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\documentclass[main.tex]{subfiles}
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\begin{document}
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Il s'agit de regarder la stabilité, la convergence vers un point d'équilibre. On se place dans le cas présent en régime libre pour un système invariant, c'est à dire que $\dot{x} = f(x,u=0)$ et $y = g(x,u=0)$.\\
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On pose $u=0$, car la stabilité et la dynamique du système sont des caractéristiques intrinsèques d'un système, donc indépendantes de l'entrée.\\
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Pour étudier la stabilité, on se place dans le plan de phase. Celui-ci permet de situer les points d'équilibres et de vérifier la stabilité. Sa dimension est égale au nombre de variables d'état.
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Ainsi, pour des systèmes du second ordre, on va avoir:
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\[\begin{matrix}
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x= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} &\text{et}& f(x)=\begin{pmatrix}f_1(x)\\f_2(x)\end{pmatrix}
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\end{matrix}\]
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L'espace des phases devient alors ici un plan de phase dans lequel on va rechercher les trajectoires.
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Dans la suite, on s'intéressera au cas de dimension deux pour positionner et comprendre le problème.
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\section{Analyse qualitative du comportement}
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Soit le système LTI obtenu à partir de la linéarisation autour d'un point d'équilibre $x_0$.\\
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On dit que ce point d'équilibre est stable si c'est un point de convergence des trajectoire, ou instable si c'est un point de divergence des trajectoires.\\
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On étudie donc le système autour de son point d'équilibre, en linéarisant son équation autour de ce point. On a donc l'équation:
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\begin{align*}
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\Aboxed{\delta \dot{x}&= A \delta x}\\
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\text{où, } A&= \frac{\partial f(x)}{\partial x}|_{x=x_0} \text{ Jacobien de f en $x_0$}\\
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\text{et, }\delta x &= x-x_0
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\end{align*}
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\begin{rem}
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En N.L, la stabilité est associée aux points d'équilibres. Ainsi, un même système N.L peut avoir des points d'équilibres stables et instables.
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Cette approximation peux être également réalisée dans le cas d'un régime forcé:
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\[
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\begin{cases}
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\dot{x} = f(x,u)\\
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y = h(x,u)
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\end{cases}
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\]
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avec $f(\bar{x},\bar{u}) = 0$ et on alors:
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\[
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\begin{cases}
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f(\bar{x}+\delta x,\bar{u}+\delta u) = f(\bar{x},\bar{u}) + A. \delta x + B \delta u\\
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h(\bar{x}+\delta x,\bar{u}+\delta u) = h(\bar{x},\bar{u}) + C. \delta x + D \delta u
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\end{cases}
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\]
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Donc :
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\[
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\begin{cases}
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\delta \dot{x} = A. \delta x + B. \delta u \\
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\delta \dot{u} = C. \delta x + D. \delta u
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\end{cases}
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\]
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\end{rem}
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\emph{L'analyse qualitative de la stabilité est faite par linéarisation.} \\
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\begin{prop}
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La trajectoire pour une condition initiale $\delta x_0$ est solution de l'équation différentielle précédente, ie \[\delta x(t) = M exp(Jt)M^{-1}\delta x_0\] où J est la matrice diagonale ou de Jordan\footnotemark de A, la matrice d'évolution, et M la matrice de vecteurs propres tel que : $M^{-1}AM = J$.\\
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\end{prop}
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\footnote{cf UE421}
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\subsection{Cas $\mathbb{R}$}
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$J = \begin{pmatrix}
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\lambda_1 &0 \\0&\lambda_2
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\end{pmatrix}$ où $\lambda_1 \neq \lambda_2$\\
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On pose le changement de variable $\delta z = M^{-1}\delta x$ : Base Modale.\\ Donc on a $\delta z_0 = M^{-1}\delta x_0$ comme valeur initiales, d'où :
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\begin{align*}
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\delta z_1(t) &= e^{\lambda_1t}\delta z_{01}\\
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\delta z_2(t) &= e^{\lambda_2t}\delta z_{02}
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\end{align*}
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Ceci permet de tracer les trajectoires dans la base modale.\\
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\begin{enumerate}
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\item Dans le cas où $\lambda_2 < \lambda_1 < 0$ ou $0 < \lambda_1 < \lambda_2$, on obtient:
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.5]{1/graph3.png}
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\end{center}
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D'un coté on à la convergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$ et de l'autre la divergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$. On a un \emph{noeud} qui est donc soit stable soit instable. Et son \emph{index topologique vaut $+1$}\\
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\item Dans le cas où $\lambda_2 < 0 < \lambda_1 $, on obtient:
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.5]{1/graph4.png}
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\end{center}
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On est dans un cas instable et on a un point selle, d'index $-1$ \\
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\item Dans le cas ou $\lambda_1 = 0$, on a:
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\begin{align*}
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\delta z_1 &= \delta z_{01}\\
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\delta z_2 &= e^{\lambda t} \delta z_{02}
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\end{align*}
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d'où le graphique:
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.5]{1/graph6.png}
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\end{center}
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Il n'y a pas de point d'équilibre car A est non inversible ce qui implique que $\dot{x}=Ax \Rightarrow x=0$\\
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\begin{rem}
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Il n'y a pas de point d'équilibre d'après la définition $ \dot{x} = 0$ même si graphiquement on converge vers un point.
