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\documentclass[main.tex]{subfiles}
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\begin{document}
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Dans la suite du chapitre on étudiera le modèle suivant : Affine en la commande
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\[(\Sigma)
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\begin{cases}
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\dot{x} & = f(x) + g(x) u\\
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y & = h(x)
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\end{cases}
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\]
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\section{Commande par bouclage linéarisant}
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\includegraphics[width=0.7\textwidth]{5/1.png}
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\caption{Principe du bouclage linéarisant}
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\end{figure}
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% \img{0.5}{5/1} A rajouter !
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Figure a rajouter
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\subsection{Linéarisation entrées-sorties}
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On se place dans le cas SISO: $u\in \R$ et $y\in\R$
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\begin{defin}
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Le\emph{ degré relatif} $r$ du système $(\Sigma)$ est défini par $r \in \N$ tel que
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\[
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\begin{cases}
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L_gL_f^{r-1}h(x) &\neq 0\\
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L_gL_f^{k}h(x) &= 0 \quad \forall k < r-1
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\end{cases}
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\]
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\end{defin}
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\subsubsection{Procédure de linéarisation}
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On cherche $r$ par le calcul des dérivées successives de $y=h(x)$ :
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\begin{align*}
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\dot{y} & = \derivp[h(x)]{x} \dot{x}\\
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& = \derivp[h(x)]{x}(f(x)+g(x)u) \\
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& = L_fh(x) + L_gh(x)u
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\intertext{Si $L_gh(x)\neq0$, alors $r=1$. Sinon on continue la procédure :}
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y^{(2)} & = \derivp[L_fh(x)]{x}\dot{x} \\
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& = \derivp[L_fh(x)]{x}f(x) + \derivp[L_fh(x)]{x}g(x)u \\
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& = L^2_fh(x) + L_gL_fh(x)u
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\intertext{Si $L_gL_fh(x) \neq 0$, alors $r=2$. Sinon on continue...}
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y^{(r)} & = L_f^rh(x) + L_gL_f^{r-1}h(x)u
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\end{align*}
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\begin{rem}
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On a $1 \leq r \leq n$ car la procédure utilise la base canonique ($x_1=y,x_2=\dot{y}$) : la commande doit apparaître au maximum à la $n$-ième dérivée.
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\end{rem}
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On pose $v=y^{(r)} = L_f^rh(x) + L_gL_f^{r-1}h(x)u \ne 0$ Alors:
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\[
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u = (L_gL_f^{r-1}h(x))^{-1}(v-L_f^rh(x))
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\]
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\[
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u = \alpha(x) + \beta(x)v , \text{ avec }
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\begin{cases}
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\alpha(x) & = -(L_gL_f^{r-1}h(x))^{-1}L_f^rh(x) \\
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\beta(x) & = (L_gL_f^{r-1}h(x))^{-1}
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\end{cases}
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\]
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La nouvelle entrée de commande est $v$ telle que
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\[ \begin{cases} \dot{x} & = f(x) + g(x)\alpha(x) + g(x)\beta(x)v \\ y & = h(x) \end{cases} \]
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$u = \alpha(x) + \beta(x)v$ est le bouclage linéarisant statique car à un instant fixé, la linéarisation ne dépend que de $x$ à cet instant.\\
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\subsubsection{Cas $r=n$}
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\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
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Choix de la base :
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\begin{align*}
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z_1 & = y = h(x) \\
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z_2 & = \dot{y} = L_fh(x) \Rightarrow \dot{z_1} = z_2 \\
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z_3 & = \ddot{y} = L_g^2h(x) \Rightarrow \dot{z_2} = z_3 \\
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\vdots \\
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y^{(n)} & = \dot{z_n} = L_f^nh(x) + L_gL_f^{n-1}h(x)u = v
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\end{align*}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
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Nouveau modèle :
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\begin{align*}
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\dot{z_1} & = z_2 \\
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&\vdots \\
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&\vdots\\
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\dot{z_{n-1}} & = z_n \\
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\dot{z_n} & = a(z) + b(z)u = v
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\end{align*}
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\end{minipage}
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On a donc la commande suivante :\[ u = \frac{v-a(z)}{b(z)} \text{ avec } b(z) \neq 0 \]
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Qui nécessite le changement de base des variables d'états :
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\[ z = \phi(x) = \vect{\phi_1(x) \\ \vdots \\ \phi_n(x)} = \vect{ h(x) \\ L_fh(x) \\ \vdots \\ L_f^{n-1}h(x)} \]
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\[ u = \alpha(x)+\beta(x)v \text{ avec } \alpha(x) = -\frac{a(z)}{b(z)}|_{z=\phi(x)} \text{ et } \beta(x) = \frac{1}{b(z)}|_{z=\phi(x)} \]
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\includegraphics[width=0.7\textwidth]{5/2.png}
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\caption{Forme normale}
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\end{figure}
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\subsubsection{Cas $r<n$}
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\begin{align*}
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z_1 &= y\\
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z_2 &= \dot{z_1} \\
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& \vdots \\
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\dot{z_r} &= L_g^rh+L_gL_f^{r-1}h u = v
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\end{align*}
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Alors on complete les variables d'état avec le vecteur$ \eta\in\R^{n-r}$ tel que:
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\[
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\dot{\eta}=q(\eta,z,v,\dot{v},...)
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\]
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\begin{rem}
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La dynamique de $\eta$ n'est pas linéaire (contrairement à $z$), pour appliquer la commande désirée il faut s'assurer que la dynamique de $\eta$ est stable car elle sera non observable par $y$.
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On peux faire une analogie avec la compensation de pôles, qui n'est possible que si le pôle compensé est stable. En cachant la dynamique associée à ses poles ils ne sont plus observables
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\end{rem}
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\begin{rem}\emph{ À clarifier }
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Ainsi on défini la dynamique des zéros. Le système commandé est en régime stationnaire :
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\[
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\dot{v}=0 y=0 ..
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\]
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La dynamique des zéro est celle $\dot{\eta} =q(\eta,0,v)$. Puisque la commande est linéaire on aussi prendre $v=0$
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\subsection{Dynamique des zéros}
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\begin{defin}
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C'est la dynamique interne pour une sortie identiquement nulle.
