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\documentclass[10pt,a4paper,notitlepage]{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[french]{babel}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{float}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{siunitx}
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\usepackage{numprint}
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\addto{\captionsfrench}{\renewcommand{\abstractname}{Introduction}}
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\author{Pierre-Antoine Comby}
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\title{TP1 : Commande d'un bras à liaison flexible par bouclage linéarisant}
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\input{/home/pac/Scripts/Raccourcis.tex}
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\renewcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\renewcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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\renewcommand{\vec}{\overrightarrow}
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\usepackage{minted}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Modélisation}
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\paragraph{Prépa.1}
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\begin{itemize}
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\item On applique le PFD au chariot \{1\}de masse $M_c$:
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\begin{equation}
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M_c\vec{a_{\{1\}}} = \vec{F}+\vec{T}-C_d\vec{v_{\{1\}}}+M_c\vec{g}
|
|
\end{equation}
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Soit en projetant:
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\begin{equation}
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M_c \ddot{d} = F+T\sin(\theta)-C_d\dot{d}
|
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\end{equation}
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\item On fait de meme pour la masse pendulaire \{2\} $m$:
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\begin{equation}
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m \vec{a_{\{2\}}} = -\vec{T} +m \vec{g}
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\end{equation}
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et il vient directement:
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\begin{equation}
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\begin{cases}
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m\ddot{x} = -T\sin(\theta)\\
|
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m\ddot{z} = -T\cos(\theta)+mg
|
|
\end{cases}
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|
\end{equation}
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\item et un théorème du moment cinétique sur l'arbre donne (avec $\alpha$ angle du tambour par rapport au chariot):
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\begin{equation}
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J\ddot{\alpha} = -C +bT-C_r \dot{\alpha}
|
|
\end{equation}
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soit :
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\begin{equation}
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J \frac{\ddot{r}}{b} = -C+bT -C_r \frac{\dot{r}}{b}
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\end{equation}
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\end{itemize}
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\paragraph{Prépa.2}
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Comme $b\ll r$ on a :
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\begin{equation}
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\begin{cases}
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x = r\sin\theta+d\\
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|
z = r\cos\theta
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|
\end{cases}
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|
\end{equation}
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soit :
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\begin{equation}
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\begin{cases}
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|
\dot{x} = \dot{r}\sin\theta + r\dot{\theta}\cos\theta +\dot{d}\\
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|
\dot{z} = \dot{r}\cos\theta -r\dot{\theta}\sin\theta
|
|
\end{cases}
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|
\quad\text{ et }\quad
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\begin{cases}
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\ddot{x} = \ddot{r}\sin\theta+2\dot{r}\dot{\theta}\cos\theta+r\ddot{\theta}\cos\theta- r\dot{\theta}^2\sin\theta+\ddot{d}\\
|
|
\ddot{z} = \ddot{r}\cos\theta-2\dot{r}\dot{\theta}\sin\theta-r\ddot{\theta}\sin\theta-r\dot{\theta}^2\cos\theta
|
|
\end{cases}
|
|
\end{equation}
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\paragraph{Prépa.3} en remplacant dans le système (1) donné dans l'énoncé on trouve:
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\begin{equation}
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\begin{cases}
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m(
