||||
\title{421 - Controle de processus}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{3}
|
||||
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}
|
||||
\title{Notes de Cours}
|
||||
\author{Pierre-Antoine Comby}
|
||||
\teacher{Samy Tliba}
|
||||
\module{421}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -1,36 +1,11 @@
|
|||
\documentclass[12pt,a4paper,french]{book}
|
||||
% Packages
|
||||
\usepackage[utf8x]{inputenc} % encodage
|
||||
\usepackage{mathtools} % math
|
||||
\usepackage{cancel} % rayer des trucs en maths
|
||||
\usepackage{amsfonts} % math
|
||||
\usepackage{amssymb} % math
|
||||
\usepackage{mathrsfs}
|
||||
\usepackage{graphicx} % pour inserer des graphiques
|
||||
\usepackage[french]{babel} % pour ecrire en francais
|
||||
\usepackage[left=2.00cm, right=2.00cm, top=3.00cm, bottom=3.00cm]{geometry} % la mise en page
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||||
\usepackage{fancyhdr} % la mise en page
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||||
\usepackage[dvipsnames,x11names]{xcolor} % Un peu de couleur !
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||||
\usepackage{float}
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||||
\usepackage{subcaption}
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||||
\usepackage{enumitem}
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||||
\usepackage{multicol}
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||||
\usepackage{subfiles} % Gere les sous-fichier
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||||
\usepackage{hyperref} % Creer des lien dans le pdf, en particulier sur la table des matières
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||||
\usepackage{tikz}
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||||
\usepackage{schemabloc}
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||||
\usepackage[european,cuteinductors,siunitx,straightvoltages]{circuitikz}
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||||
\usepackage{pgfplots}
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||||
\documentclass{../../cours}
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||||
\usepackage{../../raccourcis}
|
||||
\usepackage{../../boites}
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||||
\hypersetup{
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||||
colorlinks = true,
|
||||
linkcolor=.,
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}
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% Mise en page
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\title{431 - Système de transmission d'information}
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\setcounter{secnumdepth}{3}
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\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}
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||||
\title{Notes de Cours}
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\author{Pierre-Antoine Comby}
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\teacher{Eric Vourc'h \& Arnaud Bournel}
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\module{431}
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\begin{document}
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@ -1,38 +1,12 @@
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\documentclass[12pt,a4paper,french]{book}
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% Packages
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\usepackage[utf8x]{inputenc} % encodage
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\usepackage{mathtools} % math
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||||
\usepackage{cancel} % rayer des trucs en maths
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||||
\usepackage{amsfonts} % math
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||||
\usepackage{amssymb} % math
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||||
\usepackage{mathrsfs}
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||||
\usepackage{graphicx} % pour inserer des graphiques
|
||||
\usepackage[french]{babel} % pour ecrire en francais
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||||
\usepackage[left=2.00cm, right=2.00cm, top=3.00cm, bottom=3.00cm]{geometry} % la mise en page
|
||||
\usepackage{fancyhdr} % la mise en page
|
||||
\usepackage[dvipsnames,x11names]{xcolor} % Un peu de couleur !
|
||||
\usepackage{float}
|
||||
\usepackage{subcaption}
|
||||
\usepackage{enumitem}
|
||||
\usepackage{multicol}
|
||||
\usepackage{subfiles} % Gere les sous-fichier
|
||||
\usepackage{hyperref} % Creer des lien dans le pdf, en particulier sur la table des matières
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
\usetikzlibrary{fit}
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||||
\usetikzlibrary{positioning}
|
||||
\usepackage{schemabloc}
|
||||
\usepackage{circuitikz}
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\documentclass{../../cours}
|
||||
\usepackage{../../raccourcis}
|
||||
\usepackage{../../boites}
|
||||
\hypersetup{
|
||||
colorlinks = true,
|
||||
linkcolor=.,
|
||||
}
|
||||
|
||||
% Mise en page
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||||
\title{451 - Signal et Image}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{3}
|
||||
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}
|
||||
\title{Notes de Cours}
|
||||
\author{Pierre-Antoine Comby}
|
||||
\teacher{Cécile Durieu}
|
||||
\module{451}
|
||||
\usepackage{multicol}
|
||||
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||||
\begin{document}
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@ -1,7 +1,9 @@
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#!/bin/sh
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#!/bin/bash
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# Pour compiler tous les fichiers sources du dépot:
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find . -name "main.tex" -execdir latexmk -pdf -e '$latex=q/latex %O -shell-escape %S/' {} \;
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#clean up :
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rm -f **/*.aux **/*.log
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shopt -s globstar
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rm -f **/*.aux **/*.log **/*.out
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@ -3,7 +3,7 @@
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%ensembles usuels
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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
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\renewcommand{\C}{\mathbb{C}}
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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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@ -12,7 +12,6 @@
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\newcommand{\Lin}{\mathcal{L}}
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\newcommand{\Img}{\text{Im}}
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\newcommand{\Ker}{\text{Ker}}
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\newcommand{\A}{\text{A}}
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\newcommand{\B}{\text{B}}
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\newcommand{\fromatob}{\A\to\B}
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Loading…
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