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\end{rem}
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\item Dans le cas où $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$\\
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Si $J = \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}$ le sous espace propre est de dimension 2.\\
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On a un point d'équilibre.
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Si la dimension du sous espace propre est de 1, $J = \begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}$, donc :
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\begin{align*}
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\delta z_1 &= t e^{\lambda t} \delta z_{01} + e^{\lambda t} \delta z_{02}\\
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\delta z_2 &= e^{\lambda t} \delta z_{02}
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\end{align*}
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.5]{1/graph5.png}
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\end{center}
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\end{enumerate}
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\subsection{Cas $\mathbb{C}$}
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On a maintenant $\lambda_{1,2} = \alpha \pm j\beta$. On considère la représentation d'état : $\delta \dot{z_1} = M^{-1} \delta x$ tel que :
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\begin{align*}
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\delta \dot{z_1} &= \alpha \delta z_1 - \beta \delta z_2\\
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\delta \dot{z_2} &= \beta \delta z_1 + \alpha \delta z_2
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\intertext{On utilise les coordonnées polaires :}
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r = \sqrt{\delta z_1^2 + \delta z_2^2} &\text{ et, } \theta = arctan\left(\frac{\delta z_2}{\delta z_1}\right)
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\intertext{on a donc :}
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\dot{\theta} &= \beta\\
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\dot{r} &= \alpha r
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\end{align*}
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Ainsi, on obtient :
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\[\left \{ \begin{matrix}
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\theta(t) = \theta_0 + \beta t\\
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r(t) = e^{\alpha t} r_0
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\end{matrix}\right.\]
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.5]{1/graph7.png}
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\end{center}
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\[
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\begin{cases}
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\delta z_1(t) & = e^{\lambda t} \\
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\delta z_{10} + te^{\lambda t} \delta z_{20}\\
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\delta z_2(t) & = e^{\lambda t} \delta z_{20}
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\end{cases}
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\]
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\nopagebreak[1]
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\section{Cycle limite}
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\begin{defin}
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Un système $\dot{x}=f(x)$ possède un \emph{cycle limite} $\mathcal{C}$ si il existe un intervalle de temps $[t_0,t_0+T]$ et $\forall x_0 \in \mathcal{C}$ tel que la trajectoire $\chi(t,x_0)$ soit solution de $\dot{x}=f(x)$ et avec $\chi(t_0,x_0)=x_0$et vérifie :
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\begin{itemize}
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\item $\chi(t,x_0) \in \mathcal{C}\quad \forall t\in[t_0,t_0+T[$
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\item $\chi(t_0+T,x_0) =x_0$
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\end{itemize}
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\end{defin}
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On considère un système oscillant, c'est à dire qu'il existe $T>0$ tel que $\forall t > 0$, $x(t+T) = x(t)$.\\
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(On exclut cependant le cas $x(t)$ = constante).
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\begin{rem}
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Un point d'équilibre peut être interpréter comme un cycle limite singleton $ \forall T\in\R$.
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\end{rem}
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\begin{prop}
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\begin{description}
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\item[Cycle limite stable]~\\
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Pour toutes les conditions initiales appartenant au voisinage du cycle limite:
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\[\exists t_0 > 0 \text{ et }T > 0 \text{ tel que } \forall t>t_0, \quad x(t+T) = x(t)\]
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i.e. toute trajectoire dans un voisinage du cycle limite converge dans un temps fini vers le cycle limite.
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\item[Cycle limite instable]~\\
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Toutes les trajectoires divergent du cycle limite.\\
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Pour toutes les CI n'appartenant pas au cycle limite, $ \exists t > 0 \text{ tel que} x(t) \notin \text{cycle limite} $.
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\item[Cycle semi-stable]~\\
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Une partie des trajectoires converge et d'autres divergent du cycle limite.
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\end{description}
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\end{prop}
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\begin{example}[Oscillateur de Van der Pol]
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\[
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\begin{cases}
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\dot{x_1} & = x_2\\ \dot{x_2} & = -x_1 + (1-x_ 1^2)x_2
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\end{cases}
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\]
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Point d'équilibre $x^* =(0,0)$
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\begin{rem}
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Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable.