|
|
\ddot{r} \sin\theta+2\dot{r}\dot{\theta}\cos\theta+r\ddot{\theta}\cos\theta-r\dot{\theta}^2\sin\theta+\ddot{d}
|
|
) &=-T\sin\theta\\
|
|
m(
|
|
\ddot{r}\cos{\theta}-2\dot{r}\dot{\theta}\sin\theta-r\ddot{\theta}\sin\theta-r\dot{\theta}^2\cos\theta
|
|
) &= - T\cos\theta+ mg
|
|
\end{cases}
|
|
\end{equation}
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|
A partir des identités trigonométrique on a :
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\begin{equation}
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\begin{cases}
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|
m\ddot{r} &= - m\ddot{d}\sin\theta+mr\dot{\theta}^2 -T + mg \cos{\theta}\\
|
|
r \ddot{\theta} &= -\ddot{d}\cos\theta-2\dot{r}\dot{\theta}-g\sin\theta
|
|
\end{cases}
|
|
\end{equation}
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\paragraph{Prépa.4}
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Des équations précédentes on en déduit le modèle d'état( en remplacant l'expression de $T$ par celle déduite de la prépa.3):
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\begin{equation}
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\begin{cases}
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|
M_c\ddot{d} &= F +T \sin\theta-C_d\dot{d}\\
|
|
r\ddot{\theta} &= -\ddot{d}\cos\theta-2\dot{r}\dot{\theta}-g\sin(\theta)\\
|
|
(m+\frac{J}{b^2})\ddot{r} = -\frac{C}{b}-\frac{C_r\dot{r}}{b^2}-m\ddot{d}\sin\theta-mr\dot{\theta}^2+mg\cos{\theta}
|
|
\end{cases}
|
|
\end{equation}
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\paragraph{Prépa.5}
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On linéarise autour de $d=D$,$r=R$,$\theta=0$, $T=mg$,$F=0$,$C=mbg$:
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\begin{equation}
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|
\begin{cases}
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|
M_{c}(\Delta d+D) &=(\Delta F)+T \sin (\Delta \theta)-C_{d}(\Delta d+D) \\(\Delta r+R)(\Delta \theta) &=-(\Delta d+D) \cos (\Delta \theta)-2(\Delta r+R)(\Delta \theta)-g \sin (\Delta \theta) \\\left(m+\frac{J}{b^{2}}\right)(\Delta r+R) &=-\frac{\Delta C+m g b}{b}-\frac{C_{r}(\Delta r+R)}{b^{2}}-m(\Delta d+D) \sin (\Delta \theta)-m(\Delta r+R)(\Delta \theta)^{2}+m g \cos (\Delta \theta)
|
|
\end{cases}
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|
\end{equation}
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En faisant une approximation au 1er ordre on a:
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\begin{equation}
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\begin{cases}
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|
M_{c} \Delta d &=\Delta F+m g \Delta \theta-C_{d} \Delta d \\
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|
R \Delta \theta+\Delta d &=-g \Delta \theta \\
|
|
\left(m+\frac{J}{b^{2}}\right) \ddot{\Delta r} &=-\frac{\Delta C+m g b}{b}-\frac{C_{r} \Delta r}{b^{2}}-m g \Delta \theta
|
|
\end{cases}
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|
\implies
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\begin{cases} M_{c} \ddot{\Delta} d &=\Delta F+m g \Delta \theta-C_{d} \dot{\Delta} d \\
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|
R \Delta \theta+\Delta d &=-g \Delta \theta \\
|
|
\left(m+\frac{J}{b^{2}}\right) \ddot{\Delta r} &=-\frac{\Delta C}{b}-\frac{C_{r} \Delta r}{b^{2}}
|
|
\end{cases}
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|
\end{equation}
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|
On en deduit le modèle d'état linéarisé:
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\[
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\deriv{t}\vect{\Delta d \\ \Delta r \\ \Delta\theta \\ \dot{\Delta d}\\ \dot{\Delta r}\\ \dot{\Delta \theta}} =
|
|
\left[ \begin{array}{cccccc}
|
|
{0} & {0} & {0} & {1} & {0} & {0} \\
|
|
{0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {0} \\
|
|
{0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} \\
|
|
{0} & {0} & {\frac{m g}{M_{c}}} & {-\frac{C_{d}}{M_{c}}} & {0} & {0} \\
|
|
{0} & {0} & {0} & {0} & {-\frac{C_{r}}{J+m b^{2}}} & {0} \\
|
|
{0} & {0} & {-\left(1+\frac{m}{M c}\right) \frac{g}{R}} & {\frac{C_{d}}{R M_{c}}} & {0} & {0}
|
|
\end{array}\right] \cdot
|
|
\left[ \begin{array}{c}{\Delta d} \\ {\Delta r} \\ {\Delta \theta} \\ {\Delta d} \\ {\Delta r} \\ {\Delta \theta}\end{array}\right]+
|
|
\left[ \begin{array}{ccc}{0} & {0} \\ {0} & {0} \\ {0} & {0} \\ {\frac{1}{M_{c}}} & {0} \\ {0} & {-\frac{1}{\frac{J}{b}+m b^{2}}} \\ {-\frac{1}{R M_{c}}} & {0}\end{array}\right]
|
|
\cdot \left[ \begin{array}{c}{\Delta F} \\ {\Delta C}\end{array}\right]
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|
\]
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\section{Commande linéaire}
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\paragraph{Manip.1}
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Dans le cas linéaire on construit la matrce de Kallman :
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\[
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\mathcal{C} = \vect{B & AB & A^2B & A^5B }
|
|
\]
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avec la fonction matlab \texttt{rank(Com)} on vérifie que le système est bien commandable.
