From 38f2abe05bf289751f94bd61fa06a1718da47327 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Pierre-antoine Comby Date: Wed, 9 Jan 2019 20:46:09 +0100 Subject: [PATCH] Adapt preamble --- 421-Controle_processus/Cours/chap4.tex | 259 +++++++++++++++---- 421-Controle_processus/Cours/main.tex | 39 +-- 431-Electronique_transmission/Cours/main.tex | 37 +-- 451-Signal_Image/Cours/main.tex | 40 +-- compile.sh | 6 +- raccourcis.sty | 3 +- 6 files changed, 235 insertions(+), 149 deletions(-) diff --git a/421-Controle_processus/Cours/chap4.tex b/421-Controle_processus/Cours/chap4.tex index f885346..0462901 100644 --- a/421-Controle_processus/Cours/chap4.tex +++ b/421-Controle_processus/Cours/chap4.tex @@ -1,7 +1,6 @@ \documentclass[main.tex]{subfiles} \begin{document} - \section{Concept du modèle d'état} \subsection{Définitions} @@ -385,6 +384,26 @@ De plus, En pratique, soit $V\in \mathbb{K}^{n\times }$ inversible, tel que $V^{-1}AV = J$, $J\in \mathbb{K}^{n \times n}$ matrice de Jordan ou bien $J = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1...\lambda_n), \lambda_i$ valeurs propres de A +\begin{thm}[Exponentielle d'un bloc de Jordan] + On note $J_p(\lambda) \in \K^{p\times p}$ le $p$-ième bloc de jordan $ + \begin{bmatrix} + \lambda & 1& & \\ + & \ddots & \ddots & \\ + & & \lambda & 1 + \end{bmatrix}$ + On a : + \[ + e^{J_p(\lambda)t} = e^{\lambda t} + \begin{bmatrix} + 1 & t & \frac{t^2}{2} & \dots & \frac{t^p-1}{(p-1)!}&\frac{t^p}{p!} \\ + & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots &\frac{t^p-1}{(p-1)!}\\ + & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ + & & & \ddots & \ddots & \frac{t^2}{2}\\ + & & & & \ddots & t\\ + & & & & & 1 \\ + \end{bmatrix} + \] +\end{thm} \begin{prop} \[A^k = V J^k V^{-1}\] ou bien si $J = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1...\lambda_n)$, \[A^k = V \Lambda^k V^{-1} \] @@ -392,12 +411,11 @@ En pratique, soit $V\in \mathbb{K}^{n\times }$ inversible, tel que $V^{-1}AV = J \[ e^{tA} = e^{tVJV^{-1}} = V e^{tJ} V^{-1} \] ou si $J = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1...\lambda_n)$, \[ e^{tA} = V e^{t\Lambda}V^{-1} \] - $\Lambda^k = \text{diag}(\lambda_i^k)$ - $e^{t\Lambda} = \text{diag}(e^{t\lambda_i})$ \end{prop} + \subsubsection{Cas analogique} \begin{thm} La solutions de l'équation d'état est: @@ -452,6 +470,61 @@ k=1 & x_2 = & A_dx_1 + B_du_1 \\ \subsection{Modèle d'état pour quelques associations de systèmes (TD1)} +\newpage +\section{Stabilité} + +\subsection{Concept de stabilité} +\emph{sur le poly} +On étudie la stabilité d'un système dynamique au sens de \textsc{Lyapunov}. + +\begin{defin} + Un état d'équilibre du système autonome est un vecteur d'état, noté $x_e\in \K^n$ tel que + \[ + A x_e =0 + \] +\end{defin} + + +\begin{defin} + Un point d'équilibre $x_e,u_e$ est : + \begin{description} + \item[ - simplement stable] ~\\ + si pour tout voisinage $V_1$ de $x_e$, il existe un voisinage $V_2$ tel que $\forall x_0 \in V_2, \forall t, x(t) \in V_1 $ + \item[- asymptotiquement stable]~\\ + Si il existe un voisinage $V_1$ de $x_e$ tel que $\forall x_0 \in V_1$, $x(t)\xrightarrow[t\to\infty]{} x_e$ + \item[- globalement asymptotiquement stable] ~\\ + si $\forall x_0$, $x(t)\xrightarrow[t\to\infty]{} x_e$. + \item[- instable] sinon + \end{description} +\end{defin} + +\subsection{Caractérisation des différents type de stabilité} +Soit $A \in \K^{n\times n}$ une matrice d'évolution d'un