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\documentclass{article}
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\input{../../preambule/preambule}
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\newcommand{\nom}{TD5 : Bouclage linéarisant par retour d'état statique}
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\renewcommand{\nomentete}{UE424 - \nom}
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\begin{document}
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\titre{\nom}
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\cacededi{Un petit coup de bite de temps en temps, ça calme.\\ Mais dans l'ensemble je suis un gentleman.}{Tom Colinot}
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\section*{Exercice I}
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On considère le système
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\[ \accc{\dot{x_1} & = x_1 +x_2}{\dot{x_2} & = x_2^2 + u}{y & = x_1} \donc f(x) = \vect{x_1+x_2\\x_2^2}, g(x) = \vect{0 \\ 1} \et h(x) = x_1 \]
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\begin{enumerate}
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\item On peut balancer $u=-x_2^2 + v$ comme des bâtards mais on va suivre le cours :
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\begin{enumerate}
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\item Trouver le degré relatif
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\begin{align*}
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z_1 & = y = x_1 \\
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z_2 & = \dot{y} = \dot{x_1} = x_1 + x_2, \quad r>1\\
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z_3 & = \dot{z_2} = \dot{x_1} + \dot{x_2} = x_1 + x_2 + x_2^2 + u, \quad r=2
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\end{align*}
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\item
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\[ \acc{\dot{z_1} = z_2}{\dot{z_2} = v} \quad \text{ modèle linéaire avec } \vect{z_1 \\ z_2} = \vect{x_1 \\ x_1 + x_2} \]
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\begin{align*}
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u & = v - x_1 - x_2 - x_2^2 \\
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& = v - z_2 - ( z_2 - z_1 )^2
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\end{align*}
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\end{enumerate}
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\img{0.5}{1}
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\newpage
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\item \[ \acc{ \dot{z_1} & = z_2 }{ \dot{z_2} & = \ddot{y} = v = \ddot{y_r} + a_1(\dot{y_r}-\dot{y})+a_2(y_r-y)} \]
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Équation caractéristique de la dynamique
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\[ x^2 + a_1 x + a_2 = 0 \]
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\img{0.5}{2}
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\item On considère maintenant le système suivant:
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\[\left\{\begin{matrix}
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\dot{x_1} = x_2\\
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\dot{x_2} = x_1x_2+u\\
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y = x_1
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\end{matrix} \right. \]
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Cherchons dans un premier temps uen commande linéarisante.
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\begin{align*}
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z_1 = y &= x_1 = h(x)\\
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z_2 = \dot{y} &= \frac{\partial h}{\partial x} \dot{x}\\
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&= \begin{pmatrix}1 &0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1x_2 + u\end{pmatrix}\\
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&= x_2\\
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\ddot{y} &= \frac{\partial \dot{y}}{\partial x} \dot{x}\\
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&= \begin{pmatrix} 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_2 \\x_1x_2+u\end{pmatrix}\\
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&= x_1x_2 + u = v
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\end{align*}
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Ainsi, $r=2$ et le modèle linéaire correspond à:
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\[ \begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
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x_1 \\ x_2\end{pmatrix} \text{ et, } u = -x_1x_2 + v\]
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Pour imposer une consigne on a alors:
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\begin{align*}
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\ddot{\epsilon} + a_1 \dot{\epsilon} + a_0 \epsilon = 0\\
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\epsilon &= y_c - y\\
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&= y_c - z_1\\
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\dot{\epsilon} &= \dot{y_c} - z_2\\
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\ddot{\epsilon} &= \ddot{y_c} - \dot{z_2}
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\intertext{Comme $\dot{z_2} = v$ alors,}
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& \ddot{y_c} - \dot{z_2} + a_1 (\dot{y_c} - z_2) + a_0 ( y_c - z_1) = 0\\
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\Rightarrow& v = \ddot{y_c} + a_1(\dot{y_c} - z_2) + a_0 ( y_c - z_1)
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\end{align*}
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\end{enumerate}
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\section*{Exercice 2:}
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On considère le système suivant:
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\[\left\{\begin{matrix}
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\dot{x_1} = x_1x_3\\
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\dot{x_2} = x_1+x_2u\\
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\dot{x_3} = 1 + x_3 u
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\end{matrix} \right. \]
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Examinons la commandabilité de ce système. Pour cela, on rappelle qu'il faut l'écrire sous la forme :
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\[\dot{x} = f(x) + g(x) u\]
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On a donc m=2 et,
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\begin{align*}
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&f(x) = \begin{pmatrix} x_1x_2 \\ x_1 \\1\end{pmatrix} &J_f = \begin{pmatrix}x_3 & 0 & x_1 \\ 1& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\\
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&g(x) = \begin{pmatrix} 0\\ x_2 \\x_3 \end{pmatrix} &J_g = \begin{pmatrix}
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0 &0&0 \\ 0&1&0 \\ 0& 0&1\end{pmatrix}
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\intertext{On calcul ensuite :}
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ad_fg &= [f,g] = \begin{pmatrix}-x_1x_3 \\x_1 \\ 1\end{pmatrix}\\
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\text{donc, } J_{ad_fg} &= \begin{pmatrix}-x_3 & 0 & -x_1 \\ 1 & 0& 0 \\0 & 0& 0\end{pmatrix}\\
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\text{reste à calculer, } ad_f^2g &= [f, ad_fg] = J_{ad_f g} - J_f ad_fg = \begin{pmatrix}
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-2 x_1 \\ 2x_1 x_3\\ 0
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\end{pmatrix}
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\end{align*}
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Ainsi, on a $E = \{g, ad_fg, ad_f^2g\}$. Or pour $x=0$ le dernier vecteur est nul donc la dimension de E est inférieur à 3. Cela implique que le système n'est pas commandable.
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\section*{Exercice 3:}
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On considère ici le système suivant:
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\[\left\{\begin{matrix}
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\dot{x_1} = x_2 + u\\
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\dot{x_2} = x_1^2 + x_2\\
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\dot{x_3} = x_3 + u \\
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y = x_1
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\end{matrix} \right. \]
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Déterminons la dynamique est zéros, c'est à dire que l'on va choisir $u$ de sorte à maintenir la sortie à zéro ainsi que ses dérivées successives.
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Ainsi, on impose $y=0$ :
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\begin{align*}
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y = 0 &\Rightarrow x_1 = 0\\
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&\Rightarrow \dot{x_1} = 0\\
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&\Rightarrow x_2 + u = 0\\
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&\Rightarrow u = -x_2\\
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\text{on a aussi avec $x_1 = 0$, } &\dot{x_2} = x_2\\
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\text{et aussi, } \dot{x_3} = x_3 - x_2
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\end{align*}
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On a donc la dynamique du système donnée par les valeurs propres de $ A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$. Les valeurs propres étant $\pm 1$, la dynamique des zéros est instable (CF début du cours de 424).
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\end{document} |