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\documentclass[main.tex]{subfiles}
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\begin{document}
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Il s'agit de regarder la stabilité, la convergence vers un point d'équilibre,...\\
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On se place dans le cas présent en régime libre pour un système invariant, c'est à dire que $\dot{x} = f(x,u=0)$ et $y = g(x,u=0)$.\\
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\begin{rem}
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On pose $u=0$, car la stabilité et la dynamique du système sont des caractéristiques intrinsèques d'un système, donc indépendantes de l'entrée.\\
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\end{rem}
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Pour étudier la stabilité, on se place dans le plan de phase. Celui-ci permet de situer les points d'équilibres et de vérifier la stabilité. Sa dimension est égale au nombre de variables d'état.\\
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Ainsi, pour des systèmes du second ordre, on va avoir:
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\[\begin{matrix}
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x= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} &\text{et}& f(x)=\begin{pmatrix}f_1(x)\\f_2(x)\end{pmatrix}
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\end{matrix}\]
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L'espace des phases devient alors ici un plan de phase dans lequel on va rechercher les trajectoires.\\
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Dans la suite, on s'intéressera au cas de dimension deux pour positionner et comprendre le problème.\\
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\section{Méthode la plus utilisée : iso-clines}
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Pour cette méthode, il s'agit de poser :
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\begin{align*}
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\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{f_2(x)}{f_1(x)} = Cst \\
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\end{align*}
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C'est-à-dire de rechercher les points tel que la pente en $x$ est égale à une constante donnée.\\
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\begin{example}[Pendule inversé]
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Cas sans frottement : \[
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\begin{cases}
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x_1 &= \theta \\
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x_2 &= \dot{\theta}
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\end{cases}
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\Rightarrow
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\begin{cases}
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x_1 & =x_2\\
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x_2 & = -\frac{g}{l}sin(x_1)
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\end{cases}
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\]
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\smallbreak
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Les iso-clines vérifient donc :
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\begin{align*}
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\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{-\frac{g}{l}sin(x_1)}{x_2}\\
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&=C
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\intertext{donc les points décrivant la courbe ont pour équation:}
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x_2 &= -\frac{g}{lC}sin(x_1)
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\end{align*}
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On trace alors alors ces courbes pour différentes valeurs de constante et l'on obtient:
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.4]{1/graph2.png}
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\end{center}
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L'iso-cline donne la pente de la trajectoire, ainsi, en suivant les pentes données d'iso-cline en iso-cline, on peut remonter à la trajectoire.\\
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A noter que pour $C$ infini on est sur l'axe de $x_1$ et pour $C$ nul sur celui de $x_2$.\\
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\begin{rem}
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sans frottement on atteint un cycle limite tandis qu'avec frottement on tend bien vers l'origine.
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\end{rem}
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\end{example}
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\section{Point d'équilibre }
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Les points d'équilibre sont les solutions à l'équation $\dot{x}=0$.\\
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\begin{example}[Pendule simple]
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\begin{align*}
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\dot{x_1} = 0 &\Rightarrow x_2 =0\\
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\dot{x_2} = 0 &\Rightarrow x_1 = n\pi \text{ avec, } n\in \mathbb{Z}
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\end{align*}
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\end{example}
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\begin{rem}
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Dans le cas où le système L possède un point d'équilibre, i.e. si la matrice $A$ est inversible, il est unique et $x=0$. Par contre, un système N.L peut avoir plusieurs points d'équilibre.\end{rem}
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\section{Analyse qualitative du comportement}
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Soit le système LTI obtenu à partir de la linéarisation autour d'un point d'équilibre $x_0$.\\
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On dit que ce point d'équilibre est stable si c'est un point de convergence des trajectoire, ou instable si c'est un point de divergence des trajectoires.\\
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On étudie donc le système autour de son point d'équilibre, en linéarisant son équation autour de ce point. On a donc l'équation:
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\begin{align*}
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\delta \dot{x}&= A \delta x\\
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\text{où, } A&= \frac{\partial f(x)}{\partial x}|_{x=x_0} \text{ Jacobien de f en $x_0$}\\
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\text{et, }\delta x &= x-x_0
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\end{align*}
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\bigbreak
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\begin{rem}
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En N.L, la stabilité est associée aux points d'équilibre. Ainsi, un même système N.L peut avoir des points d'équilibre stables et instable.
