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TeX
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\documentclass[main.tex]{subfiles}
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% Relu jusqu'à 3.4 inclus, X 08/02/2015
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% Corrigé jusqu'au 4.3 inclus, A 28/02/2015.
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\begin{document}
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\paragraph{Objectifs } Donner les connaissances fondamentales sur l'analyse et la commande des systèmes non linéaires en abordant les techniques classiques. Le but est d'avoir une compréhension plus profonde des hypothèses sous-jacentes à la commande non linéaire, des outils disponibles pour l'analyse, la synthèse et les limites des résultats obtenues.
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\begin{center}
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\begin{itemize}
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\item Analyse de la stabilité
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\item Outils pour la commande non linéaire
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\item Synthèse de lois de commande non linéaire
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\end{itemize}
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\end{center}
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\newpage
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\section{Définition}
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\begin{defin}
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Un système est dit Non Linéaire (N.L) si on n'a pas le principe de superposition, i.e. pour une entrée $\sum \lambda_i u_i$ on a en sortie $y \neq \sum \lambda_iy_i$.
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\end{defin}
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Pour la \emph{commande}, les systèmes N.L englobent les systèmes Linéaires (L), i.e. les systèmes L forment un sous-ensemble identifié au principe de superposition.
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Exemple de systèmes N.L :
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\begin{itemize}
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\item Equation de Navier-Stokes (Mécanique des fluides)
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\item Equation de Boltzmann (Cinétique d'un gaz peu dense)
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\end{itemize}
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\begin{example}
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Système N.L décrit par des EDO (Équations Différentielles Ordinaires): le pendule simple\\
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L'équation est donnée par $ml.\dot{\theta} = -mg.sin(\theta) - kl.\theta$ avec $k$ le coefficient de frottement.\\
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On a la représentation d'état avec $\theta = x_1$ et $\dot{\theta} = x_2:$\\
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\[\left \{\begin{array}{cc}
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\dot{x_1} & = x_2\\
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x_2 & = -\frac{g}{l}sin(x_1) - \frac{k}{l}x_1
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\end{array}\right.\]
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\end{example}
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\begin{rem}
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Un système à constantes localisées est décrit par des EDO.\\
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Un système à constantes réparties est décrit par des EDP (Équations aux Dérivées Partielles).\\
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\end{rem}
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\begin{rem}
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Si la relation entrées-sorties est de classe $C^1$, alors il existe un voisinage, aussi petit soit-il, sur lequel le comportement est linéaire (DL du $1^{er}$ ordre)\\
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Dans le cours, on considère les systèmes N.L ayant pour modèle dynamique des EDO.
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\end{rem}
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On peut donc représenter les systèmes selon le graphe suivant:
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.35]{1/graph1.png}
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\end{center}
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\section{Passage des EDP vers EDO }
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Le passage s'effectue par approximation, car le modèle obtenu est de dimension infinie.
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\[\vec{\omega}(x,y,z,t) \approx \sum_{i=1}^Nq_i(t)\vec{\eta}(x,y,z)\]
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La stabilité sera analysée sur l'aspect temporel car on ne peut pas avoir une dimension spatiale instable.
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\begin{example}[Poutre flexible]
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On regarde les différent modes d'excitations, obtenus par la méthode des éléments finis.\\
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Ceci permet donc de décrire le système dans la Base Modale.\\
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\end{example}
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\section{Forme générale de la représentation d'état}
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Dans le cas général, les systèmes sont décrits par la représentation d'état :
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\[\left\{ \begin{matrix}
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\dot{x} = f(x,t,u)\\
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y = g(x,t,u)& \text{ avec, } & x\in \mathbb{R}^n\text{, }u\in \mathbb{R}^m\text{, }y\in \mathbb{R}^l
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\end{matrix} \right.\]
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\noindent \underline{Exemple}: Système LTV
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\begin{align*}
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f(x,t,u) = A(t)x + B(t) u\\
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g(x,t,u) = C(t)x +D(t)u
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\end{align*}
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Ainsi la solution est noté $\chi (t,x_0)$, qui donne la valeur de $x$ à l'intsant t pour une condirtion initiale $x_0$
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\begin{defin}
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La \emph{trajectoire} $\chi$ d'un système dynamique $G$ sur $\mathcal{D}\subset \R^n$ où $n$ est la dimension de $G$ , est une application :
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\[
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\chi: \R \times \mathcal{D} \to \mathcal{D}
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\]
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vérifiant les propriétés:
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\begin{enumerate}
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\item Continuité $\chi $ est continue su r$\R \times \mathcal{D}$ et $\forall x \in \mathcal{D}, \chi (\cdot,x) $ est dérivable sur $\R$
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\item Consistance $\chi(0,x) = x$
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\item Propriété de Groupe $ \chi(t,\chi(\tau,x))=\chi(t+\tau,x)$
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\end{enumerate}
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\end{defin}
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\begin{rem}
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suivant la propriété 1. on a :
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\[
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\derivp[\chi(t,x)]{t} = f(\chi(t,x))
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\]
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et si on fixe $x=x_0$ à $t=0$ alors :
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\[
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\deriv{\chi(t,x_0)}= f(\chi(t,x_0))
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\]
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\end{rem}
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L'ensemble $\mathcal{D}$ dans lequel évolue la trajectoire est nommée \emph{espace de phase}
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Dans le cas causal, on se limite à $ \chi: \R_+ \times \mathcal{D} \to \mathcal{D}$.
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Pour $t$ fixé on note $\chi_t :=\chi(t,x) \mathcal{D}\to \mathcal{D}$
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\begin{prop}
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L'application inverse de $\chi_t$ et$\chi_{-t}$ est un homéomorphisme:
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\begin{itemize}
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\item continu
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\item bijectif
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\item inverse continu
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\end{itemize}
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\end{prop}
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\begin{proof}
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on montre l'injectivité et la surjectivité de $\chi$.
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La propriété 1. permet de montrer la continuité.
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\end{proof}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "main"
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%%% End:
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