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\begin{minted}{matlab}
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A = [0 0 0 1 0 0 ;
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0 0 0 0 1 0 ;
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0 0 0 0 0 1 ;
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0 0 m*g/Mc -Cd/Mc 0 0 ;
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|
0 0 0 0 -Cr/(b^2*(J/b^2+m)) 0 ;
|
|
0 0 -g/R*(1+m/Mc) Cd/(Mc*R) 0 0];
|
|
B = [0 0 ;
|
|
0 0 ;
|
|
0 0 ;
|
|
1/Mc 0 ;
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|
0 -1/(b*(J/b^2+m)) ;
|
|
-1/(R*Mc) 0 ];
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|
Com = [B A*B A^2*B A^3*B A^4*B A^5*B];
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|
rank(Com)
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\end{minted}
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|
On a un rang de 6, le système linéaire est bien commandable.
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\paragraph{Manip.2}
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avec la fonction \texttt{damp(eig(A))} on trouve les valeurs propres et constantes de temps de la matrice d'état
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\begin{table}[H]
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\centering
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\begin{tabular}[t]{llll}
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\hline
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|
{\bf Pole} & {\bf Damping} & {\bf Time Constant} & \\
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|
\hline
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|
& & {(rad/TimeUnit)} & {(TimeUnit)} \\
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0.00e+00 & -1.00e+00 & 0.00e+00 & Inf \\
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|
-1.82e-04 + 1.48e+00i & 1.23e-04 & 1.48e+00 & 5.50e+03 \\
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|
-1.82e-04 - 1.48e+00i & 1.23e-04 & 1.48e+00 & 5.50e+03 \\
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|
-3.64e-03 & 1.00e+00 & 3.64e-03 & 2.75e+02 \\
|
|
0.00e+00 & -1.00e+00 & 0.00e+00 & Inf \\
|
|
-1.54e-01 & 1.00e+00 & 1.54e-01 & 6.50e+00 \\
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}
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|
\caption{Valeur propre et pulsation caractéristique}
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\end{table}
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On a donc la pulsation propre du système : $\omega_0$= \SI{1.48}{rad/s}. On choisi alors d'imposer les poles suivant, (d'après le cahier des charges) en ammortissant le pole double conjugué principal:
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\[
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|
p_{1,2} = \omega_0(\xi\pm j \sqrt{1-\xi^2}) = 1.48(0.5\pm \sqrt{1-0.5^2})
|
|
\]
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\begin{minted}{matlab}
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vprA = damp(eig(A)); % valeur propres de A
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omega0 = vprA(2);
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xi = 0.5
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i=complex(0,1);
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|
p1 = omega0*(xi+ i *sqrt(1-xi^2));
|
|
p2 = omega0*(xi- i *sqrt(1-xi^2));
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|
p = [-2 -2.5 -3 -4 p1 p2];
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K = place(A,B,p)
|
|
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\end{minted}
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\[K = 10^{5}\cdot
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|
\begin{bmatrix}
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|
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|
0.4288 & 0.1360 & 2.2614 & 0.0215 & 0.0506 & -0.9539 \\
|
|
-0.0035 & -0.0261 & -0.0026 & 0.0019 & -0.0182 & 0.0195 \\
|
|
|
|
\end{bmatrix}\]
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|
\paragraph{Manip.3}
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Pour le terme de précommande, si l'on veux un gain statique unitaire, il faut\footnote{cf UE 421}:
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\[
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|
\eta =\frac{-1}{C_1(A-BK)^{-1}B_1} = 4.1039. 10^{4}
|
|
\]
|
|
Avec $C_1$ et $B_1$ lignes et colonnes des matrices $C$ et $B$ propre à $\Delta d$
|
|
\paragraph{Manip.4} L'ajout d'une composante intégrale va rendre notre système précis. On construit alors la fonction de transfert grace à MATLAB:
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\begin{minted}{matlab}
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|
sys = ss( A-B*K,B(:,2),C(2,:), 0 );
|
|
H = tf(sys);
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|
bode(H);
|
|
\end{minted}
|
|
On obtient le diagramme de bode suivant:
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\begin{figure}[ht]
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|
\centering
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|
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{manip_5_bode.png}
|
|
\caption{Diagramme de bode système en boucle ouverte}
|
|
\label{fig:label}
|
|
\end{figure}
|
|
\paragraph{Manip.5}
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|