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Ainsi, $y = 0 = z_1 \Rightarrow \dot{z_1} = \dot{z_2} = \dot{z_r} = v = 0$ et $u = -\frac{a(z)}{b(z)}$
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La dynamique restante
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\begin{align*}
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&\left\lbrace
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\begin{array}{cc}
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\dot{z_{r+1}} & = q_{r+1}(z) \\
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\vdots \\
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\dot{z_n} = q_n(z)
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\end{array}\right. \text{ où } z = (0,z_{r+1},\dots z_n)^T = (0,\text{ et }a)^T\\
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& \left\lbrace
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\begin{array}{cc}
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\dot{\eta_1} & = q_{r+1}(0,\eta) \\
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\vdots \\
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\dot{\eta_{n-r}} & = q_n(0,\eta)
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\end{array} \right. \text{ avec } u = \frac{-a(0,\eta)}{b(0,\eta)}
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\end{align*}
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\end{defin}
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\begin{rem}
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Si $r<n$, le système comporte une dynamique des zéros. Dans le cas ou la dynamique des zéros est instable, on peux chercher à trouver une transformation pour linéariser le modèle entrée-états.
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\end{rem}
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\subsection{Linéarisation entrée-états}
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On ne dispose pas d'une sortie $y=h(x)$ donc on essaye de trouver une sortie "fictive".\\
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Problème : trouver le bon changement de base $z_1 = \phi_1(x)$ qui remplace $z_1=y=h(x)$ :
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\[ z = \vect{z_1 \\ \vdots \\ z_n} = \vect{\phi_1(x) \\ \vdots \\ \phi_n(x)} = \phi(x) \]
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$\phi$ est un difféomorphisme, i.e. bijectif et différentiable, de même pour la réciproque.\\
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\begin{thm}
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Le système $\dot{x} = f(x) + g(x)u$ (1) est \emph{linéarisable entrée-états} si
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\begin{itemize}
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\item il existe une région $\Omega \in \R^n$, un difféomorphisme $\phi:\Omega\rightarrow\R^n$
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\item et un retour d'état $u=\alpha(x) + \beta(x)v$ tels que le nouveau vecteur
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d'état est $z=\phi(x)$
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\item et la nouvelle entrée est $v$ avec $\dot{z} = Az+Bv$,
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où $A$ est la matrice d'évolution $\in \R^{m \times n}$.
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\end{itemize}
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\end{thm}
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En s'inspirant de la linéarisation entrée-sortie, on simplifie la recherche de $\phi(x)$ par celle de $\phi_1(x)=z_1$ et le reste des transformations est obtenu par la forme canonique (forme normale).
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\begin{align*}
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z_2 & = \phi_2(x) \\
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& = \dot{z_1} = \dot{\phi_1}(x) \\
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& = \derivp[\phi_1(x)]{x}f(x) + \derivp[\phi_1(x)]{x}g(x)u \\
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& = L_f\phi_1(x) + L_g\phi_1(x)u \text{ avec } L_g\phi_1(x) = 0 \\
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z_3 & = L_f^2 \phi_1(x) \text{ avec } L_gL_f\phi_1(x) = 0 \\
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\phi(x) & = \vect{\phi_1(x) \\ L_f\phi_1(x) \\ \vdots \\ L_f^{n-1} \phi_1(x)} \text{ avec } L_gL_f^j \phi_1(x) = 0, j = 0,\dots n-2
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\end{align*}
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Or, $ L_gL_f^j \phi_1(x) = 0, j = 0,\dots n-2 \Leftrightarrow L_{ad_f^j g} \phi_1(x) = 0 $ car
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\begin{align*}
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L_g(L_g\phi_1) - L_g(L_f\phi_1)) & = L_f(\derivp[\phi_1]{x}g)-L_g(\derivp[\phi_1]{x}f) \\
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& = \derivp[^2\phi_1]{x^2}g.f + \derivp[\phi_1]{x}J_g.f - \derivp[^2 \phi_1]{x^2}g.f - \derivp[\phi_1]{x}J_f.g \\
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0 & = L_{[f,g]}\phi_1 = L_{ad_f g} \phi_1 = 0
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\end{align*}
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Existe-t-il $\phi_1(x)$ tel que
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$\begin{cases}
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L_g L_f^j \phi_1(x) & = 0, \quad j = 0, \dots, n-2\\
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L_g L_f^{n-1} \phi_1(x) & \neq 0 \\
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\end{cases} $ ?
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\begin{defin}
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L'application $\Delta(x)$ est une\emph{ distribution de champs de vecteurs} sur $\Omega$ si $\forall x \in \Omega, \Delta(x)$ est un sous-espace vectoriel.
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\end{defin}
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\begin{exemple}
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\[\Delta(x) = vect \left\lbrace \vect{x_1 \\ x_2 \\2}, \vect{x_1x_3 \\ x_2x_3 \\ 2x_3},\vect{x_2 \\ x_2 \\ 0} \right\rbrace \]
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\begin{align*}
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x_2 = 0 & \Rightarrow \Delta(x) = vect \left\lbrace \vect{x_2 \\ 0 \\ 2} \right\rbrace \\
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& \Rightarrow \Delta(x) \text{ est e.v. de dim = 1} \\
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x_2 \neq 0
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& \Rightarrow \Delta(x) = vect \left\lbrace \vect{x_1 \\ x_2 \\ 2},\vect{1 \\ 1 \\ 0} \right\rbrace \\
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& \Rightarrow \Delta(x) \text{ est un e.v. de dim = 2}
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\end{align*}
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$\Delta(x)$ est une distribution de champs de vecteurs.
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\end{exemple}
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\begin{defin}[Involution]
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La distribution $\Delta$ est involutive ssi
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\[\forall f,g \in \Delta, \quad [f,g] \in \Delta, \quad \text{Homogénéité est mère de vertu} \]
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\end{defin}
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\begin{rem}
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$\Delta(x) = vect \{ f_1, \dots, f_p \}$ est une distribution involutive ssi
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\[ \exists \alpha_{ij_k} : \R^n \mapsto \R \text{ tq } [f_i,f_j] = \sum_{k=1}^p \alpha_{ij_k}(x) f_k, \quad i = 1,\dots p, j = 1,\dots p\]
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\end{rem}
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\begin{exemple}
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\[ x_2 \neq 0 \Rightarrow \Delta(x) = vect\left\lbrace \vect{x_1 \\ x_2 \\ 2}, \vect{1 \\ 1 \\ 0} \right\rbrace\]
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\begin{align*}
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[f_1,f_2] & = J_{f_2}f_1 - J_{f_1} f_2 \\
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& =
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\begin{bmatrix}
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0 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 0
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|
\end{bmatrix}
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|
\vect{x_1 \\ x_2 \\ 2} -
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|
\begin{bmatrix}
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|
1 & 0 & 0 \\
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|
0 & 1 & 0 \\
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|
0 & 0 & 0
|
|
\end{bmatrix}
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|
\vect{ 1 \\ 1 \\ 0} \\
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& = \vect{ -1 \\ -1 \\ 0} = -f_2 \in \Delta
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\end{align*}
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$\Delta$ est une distribution involutive pour $x_2 \neq 0$
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\end{exemple}
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\newcommand{\lesys}{$\dot{x}=f(x)+g(x)u, x\in\R^n, u\in\R$}
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\begin{thm}[Théorème d'existence de $\phi_1$]
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Soit le système \lesys.
