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TeX
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TeX
\documentclass[main.tex]{subfiles}
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\begin{document}
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Dans cette partie on étudie l'influence du canal sur le signal.
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\section{Caractéristique du canal}
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\label{sec:carac_canal}
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On choisit d'étudier un canal :
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\begin{itemize}
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\item linéarie et invariant (caractérisé par sa réponse impulsionnelle $g(t)$, sa réponse fréquentielle $G(f)$ ...)
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\item bruité par un bruit $n(t)$ additif.
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\item de type passe-bas et de bande $B$.
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\item associé à un filtre de réception de réponse impulsionnelle $g_r(t)$.
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\end{itemize}
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Le signal recu et filtré par le fitre de réception:
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\begin{align*}
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r(t) &= g_r(t) \star h(t) \star e(t) + g_r(t)\star n(t)\\
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&= g_r(t) \star h(t) \star \sum_{k}^{}a_kg(t-kT)+ b(t)
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&= \sum_{k}^{}a_ky(t-kT)+b(t)
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\end{align*}
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$b(t)$ représente la contribution totale du bruit après filtrage.
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\begin{prop}
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On considère que le bruit est additif blan gaussien (BABG) àmoyenne nulle et de variance $\sigma^2$
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\[_B(b) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{\frac{-b^2}{2\sigma^2}}\]
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\end{prop}
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\begin{prop}
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Le filtre de reception peux être optimiser afin de maximiser le rapport signal sur bruit après réception:
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\[
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G_r^{opt}=(G(f).H(f))^*
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\]
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\end{prop}
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\begin{proof}
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\end{proof}
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Ainsi après échantillonnage à l'instant de décision on a :
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\[
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r(t_0+nT) = \sum_{k}^{}a_ky(t_0+nT-kT)+b(t_0+nT)= d(t)
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\]
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soit:
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\[
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r(t_0+nT) = a_ny(t_0)+\sum_{k\neq n}^{}a_ky(t_0+(n-k)T)+b(t_0+nT)
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\]
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\begin{defin}
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On défini le terme d'interférence entre symbole comme:
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\[
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IES = \sum_{k\neq n}^{} a_k y(t_0+(n-k)T)
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\]
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Que l'on peux exprimer comme:
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\[
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\sum_{k\neq n}^{} a_k y(t_0+(n-k)T) = \sum_{k}^{}a_kg_r(t_0+nT)\star h(t_0+nT)\star g(t_0+(n-k)T)
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\]
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\end{defin}
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\begin{prop}
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En considérant un récepteur parfaitement synchronisé on souhaite qu'à l'instant de prise de décision :
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\[
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r(t_0+nT) = a_n y(t_0)+ b(t_0+nT)
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\]
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Soit $IES = 0 $
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\end{prop}
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\begin{rem}
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Dans le cas d'un filtre de réception optimal, et pour une synchronisation parfaite, l'annulation de l'IES consiste à choisir une forme d'impulsion compatible avec le canal et telle que l'IES soit nulle.
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\end{rem}
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\section{Premier critère du Nyquist}
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\begin{thm}[Critère de Nyquist]
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On ne peux pas transmettre sans IES un signal de rapidité de modulation $R = 1/T$ dans une bande inférieure à $1/2T$.
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Un canal respecntant le premier criètre de Nyquist est tel ue:
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\[
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B \ge \frac{1}{2T} = B_{Nyquist}
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\]
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\end{thm}
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\begin{defin}
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On appelle Bande de \textsc{Nyquist} la bande minimale pour une durée de symbole $T$.
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\[
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B_{Nyquist} = \frac{1}{2T}
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\]
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\end{defin}
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\begin{proof}
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On considère un canal décrit en \ref{sec:carac_canal}. Sans bruit on a :
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\[
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r(t_0+nT) = a_ny(t_0)+\sum_{k\neq n}^{}a_k y(t_0+(n-k)T)
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\]
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On souhaite obtenir:
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\[
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r(t_0+nT) = a_ny(t_0) \implies y(t_0+nT) =
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\begin{cases}
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y(t_0) & text{ pour } n = 0\\
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0 & \forall n \neq 0 \\
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\end{cases}
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\]
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En sortie de l'échantillonneur on a la prise de décision :
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\[
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d(t) = y(t)\sum_{n}^{}\delta(t-t_0-nT)
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\]
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Soit dans l'espace de Fourrier:
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\[
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D(f) = \frac{1}{T}Y(f-\frac{n}{T})e^{-j2\pi n t_0/T} \tag{(*)}
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\]
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De plus on a également:
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\[
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d(t) = \sum_{n}^{}y(t_0+nT)\delta(t-t_0-nT)
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\]
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Soit dans l'espace de Fourrier:
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\[
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D(f) = \sum_{n}^{}y(t_0+nT)e^{-j 2 \pi f(t_0+nT)} \tag{(**)}
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\]
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Par unicité de la transformée de Fourier on a :
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\[
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\sum_{n}^{}Y(f-\frac{n}{T}) e^{-j2\pi (f-n/T)t_0} = T y(t_0)
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\]
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alors:
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\[
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Y^{(t_0)}(f) = \frac{Y(f)}{y(t_0)}e^{j 2 \pi f t_0}
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\]
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Le premier critère de Nyquist s'écrit donc:
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\[
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\sum_{n}^{}Y^{(t_0)}(f-\frac{n}{T}) =T
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\]
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\end{proof}
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\section{Impulsion de Nyquist}
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\section{Capacité de canal}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "main"
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