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\documentclass[main.tex]{subfiles}
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\begin{document}
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Dans cette partie on étudie l'influence du canal sur le signal.
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\begin{defin}
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On rappel:
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\begin{itemize}
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\item La rapidité de modulation est noté $R = 1/T$ en [bauds]\\
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\item Le débit binaire $D = 1/T_b$.
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\item $T = log_2(M) .T_b$
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\end{itemize}
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Soit:
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\[
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R = \frac{D}{\log_2(M)}
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\]
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\end{defin}
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\section{Caractéristique du canal}
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\label{sec:carac_canal}
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On choisit d'étudier un canal :
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\begin{itemize}
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\item linéarie et invariant (caractérisé par sa réponse impulsionnelle $g(t)$, sa réponse fréquentielle $G(f)$ ...)
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\item bruité par un bruit $n(t)$ additif.
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\item de type passe-bas et de bande $B$.
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\item associé à un filtre de réception de réponse impulsionnelle $g_r(t)$.
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\end{itemize}
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Le signal recu et filtré par le fitre de réception:
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\begin{align*}
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r(t) &= g_r(t) \ast h(t) \ast e(t) + g_r(t)\ast n(t)\\
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&= g_r(t) \ast h(t) \ast \sum_{k}^{}a_kg(t-kT)+ b(t)\\
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&= \sum_{k}^{}a_ky(t-kT)+b(t)
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\end{align*}
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$b(t)$ représente la contribution totale du bruit après filtrage.
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\begin{prop}
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On considère que le bruit est additif blan gaussien (BABG) àmoyenne nulle et de variance $\sigma^2$
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\[_B(b) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{\frac{-b^2}{2\sigma^2}}\]
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\end{prop}
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\begin{prop}
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Le filtre de reception peux être optimiser afin de maximiser le rapport signal sur bruit après réception:
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\[
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G_r^{opt}=(G(f).H(f))^*
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\]
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\end{prop}
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\begin{proof}
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\end{proof}
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Ainsi après échantillonnage à l'instant de décision on a :
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\[
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r(t_0+nT) = \sum_{k}^{}a_ky(t_0+nT-kT)+b(t_0+nT)= d(t)
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\]
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soit:
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\[
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r(t_0+nT) = a_ny(t_0)+\sum_{k\neq n}^{}a_ky(t_0+(n-k)T)+b(t_0+nT)
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\]
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\begin{defin}
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On défini le terme d'interférence entre symbole comme:
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\[
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IES = \sum_{k\neq n}^{} a_k y(t_0+(n-k)T)
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\]
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Que l'on peux exprimer comme:
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\[
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\sum_{k\neq n}^{} a_k y(t_0+(n-k)T) = \sum_{k}^{}a_kg_r(t_0+nT)\ast h(t_0+nT)\ast g(t_0+(n-k)T)
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\]
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\end{defin}
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\begin{prop}
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En considérant un récepteur parfaitement synchronisé on souhaite qu'à l'instant de prise de décision :
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\[
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r(t_0+nT) = a_n y(t_0)+ b(t_0+nT)
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\]
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Soit $IES = 0 $
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\end{prop}
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\begin{rem}
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Dans le cas d'un filtre de réception optimal, et pour une synchronisation parfaite, l'annulation de l'IES consiste à choisir une forme d'impulsion compatible avec le canal et telle que l'IES soit nulle.
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\end{rem}
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\section{Premier critère du Nyquist}
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\begin{thm}[Critère de Nyquist]
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On ne peux pas transmettre sans IES un signal de rapidité de modulation $R = 1/T$ dans une bande inférieure à $1/2T$.
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Un canal respectant le premier criètre de Nyquist est tel que:
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\[
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B \ge \frac{1}{2T} = B_{Nyquist}
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\]
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\end{thm}
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\begin{defin}
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On appelle Bande de \textsc{Nyquist} la bande minimale pour une durée de symbole $T$.