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Il existe un changement de base $z=\phi(x)$ linéarisant sur $\Omega$ tel que $\phi^T(x) = [\phi_1(x), L_f\phi_1(x) \dots L_f^{n-1} \phi_1(x) ]$ ssi :
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\begin{itemize}
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\item $dim(g,ad_f g, \dots ad_f^{n-1} g) = n$ (Commandabilité Kalman)
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\item la distribution engendrée par $\{g, ad_f g, \dots ad_f^{n-1}g\}$ est involutive, $\forall x \in \Omega$ \footnote{Homogénéité est mère de vertu}
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\end{itemize}
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\end{thm}
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Ainsi, la procédure de linéarisation entrée-états est réalisée via les étapes suivantes :
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\begin{enumerate}
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\item Construction de $E = \{ g, ad_f g, \dots, ad_f^{n-1} g \}$
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\item Vérifier la commandabilité, i.e. $dim(E) = n$ (Kalman !)
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\item Montrer que $\Delta(x) = vect\{E\}$ est involutif, i.e. $\exists \alpha_{ij_k}(x) : \Omega \mapsto \R$ tel que :
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\[ [ad_f^i g, ad_f^j g] = \sum_{k=0}^{n-1} \alpha_{ij_k}(x).ad_f^k g, \quad i,j = 0,\dots,n-1 \]
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\item Trouver $\phi_1(x)$ avec $\begin{cases}L_{ad_f^j g} \phi_1(x) & = 0, j=0,\dots n-2 \\ L_gL_f^{n-1} \phi_1(x) & \neq 0 \end{cases}$
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\item Construction du nouveau vecteur d'état $z^T = \phi^T(x) = [\phi_1(x), L_f\phi_1(x) \dots L_f^{n-1} \phi_1(x) ]$
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\item Linéarisation par retour d'état statique $u = \alpha(x)+\beta(x)v$, $v$ nouvelle commande du modèle linéaire, avec
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\[ \alpha(x) = -\frac{L_f^n \phi_1(x)}{L_gL_f^{n-1}\phi_1(x)} \text{ et } \beta(x) = \frac{1}{L_gL_f^{n-1}\phi_1(x)} \]
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\end{enumerate}
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Si le degré relatif $r<n$ dimension du modèle (entrée-sortie), alors le modèle N.L est partiellement linéarisable, mais le comportement entrée-sortie est linéaire : suffisant pour la commande du système à condition que la dynamique N.L (non linéarisée par le bouclage) est stable, i.e. $||x||$ est bornée.
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Ainsi en imposant :$z_1 = y = \phi_1(x)$ le modèle est sous forme normale :
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\begin{align*}
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& \left\lbrace
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\begin{array}{cc}
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\dot{z_1} & = z_2 \\
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\vdots \\
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|
\dot{z_r} & = v
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\end{array}
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\right. \text{ Partie linéaire, de dimension $r$, entrée-sortie }\\
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& \left\lbrace
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\begin{array}{cc}
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\dot{z_{r+1}} & = q_{r+1}(z) \\
|
|
\vdots \\
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\dot{z_n} & = q_n(z)
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|
\end{array}
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|
\right.
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\text{ Partie N.L., de dimension $n-r$ n'influe sur la sortie}
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\end{align*}
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\begin{rem}
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En linéaire, le degré relatif correspond à la différence entre le degré du dénominateur et du numérateur $r=n-m$.
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En effet, $y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + a_1y ^{(1)} + a_0y = b_mu^{(m)} + \dots + b_1u^{(1)} + b_0u$ :
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\[ \dd{}{t}\vect{x_1 \\ \vdots \\ x_n} = \left[ \begin{array}{ccccc}
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|
0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\
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|
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
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|
\vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\
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|
0 & \dots & \dots & 0 & 1 \\
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|
-a_n & -a_{n-1} & \dots & \dots & -a_1
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|
\end{array} \right] \vect{x_1 \\ \vdots \\ x_n} + \vect{0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1} u, y = (b_0, \dots b_m, 0 \dots 0) u\]
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|
\begin{align*}
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z_1 & = y = Cx \\
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z_2 & = \dot{z_1} = C\dot{x} = C(Ax+Bu) \\
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& = CAx + CBu
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\intertext{ Si $r=0$, alors $CB = (b_0 \dots b_M, 0 \dots 0) ( 0 \dots 1)^T = b_m$ ($r=n-m$ zéros dans $C$)}
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\intertext{ Si $CB = 0 = L_g\phi_1$,}
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z_2 & = L_f \phi_1 = CAx \\
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\dot{z_2} & = CA(Ax+Bu) = CA^2x + CAB u \Rightarrow r=1 (??)
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\end{align*}
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\end{rem}
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\subsection{Système à déphasage minimal}
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\begin{defin}[Cas linéaire]
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Si les zéros sont à partie $Re<0$
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\end{defin}
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\begin{defin}[Cas non linéaire]
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dynamique des zéros stables, i.e. à l'origine on a :
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\[\left\lbrace
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\begin{array}{cc}
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\dot{\eta_1} & = q(0,\eta) \\
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|
\vdots \\
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|
\dot{\eta_{n-r}} & = q(0,\eta)
|
|
\end{array} \right. \text{ est stable} \]
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Ainsi, le le système est à déphasage non minimal, on applique la linéarisation $e-s$.
