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TeX
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\documentclass[main.tex]{subfiles}
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\begin{document}
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Dans cette partie on étudie l'influence du canal sur le signal.
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\subsection{Caractéristique du canal}
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On choisit d'étudier un canal :
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\begin{itemize}
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\item linéarie et invariant (caractérisé par sa réponse impulsionnelle $g(t)$, sa réponse fréquentielle $G(f)$ ...)
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\item bruité par un bruit $n(t)$ additif.
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\item de type passe-bas et de bande $B$.
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\item associé à un filtre de réception de réponse impulsionnelle $g_r(t)$.
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\end{itemize}
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Le signal recu et filtré par le fitre de réception:
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\begin{align*}
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r(t) &= g_r(t) \star h(t) \star e(t) + g_r(t)\star n(t)\\
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&= g_r(t) \star h(t) \star \sum_{k}^{}a_kg(t-kT)+ b(t)
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&= \sum_{k}^{}a_ky(t-kT)+b(t)
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\end{align*}
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$b(t)$ représente la contribution totale du bruit après filtrage.
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\begin{prop}
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On considère que le bruit est additif blan gaussien (BABG) àmoyenne nulle et de variance $\sigma^2$
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\[_B(b) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{\frac{-b^2}{2\sigma^2}}\]
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\end{prop}
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\begin{prop}
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Le filtre de reception peux être optimiser afin de maximiser le rapport signal sur bruit après réception:
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\[
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G_r^{opt}=(G(f).H(f))^*
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\]
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\end{prop}
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\begin{proof}
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\end{proof}
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Ainsi après échantillonnage à l'instant de décision on a :
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\[
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r(t_0+nT) = \sum_{k}^{}a_ky(t_0+nT-kT)+b(t_0+nT)= d(t)
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\]
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soit:
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\[
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r(t_0+nT) = a_ny(t_0)+\sum_{k\neq n}^{}a_ky(t_0+(n-k)T)+b(t_0+nT)
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\]
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\begin{defin}
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On défini le terme d'interférence entre symbole comme:
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\[
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IES = \sum_{k\neq n}^{} a_k y(t_0+(n-k)T)
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\]
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Que l'on peux exprimer comme:
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\[
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\sum_{k\neq n}^{} a_k y(t_0+(n-k)T) = \sum_{k}^{}a_kg_r(t_0+nT)\star h(t_0+nT)\star g(t_0+(n-k)T)
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\]
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\end{defin}
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\begin{prop}
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En considérant un récepteur parfaitement synchronisé on souhaite qu'à l'instant de prise de décision :
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\[
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r(t_0+nT) = a_n y(t_0)+ b(t_0+nT)
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\]
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Soit $IES = 0 $
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\end{prop}
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\begin{rem}
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Dans le cas d'un filtre de réception optimal, et pour une synchronisation parfaite, l'annulation de l'IES consiste à choisir une forme d'impulsion compatible avec le canal et telle que l'IES soit nulle.
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\end{rem}
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\subsection{Premier critère du Nyquist}
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\subsection{Impulsion de Nyquist}
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\subsection{Capacité de canal}
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\end{document}
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "main"
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%%% End:
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