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\documentclass[../main.tex]{subfiles}
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\begin{document}
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\subsection*{Exercice I : Stabilité d'un asservissement avec retour unitaire}
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On considère l'asservissement analogique où :
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\[ H(p) = \frac{C}{p(1+\tau p)} \text{avec } \tau = 0.2 \]
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On place un CNA (BOZ) en amont de $H(p)$ et un CAN dans la boucle de retour.
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\begin{enumerate}
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\item Pour passer de l'analogique au numérique, on utilise la formule suivante :
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\[ T(z) = (1-z^{-1})Z[^*L^{-1}[\frac{H(p)}{p}]] \]
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On a donc successivement :
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\begin{align*}
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A(p) & = \frac{H(p)}{p} = \frac{C/\tau}{p^2(p+1/\tau)} \\
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& = \frac{C}{\tau}(\frac{\alpha}{p} + \frac{\beta}{p^2} + \frac{\gamma}{p+1/\tau}) \\
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& = C (\frac{-\tau}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{\tau}{p+1/\tau}) \\
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a(t) & = C[-\tau+t+\tau e^{-\frac{t}{\tau}}] \\
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a_k & = C[-\tau + kT_e + \tau e^{-\frac{T_e}{\tau}k}] \\
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A(z) & = C[ -\frac{\tau z}{z-1} + \frac{T_e z}{(z-1)^2} + \tau\frac{z}{z-D} ] \text{ où } D = e^{-\frac{T_e}{\tau}} \\
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T(z) & = (1-z^{-1})A(z) \\
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& = \frac{z-1}{z} C[ -\frac{\tau z}{z-1} + \frac{T_e z}{(z-1)^2} + \tau\frac{z}{z-D}] \\
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& = C[ -\tau + \frac{T_e}{z-1} + \frac{\tau(z-1)}{z-D} ] \\
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T(z) & = C \frac{(\tau(1+D)+T_e-2\tau)z + (-D\tau - T_e D + \tau)}{z^2 - (1+D)z + D}
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\end{align*}
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On pose
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\begin{align*}
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T(z) & = \frac{b_1 z + b_0}{z^2 + a_1 z + a_0} \\
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& b_1 = C(\tau(D-1) + T_e)\\
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& b_0 = C(\tau(1-D) - T_e D)\\
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& a_1 = -(1+D)\\
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& a_0 =D
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\end{align*}
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\item Mise en équation de l'asservissement
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\begin{align*}
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Y(z) & = \frac{T(z)}{1+T(z)} E(z) \\
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& = \frac{B(z)}{A(z) + B(z)} \text{ avec } T(z) = \frac{A(z)}{B(z)}
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\end{align*}
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Le polynôme caractéristique s'écrit :
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\begin{eqnarray*}
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\Pi(z) & = & B(z) + A(z) \\
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& = & c_2 z^2 + c_1 z + c_0 \\
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& \text{avec } & c_2 = 1 \\
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& & c_1 = a_1 + b_1 = -(1+D) + C(T_e + \tau (D-1)) \\
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& & c_1 = -(1+D) + CT_eD \text{ car ici } \tau = T_e \\
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& & c_0 = a_0 + b_0 = D + C(\tau(1-D) - T_e D) \\
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& & c_0 = D + CT_e(1-2D)
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\end{eqnarray*}
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\item a) Critère de Routh-Hurwitz \\
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Transformation en w : \( z = \frac{1+w}{1-w}, \quad w = \frac{z-1}{z+1} \) \\
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On réécrit l'équation caractéristique en $w$ :
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\begin{eqnarray*}
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c_2 (\frac{1+w}{1-w})^2 & + c_1(\frac{1+w}{1-w}) & + c_0 = 0 \\
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C_2 (w^2 + 2w + 1) & + c_1(1-w^2) & + c_0(w^2 -2w+1) = 0 \\
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(c_2-c_1+c_0)w^2 & + 2(c_2-c_0)w & + (c_2+c_1+c_0) = 0
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\end{eqnarray*}
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Tableau de Routh :\\
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\begin{tabular}{|c|c|c|}
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\hline
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$w^2$ & $c_2-c_1+c_0$ & $c_2+c_1+c_0$ \\
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\hline
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$w$ & $2(c_2-c_0)$ & 0 \\
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\hline
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$w^0$ & $c_2+c_1+c_0$ & \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{figure}
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On doit avoir tous les termes de la première colonne positifs : on retrouve le critère de Jury.