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\end{defin}
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\subsection{Cas MIMO du bouclage linéarisant}
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Le linéarisation revient à trouver la commande qui réalise la réciproque de la non-linéarité : problème inverse. Dans le cas où le problème est non inversible d'une manière statique (i.e. algébrique), la solution est de réaliser une inversion dynamique (ex : l'observateur dans le cas linéaire).\\
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Soit le système non-linéaire :
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\begin{align*}
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\dot{x} & = f(x) + \sum_{i=1}^m g_i(x)u_i \\
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y & = \vect{k_1(x) \\ \vdots \\ k_p(x)} \text{ avec } x\in\R^n,y \in \R^p \text{ et } u=\vect{u_1 \\ \vdots \\ u_m} \in \R^m
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|
\end{align*}
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\begin{defin}[Degré relatif en MIMO]
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Le degré relatif $r$ dans le cas MIMO est défini comme $r=r_1+\dots+r_p$ si $r_i$ est le degré relatif associé à la sortie $y_i$ tel que :
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\[ \forall j=1\dots m, L_{g_j}L_f^k h_i(x) = 0, \forall k < r_i-1\]
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|
\[ \exists j =1\dots m, L_{g_j}L_f^{r_i-1} h_i(x) \neq 0\]
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\end{defin}
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\subsubsection{Procédure de linéarisation}
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Sans perte de généralité, on pose $m=p$. Calculons les dérivées successives des sorties :
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\[
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\vect{ y_1^{(r_1)} \\ \vdots \\ y_p^{(r_p)}} =
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\vect{ L_f^{r_1} h_1(x) \\ \vdots \\ L_f^{r_p}h_p(x) } +
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\begin{bmatrix}
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L_{g_1}L_f^{r_1-1}h_1 & \dots & L_{g_m}L_f^{r_1 - 1} h_1 \\
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\vdots & \ddots & \vdots \\
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|
L_{g_1}L_f^{r_p-1} & \dots & L_{g_m}L_f^{r_p-1} h_p
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\end{bmatrix}
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\vect{u_1 \\ \vdots \\ u_m}
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\]
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On remarquera l'intérêt de poser $m=p$.
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On note $D(x)$ la matrice $\R^{p\times m}$ (dite de découplage).
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Si $D(x)$ est inversible, alors la commande linéarisante est :
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\[ u(x) = D(x)^{-1}( \vect{v_1 \\ \vdots \\ v_m} - \vect{L_f^{r-1} h_1(x) \\ \vdots \\ L_f^{r_p}h_p(x)}) \]
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\begin{prop}
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Le système MIMO est linéarisable si $r=\sum_{i=1}^p r_i = n$ avec $D(x)$ inversible.
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\end{prop}
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Dans le cas où $r<n$, alors le système MIMO est partiellement linéarisable. Ainsi, $\eta$ est le vecteur d'état des $n-r$ équations non linéaires restantes.
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\[ \dot{\eta} = P(z,\eta) + Q(z,\eta) u, \text{ avec } P_k(z,\eta) = L_f \eta_k \text{ et } Q_{k,j}(z,\eta) = L_{g_j}\eta_k, k = 1 \dots n-r, j = 1 \dots m \]
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Ainsi la dynamique interne, i.e. dynamique des zéros
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\[ \dot{\eta} = P(\underline{0},\eta)+Q(\underline{0},\eta)u(\underline{0},\eta) \text{ avec } u(\underline{0},\eta) = -D^{-1}(\underline{0},\eta)\vect{L_f^{r_1}h_1(\underline{0},\eta) \\ \vdots \\ L_f^{r_p}H_p(\underline{0},\eta)} \]
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doit être stable.
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Si $D(x)$ n'est pas inversible alors le bouclage linéarisant est dynamique :
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\begin{align*}
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u & = \alpha(x,q) + \beta(x,q) v \\
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\dot{q} & = \gamma(x,q) + \delta(x,q) v
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\end{align*}
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tel que $z=\phi(x,q)$ est un difféomorphisme.\\
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La procédure générique est de dériver $y_j$ au delà de $r_j$ pour obtenir $D(x,q)$ inversible.
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Les dynamiques auxiliaires $q$ sont obtenues à partir des dérivées successives des commandes. Cette procédure est la linéarisation par bouclage dynamique.
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\section{Poursuite de trajectoire asymptotique}
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\subsection{Cas SISO}
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Soit le système non-linéaire SISO (1) :
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\[ \begin{cases} \dot{x} & = f(x,y) \\ y & = h(x) \end{cases} \]
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Il existe une trajectoire (non unique) remplaçant le vecteur d'état $x$ par $z$ les dérivées successives de la sortie $y$.
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Ainsi, on peut réécrire (1) sous forme polynomiale :
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\[ P(y, \dots, y^{(n)}, u , \dots u^{(k)}) = 0 \] avec $n < \infty$ et $k< \infty$:
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\[ z = \vect{ z_1 \\ \dots \\ z_n} = \vect{ y \\ \vdots \\ y^{(n-1)}} \]
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Sous la condition $ \derivp[P]{y^{(n)}} \neq 0$ le modèle (1) est remplacé par la forme canonique
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\begin{align*}
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\dot{z_1} & = z_2\\
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\vdots \\
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\dot{z_n} & = C(z_1 \dots z_n, u \dots u^{(k)})
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\end{align*}
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On suppose la consigne $y_c$ $n$ fois dérivable par rapport au temps.
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Objectif : trouver $u$ tel que $y \to y_c$ suivant une dynamique imposée.
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\subsection{Procédure}
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\begin{itemize}
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\item On pose $\epsilon(t) = y_c(t) - y(t)$ : erreur de poursuite
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\item Imposer la dynamique de poursuite : \[\epsilon^{(m)} + \beta_{m-1} \epsilon^{(m-1)} + \dots + \beta_1 \epsilon^{[1)} + \beta_0 \epsilon = 0 \] tels que $\beta_i,i=0\dots m$ sont choisis pour que le polynôme
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\[ \lambda^n + \beta_{n-1} \lambda^{n-1} + \dots + \beta_1 \lambda + \beta_0 = 0 \] est Hurwitz, i.e. racines sont à parties réelles strictement négatives.
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Pour $n=m$ on a
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\[ y^{(m)} (t) = y_c^{(m)}(t) + \sum
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_{i=1}^m \beta_{i-1}(y_c^{(i-1)}(t) - y^{(i-1)}(t)) \]
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On peut aussi réécrire le modèle sous forme d'état $(\epsilon_1 = \epsilon)$ :
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\begin{align*}
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\dot{\epsilon_1} & = \epsilon_2 \\
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\vdots \\
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\dot{\epsilon_n} & = \hat{C}(y_c^{(n)}, Y_c, E , u , \dots
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u^{(k)}) \text{ avec } Y_c = \vect{y_c \\ \vdots \\ y_c^{(m-1)}} \text{ et } E = \vect{\epsilon_1 \\ \vdots \\ \epsilon_n}
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\end{align*}
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La poursuite asymptotique revient à trouver $u$ tel que
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\[\hat{C}(y_c^{(n)},Y_c,E,u,\dots u^{(k)}) = -\sum_{i=1}^n \beta_{i-1}\epsilon^{(i-1)} \Leftrightarrow C(z_1,\dots z_n,u,u^{(i)},\dots u^{(k)} = y_c^{(n)} + \sum_{i=1}^n \beta_{i-1} (y_c^{(i-1)} -z_i) \]
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Dans le cas où le modèle est sous forme normale (forme obtenue pour le bouclage linéarisant) :
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\begin{align*}
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\dot{z_1} & = z_2, z_1 = y \\
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\vdots \\
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\dot{z_{r-1}} & = z_r \\
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\dot{z_r} & = b(z) + a(z)u \text{ avec } a(z) \neq 0 \\
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\dot{z_{r+1}} & = q_{r+1} (z) \\
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\vdots \\
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\dot{z_n} & = q_n(z)
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\end{align*}
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Si $m=r$ alors \[ u = \frac{1}{a(z)} (-b(z)+y_c^{(r)} + \sum_{i=1}^r \beta_{i-1} \epsilon^{(i-1)} \]
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$y_c^{(r)}$ bouclage linéarisant statique
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Si$m=r+1$ alors
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\[ \dot{u} = \frac{1}{a(z)} (-\dot{b}(z) - \dot{a}(z)u + y_c^{(m)} + \sum_{i=1}^m \beta_{i-1} \epsilon^{(i-1)}) \]
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$\dot{a}(z)u$ bouclage linéarisant dynamique
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Même démarche pour les degrés supérieurs de la poursuite asymptotique.