La marge de phase est nulle, on met en place un correcteur intégrale pur qui apporte stabilité et précission au système:
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\begin{minted}{matlab}
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Ti = 4e-4
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CI = tf(1,[-Ti 0]); % négatif pour avoir une phase >180
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%bode(H,CI*H,'grid')
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figure();
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|
margin(CI*H)
|
|
\end{minted}
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\begin{figure}[H]
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\centering
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|
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{manip_5marge.png}
|
|
\caption{Marge de Phase et Gain pour $T_i=4.10^{-4}$}
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\label{fig:margin}
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\end{figure}
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|
sur la figure\ref{fig:margin} on relève une marge de phase de 50$^o$ , le cahier des charge est respecté.
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\begin{figure}[ht]
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|
\centering
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|
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{bouclage_modele_L.png}
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|
\caption{Modèle Linéaire compléter par le correcteru par retour d'état.}
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\label{fig:label}
|
|
\end{figure}
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\paragraph{Manip.6}
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Avec une commande $\Delta d_c = 20$m on obtient la figure suivante:
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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|
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{manip6_20.png}
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\caption{sortie du système pour une commande de 20m}
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\label{fig:gain20}
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|
\end{figure}
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|
On remarque que le système n'est plus précis, il faut recaler le gain, ici manuellement, pour obtenir un système précis.
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|
On atteint les limites du modèle linéaire, pour des commandes plus grande ou plus complexe il va falloir tenir compte des non-linéarités du système.
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\paragraph{Manip.7}
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On applique le correcteur au modèle non linéaire, en ayant recentrer le
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retourd'état autour de son point de fonctionnement.
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|
On obtient une sortie chaotique, mais douce. comme on peux le voir sur la figure \ref{fig:dc_var}
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\paragraph{Manip.8}
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|
Un changement de consigne apporte un comportement différents :
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\begin{figure}[H]
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|
\centering
|
|
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
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|
\centering
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|
\includegraphics[width=\textwidth]{NL_correcL10.png}
|
|
\caption{$d_c=10$}
|
|
\label{fig:label}
|
|
\end{subfigure}%
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|
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=\linewidth]{NL_correcL100.png}
|
|
\caption{$d_c=100$}
|
|
\label{fig:label}
|
|
\end{subfigure}\\
|
|
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=\linewidth]{NL_correcL1.png}
|
|
\caption{$d_c=1$}
|
|
\label{fig:label}
|
|
\end{subfigure}
|
|
\caption{différentes sorties pour des consignes différentes}
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|
\label{fig:dc_var}
|
|
\end{figure}
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\section{Commande non linéaire hiérarchisante}
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|
\subsection{commande à grand gain}
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\paragraph{Prépa.6} On planifie la trajectoire avec:
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\begin{equation}
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|
\begin{aligned} D_{c}(t) &=(1-\phi(t)) D_{i n i}+\phi(t) D_{f i n} \\
|
|
R_{c}(t) &=(1-\phi(t)) R_{i n i}+\phi(t) R_{f i n}
|
|
\end{aligned}
|
|
\end{equation}
|
|
Avec les conditions initiales et finales sur les positions
|
|
$\phi(0)=0 \quad$ et $\quad \phi(\Delta t)=1$
|
|
et celles sur la vitesse et l'accélération
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|
$\forall i=1,2\left.\frac{d^{i} \phi(t)}{d t^{i}}\right|_{t=0}=0 \quad$ et $\quad\left.\frac{d^{i} \phi(t)}{d t^{i}}\right|_{t=\Delta t}=0$
|
|
On a 6 conditions à respecter, donc on choisit un polynôme de degré 5:
|
|
\[
|
|
\phi(t) = a_5 t^5 + a_4 t^4 +a_3 t^3 + a_2 t^2+a_1 t+ a_0
|
|
\]
|
|
|
|
Les conditions initiales imposent $a_0=a_1=a_2 = 0$ on a donc le polynome : $ \phi(t) = a_5 t^5 + a_4 t^4 +a_3 t^3$.