système $(\Sigma)$, de valeurs propres $\lambda_1, ..., \lambda_r$ deux à deux disctintes et de multiplicité algébrique (ordre des racines du polynome annulateur, taille des sous-espace propres) respectives $m_1, ... ,m_r $. on note $\nu_1 ,...,\nu_r$ les multiplicité géométrique (taille des sous-espaces caractéristiques \footnote{$\forall k\ge \nu_i , (A-\lambda_iI_n)^k = 0$}) +\begin{thm}[Stabilité analogique] + La stabilité de l'origine (apres translation d'état) est donnée par : + \begin{itemize} + \item si $\exists i $ tq $\Re(\lambda_i)>0 $ alors 0 est \textbf{instable} + \item sinon: + \begin{itemize} + \item si $\forall i , \Re(\lambda_i)<0$ alors 0 est \textbf{globalement asymptotiquement stable} + \item si $\exists j, \Re(\lambda_j) = 0 $ et $\nu_j>1$ alors 0 est \textbf{instable} + \item si $\forall j, \Re(\lambda_j) = 0 $ et $\nu_j=1$ alors 0 est \textbf{stable sans être asymptotiquement stable} + \end{itemize} + \end{itemize} +\end{thm} + +\begin{thm}[Stabilité numérique] + La stabilité de l'origine (apres translation d'état) est donnée par : + \begin{itemize} + \item si $\exists i $ tq $|\lambda_i| > 1 $ alors 0 est \textbf{instable} + \item sinon: + \begin{itemize} + \item si $\forall i , |\lambda_i|<1$ alors 0 est \textbf{globalement asymptotiquement stable} + \item si $\exists j, |\lambda_j| = 1 $ et $\nu_j>1$ alors 0 est \textbf{instable} + \item si $\forall j, |\lambda_j| =1 $ et $\nu_j=1$ alors 0 est \textbf{stable sans être asymptotiquement stable} + \end{itemize} + \end{itemize} +\end{thm} \section{Commandabilité et observabilité} Problème : existe-t-il une commande $u(t)$ permettant de passer d'un point de fonctionnement à $t=t_1$ à un autre à $t=t_2$ ? @@ -673,7 +746,6 @@ De même : \end{proof} - \section{Relation modèle d'état / fonction de transfert} \subsection{Modèle d'état vers fonction de transfert} @@ -721,43 +793,6 @@ Or, $P_A(p) = det(p1_n-A)$. $Adj(p1_n-A)\in\K^{n\times n}[X]$ Les éléments de \emph{Voir polycopié} -\subsubsection*{Formes canoniques à matrice d'évolution compagnon} -\paragraph{Exemple :} $4y^{(3)}(t)-2y^{(1)}(t)+8y(t) = 2u^{(1)}(t)-u(t)$\\ - -On se ramène à une forme conforme au cours (coefficient de plus haut degré égal à 1) : -\[ y^{(3)}(t)-\frac{1}{2}y^{(1)}(t)+2y(t) = \frac{1}{2}u^{(1)}(t)-\frac{1}{4}u(t)\] - -\begin{multicols}{2} -Forme compagnon horizontal de type I : -\[ A_c = \left[\begin{array}{ccc} -0 & 1 & 0 \\ -0 & 0 & 1 \\ --2 & 1/2 & 0 -\end{array} \right] -\quad -B_c = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\1 \end{array} \right] \] -\[ C_c = [-1/4 \quad 1/2 \quad 0], \quad D=0\] - -Forme compagnon horizontal de type II : -\[ A_c = \left[\begin{array}{ccc} -0 & 1/2 & -2 \\ -1 & 0 & 0 \\ -0 & 1 & 0 -\end{array} \right] -\quad -B_c = \left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\0 \end{array} \right] \] -\[ C_c = [0 \quad 1/2 \quad -1/4] , \quad D=0\] -\end{multicols} - -Forme compagnon vertical de type I : -\[ A_o = \left[\begin{array}{ccc} -0 & 1 & 0 \\ -1/2 & 0 & 1 \\ --2 & 0 & 0 -\end{array}\right] -\quad -B_o = \left[\begin{array}{c}-1/4 \\ 1/2 \\ 0 \end{array} \right] \] -\[ C_c = [ 1\quad 0 \quad 0] , \quad D=0\] \subsubsection*{Forme modale (pôles simples)} \begin{align*} @@ -780,8 +815,136 @@ y & = [1/\gamma_1 \quad 1/\gamma_2 \quad 1/\gamma_3]x_m+0, \quad \forall \gamma_ \end{align*} \subsection{Changement de base vers une forme canonique} +\subsubsection{Forme canonique de