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\end{itemize}
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%\img{0.5}{6/1}
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La difficulté de la poursuite asymptotique est la résolution de l'équation dynamique NL
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\[c(z_1 \dots z_n , u \dots u^{(k)} ) y_c^{(n)} - \sum_{i=1}^m \beta_{i-1} (y_c^{(i-1)} - z_i) \]
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Dans le cas des systèmes plats, la solution est obtenue via les sorties plates.
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\begin{defin}[Platitude]
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Un système est dit plat s'il a des sorties plates. Tous les états et entrées de commande du système sont exprimés en fonction des sorties plates et d'un nombre fini de leurs dérivées.\\
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\noindent Cas SISO : $\dot{x} = f(x,u)$ est plat si \[\exists y \in \R \text{ tq } x = \phi(y,y^{(1)},\dots,y^{(\beta)}) \text{ et } u=\psi(y,y^{(1)},\dots,y^{(\delta)}), \beta,\delta \in \N\]
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|
|
\noindent Cas MIMO : $\dot{x} = f(x,u)$ est plat si \[\exists y \in \R^p \text{ tq } x = \phi(y_1,\dots,y_1^{(\beta_1)},\dots,y_p^{(\beta_p)}) \text{ et } u=\psi(y_1,y_1^{(\delta_1)},\dots,y_p^{(\delta_p)}), \beta_i,\delta_i \in \N\]
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\end{defin}
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\begin{exemple}
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Montrer que le système suivant est plat avec pour sorties plates $y_1=x_1$ et $y_2=x_2$ :
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\begin{align*}
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\dot{x_1} & = u_2 \\
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\dot{x_2} & = x_2 + x_3u_2 \\
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\dot{x_3} & = x_1u_1
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\intertext{ On peut donc écrire : }
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x_1 & = y_1 \\
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x_2 & = y_2 \\
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x_3 & = \frac{\dot{y_2-y_2}}{\dot{y_1}} \\
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u_2 & = \dot{y_1}\\
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u_1 & = \frac{\dot{x_3}}{y_1} = \frac{(\ddot{y_2}-\dot{y_2})\dot{y_2}-\ddot{y_1}(\dot{y_2}-y_2)}{y_3(\dot{y_1})^2}
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\end{align*}
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\end{exemple}
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Un autre intérêt de la platitude est la planification simple de trajectoire.
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\begin{thm}
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[Principe de la planification de trajectoire]
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La planification peut comporter des contraintes sur la commande (énergie, saturation, ...) et sur les états (obstacles, limitation de vitesse, d'accélération...)
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Pour les systèmes plats, la planification est réalisée sur les sorties plates $y\in\R^p$ et la commande est déduite par $u=\psi(y_1,\dots,y_p^{(\delta_p)})$
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\end{thm}
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\begin{exemple}
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[Bras de robot avec $n$ degrés de libertés et $n$ actionneurs]
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\[ M(q) \dot{q} + B(q,\dot{q}) = K(q,\dot{q}) u\]
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$q$ : coordonnées généralisées $q\in\R^n$
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$B(q,\dot{q})$ : vecteur des forces centrifuges et de Coriolis
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$K(q,\dot{q})$ : matrice d'influence avec $rang(K)=n$
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Le système est plat où $q\in\R^n$ sont les sorties plates.\\
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La planification de trajectoire est réalisée sur les $q$, puis $u=K^{-1}(q,\dot{q})(M(q)\dot{q} + B(q,\dot{q}))$\\
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\newpage
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Commande en cassecade \footnote{Momo m'a tuer} :
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%\imgt{7/1}
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\[ C_0(p) = K >>1, \quad H_0(p) = \frac{H_1(p)}{1+KH_1(p)} \approx \frac{1}{K} \]
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\end{exemple}
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\newpage
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\section{Commandes hiérarchisées}
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\subsection{Échelles de temps}
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Soit le système (1) $\begin{cases}\dot{x_1} & = \epsilon f_1(x_1,x_2,u) \\ \dot{x_2} & = f_2(x_1,x_2,u)\end{cases}$ avec $f_1$ et $f_2$ lisses (de classe $C^{\infty}$), avec $x_1\in\R^{n_1}$ et $x_2\in\R^{n_2}$.
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On suppose que $0 < \epsilon << 1$.
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On suppose $\tau = \epsilon t$ nouveau temps: $\tau$ est plus lent que $t$.
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Ainsi, le système (1) dans la nouvelle échelle temporelle est donnée par
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\begin{align*}
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\dd{x_1}{\tau} & = f_1(x_1,x_2,u) \text{ Dynamique lente est d'ordre 0 en } 1/\epsilon \\
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\dd{x_2}{\tau} & = \frac{1}{\epsilon} f_2(x_1,x_2,u) \text{ Dynamique rapide est d'ordre 1 en }1/\epsilon
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\end{align*}
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Ainsi, dans le cas d'un point d'équilibre stable, $x_2$ converge rapidement vers le voisinage dépendant de $\epsilon$, d'un point d'équilibre de $f_2=0$.
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\subsection{Détermination du voisinage}
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Pour $\epsilon = 0$, les points d'équilibre du système (1) forment la variété :
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\[ \Sigma_0 = \{ (x_1,x_2,u)/ f_2(x_1,x_2,u) = 0 \} \]
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alors que pour $\epsilon \neq 0$, les points d'équilibre forment la variété
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\[ \Sigma_{\epsilon} = \{ (x_1,x_2,y) / f_1(x_1,x_2,u) = 0 \text{ et } f_2(x_1,x_2,y) \neq 0 \} \]
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On a $\Sigma_{\epsilon} \subset \Sigma_0$ donc $\Sigma_{\epsilon}$ dégénère en $\Sigma_0$ pour $\epsilon=0$.