|
|
Alors :
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|
\begin{equation}
|
|
\begin{aligned} \alpha(\Delta t)=1 & \Rightarrow \quad a_5 \Delta t^{5} \quad+a_4 \Delta t^{4} \quad+a_3 \Delta t^{3}=1 \\
|
|
\left.\frac{d \alpha(t)}{d t}\right|_{t=\Delta t}=0 & \Rightarrow 5 a_5 \Delta t^{4} \quad+4 a_4 \Delta t^{3}+3 a_3 \Delta t^{2}=0 \\
|
|
\left.\frac{d^{2} \alpha(t)}{d t^{2}}\right|_{t=\Delta t}=0 & \Rightarrow 20 a_5 \Delta t^{4}+12 a_4 \Delta t^{3}+6 a_3 \Delta t^{2}=0
|
|
\end{aligned}
|
|
\end{equation}
|
|
En résolvant le système on obtient:
|
|
\[
|
|
a_5 = \frac{6}{\Delta t^5} ,\quad a_4 = \frac{-15}{\Delta t^4}, \quad a_3 = \frac{10}{\Delta t^3}
|
|
\]
|
|
|
|
\paragraph{Prépa.7} à partir de l'équation (2.4) de l'énoncé on a :
|
|
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\begin{equation}
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|
\frac{1}{\omega_{0}^{2}}=\frac{R}{g} \Rightarrow \omega_{0}=\sqrt{\frac{g}{R}}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\paragraph{Prépa.8} on a les commandes :
|
|
\begin{equation}
|
|
F=\frac{M_{c}}{\epsilon_{d}}\left(\dot{D}_{c}-\dot{d}\right) \text{ et } C=-\frac{J / b+m b}{\epsilon_{r}}\left(\dot{R}_{c}-\dot{r}\right)
|
|
\end{equation}
|
|
soit le modèle :
|
|
\begin{equation}
|
|
\dot{x}=\left[ \begin{array}{c}{\Delta d} \\ {\Delta r} \\ {\frac{m g}{M_{c}} \Delta \theta-\frac{C_{d}}{M_{c}} \Delta d+\frac{1}{\epsilon_{d}}\left(\dot{D}_{c}-\dot{d}\right)} \\ {\frac{-C_{r}}{J+m b^{2}}+\frac{F_{c}-\dot{r}}{\epsilon_{r}}} \\ {\Delta \theta}\end{array}\right]
|
|
\end{equation}
|
|
D'où :
|
|
\begin{equation}
|
|
\begin{aligned}
|
|
\ddot{\Delta d} &=-\left(\frac{C_{d}}{M_{c}}+\frac{1}{\epsilon_{d}}\right) \Delta d+\frac{\dot{D}_{c}}{\epsilon_{d}}+\frac{m g}{M_{c}} \Delta \theta \\
|
|
\ddot{\Delta r} &=-\left(\frac{C_{r}}{J+m b^{2}}+\frac{1}{\epsilon_{r}}\right) \Delta r+\frac{\dot{R}_{c}}{\epsilon_{r}} \\
|
|
\text { On peut poser } \tau_{d} &=\frac{1}{\frac{C_{d}}{M_{c}}+\frac{1}{\epsilon_{d}}} \\
|
|
\text { et } \tau_{r} &=\frac{1}{\frac{C_{r}}{J+m b^{2}}+\frac{1}{\epsilon_{r}}}
|
|
\end{aligned}
|
|
\end{equation}
|
|
En considérant $\epsilon_d \ll 1 $ et $\epsilon_r <<1 $ on a $\tau_d \simeq \epsilon_d$ et $\tau_r \simeq \epsilon_r$
|
|
|
|
\paragraph{Prépa.9}
|
|
On doit prendre $\epsilon_d$ et $\epsilon_r$ suffisamment petit devant la pulsation du sytème $\omega_0$, pour avoir une commande qui puisse compenser suffisament vite les oscillations du système.