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\item b) Critère de Jury :
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\begin{itemize}
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\item $c_2 + c_1 + c_0 > 0$
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\item $c_2 - c_1 + c_0 > 0$
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\item $|c_0| < c_2 \Leftrightarrow -c_2 < c_0 < c_2$
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\end{itemize}
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On traduit ces conditions
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\begin{itemize}
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\item $c_2 + c_1 + c_0 > 0$
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\begin{align*}
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& 1 + (-(1+D) + CT_eD) + (D + CT_e(1-2D)) > 0 \\
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& C ( T_e D + T_e - 2 DT_e ) > 0 \\
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& C (1-D) > 0 \\
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& C > 0 \text{ car } D =e^{-1} < 1
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\end{align*}
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\item $c_2 - c_1 + c_0 > 0$
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\begin{align*}
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& 1 - (-(1+D) + CT_eD) + (D + CT_e(1-2D)) > 0 \\
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& 2 + 2D + cT_e(-3D+1) > 0 \\
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& C T_e(1-3D) > -2 -2D \\
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& C < -\frac{2+2D}{1-3D} \text{ car } 3D > 1
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\end{align*}
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\item $-c_2 < c_0 < c_2$
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\begin{eqnarray*}
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-1 < & D + CT_e(1-2D) & < 1 \\
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-1 - D < & CT_e(1-2D) & < 1 - D \\
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\frac{-1-D}{T_e(1-2D)} < & C & < \frac{1-D}{T_e(1-2D)}
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\end{eqnarray*}
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\end{itemize}
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Le critère de Jury aboutit donc à :
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\[ \boxed{ 0 < C < \min(-\frac{2+2D}{(1-3D)T_e},\frac{1-D}{(1-2D)T_e}) } \]
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\item On s'intéresse à l'asservissement analogique du même système
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\[ Y(p) = \frac{H(p)}{1+H(p)} E(p) \]
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L'équation caractéristique conduit à
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\begin{align*}
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1 + H(p) & = 0 \\
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1 + \frac{C}{p(1+\tau p)} &= 0 \\
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\tau p^2 + p + C &= 0
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\end{align*}
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Le système est stable si et seulement si $C>0$.\\
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En analogique, la marge de gain est infinie (la phase n'est jamais égale à $-180^o$. En numérique, le BOZ induit un déphasage qui conduit à une limitation supplémentaire pour $C$ en terme de stabilité.
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\item Pour approcher le comportement basse fréquence de la chaîne directe de l'asservissement de la figure 1, il faut tenir compte du BOZ. Il faut approximer l'expression de $B_0(p)$.
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\begin{itemize}
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\item Avec $\omega << \frac{1}{T_e}$, $e^{-T_ep} \approx 1 - T_ep$ et
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\begin{align*}
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B_0(p) & = T_e \\
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\tilde{H}(p) & = T_e H(p) = \frac{CT_e}{p(1+\tau p)}
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\end{align*}
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On revient à la même condition $ C > 0 $.
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\item Suggestion : faire le développement à l'ordre 2 ?
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Avec $e^{-T_e p} \approx 1 - T_ep + \frac{(T_ep)^2}{2}$,
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\begin{align*}
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B_0(p) & = \frac{T_ep-T_e^2p^2 / 2 }{p}\\
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& = T_e - \frac{T_e^2}{2}p \text{ : non causal} \\
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\tilde{H}(p) & = T_e(1-\frac{T_e}{2}p)\frac{C}{p(1+\tau p)}
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\end{align*}
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L'équation caractéristique $1+\tilde{H}(p) = 0$ mène à
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\begin{align*}
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\tau p^2 + p + CT_e(1-\frac{T_e}{2}p) & = 0 \\
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\tau p^2 + (1-C\frac{T_e^2}{2})p + CT_e & = 0
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\end{align*}
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L'application du critère de Routh mène à : $0 < C < \frac{2}{T_e^2}$
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\item Approximation de Padé ($\omega << \frac{1}{2T_e}$) :
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\[ e^{-T_ep} = \frac{e^{-\frac{T_e}{2}p}}{e^{\frac{T_e}{2}p}} \text{ et } e^{-\frac{T_e}{2}p} \approx 1 -
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\frac{T_e}{2}p \Longrightarrow e^{-T_ep} \approx \frac{1 - \frac{T_e}{2}p}{1 + \frac{T_e}{2}p} \text{ : causal !} \]
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\begin{align*}
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B_0(p) & \approx \frac{1-\frac{1 - \frac{T_e}{2}p}{1 + \frac{T_e}{2}p}}{p} \\
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& = \frac{T_e}{1+\frac{T_e}{2}p} \text{ : causal } \\
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\tilde{H}(p) & = \frac{T_e}{1+\frac{T_e}{2}p} . \frac{C}{p(1+\tau p)}
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\end{align*}
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L'équation caractéristique $1+\tilde{H}(p)=0$ mène à
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\begin{align*}
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CT_e + p (1+\frac{T_e}{2}p)(1+\tau p) & = 0 \\
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\tau\frac{T_e}{2}p^3 + (\tau+\frac{T_e}{2})p^2 + p + CT_e &= 0
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\end{align*}
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\begin{tabular}{|c|c|c|}
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\hline
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$p^3$ & $\tau \frac{T_e}{2}$ & 1 \\
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\hline
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$p^2$ & $\tau + \frac{T_e}{2} $ & $CT_e$ \\
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\hline
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$p$ & $1- \frac{CT_e \tau}{2(\tau + \frac{T_e}{2})}$ & 0 \\
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\hline
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$p^0$ & $CT_e$ & \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{figure}
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La condition est donc $C < \frac{2(\tau + T_e/2)}{T_e \tau} = \frac{3}{\tau}$
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\end{itemize}
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\item La discrétisation d'un asservissement en temps continu dégrade la stabilité.
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\end{enumerate}
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\end{document}
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