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%\img{0.5}{7/2}
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L'objectif est d'avoir seulement à faire converger $x_1 \to x_1^*$.\\
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À partir du théorème des fonctions implicites, nous avons l'existence de $X_2 \text{ tq } x_2 = X_2(x_1,u)$.
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\begin{defin}
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On définit la variété
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\[ \Sigma_{0,\epsilon} = \{ (x_1,x_2) / f_2(x_1,x_2,u,\epsilon) = 0 \} \]
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avec $\dot{u} = \epsilon v$ où $v$ est une fonction bornée.
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\end{defin}
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La variété $\Sigma_{0,\epsilon}$ est obtenue à partir de $\Sigma_0$ avec une faible variation de la commande.
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\begin{prop}
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Soit le système (1) avec $rang(\derivp[f_2]{x_2}) = n_2$, alors $\exists X_2(x_1,u,\epsilon)$ tel que $\forall u$ vérifiant $\dot{u} = \epsilon v$, $v$ bornée, $(x_1,x_2 \in \Sigma_{0,\epsilon}$ avec $x_2 = X_2(x_1,u,\epsilon)$.
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\end{prop}
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Interprétation :
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La variété $\Sigma_0 \Leftrightarrow x_2=X_2(x_1,u)$, obtenue pour $\epsilon=0$, continue d'exister pour $\epsilon \neq 0$ et suffisamment petit si $\dot{u}=\epsilon v$, $v$ bornée.
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\begin{exemple}
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[MMC]
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\[
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\begin{cases}
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L\dd{i}{t} & = u-Ri - k\omega \text{ Dynamique électrique}\\
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J\dd{\omega}{t} & = Ki - \alpha\omega -C_r \text{ Dynamique mécanique temps lent}
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\end{cases}
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\]
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On pose $\epsilon = L << 1$, donc le temps rapide $\tau = \frac{t}{\epsilon}$\\
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Identification avec le système (1) : $x_1=\omega$ et $x_2 =i$.
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Pour $\epsilon=0$, $\Sigma_0$ est donnée
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\[ i = \frac{u-k\omega}{R} = X_2(x_1,u) \]
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Ainsi, la dynamique lente est donnée par
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\[ J \dd{\omega}{\tau} = \epsilon(k(\frac{u-k\omega}{R}) - \alpha \omega - C_r) \]
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En temps lent, la nouvelle expression est
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\[ J \dd{\omega}{t} = -(\frac{k^2}{R}+\alpha) \omega - C_r + \frac{k}{R}u \]
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On peut améliorer l'approximation de la variété $\Sigma_{0,\epsilon}$ via un DL du 1er ordre.
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\[ i = \frac{u-k\omega}{R} + \frac{L}{R}(\dot{u}-\frac{k}{J}(k(\frac{u-k\omega}{R})-\alpha\omega-C_r)) + \mathcal{O}(L^2) \]
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Par exemple, si on veut avoir $i_0=0$, alors $\Sigma_0 = k\omega$. Pour garder $i_0=0$ pour $\Sigma_{0,\epsilon}$, on doit imposer une variation lente de $u$ (lente par rapport à $L\dd{}{t}$
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\[ \dot{u} = -\frac{k}{J}(\alpha\omega+C_r) - \mathcal{O}(L^2) \]
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\end{exemple}
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\begin{rem}
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$C_r = -\frac{\dot{u}J}{k}$ est utilisée pour estimer $C_r$ en modulant $\dot{u}$ afin que $i_0$ reste aussi plat que possible et $\omega=0$.
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\end{rem}
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\subsection{Hiérarchisation par commande à grand gain}
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Soit le système (1), où la commande n'intervient que sur $x_2$ linéairement :
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\[
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\begin{cases}
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|
\dot{x_1} & = f_3(x_1,x_2) \\
|
|
\dot{x_2} & = f_2(x_1,x_2) + u \end{cases} , \quad x_1 \in \R^{n_1}, x_2 \in \R^{n_2}, u \in\R^{n_2}
|
|
\]
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|
Soit $x_2^*$ la trajectoire consigne à imposer à $x_2$. Avec comme hypothèse $f_2(x_1,x_2)$ bornée, nous appliquons la commande à grand gain
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\[ u = -\frac{k}{\epsilon}(x_2-x_2^*)\]
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|
où $\epsilon<< 1$ et $k$ matrice diagonale définie positive.
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|
Ainsi, suivant la nouvelle échelle de temps $\tau = \frac{t}{\epsilon}$
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|
\[
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|
\begin{cases}
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|
\dd{x_1}{\tau} & = \epsilon f_1(x_1,x_2) \quad \text{dynaique lente}\\
|
|
\dd{x_2}{\tau} & = \epsilon f_2(x_1,x_2) - k(x_2-x_2^*) \quad \text{perturbation et dynamique de convergence rapide}
|
|
\end{cases}
|
|
\]
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|
|
|
$\Sigma_0$ est la variété $x_2 = x_2^*$.
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|
Pour $\epsilon\neq 0$, $\Sigma_{0,\epsilon}$ est la variété $x_2=x_2^*+k\epsilon f_2(x_2,x_2^*)$
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|
La dynamique lente est $\dd{x_1}{\tau} = \epsilon f_1(x_1,x_2^*)$. Par conséquent la consigne $x_2^*$ (commande fictive) peut servir à commander la dynamique lente.
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\newpage
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|
\section{Commande par backstepping}
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|
Soit un système sous forme triangulaire (apparition successive des différentes commandes) :
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\begin{align*}
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\dot{x_1} & = f_1(x_1) + x_2 \\
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|
\dot{x_2} & = f_2(x_1,x_2) + x_3 \\
|
|
& \vdots \\
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|
\dot{x_n} & = f_n(x_1,\dots x_n) + u
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|
\end{align*}
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\subsection{Procédure de synthèse}
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|
\paragraph{Étape 1} Afin d'imposer la consigne $x_1^*$, on utilise la fonction de Lyapunov
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\[ V_1(x_1) = \frac{1}{2}(x_1 - x_1^*)^2 \]
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|
Pour assurer la stabilité, il faut que $\dot{V_1}(x_1)$ soit définie négative.