|
|
\paragraph{Manip.9}
|
|
On réalise la commande suivante :
|
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\begin{figure}[ht]
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|
\centering
|
|
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{boucleNL.png}
|
|
\caption{Élaboration de la commande pour la porsuite de trajectoire}
|
|
\label{fig:label}
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\end{figure}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
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\centering
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\includegraphics[width=\linewidth]{traj_plan_d}
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\caption{poursuite sur $d$}
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\label{fig:label}
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\end{subfigure}%
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\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
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\centering
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\includegraphics[width=\linewidth]{traj_plan_r}
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\caption{Poursuite sur $r$}
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\label{fig:label}
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\end{subfigure}
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\caption{Commande en poursuite de trajectoire}
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\label{fig:pours_traj}
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\end{figure}
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sur la figure \ref{fig:pours_traj} on remarque que la poursuite est plutot bien respecté pour $d$, mais celle sur $r$ conduit à un écart final non nul.
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\paragraph{Manip.10}
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\paragraph{Manip.11}
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\paragraph{Manip.12}
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\paragraph{Manip.13}
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\subsection{Platitude}
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\paragraph{Prépa.10}
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Pour montrer que le systeme est plat, ayant pour sortie plates $(x, z),$ il faut montrer que les états,$d, r, \theta$ et les commandes $F, C$ ne dépendent que des sorties $x, z$ et de leurs derivées.
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\begin{equation}
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\left\{
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\begin{aligned}
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x &=r \sin \theta+d \\
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m \ddot{x} &=-T \sin \theta
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\end{aligned}
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\right. \Rightarrow d=x+r \frac{m \ddot{x}}{T}
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\end{equation}
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Or on a:
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\begin{equation}
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\begin{cases}
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m \ddot{x}=-T \sin \theta \\
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m \ddot{z}=-T \cos \theta+m g
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\end{cases} \Rightarrow T=m \sqrt{\ddot{x}^{2}+(g-\ddot{z})^{2}}
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\end{equation}
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\begin{equation}
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\begin{cases}
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x=r \sin \theta+d \\
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z=r \cos \theta
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\end{cases} \Rightarrow r^{2}=(x-d)^{2}+z^{2}
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\end{equation}
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Soit :
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\begin{equation}
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\begin{cases}
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x-d &=-r \frac{m \ddot{x}}{T} \\
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r^{2} &=(x-d)^{2}+z^{2}
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\end{cases} \Rightarrow r^{2}=\frac{z^{2}}{1-\frac{\ddot{x}^{2}}{\vec{x}^{2}+(g-\ddot{z})^{2}}}
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\end{equation}
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Or $\theta = \arccos{\frac{z}{r}}$ on a donc :
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\begin{equation}
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r=\sqrt{\frac{z^{2}}{1-\frac{\ddot{x}^{2}}{\ddot{x}^{2}+(g-\ddot{z})^{2}}},}, d=x+\sqrt{\frac{z^{2}}{(g-\ddot{z})^{2}}} \ddot{x}, \quad \text { et } \theta=\arccos \sqrt{1-\frac{\ddot{x}^{2}}{\ddot{x}^{2}+(g-\ddot{z})^{2}}}
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\end{equation}
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Les variables d'états de dépendent donc que des sorties et de leurs dérivées, de même pour la commande
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\begin{equation}
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\begin{aligned}
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C &=b T-C_{r} \frac{\dot{r}}{b}-J \frac{\ddot{r}}{b} \\
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F &=M_{c} \ddot{d}-T \sin \theta+C_{d} \dot{d}
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\end{aligned}
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\end{equation}
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Le système est plat ,avec le sorties plates $x,z$
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\paragraph{Prépa.11}
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Les conditions imposées sont :