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\end{rem}
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%\img{0.3}{3/2.png}
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$\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange.\\
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\end{example}
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\begin{thm}[Index de Poincaré]~\\
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Dans le plan de phase (pour un système d'ordre 2) avec $N$ le nombre de noeuds, centre et foyer et $S$ le nombre de points selles.\\
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Si un cycle limite existe, les points d'équilibre que le cycle limite encercle sont tel que
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\[
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\boxed{N =S +1}
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\]
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\end{thm}
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ce théorème s'utilise souvent sous sa forme contraposée:
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\begin{corol}
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Si $N\neq S+1$ alors il n'existe pas de cycle limite.
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\end{corol}
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\begin{proof}~ \\
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\begin{lemme}
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Soit une courbe du plan de phase alors l'index de la courbe est la somme des index des points d'équilibre contenu dans cette courbe.
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\end{lemme}
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À partir de cette proposition on peux démontrer le théorème de l'index de Poincaré, car le cycle limite $\mathcal{C}$ est solution de l'équation dynamique. l'index de $\mathcal{C}$ vaut +1. Ainsi le nombre de points d'équiliobre ayant l'index +1 doit être supérieur d'une unité à ceux dont l'index est -1
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\end{proof}
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\section{Théorème de Bendixon}
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\begin{thm}
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Soit le système du second ordre $\dot{x}=f(x)$ avec $f$ le champ de vecteurs tel que $f:D\rightarrow\R^2$ avec $D$ un ensemble simplement connexe (d'un seul tenant, non formé de la réunion d'ensemble disjoint, sans trous) de $\R^2$ ne contenant pas de point d'équilibre.
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Si:
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\begin{itemize}
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\item $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$
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\item $\divv f$ ne change pas de signe dans $D$
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\end{itemize}
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Alors $\dot{x}=f(x)$ n'a pas de cycle limite inclus dans $D$.
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\end{thm}
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\begin{proof}
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Par l'absurde, soit $\Gamma = \{x\in D, x(t), 0 \leq t \leq T\}$ est un cycle limite.
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$\forall x \in \Gamma$, $f(x)$ est tangent à $\Gamma$ tel que $f(x).n(x)=0$ où $n(x)$ est le vecteur normal de $\Gamma$ en $x$.
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Suivant le théorème de Green,
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\[ \oint_{\Gamma} f(x)n(x)dx = \iint_S \divv f(x)dS \text{ donc } \iint_S \divv f(x)dS = 0
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\]
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Si $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$ et que $\div f$ ne change pas de signe dans $D$ (donc a fortiori dans $S\subset D$), on déduit de la continuité de l'opérateur $\divv f$ dans $D$ que $\iint_S \div f(x)dS \neq 0$ : contradictoire.
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Ainsi, $D$ ne contient pas de cycle limite.
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\end{proof}
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\begin{example}
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Soit le système NL du 2nd ordre $\ddot{x}(t) + \alpha \dot{x}(t) + g(x(t)) = 0$, avec $x(0) = x_0$ et $\dot{x}(0) = \dot{x}_0$ où $\alpha \neq 0$ et $g:\R \rightarrow \R$ continue avec $g(0)=0$. \\
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Représentation d'état :
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\[
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\begin{cases}
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\dot{x}_1(t) & = x_2(t) = f_1(x)\\
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\dot{x}_2(t) & = - \alpha x_2(t) - g(x_1(t)) = f_2(x)
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\end{cases}
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\text{ avec } x_1(t) = x(t) \text{ et }x_2(t) = \dot{x}(t) \]
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Calculons $\divv f = \derivp[f_1]{x_1} + \derivp[f_2]{x_2} = -\alpha$.
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$\divv f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cycle limite $(D=\R^2)$.
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\end{example}
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\section{Théorème de Poincaré-Bendixon}
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\begin{defin}
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\begin{itemize}
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\item Un ensemble $\mathcal{M}\subset \mathcal{D}$ est dit \emph{positivement
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invariant} du système $\Sigma$ si
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\[\chi_t(\mathcal{M}) \subseteq \mathcal{M} , \forall t \ge 0\]
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\item Si la propriété est vraie $\forall t\le 0 $ l'ensembles est \emph{négativement invariant}.
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\item Si la propriété est vraie $\forall t\in \R$ . l'ensembles est \emph{invariant}
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\end{itemize}
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\end{defin}
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\begin{rem}
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Un ensemble invariant est un fermé de $\R^n$.
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\end{rem}
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\begin{rem}
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Un cycle limite stable ou semi-stable est un cas particulier d'un ensemble invariant. Cet ensemble est un \emph{attracteur} et ne peut avoir qu'un comportement périodique.