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\begin{align*}
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|
\dot{V_1}(x_1) & = (x_1-x_1^*)(\dot{x_1} - \dot{x_1^*}) \\
|
|
& = (x_1 - x_1^*)(f_1(x_1) + x_2 - \dot{x_1^*})
|
|
\intertext{On cherche donc $x_2$ pour que}
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|
\dot{V_1}(x_1) & = \alpha_1(x_1-x_1^*)^2 \quad \text{ avec } \alpha_1 < 0 \\
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|
x_2^* & = \alpha_1(x_1-x_2^*) - f_1(x_1) + \dot{x_1^*}
|
|
\end{align*}
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Cela assure la convergence asymptotique de $x_1$ vers $x_1^*$.
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\paragraph{Étape 2} Faire converger $x_2$ vers $x_2^*$. On utilise la nouvelle fonction de Lyapunov
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\[ V_2(x_1,x_2) = \frac{1}{2}(x_1-x_1^*)^2 + \frac{1}{2}(x_2-x_2^*)^2 \]
|
|
On veut $\dot{V_2}(x_1,x_2)$ définie négative :
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\begin{align*}
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\dot{V_2}(x_1,x_2) & = (x_1-x_1^*)(\dot{x_1} - \dot{x_1^*}) + (x_2-x_2^*)(\dot{x_2} - \dot{x_2^*}) \\
|
|
& = \alpha_1(x_1-x_1^*)^2 + \alpha_2(x_2-x_2^*)^2
|
|
\intertext{Pour avoir une hiérarchisation dynamique, on pose $\alpha_2 < \alpha_1 < 0$ (la dynamique 2 est plus rapide que la 1)}
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|
(x_2-x_2^*)(\dot{x_2} - \dot{x_2^*}) & = \alpha_2(x_2-x_2^*)^2 \\
|
|
(x_2-x_2^*)(f_2(x_1,x_2) + x_3 - \dot{x_2^*}) & = \alpha_2(x_2-x_2^*)^2 \\
|
|
x_3^* & = \alpha_2(x_2-x_2^*) - f_2(x_1,x_2) + \dot{x_2^*}
|
|
\end{align*}
|
|
La démarche est la même à l'étape $n$ :
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\[ u = \dot{x_n^*} - f_n(x_1,\dots,x_n) + \alpha_n(x_n-x_n^*) \]
|
|
avec $\alpha_n < \alpha_{n-1} < \dots < \alpha_2 < \alpha_1$
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|
\begin{rem}
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|
Cette méthode est généralisable à des systèmes sans forme :
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\begin{align*}
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|
\dot{x_1} & = f_1(x_1) + g_1(x_1)x_2 \\
|
|
\dot{x_2} & = f_2(x_1,x_2) + g_2(x_1,x_2)x_3 \\
|
|
& \vdots \\
|
|
\dot{x_n} & = f_n(x_1,\dots,x_n) + g_n(x_1,\dots,x_n)u
|
|
\end{align*}
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sur $\mathcal{D} = \{x_1,\dots,x_n \text{ tq } g_1 \neq 0,\dots,g_n\neq 0 \}$
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\end{rem}
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\newpage
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\section{Rejet de perturbation}
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\subsection{Cas SISO}
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\[ (1) \begin{cases} \dot{x} & = f(x) + g(x)u + p(x) w \\ y & = h(x) \end{cases} \]
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Même principe que pour la linéarisation par bouclage, on dérive la sortie par rapport au temps :
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\[ \dot{y} = \derivp[h(x)]{x} \dot{x} = L_fh(x) + L_gh(x) u + L_ph(x) w \]
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\paragraph{Cas 1} $L_ph(x) \neq 0$\\
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Si $L_gh(x) \neq 0$ et la perturbation $w$ est mesurable (rarement), alors le rejet de la perturbation est obtenu par
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\[ u = (L_gh(x))^{-1}(v-L_fh(x) - L_ph(x)w) \quad \text{avec trivialement } v = \dot{y}\]
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Si la perturbation n'est pas mesurable, on réalise une linéarisation dynamique avec $x_{n+1} = u$ et $x_{n+2} = w$ mais dans ce cas la perturbation $w$ doit être canonique, i.e. $\exists \alpha \in \N \text{ tq } w^{(\alpha)} = 0$.
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Ainsi, on dérive la sortie jusqu'à disparition de la perturbation puis on linéarise.\\
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\noindent Si $L_gh(x) = 0$, on calcule les dérivées d'ordres supérieurs de la sortie jusqu'à apparition de la commande (linéarisation dynamique).
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\paragraph{Cas 2} $L_ph(x) = 0$.\\
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Si $L_gh(x)\neq0$, la perturbation est rejetée pour
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\[ u = (L_gh(x))^{-1}(v-L_fh(x)) \]
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Su $L_gh(x) = 0$, on dérive une deuxième fois la sortie.
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\begin{prop}
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Soient $r$ le degré relatif correspondant à $L_gL_f^{r-1}h(x) \neq 0$ et $\sigma$ le plus petit entier pour lequel $L_pL_f^{\sigma-1}h(x) \neq0$, alors :
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\begin{itemize}
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\item si $r<\sigma$ la perturbation $w$ est rejetée par la commande linéarisante
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\item si $r=\sigma$ la perturbation $w$ est rejetée si elle est mesurable
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\item si $r>\sigma$ le rejet de $w$ ne peut se faire que par une linéarisation dynamique : observateur NL si $w$ n'est pas canonique
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\end{itemize}
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\end{prop}
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\subsection{Cas MIMO}
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\[ \begin{cases} \dot{x} & = f(x) + \sum_{i=1}^m g_i(x)u_i + p(x) w \\ y & = h(x) \end{cases}, \quad x \in \R^n, u \in \R^m, y \in \R^d \]
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Même principe que le cas SISO mais une linérisation MIMO où chaque nouvelle entrée $v_i$, permet de rejeter les perturbations sur $y_i$.
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\begin{rem}
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L'incertitude sur le modèle peut être interprétée comme une perturbation. En effet, le modèle (1) s'écrit
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\[ \begin{cases} f(x) & = f(x) + \Delta f(x) + g(x) u + \Delta g(x) u \\ y & = h(x) \end{cases} \]
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Suivant l'analyse sur le bouclage linéarisant, le rejet d'incertitude est obtenu si
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\begin{align*}
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L_{\Delta f} L_f^i h = 0 & 0 \leq i \leq r-2 \\
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L_{\Delta g} L_f^i h = 0 & 0 \leq i \leq r-1
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\end{align*}
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Ce résultat ne peut être vérifié qu'a posteriori car $\Delta f$ et $\Delta g$ sont inconnues.
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\end{rem}
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\section{Robustesse en NL - Commande par mode glissant}
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%%\imgt{8/1}
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Un terme $u_r$ est ajouté à la commande de départ $u_{eq}$ ...
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\begin{exemple}[Onduleur de tension commandé en courant]
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Sans avoir à modéliser la charge, on veut imposer la forme de courant :
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%%\imgt{8/2}
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\end{exemple}
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\subsection{Éléments de synthèse de la commande}
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\begin{enumerate}
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\item Synthétiser une commande sans prise en compte de l'incertitude ni de la perturbation : surface de glissement (poursuite asymptotique)
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\item Commande gardant les états sur la surface de glissement ayant pour hypothèse l'incertitude ou la perturbation bornées : variation de la structure du système par commutation
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\end{enumerate}
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\begin{defin}[Surface de glissement ou commutation]
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$S(x,t)$ est la surface autour (dans un voisinage) de laquelle le système évolue avec une dynamique imposée par $S$.
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\end{defin}
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\begin{defin}[Système à structure variable]
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Un système est à structure variable si son entrée commute entre deux valeurs suivant une logique bien spécifique $\sigma(x)$
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%%\img{0.5}{8/3}
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\end{defin}
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\begin{defin}[Commande par mode glissant]
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Commande discontinue ayant pour objectif de faire converger le système en $S$. On utilise la fonction de Lyapunov \[ V(x,t) = \frac{1}{2}S^2(x,t) \]
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Pour avoir convergence vers la surface de glissement, il faut avoir
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\[ \dot{V}(x,t) = S(x,t) \dot{X}(x,t) \leq 0 \]
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$\sigma(x)$ est la logique qui impose $S\dot{S} \leq 0$
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\end{defin}
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\begin{rem}
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$S\dot{S}$ est la condition d'existence d'un régime glissant sur la surface $S$.
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\end{rem}
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\subsection{Application de la commande par mode glissant}
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La poursuite asymptotique est une méthode de détermination de $S$.
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Soit $\epsilon(t) = y_c(t) - y(t)$ où $y_c$ est la consigne et $y$ la sortie.
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On pose $S = \epsilon^{(m)}(t) + \beta_{m-1}\epsilon^{(m-1)} + \dots + \beta_1 \dot{\epsilon} + \beta_0 \epsilon$ où $\beta_i, i =0,\dots,m-1$ sont choisis pour imposer la dynamique de convergence.
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\begin{rem}
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Par exemple, on peut choisir $S = (\frac{d}{dt} + \lambda)^m \epsilon, \lambda >0$
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Choix de la commande (bouclage linéarisant)
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\end{rem}
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On pose $m=r-1$ où $r$ est le degré relatif et on a
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\begin{align*}
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u & = \frac{1}{L_gL_f^{r-1}h(x)} (-L_f^rh(x) + y_c^{(r)} + \sum_{i=1}^r \beta_{i-2} \epsilon^{(i-1)} + \alpha K sgn(S) ) \\
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u & = \frac{1}{L_gL_f^{r-1}h(x)} (-L_f^rh(x) + y_c^{(r)} + \dot{S} + \alpha K sgn(S) )
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\end{align*}
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Ainsi en utilisant le changement de variable $z_i = L_f^{i-1}h(x) = \phi_i(x), i = 1,\dots,r$, la commande linéarisante avec poursuite asymptotique et robuste s'écrit :
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\[ u = \frac{1}{b(z,\eta)} (-a(z,\eta) + y_c^{(r)} + \dot{S} + \alpha K sgn(S)) \]
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avec pour modèle normal :
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\begin{align*}
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\dot{z_1} & = z_2 \\
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& \vdots \\
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\dot{z_{r-1}} & = z_r \\
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\dot{z_r} & = y_c^{(r)} + \dot{S} + \alpha K sgn(S) + \Delta a (z,\eta) \\
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\dot{\eta} & = q(z,\eta) + \Delta q(z,\eta) + \Delta p(z,\eta)u \\
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\text{ avec } & \Delta a (z,\eta) = L_{\Delta f} L_f^{r-1} h(x), \Delta q(z,\eta) = L_{\Delta f} \eta, \Delta p(z,\eta) = L_{\Delta f} \eta
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\end{align*}
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On suppose que $|\Delta a (z,\eta)| < K < \infty$ donc pour avoir $\dot{z_r} = y_c^{(r)}$, on doit poser $\dot{S} = - \alpha K sgn(S) - \Delta a(z,\eta)$.
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Cas $S>0 \Rightarrow \dot{S} < -K(\alpha-1) < 0 \si \alpha > 1$
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Cas $S<0 \Rightarrow \dot{S} > K(\alpha-1) > 0 \si \alpha < 1$
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Ainsi on vérifie la condition d'existence du régime glissant, alors quand la trajectoire atteint $S$, alors $y \to y_c$ suivant la dynamique imposée par $S$.
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "main"
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%%% End:
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% A refaire complètement avant entree-état
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% \subsubsection{Modèle linéaire :}
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% \[
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% \begin{cases}
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% \dot{z} & = Az + Bv \\
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% y & = Cz
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% \end{cases}
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% \text{ avec }
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% A = \left[
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% \begin{array}{ccccc}
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% 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\
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% \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
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% \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\
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% 0 & \dots & \dots & 0 & 1 \\
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% -a_0 & \dots & \dots & \dots & -a_{n-1}
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% \end{array} \right],
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% \quad B = \vect{ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 }
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% \text{ et } C = [1 \quad 0 \dots 0 ]
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% \]
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% Synthèse du correcteur linéaire :
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% % \img{0.5}{5/3}
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% \begin{figure}[H]
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% \centering
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% \includegraphics[width=0.7\textwidth]{5/3.png}
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% \caption{}
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% \end{figure}
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% Planification de trajectoire :
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% \[ y^{(n)} = v = y_c^{(n)} + a_1 (y_v^{n-1)} - y^{(n-1)})+ \dots + a_{n-1}(\dot{y_c} - \dot{y}) + a_n(y_c-y) \]
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% Les $a_i$ sont choisis en imposant la dynamique de $\epsilon=y-y_c$ :
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% \[ \epsilon^{(n)} + a_1 \epsilon^{(n-1)} + \dots + a_{n-1}\dot{\epsilon} + a_n\epsilon = 0 \]
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% Matrice d'évolution de la boucle fermée :
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% \[ A_{BF} = \left[ \begin{array}{ccccc}
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% 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\
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% \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
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% \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\
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% 0 & \dots & \dots & 0 & 1 \\
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% -a_n & -a_{n-1} & \dots & \dots & -a_1
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% \end{array} \right] \quad \text{Forme canonique}
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% \]
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% \begin{rem}
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% Cette méthode est assez simple. Cependant, il faut accéder aux dérivées successives de la sortie. Si on a des capteurs, alors OK, mais calculer une dérivée numérique n'est pas génial.
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% \end{rem}
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