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\end{rem}
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\begin{example}[Pendule] $x=\begin{pmatrix}2n\pi\\0\end{pmatrix}$ stable et $\begin{pmatrix}(2n+1)\pi\\0\end{pmatrix}$ instable.
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\end{example}
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L'analyse qualitative de la stabilité est faite par linéarisation.\\
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La trajectoire pour une condition initiale $\delta x_0$ est solution de l'équation différentielle précédente, ie \[\delta x(t) = M exp(Jt)M^{-1}\delta x_0\] où J est la matrice diagonale ou de Jordan de A, la matrice d'évolution, et M la matrice de vecteurs propres tel que : $M^{-1}AM = J$.\\
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\subsection{Cas $\mathbb{R}$}
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$J = \begin{pmatrix}
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\lambda_1 &0 \\0&\lambda_2
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\end{pmatrix}$ où $\lambda_1 \neq \lambda_2$\\
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On pose le changement de variable $\delta z = M^{-1}\delta x$ : Base Modale.\\ Donc on a $\delta z_0 = M^{-1}\delta x_0$ comme valeur initiales, d'où :
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\begin{align*}
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\delta z_1(t) &= e^{\lambda_1t}\delta z_{01}\\
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\delta z_2(t) &= e^{\lambda_2t}\delta z_{02}
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\end{align*}
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Ceci permet de tracer les trajectoires dans la base modale.\\
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\begin{enumerate}
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\item Dans le cas où $\lambda_2 < \lambda_1 < 0$ ou $0 < \lambda_1 < \lambda_2$, on obtient:
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.5]{1/graph3.png}
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\end{center}
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D'un coté on à la convergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$ et de l'autre la divergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$. On a un noeud qui est donc soit stable soit instable.\\
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\item Dans le cas où $\lambda_2 < 0 < \lambda_1 $, on obtient:
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.5]{1/graph4.png}
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\end{center}
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On est dans un cas instable et il n'y a pas de point d'équilibre.\\
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\item Dans le cas ou $\lambda_1 = 0$, on a:
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\begin{align*}
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\delta z_1 &= \delta z_{01}\\
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\delta z_2 &= e^{\lambda t} \delta z_{02}
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\end{align*}
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d'où le graphique:
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.5]{1/graph6.png}
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\end{center}
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Il n'y a pas de point d'équilibre car A est non inversible ce qui implique que $\dot{x}=Ax \Rightarrow x=0$\\
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\begin{rem}
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Il n'y a pas de point d'équilibre d'après la définition $ \dot{x} = 0$ même si graphiquement on converge vers un point.
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\end{rem}
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\item Dans le cas où $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$\\
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Si $J = \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}$ le sous espace propre est de dimension 2.\\
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On a un point d'équilibre.
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Si la dimension du sous espace propre est de 1, $J = \begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}$, donc :
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\begin{align*}
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\delta z_1 &= t e^{\lambda t} \delta z_{01} + e^{\lambda t} \delta z_{02}\\
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\delta z_2 &= e^{\lambda t} \delta z_{02}
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\end{align*}
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.5]{1/graph5.png}
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\end{center}
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\end{enumerate}
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\subsection{Cas $\mathbb{C}$}
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On a maintenant $\lambda_{1,2} = \alpha \pm j\beta$. On considère la représentation d'état : $\delta \dot{z_1} = M^{-1} \delta x$ tel que :
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\begin{align*}
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\delta \dot{z_1} &= \alpha \delta z_1 - \beta \delta z_2\\
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\delta \dot{z_2} &= \beta \delta z_1 + \alpha \delta z_2
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\intertext{On utilise les coordonnées polaires :}
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r = \sqrt{\delta z_1^2 + \delta z_2^2} &\text{ et, } \theta = arctan\left(\frac{\delta z_2}{\delta z_1}\right)
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\intertext{on a donc :}
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\dot{\theta} &= \beta\\
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\dot{r} &= \alpha r
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\end{align*}
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Ainsi, on obtient :
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\[\left \{ \begin{matrix}
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\theta(t) = \theta_0 + \beta t\\
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r(t) = e^{\alpha t} r_0
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\end{matrix}\right.\]
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.5]{1/graph7.png}
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\end{center}
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\[
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\begin{cases}
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\delta z_1(t) & = e^{\lambda t} \\
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\delta z_{10} + te^{\lambda t} \delta z_{20}\\
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\delta z_2(t) & = e^{\lambda t} \delta z_{20}
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\end{cases}
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\]
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\section{Cycle limite}
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On considère un système oscillant, c'est à dire qu'il existe $T>0$ tel que $\forall t > 0$, $x(t+T) = x(t)$.\\
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(On exclut cependant le cas $x(t)$ = constante).