commandabilité} +\begin{defin} + Pour un système $(\Sigma)$ la forme canonique de commandabilité est : +\[ \begin{array}{ll} + A_c = + \begin{bmatrix} + 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ + \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & \vdots \\ + \vdots & & \ddots &\ddots & 0 \\ + 0 & \cdots & \cdots &0 &1 \\ + -a_0 &-a_1 & \cdots &-a_{n-2} &-a_{n-1} \\ + \end{bmatrix} +& B_c = + \begin{bmatrix} + 0 \\ + \vdots \\ + \vdots \\ + 0 \\ + 1 + \end{bmatrix} \\ +C_c = + \begin{bmatrix} + \quad b_0 & \quad b_1& \cdots & \quad b_{n-2} & \quad b_{n-1} + \end{bmatrix} & +D_c = D + \end{array} + \] + $A_c$ est une matrice compagnon horizontale de type I . + +\end{defin} +\paragraph{Détermination de la matrice de passage}~\\ +On cherche M tel que $M^{-1}AM = A_c $ et $ M^{-1}B = B_c$ . En décrivant $M$ par ses colonnes : $M =\vect{ m_1 & ... & m_n}$ on a : +\[ +m_n = B +\] +et \[\left\{ + \begin{array}{rl} + m_{n-1}-a_{n-1}B &= AB \\ + m_{n-2}-a_{n-2}B &= Am_{n_1}\\ + &\vdots\\ + m_1- a_1 B &= A m_2\\ + -a_0B &= Am_1 + \end{array}\right. +\] +Soit encore : +\[ + \begin{cases} + m_{n-1} &= (A+a_{n-1}I_n)B \\ + m_{n-2} &= (A^2+a_{n-1}A +a_{n-2}I_n)B \\ +&\vdots\\ + m_{1} &= (A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+ ... + a_1A + a_0 I_n)B + \end{cases} +\] +\begin{prop} + La matrice $M$ est une matrice de changement de base vers la forme canonique de commandabilité si et seulement si: + \[ + rg(M)) = rg(\vect{B & AB & \cdots & A^{n-1} &B}) =rg(\mathcal{C}(A,B) = n + \] + Cette matrice est donc inversible ssi le système est commandable. +\end{prop} + + + +\subsubsection{Forme canonique d'observabilité} + +\begin{defin} + Pour un système $(\Sigma)$ la forme canonique de commandabilité est : +\[ \begin{array}{ll} + A_c = + \begin{bmatrix} + -a_{n-1} & 1 & 0 & \dots & 0 \\ + -a_{n-2} & 0 & \ddots &\ddots &\vdots \\ + \vdots & \vdots & \ddots & 1& 0 \\ + -a_{1} & 0 & \cdots &0 &1 \\ + -a_0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ + \end{bmatrix} +& B_c = + \begin{bmatrix} + b_{n-1} \\ + b_{n-2} \\ + \vdots \\ + b_{1} \\ + b_{0} + \end{bmatrix} \\ +C_o = + \begin{bmatrix} + \quad1_{~}&\quad0& \cdots & \cdots & 0 + \end{bmatrix} & +D_o = D + \end{array} + \] + $A_c$ est une matrice compagnon verticale de type I . + +\end{defin} + +\paragraph{Détermination de la matrice de passage}~\\ +On cherche M tel que $M^{-1}AM = A_o $ et $ CM = C_oM$ . Soit egalement: +\[ + \begin{cases} + M^{-1}A = A_oM^{-1}\\ + C = C_0M^{-1} + \end{cases} +\] +On pose $T=M^{-1}$ alors , en décrivant la matrice suivant ces $n$ lignes +$T= vect{t_1 \\ t_2 \\ \vdots \\ t_n\\ }$ +\[ +t_1 = C +\] +et +\[ + \begin{cases} + t_2 &= C(A+a_{n-1}I_n) \\ + t_3 &= C(A^2+a_{n-1}A +a_{n-2}I_n) \\ +&\vdots\\ + t_{n} &= C(A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+ ... + a_1 I_n) + -a_0 C =t_nA + \end{cases} +\] + +\begin{prop} + La matrice $T$ est une matrice de changement de base vers la forme canonique d'observabilité si et seulement si + \[ + rg(T) = rg(\vect{C& CA& ...