166 lines
4.3 KiB
TeX
Executable file
166 lines
4.3 KiB
TeX
Executable file
\documentclass[main.tex]{subfiles}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\section{Formule des moments et des interférences}
|
|
On considère les filtres:
|
|
{\huge
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node (e) at (0,0) {$e$};
|
|
\node[rectangle,draw] (f) at (2,0) {$\mathcal{FL}$};
|
|
\node (s) at (4,0) {$s$};
|
|
\draw[->] (e) -- (f) -- (s);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}}
|
|
|
|
On s'interesse aux filtre linéaires:
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Un fltre linéaire conservent la linéarité des systèmes auxquels il est appliqué.
|
|
\item Il est temps-invariant.
|
|
\item et stationnaire.
|
|
\end{itemize}
|
|
On peux caractériser un filtre linéaire par:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item sa réponse impulsionnelle $h$
|
|
\item sa réponse fréquentielle $H= TF[h]$
|
|
\item sa fonction de transfert $H_{II}$.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{prop}[Moyenne]
|
|
\[
|
|
m_s = H(0) m_e
|
|
\]
|
|
\end{prop}
|
|
|
|
Pour deux filtres on a :
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node (e) at (0,0) {$e_1$};
|
|
\node[rectangle,draw] (f) at (2,0) {$\mathcal{H}_1$};
|
|
\node (s) at (4,0) {$s_1$};
|
|
\draw[->] (e) -- (f) -- (s);
|
|
\end{tikzpicture}\\[1.5em]
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node (e) at (0,0) {$e_2$};
|
|
\node[rectangle,draw] (f) at (2,0) {$\mathcal{H}_2$};
|
|
\node (s) at (4,0) {$s_2$};
|
|
\draw[->] (e) -- (f) -- (s);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\begin{prop}[Formule des interférences]
|
|
|
|
\[
|
|
\Gamma_{s_1,s_2}(f)=H_1(f)\cdot H_2(f)^*\cdot \Gamma_{e_1,e_2}(f)
|
|
\]
|
|
\end{prop}
|
|
\section{Application}
|
|
\subsection{Blanchiement d'un signal}
|
|
|
|
Pour générer un bruit blanc $s(t)$ on veux :
|
|
\[
|
|
\Gamma_0 = |H(f)|^2\Gamma_{ee}(f)\implies |H(f)|^2 = \frac{\Gamma_0}{\Gamma_{ee}(f)}
|
|
\]
|
|
|
|
|
|
\subsection{Identification d'un filtre linéaire}
|
|
|
|
On applique en entrée un bruit blanc tel que $\Gamma_{ee}(f)=\Gamma_0$.
|
|
Alors:
|
|
\[
|
|
\Gamma_{se}=H(f)\Gamma_e(f) \implies H(f)=\frac{\Gamma_{se}(f)}{\Gamma_0} \propto \text{intercorrélation entrée sortie}
|
|
\]
|
|
|
|
|
|
\subsection{Signaux ARMA}
|
|
|
|
On peux utilise un Filtre Linéaire (FL) pour définir un Signal Aléatoire.
|
|
(SA).
|
|
Le SA sera la sortie d'un filtre dynamique (Fonction de transfert rationnel ,stable ,causal) excité par un bruit blanc.
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{AR : autoregressif}
|
|
|
|
|
|
\[
|
|
\boxed{
|
|
H_{II}(z) = \frac{1}{D(z)}=\frac{1}{1-\sum_{i=1}^qa_iz^{-i}}
|
|
}
|
|
\]
|
|
Alors on aura en sortie du filtre:
|
|
\[
|
|
s_k= e_k + \sum_{i=1}^qa_is_{k-i}
|
|
\]
|
|
|
|
on parle aussi de filtre \og tout pôle\fg{}
|
|
|
|
\subsubsection{MA : Moyenne ajustée}
|
|
|
|
\[
|
|
\boxed{
|
|
H_{II}(z) = N(z)= 1+\sum_{i=1}^qb_iz^{-i}
|
|
}
|
|
\]
|
|
|
|
Alors on aura en sortie du filtre:
|
|
\[
|
|
s_k= e_k + \sum_{i=1}^qb_ie_{k-i}
|
|
\]
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{ARMA}
|
|
|
|
\[
|
|
H_{II}(z) = \frac{N(z)}{D(z)}
|
|
\]
|
|
|
|
On connait alors $\Gamma_{ss}$ et le modèle AR. (Équation de Yule WAlker, cf TP2)
|
|
\subsection{Signaux AR : illustration}
|
|
|
|
|
|
pour une entrée en bruit blanc , les poles proches du cercle unités sont dominant
|
|
(approche géométrique , joli dessin)
|
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Filtre Adapté (FA)}
|
|
|
|
\paragraph{Contexte} Problème de transmission numérique (tout ou rien) d'un signal déterministe, connu avec bruit additif.
|
|
\paragraph{Objectif} déterminer le meilleur traitement linéaire pour décider de la présence ou non d'un signal.
|
|
|
|
Exemple en TD
|
|
\paragraph{Méthode} :Maximiser le RSB à l'instant de décision : avec $|s_{n_0}^f|^2$ puissance instantanée à l'instant de décision.
|
|
\[
|
|
\boxed{
|
|
\frac{|s_{n_0}^f|^2}{E[|b_n^f|^2]}
|
|
}
|
|
\]
|
|
\begin{prop}[Application au bruit blanc]
|
|
\begin{align*}
|
|
E[|b_n^f|^2] &=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |H(f)|^2\Gamma_{bb}(f)df = \Gamma_0\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |H(f)|^2df \\
|
|
|S_{n_0}^f|^2 &= \left| \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |H(f)|^2 S(f) e^{j2\pi n_0f}df\right| \leq \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |H(f)|^2df \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |S(f)|^2df
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
On a égalité si $H(f)\propto S^{*}(f)e^{-j2\pi n_0f} \iff h_n \propto s_{n_0-n}^f$
|
|
|
|
LA RI du filtre est donc
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item un retour temporel
|
|
\item translaté autour de l'instant de décision (attention a la causalité)
|
|
\item conjugué.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{prop}
|
|
|
|
|
|
\paragraph{Remarque}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Le FA peut être non causal, la RI est alors tronqué et le filtre
|
|
sous-optimal.
|
|
\item Le FA est un corrélateur (d'énergie), l'objectif n'est pas de restituer le signal utile mais d'avoir le meilleur RSB à l'instant de décision.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\end{document}
|