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\end{rem}
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\begin{defin}
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Un \emph{attracteur} est un ensemble invariant fermé $\mathcal{M} \subset \mathcal{D}$ du système $\Sigma$, si il existe un voisinage $\mathcal{N}$ de $\mathcal{M}$ tel que
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\[
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|
\forall x\in \mathcal{N}, \text{ et } \chi_t(x) \in \mathcal{N}, \forall t \ge 0 , \chi_t(x) \xrightarrow[t\to\infty]{} \mathcal{M}^t
|
|
\]
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|
\end{defin}
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\begin{rem}
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Physiquement\footnote{\emph{sic.}} un attracteur est un fermé borné (compact)
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\end{rem}
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\begin{thm}
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Soient le système du 2nd ordre $\dot{x}=f(x)$ et $O_{x_0}^+$ une trajectoire positive, i.e $O_{x_0}^+ = \{ x \in D, x = S(t,x_0), t \geq 0\}$ où $S(.,x) : \R \rightarrow D$ définit une solution de $\dot{x}=f(x)$ pour une trajectoire passant par $x$, avec un ensemble limite $\omega(x_0)$ i.e. \footnotemark $\omega(x_0) = \bigcap_{t \geq 0} \overline{O_{x_0}^+}$ \\
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|
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|
Si $\omega(x_0)$ est compact et ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
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\end{thm}
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\footnote{adhérence = plus petit fermé contenant l'ensemble}
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Interprétation :
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Dans le cas du 2nd ordre, si on a une convergence des trajectoires vers un compact (fermé borné de $\R^2$) qui ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
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|
|
|
\begin{prop}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $\omega_0$ définit un ensemble positivement invariant.
|
|
\item Dans $\R^2$ le seul attracteur possible est un cycle limite.
|
|
\item Si la trajectoire converge vers un ensemble alors on a les cas possibles:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item C'est un ensemble de points d'équilibres.
|
|
\item C'est un cycle limite.
|
|
\item La trajectoire est un cycle limite.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{prop}
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|
|
|
Exemple 1 :
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|
\begin{align*}
|
|
\dot{x} & =
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
-1 & 10 \\-100 & -1
|
|
\end{bmatrix} x = A_1x\\
|
|
\dot{x} & =
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
-1 & 100 \\ -10 & -1
|
|
\end{bmatrix}x = A_2x
|
|
\quad \text{v.p. } \lambda_{1,2} = -1 \pm j31,62
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Les deux systèmes sont stables
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|
|
|
Stabilité locale mais le système est instable globalement.\\
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|
|
|
Important : l'analyse faite par linéarisation donne uniquement une information sur la stabilité locale et non globale.\\
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|
|
|
Exemple 2 :
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|
\begin{align*}
|
|
\dot{x} & =
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 &- 10\\100 & 1 x
|
|
\end{bmatrix}
|
|
= A_1x \\
|
|
\dot{x} & =
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
1 & -100\\10 & 1
|
|
\end{bmatrix}
|
|
x = A_2x \quad \text{v.p. } \lambda_{1,2} = -1 \pm j31,62
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Les deux systèmes sont instables.
|
|
|
|
En choisissant bien la permutation, on rend le système global stable.
|
|
|
|
\paragraph{Conclusion} l'analyse de la stabilité par linéarisation ne donne pas une CNS de stabilité des systèmes non linéaires (point d'équilibre), d'où l'importance de définir un autre moyen d'analyse. \\
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|
|
|
\begin{rem}
|
|
Il existe d'autres méthodes pour tracer les trajectoires dans le plan de phase.
|
|
\end{rem}
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|
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|
\begin{exemple}[Élimination du temps]
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|
\noindent Méthode explicite :
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\[
|
|
\begin{cases}
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|
x_1(t) & = x_0 \cos t + \dot{x}_0 \sin t\\x_2(t) & = -x_0 \sin t + x_0 \cos t
|
|
\end{cases}
|
|
\]
|
|
|
|
\[x_1^2(t) + x_2^2(t) = x_0^2 + \dot{x}_0^2 \]
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|
On a éliminé le temps mais c'est assez \emph{spicifique} à la représentation d'état.
|
|
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|
\noindent Méthode implicite :
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\[ \dot{x} =
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
0 & 1 \\ 1 & 0
|
|
\end{bmatrix}
|
|
x \text{ donc }
|
|
\begin{cases}
|
|
\dd{x_1}{t} & = x_2\\ \dd{x_2}{t} & = -x_1
|
|
\end{cases}
|
|
\]
|
|
\[dt = \frac{dx_1}{x_2} = -\frac{dx_2}{x_1}\]
|
|
\[x_1dx_1 = -x_2dx_2 \text{ donc } x_1^2 + x_2^2 = x_{20}^2 + x_{10}^2\]
|
|
\end{exemple}
|
|
\end{document}
|
|
|
|
%%% Local Variables:
|
|
%%% mode: latex
|
|
%%% TeX-master: "main"
|
|
%%% End:
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