& CA^{n-1}}^T) =rg(\mathcal{O}(C,A) = n + \] + Cette matrice est donc inversible ssi le système est commandable. +\end{prop} + + +\subsubsection{forme modale} -\emph{Voir polycopié} \subsection{Dualité observation-commande} \[ (S) : @@ -796,8 +959,9 @@ y & = Cx+Du \[G(s) = C(s1_n-A)^{-1}B+D \in \R[X]\] $G(s)$ est scalaire, donc en transposant ($G(s)=G(s)^T, D=D^T$) : \[G(s) = B^T(s1_n-A)^{-1}C^T+D \in \R[X]\] - -Ainsi, $\exists \tilde{x}\in \R^n$ tel que +\begin{defin} +On a donc forme duale du modèle d'état (monovariable uniquement). +$\exists \tilde{x}\in \R^n$ tel que \[ (S) : \left\{ \begin{array}{ll} @@ -807,8 +971,7 @@ y & = B^T\tilde{x}+Du \right. \] -C'est la forme duale du modèle d'état (monovariable uniquement). - +\end{defin} \subsection{Commandabilité et observabilité pour les formes canoniques} Une forme canonique : @@ -1236,7 +1399,7 @@ La dynamique du système $(\Sigma)$ bouclé au correcteur est donné par l'union \end{itemize} \end{prop} - +\newpage \section{Modèle d'état d'un système analogique discrétisé par un CNA-BOZ} \begin{center} \begin{tikzpicture} @@ -1264,7 +1427,7 @@ Pour $(\Sigma)$ on a : x(t) &= e^{tA}x_0 + \int_0^t e^{(t-\tau)A}Bu(\tau)d\tau \intertext{Pour $t=kT_e$} x_k &= e^{kT_eA}x_0 + \int_0^{kT_e} e^{(kT_e-\tau)A}Bu(\tau)d\tau\\ - \intertext{Alors} + \intertext{} x_{k+1} &= e^{T_eA}\left(e^{kT_eA}x_0+ \int_0^{kT_e} e^{(kT_e-\tau)A}Bu(\tau)d\tau+ \int_{kT_e}^{(k+1)T_e} e^{(kT_e-\tau)A}Bu(\tau)d\tau \right) \\ x_{k+1} &= e^{T_eA}\left(x_k - \int_0^{-T_e} e^{\sigma A}Bu_kd\sigma \right) \\ x_{k+1} &= \underbracket{e^{T_eA}}_{A_d}x_k + \underbracket{\int_0^{T_e} e^{\sigma A}Bd\sigma}_{B_d} u_k diff --git a/421-Controle_processus/Cours/main.tex b/421-Controle_processus/Cours/main.tex index 8fc58d2..bf0de50 100644 --- a/421-Controle_processus/Cours/main.tex +++ b/421-Controle_processus/Cours/main.tex @@ -1,38 +1,11 @@ -\documentclass[12pt,a4paper,french]{book} -% Packages -\usepackage[utf8x]{inputenc} % encodage -\usepackage{mathtools} % math -\usepackage{cancel} % rayer des trucs en maths -\usepackage{amsfonts} % math -\usepackage{amssymb} % math -\usepackage{mathrsfs} -\usepackage{graphicx} % pour inserer des graphiques -\usepackage[french]{babel} % pour ecrire en francais -\usepackage[left=2.00cm, right=2.00cm, top=3.00cm, bottom=3.00cm]{geometry} % la mise en page -\usepackage{fancyhdr} % la mise en page -\usepackage[dvipsnames,x11names]{xcolor} % Un peu de couleur ! -\usepackage{float} -\usepackage{subcaption} -\usepackage{enumitem} -\usepackage{multicol} -\usepackage{subfiles} % Gere les sous-fichier -\usepackage{hyperref} % Creer des lien dans le pdf, en particulier sur la table des matières -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{fit} -\usetikzlibrary{positioning} -\usepackage{schemabloc} -\usepackage{circuitikz} -\usepackage{pgfplots} +\documentclass{../../cours} \usepackage{../../raccourcis} -\usepackage{../../boites} -\hypersetup{ - colorlinks = true, - linkcolor=., - } +\usepackage{multicol} % Mise en page -\title{421 - Controle de processus} -\setcounter{secnumdepth}{3} -\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}} +\title{Notes de Cours} +\author{Pierre-Antoine Comby} +\teacher{Samy Tliba} +\module{421} \begin{document} diff --git a/431-Electronique_transmission/Cours/main.tex b/431-Electronique_transmission/Cours/main.tex index 28b8bd6..ad86c36 100644 --- a/431-Electronique_transmission/Cours/main.tex +++ b/431-Electronique_transmission/Cours/main.tex @@ -1,36 +1,11 @@ -\documentclass[12pt,a4paper,french]{book} -% Packages -\usepackage[utf8x]{inputenc} % encodage -\usepackage{mathtools} % math -\usepackage{cancel} % rayer des trucs en maths -\usepackage{amsfonts} % math -\usepackage{amssymb} % math -\usepackage{mathrsfs} -\usepackage{graphicx} % pour inserer des graphiques -\usepackage[french]{babel} % pour ecrire en