cours-m1-eea/453-Traitement_Image/Cours/chap2.tex

\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}
\emph{le poly distribué est très bien fait, ici il n'y aura que des prise de note et l'essentiel du cours}
\section{Philosophie et difficultés}
\subsection{Introduction}

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \sbEntree{x}
    \sbBlocL{H}{H}{x}
    \sbSumh{sum}{H}
    \sbRelier{H}{sum}
    \sbSortie{Y}{sum}
    \sbRelier{x}{H}
    \sbRelier{sum}{Y}
    \sbDecaleNoeudy[-3]{sum}{b}
    \sbRelier{b}{sum}
    \node[above] at (b){$b$};
    \node[left]at(x){$x$};
    \node[right]at(Y){$y$};
  \end{tikzpicture}
  \caption{Modélisation du problème direct}
\end{figure}

\paragraph{Méthode}
On fait des hypothèse sur $x$ pour déterminer $\hat{x}$ qui permette de reconstituer un $y$ proche de celui mesuré.

On a une connaissance parfaite des hypothèses que l'on a fait.

\subsection{Problème mal posé}
\begin{defin}
  Les \emph{Condition de Hadamard} permettent de savoir si un problème est bien posé.
  \begin{itemize}
  \item L'existence d'une solution quelques soit l'ensemble des donneés ${\cal Y} = Im(H)$
  \item L'unicité: $\Ker(H)=\{0\}$
  \item Continuité :lorsque l'erreur $\delta y $tend vers 0 ,$\delta x $ tend aussi vers 0.
  \end{itemize}
\end{defin}
\subsection{Discrétisation et linéarisation}
Pour $x\in\R^M $et $y\in\R^N$ on considère que $H$ est un opérateur linéaire.
\begin{prop}
  On note $p=rg(H)$
  \begin{itemize}
  \item $ p = N=M$ Alors $H$ bijectif, $\vec{\hat{x}} = H^{-1}\vec{y}$.
  \item $ p <M$ pas d'unicité mais on a :
    \[
      \vec{\hat{x}} =(\vec{H}^t(\vec{HH}^t)^{-1})\vec{y}
    \]
  \item $ p>M$ pas d'existance mais on peux trouver l'inverse généralisé
    \[
      \vec{\hat{x}} = (\vec{H}^t\vec{H})^{-1}\vec{H}^t\vec{y}
    \]
  \end{itemize}
\end{prop}
\newcommand{\vertiii}[1]{{\left\vert\kern-0.25ex\left\vert\kern-0.25ex\left\vert #1 
    \right\vert\kern-0.25ex\right\vert\kern-0.25ex\right\vert}}
\paragraph{Conditionnement de la matrice}
En ajoutant une erreur $\delta\vec{x}$ a$\hat{\vec{x}}$ on peux calculer comment la matrice $H$ ``amplifie le bruit''

\begin{defin}
  À partir de l'inverse généralisé on a :
  \[
    \|\delta x \| \leq \vertiii{(\vec{H}^t\vec{H})^{-1}} \vertiii{\vec{H}^t}
  \]
  avec $\vertiii{\vec{H}} = \sqrt{\max\{Sp(\vec{H})\}}$
  Alors on défini le nombre de condition:
  \[
    \delta x \le c \delta y
  \]
  Avec :
  \[
    c =\sqrt{\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}}}
  \]
\end{defin}


Si il y a un mauvais conditionnement, le bruit (qui est presente sur toutes les composantes de la base modale) est amplifié de manière disproportionnées sur certaine composantes.

\paragraph{Décomposition en valeur singulière tronquées} On réduit la matrice à ces plus grandes valeurs propres pour réduire le conditionnement
\[
  \tilde{\vec{H}}= \vec{U_t\Lambda_tV_t}
\]
L'estimateur devient :
\[
  \hat{\vec{x}} = (\tilde{\vec{H}^t}\tilde{\vec{H}})^{-1}\tilde{\vec{H}^t}\vec{y}
\]

\section{Quelques méthode d'inversion classique}
\section{Caractérisation statistique des estimateurs}
\section{Interprétation bayésienne}
\section{Application à un cas simple d'observation multiple}
\section{Application à la déconvolution problème d'optimisation}
\section{Application de ma méthodologie bayésienne}









\end{document}

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%%% End: