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TeX
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\documentclass[main.tex]{subfiles}
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\begin{document}
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\section{Probabilités}
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\subsection{Évènement}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item La réalisation d'une expérience aléatoire (on ne peux pas prédire avec certitude le résultat) est un \textit{évènement} $\omega$, singleton de $\Omega$ ensembles de tous les évènements.
|
|
\begin{exemple}[jet de dé]
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|
aux évènements ``Tirer 1, ... ,6 `` on associe $\Omega={\omega_1,...\omega_6}$
|
|
\end{exemple}
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|
\item $\mathcal{E} $est une tribu (ou $\sigma$-algèbre) de $\Omega$, tel que:
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\begin{itemize}
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|
\item $\Omega \in \mathcal{E}$
|
|
\item $\mathcal{E}$ est stable par union , intersection et complémentarité.
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|
\end{itemize}
|
|
\end{itemize}
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\subsection{Probabilités}
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\begin{defin}
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On appelle probabilité :
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\[
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P : \begin{cases}
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|
\mathcal{E} &\to [0,1]\\
|
|
E &\mapsto P(E)
|
|
\end{cases}
|
|
\]
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|
tel que:
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|
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\begin{itemize}
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|
\item $ P(\Omega) = 1 $
|
|
\item $ \forall E_i , i\in \mathbb{I} \text{ , desév disjoint 2 à 2}, \implies
|
|
P\left(\displaystyle\bigcup_{i\in\mathbb{I}}E_i\right) = \displaystyle\sum_{\mathbb{I}} P(E_i)$
|
|
\end{itemize}
|
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|
\end{defin}
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|
\pagebreak
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\begin{prop}
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\begin{itemize}
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|
\item $ P(\bar{E}) = 1-P(E)$
|
|
\item $(P(\emptyset) = 0)$
|
|
\item $A \subset B \implies P(A) \leq P(B)$
|
|
\item $P(A+B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
|
|
\end{itemize}
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|
\end{prop}
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|
\subsection{Probabilités conditionnelles}
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\begin{defin}
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Soit $A$ et $B$ deux évènements. On appelle \emph{probabilité conditionnelle} la probabilité de $A$ sachant que $B$ est réalisé:
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\[
|
|
P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}
|
|
\]
|
|
\end{defin}
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|
\begin{prop}[Formule de Bayès]
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\[
|
|
P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
|
|
\]
|
|
\end{prop}
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|
\subsection{Indépendance}
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\begin{defin}
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|
Deux évènements $A$ et $B$ sont dits \emph{indépendant} si et seulement si le fait que $A$ est réalisé n'apporte pas d'information sur la réalisaiton de $B$
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\begin{align*}
|
|
& P(A|B) = P(A)\\
|
|
\iff & P(B|A) = P(B)\\
|
|
\iff & P(A\cap B) = P(A) .P(B)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{defin}
|
|
\begin{defin}
|
|
Des évènements $(E_i)_{i\in\mathbb{I}}$ sont dits mutuellement indépendants (ou encore indépendants dans leur ensemble), si et seulement si:
|
|
\[
|
|
P\left(\displaystyle\bigcap_{i\in\mathbb{I}}E_i\right) = \displaystyle\prod_{\mathbb{I}} P(E_i)
|
|
\]
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{prop}
|
|
L'indépendance dans son ensemble implique l'indépendance deux à deux. \\
|
|
La réciproque n'est pas forcément vraie.
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|
\end{prop}
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|
\section{Variable aléatoire réelle et scalaire}
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On se place dans un espace probabilisé $\Omega$ donné.
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|
\subsection{Généralité et exemple}
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\begin{defin}
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|
On appelle \emph{Variable aléatoire} (VA) :
|
|
\[
|
|
X :
|
|
\begin{cases}
|
|
\Omega \to \R \\
|
|
\omega \mapsto X(\omega)=x
|
|
\end{cases}
|
|
\]
|
|
\end{defin}
|
|
\begin{exemple}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Dé à n faces (discret)
|
|
\item distance d'une flèche au centre de la cible.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{exemple}
|
|
\begin{prop}
|
|
Pour des variables aléatoires continues,
|
|
\[
|
|
P(X=x) = 0 , \forall x\in \R
|
|
\]
|
|
car $x$ est un point de mesure nulle.
|
|
\end{prop}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Fonction de répartition}
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|
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|
\begin{defin}
|
|
On appelle fonction de répatition:
|
|
\begin{align*}
|
|
F_X(x) &= P(X\leq x) = P(X \in ]-\infty,x])\\
|
|
&=P(\{\omega \in \Omega|X(\omega)\le x \})
|
|
\end{align*}
|
|
\end{defin}
|
|
\begin{prop}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $0 \le F_X(x) \le1$
|
|
\item $P(a\le X\le b) = F_X(b)-F_X(a)$
|
|
\item $F_x$ est une fonction :
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item non décroissante
|
|
\item continue presque partout
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{prop}
|
|
|
|
Une variable aléatoire est complétement caractérisée par sa f.d.r
|
|
\begin{rem}
|
|
Dans le cas d'une VAD , $F_X$ est en marche d'escalier.
|
|
\end{rem}
|
|
\subsection{Densité de probabilité}
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|
\begin{defin}
|
|
On appelle \emph{densité de probabilité} la fonction :
|
|
\[
|
|
f_X(x) \equals_{\mathcal{D}} \deriv[F_X(x)]{x}
|
|
\]
|
|
Avec la dérivée généralisé au sens des distributions.
|
|
\end{defin}
|
|
\begin{prop}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Les fonction de densité de probabilité et de répartition sont équivalentes pour décrire une variable aléatoire.
|
|
\item $f_X(x)\ge 0$
|
|
\item $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)\d x = 1$
|
|
\item $\displaystyle \int_{-\infty}^{x}f_X(\alpha)\d \alpha = F_X(x)$
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{prop}
|
|
|
|
\begin{rem}
|
|
Pour les variables aléatoires discrètes, la ddp est une suite d'impulsion de Dirac :
|
|
\[
|
|
f_X(x) = \sum_{i\in\mathbb{I}}p_i\delta(x-x_i)
|
|
\]
|
|
\end{rem}
|
|
|
|
\begin{exemple}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item VAC uniforme sur $[a,b]$:
|
|
\[
|
|
f_X(x) = \frac{1}{b-a} \mathbb{1}_{[a,b]}
|
|
\]
|
|
\item VAC gaussienne :
|
|
\[
|
|
f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} exp\left(\frac{-1}{2}\frac{(x-m_x)^2}{\sigma_X^2}\right)
|
|
\]
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{exemple}
|
|
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|
\subsection{Changement de VA}
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|
\begin{prop}
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|
Soit $g :
|
|
\begin{cases}
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|
\R \to \R \\
|
|
X \mapsto g(X) = Y
|
|
\end{cases}$ une fonction homéomorphique\footnotemark \\
|
|
Alors :
|
|
\[
|
|
f_Y(y) = f_X(x) \left|\deriv[x]{y}\right| = f_X(x) \frac{1}{ \left|\deriv[y]{x}\right|}
|
|
\]
|
|
Dans le cas ou $g$ n'est pas bijective :
|
|
\[
|
|
f_Y(y) = \sum_{x_i|g(x_i)=y}^{}f_X(x) \left|\deriv[x]{y}\right|_{x=x_i}
|
|
\]
|
|
\end{prop}
|
|
\footnotetext{continue, bijective continue}
|
|
|
|
\subsection{Expérance, moment et fonction caractéristique}
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\begin{defin}
|
|
pour $g \R \to\C^p$
|
|
On appelle \emph{espérance} d'une variable aléatoire la grandeur:
|
|
\[
|
|
E(g(X)) = \int_{\R}^{} g(x)f_X(x)\d x
|
|
\]
|
|
Dans le cas discret on a:
|
|
\[
|
|
E(g(X)) = \sum_{\mathbb{I}}^{}g(x_i)P(X=x_i)
|
|
\]
|
|
\end{defin}
|
|
\begin{prop}
|
|
L'espérance est linéaire (sous réserve d'existance):
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $E[c]=c$
|
|
\item $E[cg(x)]=cE[g(x)]$
|
|
\item $E[g(x)+h(x)] =E[g(x)]+E[h(y)]$
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{prop}
|
|
\begin{rem}
|
|
On note aussi $E[X]=m_X = m$ ``moyenne de la variable aléatoire''. Si $m$ = 0 on dit que la VA est centrée.
|
|
\end{rem}
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
On appelle \emph{momemt d'ordre $k$}:
|
|
\[
|
|
m_k = E[X^k]
|
|
\]
|
|
Le \emph{moment centré d'ordre $k$ :}
|
|
\[
|
|
m_k = E[(X-m_X)^k]
|
|
\]
|
|
|
|
Le moment $\mu_2$ est aussi appelé la \emph{variance}
|
|
\end{defin}
|
|
\begin{rem}
|
|
on note $\sigma_x = \sqrt{v_x}$ l'écart type de X. Il mesure la dispersion autour de $m_x$.
|
|
On défini la variable centrée réduite associée à $X$:
|
|
\[
|
|
X_r = \frac{X-m_X}{\sigma_X}
|
|
\]
|
|
\end{rem}
|
|
\subsection{Fonction caractéristique}
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
On appelle fonction caractéristique:
|
|
\[
|
|
\phi_X(u) = E[exp(juX)] = \int_{-\infty}^{+\infty}
|
|
\]
|
|
\end{defin}
|
|
\begin{prop}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $\phi_X(u)$ existe toujours $|\phi_X(u)|\le\phi_X(0)=1$
|
|
\item Symétrie hermitienne
|
|
\item $\phi_X(u)$ est continue même pour des VA discrètes
|
|
\item On appelle 2ème fonction de répartition $\Psi_X(u)=\ln(\phi_X(u))$
|
|
\item \[
|
|
m_k = (-j)^k\left.\deriv[^{k}\phi_X(u)]{u^k}\right|_{u=0}
|
|
\]
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{prop}
|
|
\section{Couple de variable aléatoire réelles}
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|
\subsection{Généralité}
|
|
\begin{defin}
|
|
Un couple de variable aléatoire est défini comme:
|
|
\[
|
|
Z
|
|
\begin{cases}
|
|
\Omega \to \R^2\\
|
|
\omega \mapsto Z(\omega) = \vect{X(\omega)\\Y{\omega}}
|
|
\end{cases}
|
|
\]
|
|
On défini également:
|
|
\[
|
|
Z^{-1} : \mathcal{D} \mapsto Z^{-1}(\mathcal{D}) = E_D \subset \mathcal{E}
|
|
\]
|
|
\end{defin}
|
|
\subsection{Fonction de répartition}
|
|
\begin{defin}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item fonction de répartition conjointe:
|
|
\begin{align*}
|
|
P(X<x;Y<y) &=F_{XY}(x,y)\\
|
|
&=P((x,y)\in \mathcal{D})\\
|
|
&=F_Z(z)
|
|
\end{align*}
|
|
\item fonction de répartition marginale
|
|
\begin{align*}
|
|
F_{X}(x)=P(X<x) &= F_{XY}(x,+\infty)\\
|
|
&=P((x,y)\in\mathcal{D}_X)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\begin{scope}
|
|
\draw[-latex] (-1,0) -- (4.1,0);
|
|
\draw[-latex] (0,-1) -- (0,4.1);
|
|
\fill[pattern= north east lines] (2,-1) rectangle (4,4);
|
|
\fill[pattern= north east lines] (-1,2) rectangle (4,4);
|
|
\draw (-1,2) -- (4,2);
|
|
\draw (2,-1) -- (2,4);
|
|
\node at (1,1) {$\mathcal{D}_{xy}$};
|
|
\end{scope}
|
|
\begin{scope}[shift={(6,0)}]
|
|
\draw[-latex] (-1,0) -- (4.1,0);
|
|
\draw[-latex] (0,-1) -- (0,4.1);
|
|
\fill[pattern= north east lines] (2,-1) rectangle (4,4);
|
|
\draw (2,-1) -- (2,4);
|
|
\node at (1,1) {$\mathcal{D}_x$};
|
|
\end{scope}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Représentation des domaines d'existence possible pour $X,Y$}
|
|
\end{figure}
|
|
\subsection{Densité de probabilité}
|
|
\begin{defin}
|
|
on défini la densité de probabilité conjointe:
|
|
\[
|
|
f_{XY} = \derivp[^2F_{XY}(x,y)]{x\partial y }
|
|
\]
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{prop}
|
|
densité de probabilité conjointe et fonction de répartition sont reliées:
|
|
\[
|
|
\int_{-\infty}^{x^-}\int_{-\infty}^{y^-} f_{XY}(\alpha,\beta)\d \alpha \d \alpha = F_{XY}(x,y)
|
|
\]
|
|
|
|
et :
|
|
\[
|
|
\int_{-\infty}^{x}\int_{\R}^{}f_{XY}(\alpha,\beta)\d \beta = F_{XY}(x,\infty) =F_X(x)
|
|
\]
|
|
\end{prop}
|
|
\begin{defin}
|
|
À partir de la fonction de répartion marginale on peux définir la loi marginale de $X$ :
|
|
\[
|
|
f_X(x) = \deriv[F_X(x)]{x} =\int_{\R}^{}f_{XY}(x,y)\d y
|
|
\]
|
|
Et alors la loi conditionelle de $X$ sachant $Y$:
|
|
\[
|
|
f_{X|Y}(x) = \frac{f_{XY}(x,y)}{f_{Y(y)}}
|
|
\]
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\subsection{Indépendance}
|
|
\begin{defin}
|
|
On dit que $X$ et $Y$ sont indépendant:
|
|
\begin{description}
|
|
\item[$\iff$] $F_{XY}(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$
|
|
\item[$\iff$] $f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$
|
|
\end{description}
|
|
\end{defin}
|
|
\subsection{Changement de VA}
|
|
\begin{prop}
|
|
On considère :
|
|
\[
|
|
g
|
|
\begin{cases}
|
|
\R^2 \to \R^2\\
|
|
Z =(X,Y) \mapsto W =(U,V)=g(X,Y)
|
|
\end{cases}
|
|
\]
|
|
Alors:
|
|
\[
|
|
f_W(w) = f_Z(z)|J|
|
|
\]
|
|
où :
|
|
\[
|
|
J =
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
\displaystyle\derivp[x]{u} & \displaystyle\derivp[x]{v}\\[1em]
|
|
\displaystyle\derivp[y]{u} & \displaystyle\derivp[y]{v}
|
|
\end{pmatrix}
|
|
\]
|
|
\end{prop}
|
|
\begin{rem}
|
|
Il est parfois plus simple de calculer:
|
|
\[
|
|
|K| =\left|
|
|
\begin{array}{cc}
|
|
\displaystyle\derivp[x]{u} & \displaystyle\derivp[x]{v}\\[1em]
|
|
\displaystyle\derivp[y]{u} & \displaystyle\derivp[y]{v}
|
|
\end{array}\right|
|
|
\]
|
|
Au quel cas on a : $f_W(w) = f_Z(z)\frac{1}{|K|}$
|
|
\end{rem}
|
|
\subsection{Espérance et moments-fonction caractéristique}
|
|
Dans la suite on considère la fonction suivante :
|
|
\[
|
|
g :
|
|
\begin{cases}
|
|
\R^2 \to \C^p\\
|
|
Z = (X,Y) \mapsto g(Z) = \vect{g_1(X,Y)\\ \vdots \\ g_p(X,Y)}
|
|
\end{cases}
|
|
\]
|
|
\begin{thm}[Théorème de transfert]
|
|
On a :
|
|
\[
|
|
E[g(z)] = \iint_{\R^2} g(X,Y)f_{X,Y}(x,y)\d x\d y
|
|
\]
|
|
\end{thm}
|
|
\begin{prop}
|
|
Dans le cas de VA indépendante et pour $g$ séparable on a : $g(X,Y) = g_X(X)g_Y(Y)$ et alors :
|
|
\[
|
|
E[g(X,Y)]= E[g_X(X)]E[g_Y(Y)]
|
|
\]
|
|
\end{prop}
|
|
\begin{defin}
|
|
On peux également définir les moments d'un couple de VA:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Moment d'ordre 1
|
|
\[
|
|
E[Z] = m_Z = \vect{m_X\\m_Y}
|
|
\]
|
|
\item Moment d'ordre 2 (Matrice de corrélation)
|
|
\[
|
|
E[ZZ^T] =E \left[\vect{X^2 & XY \\ XY & Y^2}
|
|
\right] = \vect{E[X^2] & E[XY] \\ E[XY] & E[Y^2]} = C_{ZZ}
|
|
\]
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{rem}
|
|
$C_{ZZ}$ est symétrique positive: $ C_{ZZ}\in S_n^+(\R)$
|
|
\end{rem}
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
On appelle matrice de covaraince la matrice de corrélation des variables centrées:
|
|
\[
|
|
\Sigma_{ZZ}= E[(X-m_x)(Y-m_Y)^T] = \vect{\sigma_x^2 & \rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y \\ \rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y & \sigma_Y^2}
|
|
\]
|
|
où
|
|
$\rho_{XY} = \frac{E[(X-m_X)(Y-m_y)^T]}{\sigma_x\sigma_y} =E[X_rY_r]$ est le \emph{coefficient de corrélation}
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
|
|
\begin{prop}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $\Sigma_{ZZ}\in S_n^+$
|
|
\item $ \rho_{XY} < 1$
|
|
\item $\rho_{XY}=1$ ssi $\exists a,b,c \neq 0, aX+bY+c =0$. Les variables sont alignées.
|
|
\item Si $\rho_{XY}=0$ on dit que les variables sont décoréllées
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{prop}
|
|
|
|
\begin{thm}
|
|
L'indépendance de 2 variables aléatoires implique leur non corrélation.
|
|
|
|
La réciproque n'est vraie que dans le cas gaussien.
|
|
\end{thm}
|
|
\subsection{Espérance de loi conditionnelle}
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
On note
|
|
\[
|
|
E[X|Y=y] = \int_{\R}^{}xf_{X|Y=y}(x)\d x = m_X(y)
|
|
\]
|
|
\emph{l'espérance conditionnelle} de la VA $X$ sachant $Y=y$
|
|
\end{defin}
|
|
\begin{prop}
|
|
On a :
|
|
\[
|
|
E[m_x(y)] = E[X]
|
|
\]
|
|
\end{prop}
|
|
\begin{proof}
|
|
Directement :
|
|
\begin{align*}
|
|
E[m_X(y)]&= \int_{\R}^{}m_X(y)f(y)\d y\\
|
|
&=\int_\R\int_\R x f_{XY}(x,y)\d x\d y\\
|
|
&=\int_{\R^2}^{}x f_{XY}(x,y)\d x\d y\\
|
|
&= E[X]
|
|
\end{align*}
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\section{Variable aléatoire vectorielle et réelles}
|
|
\subsection{Définition}
|
|
\begin{defin}
|
|
On généralise la notion de variable aléatoire et de couple de variable aléatoire :
|
|
\[
|
|
X :
|
|
\begin{cases}
|
|
\Omega \to \R^n\\
|
|
\omega \mapsto X(\omega) =\vect{X_1\\ \vdots\\ X_n}
|
|
\end{cases}
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|
\]
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|
\end{defin}
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\subsection{Fonction de répartition}
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\begin{defin}
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\begin{itemize}
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\item Fonction de répartition conjointe:(toutes les composantes jouent le même rôle)
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\[
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F_{X_1...X_n}(x_1...x_n) = P \left(\bigcap_{i=1}^nX_i<x_i\right)
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|
\]
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|
\item Fonction de répartition marginale de $X_i$:
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\[
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|
F_{X_i}=P(X_i<x_i)= P\left(X_i<x_i ; \bigcap_{j\neq i}X_j< +\infty \right)
|
|
\]
|
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\end{itemize}
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|
Les propriétés démontrées dans le cas 2 se généralise au cas vectoriel.
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\end{defin}
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\subsection{Densité de Probabilité}
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\begin{defin}
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On défini la densité de probabilité conjointe:
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\[
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f_X(x) = \derivp[^n]{\vec{x}} F_\vec{X}(\vec{x})
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\]
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Et alors :
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\[
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|
P(X\in\mathcal{D}) = \int_{\mathcal{D}}f_X(x)\d x = \iint_{\mathcal{D}} ... \int f_{\vec{X}}(\vec{x}) \d \vec{x}
|
|
\]
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|
\end{defin}
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\begin{defin}
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|
On généralise de même les notions de ddp margianle et conditionnelle:
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\begin{itemize}
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\item ddp marginale:
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\[
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f_{X_i}(x_i)= \frac{\d^n F_{x_i}(x_i)}{\d x_i} = \int_{\R^{n-1}}f_{\vec{X}}(\vec{x})\d x_1 ... \d x_{i-1}\d x_{i+1} ...\d x_n
|
|
\]
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|
\item ddp conditionnelles:
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On considère $Y$ et $Z$ de VA vectorielles:
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\[
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f_{\vec{Y}|\vec{Z}=\vec{z}}(\vec{y}) = \frac{f_{\vec{YZ}}(\vec{y},\vec{z})}{f_{\vec{Z}(z)}}
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|
\]
|
|
\end{itemize}
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|
\end{defin}
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\subsection{Indépendance}
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\begin{thm}
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On donne une CNS d'indépencande dans leur ensemble des VA $X_i$:
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\[
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|
F_{\vec{X}}(\vec{x})= \prod_{i=1}^{n}F_{X_i}(x_i) \iff f_{\vec{X}}(\vec{x}) = \prod_{i=1}^{n}f_{X_i}(x_i)
|
|
\]
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|
L'indépendance dans leur ensemble implique l'indépendance 2à2.
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\end{thm}
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\subsection{Changement de variable aléatoire}
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\begin{prop}
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Pour $g
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\begin{cases}
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\R^n \to \R^n\\
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\vec{X} \mapsto g(\vec{X})=\vec{Y}
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|
\end{cases}$ On peux définir le changement de variable:
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\[
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|
f_{\vec{Y}(\vec{y}} =f_{\vec{X}}{\vec{x}}|\vec{J}| = f_{\vec{X}}(\vec{x}) \frac{1}{|\vec{K}|}
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|
\]
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|
où :
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|
$\vec{J} = \derivp[\vec{x}]{\vec{y}^T}=x_{i,j}$ et $K = \derivp[\vec{y}]{\vec{x}^T} =y_{j,i}$
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|
\end{prop}
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\subsection{Espérance, moments et fonction caractéristique}
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\begin{thm}[Théorème de transfert]
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\[
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|
E[g(\vec{X})] = \int_{\R^n}^{}g(\vec{X})f_{\vec{X}}(\vec{x})\d\vec{x}
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\]
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\end{thm}
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\begin{defin}
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\begin{itemize}
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\item Moment d'ordre 1:
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\[
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|
\vec{m_x}= E[\vec{X}]
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\]
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|
\item Moment d'ordre 2: (matrice de corrélation)
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\[
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|
\vec{C_{XX}}=E[\vec{X}\vec{X}^T]\ge 0
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|
\]
|
|
\item Moment centrée d'ordre 2: (matrice de covariance)
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|
\[
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|
\vec{\Sigma_{XX}} = E[(\vec{X-m_x})(\vec{Y-m_y})^T]
|
|
\]
|
|
\item Fonction caractèristique:
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\[
|
|
\phi_{\vec{X}}(\vec{u})= E[e^{j\vec{u}^T\vec{X}}]
|
|
\]
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|
\end{itemize}
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|
\end{defin}
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|
\subsection{Va Gaussienne et réelle}
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\begin{defin}
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|
On dit que $X = \vec{X_1\\ \vdots\\ X_n}$ est une VA gaussienne:
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\begin{description}
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|
\item[$\iff$] $X_i$ sont gaussiens et indépendants dans leur ensembles
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|
\item[$\iff$] $\sum_{i=1}^{n} \alpha_iX_i$ est une gaussienne.
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|
\end{description}
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|
\end{defin}
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|
\renewcommand{\N}{\quad\mathcal{N}}
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\begin{prop}
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\begin{itemize}
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\item $\vec{X} \N \implies X_i \N$. La réciproque n'est pas vraie (cf ex 9/10 p 14 du fascicule)
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|
\item $\vec{X} \N \implies $ loi conditionnelle gaussienne.
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|
\item $X_i \N$ et indépendantes dans leur ensemble $\implies \vec{X} \N$.
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|
\item $\vec{X} \N$ et $X_i$ indépendants 2à2 $\implies$ indépendant dans leur ensemble.
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|
\item $\vec{X} \N \implies \vec{ Y =AX+B } \N$
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|
\end{itemize}
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|
\end{prop}
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\section{Extension aux VA complexes}
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\begin{defin}
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|
On généralise \emph{encore}:
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\[
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|
\vec{Z}
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\begin{cases}
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\Omega \to \C^p\\
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|
\omega \mapsto \vec{Z}(\omega) = \vec{X}+j\vec{Y}
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|
\end{cases}
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\]
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\end{defin}
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|
\paragraph{Notation} : $\vec{Z}^\dagger = (\vec{Z}^{*})^T$ transposé conjugué.
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\begin{prop}
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\begin{itemize}
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|
\item Fonction de répartition:
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\[
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|
f_{\vec{Z}}(\vec{z})= P(\vec{X}<\vec{x} ; \vec{Y}< \vec{y})
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|
\]
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|
\item Matrice de corrélation:
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\[
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|
\vec{C_{zz}} = E[\vec{Z}\vec{Z}^\dagger]
|
|
\]
|
|
\item Matrice de covariance:
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|
\[
|
|
\vec{\Sigma_{ZZ}} = E[(\vec{Z-m_z})(\vec{Z-m_z})^\dagger]
|
|
\]
|
|
\item Fonction caractéristique:
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|
\[
|
|
\phi_{\vec{Z}}(\vec{u}) = E[e^{j\vec{u}^\dagger \vec{Z}}]
|
|
\]
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|
\item La linéarité de l'espérance donne également:
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\[
|
|
E[g(\vec{Z})^*]= E[g(\vec{Z})]^*
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|
\]
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|
\end{itemize}
|
|
\end{prop}
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|
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "main"
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%%% End:
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