francais -\usepackage[left=2.00cm, right=2.00cm, top=3.00cm, bottom=3.00cm]{geometry} % la mise en page -\usepackage{fancyhdr} % la mise en page -\usepackage[dvipsnames,x11names]{xcolor} % Un peu de couleur ! -\usepackage{float} -\usepackage{subcaption} -\usepackage{enumitem} -\usepackage{multicol} -\usepackage{subfiles} % Gere les sous-fichier -\usepackage{hyperref} % Creer des lien dans le pdf, en particulier sur la table des matières -\usepackage{tikz} -\usepackage{schemabloc} -\usepackage[european,cuteinductors,siunitx,straightvoltages]{circuitikz} -\usepackage{pgfplots} +\documentclass{../../cours} \usepackage{../../raccourcis} -\usepackage{../../boites} -\hypersetup{ - colorlinks = true, - linkcolor=., - } + % Mise en page -\title{431 - Système de transmission d'information} -\setcounter{secnumdepth}{3} -\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}} +\title{Notes de Cours} +\author{Pierre-Antoine Comby} +\teacher{Eric Vourc'h \& Arnaud Bournel} +\module{431} \begin{document} diff --git a/451-Signal_Image/Cours/main.tex b/451-Signal_Image/Cours/main.tex index 60477e1..10b6a3f 100644 --- a/451-Signal_Image/Cours/main.tex +++ b/451-Signal_Image/Cours/main.tex @@ -1,38 +1,12 @@ -\documentclass[12pt,a4paper,french]{book} -% Packages -\usepackage[utf8x]{inputenc} % encodage -\usepackage{mathtools} % math -\usepackage{cancel} % rayer des trucs en maths -\usepackage{amsfonts} % math -\usepackage{amssymb} % math -\usepackage{mathrsfs} -\usepackage{graphicx} % pour inserer des graphiques -\usepackage[french]{babel} % pour ecrire en francais -\usepackage[left=2.00cm, right=2.00cm, top=3.00cm, bottom=3.00cm]{geometry} % la mise en page -\usepackage{fancyhdr} % la mise en page -\usepackage[dvipsnames,x11names]{xcolor} % Un peu de couleur ! -\usepackage{float} -\usepackage{subcaption} -\usepackage{enumitem} -\usepackage{multicol} -\usepackage{subfiles} % Gere les sous-fichier -\usepackage{hyperref} % Creer des lien dans le pdf, en particulier sur la table des matières -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{fit} -\usetikzlibrary{positioning} -\usepackage{schemabloc} -\usepackage{circuitikz} -\usepackage{pgfplots} +\documentclass{../../cours} \usepackage{../../raccourcis} -\usepackage{../../boites} -\hypersetup{ - colorlinks = true, - linkcolor=., - } + % Mise en page -\title{451 - Signal et Image} -\setcounter{secnumdepth}{3} -\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}} +\title{Notes de Cours} +\author{Pierre-Antoine Comby} +\teacher{Cécile Durieu} +\module{451} +\usepackage{multicol} \begin{document} diff --git a/compile.sh b/compile.sh index eff0000..8e883bc 100755 --- a/compile.sh +++ b/compile.sh @@ -1,7 +1,9 @@ -#!/bin/sh +#!/bin/bash # Pour compiler tous les fichiers sources du dépot: find . -name "main.tex" -execdir latexmk -pdf -e '$latex=q/latex %O -shell-escape %S/' {} \; #clean up : -rm -f **/*.aux **/*.log + +shopt -s globstar +rm -f **/*.aux **/*.log **/*.out diff --git a/raccourcis.sty b/raccourcis.sty index a0b67f6..8b8c084 100755 --- a/raccourcis.sty +++ b/raccourcis.sty @@ -3,7 +3,7 @@ %ensembles usuels \newcommand{\R}{\mathbb{R}} -\newcommand{\C}{\mathbb{C}} +\renewcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} @@ -12,7 +12,6 @@ \newcommand{\Lin}{\mathcal{L}} \newcommand{\Img}{\text{Im}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} - \newcommand{\A}{\text{A}} \newcommand{\B}{\text{B}} \newcommand{\fromatob}{\A\to\B}