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\[
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B_{Nyquist} = \frac{1}{2T}
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\]
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\end{defin}
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\begin{proof}
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On considère un canal décrit en \ref{sec:carac_canal}. Sans bruit on a :
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\[
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r(t_0+nT) = a_ny(t_0)+\sum_{k\neq n}^{}a_k y(t_0+(n-k)T)
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\]
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On souhaite obtenir:
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\[
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r(t_0+nT) = a_ny(t_0) \implies y(t_0+nT) =
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\begin{cases}
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y(t_0) & text{ pour } n = 0\\
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0 & \forall n \neq 0 \\
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\end{cases}
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\]
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En sortie de l'échantillonneur on a la prise de décision :
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\[
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d(t) = y(t)\sum_{n}^{}\delta(t-t_0-nT)
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\]
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Soit dans l'espace de Fourrier:
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\[
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D(f) = \frac{1}{T}Y(f-\frac{n}{T})e^{-j2\pi n t_0/T} \tag{(*)}
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\]
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De plus on a également:
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\[
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d(t) = \sum_{n}^{}y(t_0+nT)\delta(t-t_0-nT)
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\]
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Soit dans l'espace de Fourrier:
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\[
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D(f) = \sum_{n}^{}y(t_0+nT)e^{-j 2 \pi f(t_0+nT)} \tag{(**)}
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\]
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Par unicité de la transformée de Fourier on a :
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\[
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\sum_{n}^{}Y(f-\frac{n}{T}) e^{-j2\pi (f-n/T)t_0} = T y(t_0)
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\]
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alors:
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\[
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Y^{(t_0)}(f) = \frac{Y(f)}{y(t_0)}e^{j 2 \pi f t_0}
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\]
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Le premier critère de Nyquist s'écrit donc:
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\[
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\sum_{n}^{}Y^{(t_0)}(f-\frac{n}{T}) =T
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\]
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\end{proof}
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\section{Impulsion de Nyquist}
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Toutes les fonctions qui vérifie l'équation suivante, vérifie le critère de Nyquist.
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\[
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\sum_{n}^{}Y^{(t_0)}(f-\frac{n}{T}) = T
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\]
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La DSP rectangulaire centrée en fait partie.
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\begin{rem}
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On a cepedant des lobs secondaire élevé dans la DSP (sinus
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cardinal pur), ce qui peux être dramatique en cas de mauvaise
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synchronisation. On cherche donc d'autre fonctions candidates avec
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des lobes secondaires moins élevé.
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\end{rem}
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\begin{defin}
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Le filtre en cosinus surélevé vérifie ces deux critères. Sa DSP
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est alors:
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\[G(f) =
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\begin{cases}
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T & \forall f \in \left[-\frac{1-\alpha}{2T},\frac{1-\alpha}{2T}\right]\\
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\frac{T}{2}\left[1+\sin\left(\frac{\pi T}{\alpha}\left(\frac{1}{2T}-|f|\right)\right)\right] & \frac{1-\alpha}{2T}\le |f| \le \frac{1+\alpha}{2T}\\
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0 & \text{ sinon}
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\end{cases}
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\]
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Ce qui donne la reponse temporelle:
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\[
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g(t) = \frac{\sin\left(\frac{\pi t}{T}\right)}{\frac{\pi t}{T}}
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\frac{\cos\left(\frac{\pi\alpha t}{T}\right)}{\left(1-4\alpha^2 \frac{t^2}{T^2}\right)}
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\]
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Avec$\alpha$ le \emph{Roll-off} compris entre 0 et 1 .
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Pour $\alpha=0$on retrouve l'impulsion rectangulaire. pour $\alpha=1$ on a
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un filtre de Hanning.
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\end{defin}
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\begin{exemple}
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Dans la téléphonie 3G $\alpha=0,22$.
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\end{exemple}
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
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\caption{Réponse fréquentielle}
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\end{subfigure}%
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\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
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\centering
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\caption{réponse temporelle}
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\end{subfigure}
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\caption{Différents filtres respectant le critère de Nyquist}
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\end{figure}
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\section{Capacité de canal}
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\subsection{Critère empirique HTS}
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\begin{defin}
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\textsc{Hartley}, \textsc{Tuller},\textsc{Shannon} on établi la
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formule empirique:
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\[
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m \le m_{max} = \sqrt{1+\frac{S}{N}}
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\]
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Avec $S$ et $N$ puissance du signal et du bruit. et $m$ le nombre
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de niveau de codage possible.
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\end{defin}
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\subsection{À retenir}
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\begin{defin}
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C la capacité du canal est le nombre maximal de bit qu'il est
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susceptible de transmettre par seconde.
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\[C = D_{max} = R.\log_2(M) = B\log_2\left(1+\frac{S}{N}\right)
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\]
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\end{defin}
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\begin{prop}
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Pour un canal de transmission de type passe-bas, de bande passante
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$B$ et bruité par un BABG le débit doit toujours être inférieur à
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la capacité de Shannon.
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\end{prop}
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\end{document}
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