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\paragraph{Cycle limite stable}:\\
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Pour toutes les conditions initiales appartenant au voisinage du cycle limite,\\
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\[\exists t_0 > 0 \text{ et }T > 0 \text{ tel que } \forall t>t_0, \quad x(t+T) = x(t)\]
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i.e. toute trajectoire dans un voisinage du cycle limite converge dans un temps fini vers le cycle limite.
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\paragraph{Cycle limite instable}:\\
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Toutes les trajectoires divergent du cycle limite.\\
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Pour toutes les CI n'appartenant pas au cycle limite, $ \exists t > 0 \text{ tel que} x(t) \notin \text{cycle limite} $.
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\paragraph{Cycle semi-stable}:\\
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Une partie des trajectoires converge et d'autres divergent du cycle limite.
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\section*{Théorème de Bendixon}
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\begin{thm}
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Soit le système du second ordre $\dot{x}=f(x)$ avec $f$ le champ de vecteurs tel que $f:D\rightarrow\R^2$ avec $D$ un connexe (d'un seul tenant, non formé de la réunion d'ensemble disjoint) de $\R^2$ ne contenant pas de point d'équilibre.
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Si:
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\begin{itemize}
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\item $\exists x \in D$ tel que $\div f(x) \neq 0$
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\item $\div f$ ne change pas de signe dans $D$
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\end{itemize}
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Alors $\dot{x}=f(x)$ n'a pas de cycle limite inclus dans $D$.
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\end{thm}
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\begin{proof}
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Par l'absurde, soit $\Gamma = \{x\in D, x(t), 0 \leq t \leq T\}$ est un cycle limite.
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$\forall x \in \Gamma$, $f(x)$ est tangent à $\Gamma$ tel que $f(x).n(x)=0$ où $n(x)$ est le vecteur normal de $\Gamma$ en $x$.
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Suivant le théorème de Green,
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\[ \oint_{\Gamma} f(x)n(x)dx = \iint_S \div f(x)dS \text{ donc } \iint_S \div f(x)dS = 0\]
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Si $\exists x \in D$ tel que $\div f(x) \neq 0$ et que $\div f$ ne change pas de signe dans $D$ (donc a fortiori dans $S\subset D$), on déduit de la continuité de l'opérateur $\div f$ dans $D$ que $\iint_S \div f(x)dS \neq 0$ : contradictoire.
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Ainsi, $D$ ne contient pas de cycle limite.
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\end{proof}
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\begin{example}
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Soit le système NL du 2nd ordre $\ddot{x}(t) + \alpha \dot{x}(t) + g(x(t)) = 0$, avec $x(0) = x_0$ et $\dot{x}(0) = \dot{x}_0$ où $\alpha \neq 0$ et $g:\R \rightarrow \R$ continue avec $g(0)=0$. \\
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Représentation d'état :
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\[
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\begin{cases}
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\dot{x}_1(t) & = x_2(t) = f_1(x)\\
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\dot{x}_2(t) & = - \alpha x_2(t) - g(x_1(t)) = f_2(x)
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\end{cases}
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\text{ avec } x_1(t) = x(t) \text{ et }x_2(t) = \dot{x}(t) \]
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Calculons $\div f = \derivp[f_1]{x_1} + \derivp[f_2]{x_2} = -\alpha$.