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\begin{equation}
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\begin{cases}
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d(t=0) = D_{ini} \\
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r(t=0) = R_{ini} \\
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|
\theta(t=0) = 0
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\end{cases} \quad\text{ et }\quad
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\begin{cases}
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d(t=\Delta t ) = D_{fin} \\
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|
r(t=\Delta t ) = R_{fin} \\
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|
\theta(t=\Delta t ) = 0
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\end{cases}
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\end{equation}
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Ce qui se transpose aux coordonnées:
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\begin{equation}
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\begin{cases}
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x(t=0) = D_{ini}\\
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z(t=0) = R_{ini} \\
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|
\end{cases} \quad\text{ et }\quad
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\begin{cases}
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|
x(t=\Delta t) = D_{fin}\\
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|
z(t=\Delta t) = R_{fin} \\
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|
\end{cases}
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\end{equation}
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On pose donc :
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\begin{equation}
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\begin{aligned}
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x_{c}(t) &=(1-\alpha(t)) D_{i n i}+\alpha(t) D_{f i n} \\
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|
z_{c}(t) &=(1-\alpha(t)) R_{i n i}+\alpha(t) R_{f i n}
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\end{aligned}
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\end{equation}
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De manière analogue à la préparation 6 on a les conditions initiales et finales sur les positions et leur dérivées:
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\[
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\alpha(0) = 0 ,\quad \alpha(\Delta t) =1, \quad \forall i = 1,2,3\left. \deriv[^i\alpha(t)]{t^i}\right|_{t=0}= 0 \text{ et } \left.\deriv[^i\alpha(t)]{t^i}\right|_{t=\Delta t}= 0
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|
\]
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Pour satisfaire les 8 conditions on choisit un polynome d'ordre 7 :
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\begin{equation}
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\alpha(t)=a_{7} t^{7}+a_{6} t^{6}+a_{5} t^{5}+a_{4} t^{4}+a_{3} t^{3}+a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}
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|
\end{equation}
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Les conditions initiales imposent $a_0=a_1=a_2=a_3 =0$ et les conditions finales donnent :
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\begin{equation}
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\begin{array}{lllllll}
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\alpha(\Delta t) & =1 & a_7\Delta t^7 & + a_6 \Delta t^6 & + a_5 \Delta t^5 & + a_4 \Delta t^4 & =1 \\
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\frac{d \alpha(t)}{d t}|t=\Delta t & =0 & 7a_7\Delta t^6 & + 6a_6 \Delta t^5 & 5a_5\Delta t^4 & 4a_4 \Delta t^3 & =0 \\
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|
\frac{d^{2} \alpha(t)}{d t^{2}}|_{t=\Delta t} & =0 & 42a_7\Delta t^5 & +30a_6 \Delta t^4 & 20a_5 t^3 & 12a_4\Delta t^2 & =0 \\
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|
\frac{d^{3} \alpha(t)}{d t^{3}} |_{t=0} & t=\Delta & 210a_z\Delta t^4 & +120a_6\Delta t^3 & 60a_5 \Delta t^2 & 24a_4\Delta t & =0
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\end{array}
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\end{equation}
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On a donc :
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\begin{equation}
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a_{7}=\frac{-20}{\Delta t^{7}}, \quad a_{6}=\frac{70}{\Delta t^{6}}, \quad a_{5}=\frac{-84}{\Delta t^{5}}, \quad a_{4}=\frac{35}{\Delta t^{4}}
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\end{equation}
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\paragraph{Prépa.12}
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On impose une trajectoire parabolique ainsi,au niveau niveau de l'obstacle :$x_c=x_H \implies z_c=z_H$. On pose donc :
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\[
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z_c = a(x_c-x_h)^2+z_h
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\]
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En évaluant cette expression à la position initiale on a:
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\[
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a = \frac{R_{ini}-z_H}{(D_{ini}-x_H)^2}
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\]
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Pour déterminer $x_H$ on utilise la position finale et on a:
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\begin{equation}
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x_{H}=\frac{D_{i n i}+\sqrt{\frac{R_{i n i}-z_{H}}{R_{i n i}-z_{H}}} D_{f i n}}%
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|
{1+\sqrt{\frac{R_{i n i}-z_{H}}{R_{f i n}-z_{H}}}}
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\end{equation}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: t
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%%% End:
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