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$\div f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cycle limite $(D=\R^2)$.
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\end{example}
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\section*{Théorème de Poincaré-Bendixon}
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\begin{thm}
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Soient le système du 2nd ordre $\dot{x}=f(x)$ et $O_{x_0}^+$ une trajectoire positive, i.e $O_{x_0}^+ = \{ x \in D, x = S(t,x_0), t \geq 0\}$ où $S(.,x) : \R \rightarrow D$ définit une solution de $\dot{x}=f(x)$ pour une trajectoire passant par $x$, avec un ensemble limite $\omega(x_0)$ i.e. $\omega(x_0) = \bigcap_{t \geq 0} \overline{O_{x_0}^+}$ \footnote{adhérence = plus petit fermé contenant l'ensemble}\\
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Si $\omega(x_0)$ est compact et ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
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\end{thm}
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Interprétation :
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Dans le cas du 2nd ordre, si on a une convergence des trajectoires vers un compact (fermé borné de $\R^2$) qui ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
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\paragraph{Examples du poly page 4} Système hybride = commutation entre 2 systèmes linéaires\\
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Example 1 :
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\begin{align*}
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\dot{x} & =
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\begin{bmatrix}
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-1 & 10 \\-100 & -1 x = A_1x
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|
\end{bmatrix}\\
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\dot{x} & =
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\begin{bmatrix}
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-1 & 100 \\ -10 & -1 x = A_2x
|
|
\end{bmatrix}
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|
\quad \text{v.p. } \lambda_{1,2} = -1 \pm j31,62
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\end{align*}
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Les deux systèmes sont stables
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Stabilité locale mais le système est instable globalement.\\
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Important : l'analyse faite par linéarisation donne uniquement une information sur la stabilité locale et non globale.\\
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Exemple 2 :
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\begin{align*}
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\dot{x} & =
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\begin{bmatrix}
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1 &- 10\\100 & 1 x
|
|
\end{bmatrix}
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= A_1x \\
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\dot{x} & =
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & -100\\10 & 1
|
|
\end{bmatrix}
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|
x = A_2x \quad \text{v.p. } \lambda_{1,2} = -1 \pm j31,62
|
|
\end{align*}
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|
Les deux systèmes sont instables.
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En choisissant bien la permutation, on rend le système global stable.
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\paragraph{Conclusion} l'analyse de la stabilité par linéarisation ne donne pas une CNS de stabilité des systèmes non linéaires (point d'équilibre), d'où l'importance de définir un autre moyen d'analyse. \\
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\begin{rem}
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|
Il existe d'autres méthodes pour tracer les trajectoires dans le plan de phase.
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\end{rem}
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\begin{example}[Élimination du temps]
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\begin{multicols}{2}
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\noindent Méthode explicite :
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\[
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\begin{cases}
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x_1(t) & = x_0 \cos t + \dot{x}_0 \sin t\\x_2(t) & = -x_0 \sin t + x_0 \cos t
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\end{cases}
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\]
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\[x_1^2(t) + x_2^2(t) = x_0^2 + \dot{x}_0^2 \]
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On a éliminé le temps mais c'est assez \emph{spicifique} à la représentation d'état.
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\noindent Méthode implicite :
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\[ \dot{x} =
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|
\begin{bmatrix}
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0 & 1 \\ 1 & 0
|
|
\end{bmatrix}
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x \text{ donc }
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\begin{cases}
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\dd{x_1}{t} & = x_2\\ \dd{x_2}{t} & = -x_1
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|
\end{cases}
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|
\]
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\[dt = \frac{dx_1}{x_2} = -\frac{dx_2}{x_1}\]
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\[x_1dx_1 = -x_2dx_2 \text{ donc } x_1^2 + x_2^2 = x_{20}^2 + x_{10}^2\]
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{example}
|
|
\end{document}
|