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TeX
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\documentclass[main.tex]{subfiles}
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\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
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\newcommand{\Kc}{\mathcal{K}}
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\newcommand{\Lc}{\mathcal{L}}
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\begin{document}
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\section{Critère Qualitatif}
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\paragraph{But}: Tracer les trajectoires $\chi(t,x_0),\forall x_0\in \D$ dans l'espace de phase $\R^n$ où $n$ est la dimension du système.
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Cette méthode est réalisée pour les systèmes du second ordre ,plan de phase dans $\R^2$, voire dans $\R^3$. Les systèmes mécaniques sont des exemples typiques, notamment via les équation de Lagrange $\ddot{q} =l(q,\dot{q})$ avec $q$ coordonnées généralisées. même si le modèle est d'ordre $2n$ où $n = dim(q)$ on peux tracer les coordonnées deux à deux $x_1= q_i ,x_2 = \dot{q_i}$, dans le plan de phase.
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\subsection{Méthode pour tracer les trajectoires}
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\begin{enumerate}
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\item Méthodes informatique :
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\begin{itemize}
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\item On utlise une intégration numérique pour différentes conditions initiale
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\item Graphe des pentes générés numériquement en étudiant $\deriv[x_1]{x_2} = \frac{f_1(x_1,x_2)}{f_2(x_1,x_2)}$
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\end{itemize}
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\item Méthode papier-crayon
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\begin{itemize}
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\item Méthode isocline : peut être manuelle et/ou numérique.
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\item Solution explicite des équations\\
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On élimine le temps de manière explicite ou non.
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\end{itemize}
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\end{enumerate}
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Dans l'analyse de la stabilité on s'interresse au comportement dans un voisinage du point d'équilibre.
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\begin{defin}
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Pour déterminer \emph{l'index topologique} on utilise la méthode suivante:
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\begin{enumerate}
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\item Une courbe autour du point d'équilibre choisie d'une manière arbitraire et supposée de taille infinitésimale
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\item Avec une paramétrisation dans le sens trigonométrique
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\item On considère une suite arbitraire de point $(x_n)$ dans le sens de la paramétrisation
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\item Pour chaque point $x_n$ on évalue $f(x_n$) où $f$ vérifie $\dot{x} =f(x)$.
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\item Tous les vecteurs $f(x_n)_{n=1...N}$ sont ramenés aux point d'équilibre.
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\end{enumerate}
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Ainsi \emph{l'index topologique} est la mesure de l'angle (modulo $2\pi$) que l'extrimité des vecteurs $(f(x_i))$ parcourt dans le sens trigonométrique.
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\end{defin}
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$};
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\draw (x) circle (1.5) (20:1.5) node[inputarrow,rotate=110]{};
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\foreach \a in {0,1,2,3,4,5,6,7}
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{\draw[red,-latex] (\a*45:1.5) -- ++(\a*45:0.5);
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\node at (\a*45:2.4){$f(x_\a)$}; }
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\node at (5,0){$\bullet$};
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\foreach \a in {0,1,2,3,4,5,6,7}
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{\draw[red,-latex] (5,0) -- ++(\a*45:0.8);
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\draw (5,0)++(\a*45:1.2)node{$f_\a$}; }
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\node at (5,0){$\bullet$};
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\node[draw,rectangle] at (10,0){index = +1};
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\end{tikzpicture}
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\begin{tikzpicture}
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\node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$};
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\draw (x) circle (1.5)(20:1.5) node[inputarrow,rotate=110]{};
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\foreach \a/\r in {0/1.2,1/1,2/1,3/1,4/1.2,5/1,6/1,7/1}
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{\draw[red,-latex] (\a*45:1.5) -- ++(-\a*45:0.5);
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\node at (\a*45:\r*2){$f(x_\a)$}; }
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\foreach \a in {0,1,2,3,4,5,6,7}
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{\draw[red,-latex] (5,0) -- ++(-\a*45:0.8);
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\draw (5,0)++(-\a*45:1.2)node{$f_\a$}; }
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\node at (5,0){$\bullet$};
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\node[draw,rectangle] at (10,0){index = -1};
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\end{tikzpicture}
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\begin{tikzpicture}
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\node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$};
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\draw (x) circle (1.5)(20:1.5) node[inputarrow,rotate=110]{};
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\foreach \a/\t/\r in {0/0/2.5,1/45/2.5,2/0/1.8,3/90/2,4/-45/2,5/45/1.8,6/0/1.8,7/90/2}
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{\draw[red,-latex] (\a*45:1.5) -- ++(\t:0.7);
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\node at (\a*45:\r){$f(x_\a)$}; }
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\foreach \a/\l in {0/137,1/26,2/4,7/5}
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{\draw[red,-latex] (5,0) -- ++(\a*45:0.8);
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\draw (5,0)++(\a*45:1.2)node{$f_{\l}$}; }
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\node at (5,0){$\bullet$};
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\node[draw,rectangle] at (10,0){index = 0};
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\end{tikzpicture}
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\caption{Détermination de l'index topologique}
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\end{figure}
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Il reste maintenat à chercher les trajectoires autour des points d'équilibres.
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\subsection{Méthode isocline}
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Pour cette méthode, il s'agit de poser :
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\begin{align*}
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\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{f_2(x)}{f_1(x)} = Cst \\
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\end{align*}
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C'est-à-dire de rechercher les points tel que la pente en $x$ est égale à une constante donnée.\\
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\begin{example}[Pendule inversé]
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Cas sans frottement : \[
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\begin{cases}
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x_1 &= \theta \\
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x_2 &= \dot{\theta}
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\end{cases}
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\Rightarrow
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\begin{cases}
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x_1 & =x_2\\
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x_2 & = -\frac{g}{l}sin(x_1)
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\end{cases}
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\]
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\smallbreak
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Les iso-clines vérifient donc :
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\begin{align*}
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\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{-\frac{g}{l}sin(x_1)}{x_2}\\
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&=C
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\intertext{donc les points décrivant la courbe ont pour équation:}
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x_2 &= -\frac{g}{lC}sin(x_1)
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\end{align*}
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On trace alors alors ces courbes pour différentes valeurs de constante et l'on obtient:
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.4]{1/graph2.png}
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\end{center}
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L'iso-cline donne la pente de la trajectoire, ainsi, en suivant les pentes données d'iso-cline en iso-cline, on peut remonter à la trajectoire.\\
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A noter que pour $C$ infini on est sur l'axe de $x_1$ et pour $C$ nul sur celui de $x_2$.\\
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\begin{rem}
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sans frottement on atteint un cycle limite tandis qu'avec frottement on tend bien vers l'origine.
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\end{rem}
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\end{example}
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\subsection{Méthode par suppression temporelle}
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\subsubsection{Méthode explicite}
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À partir des solutions des équations différentielles on se débarasse de la paramétrisation temporelle pour obtenir la trajectoire:
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\begin{exemple}
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\[
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\begin{cases}
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\dot{x_1} = x_0 \cos(t) + \dot{x_0} \sin(t)\\
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\dot{x_2} = -x_0 \sin(t) + \dot{x_0} \cos(t)\\
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\end{cases}
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\]
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On a $\dot{x_1}^2+\dot{x_2}^2 = x_0^2+\dot{x_0}^2$ soit un cercle de rayon $\sqrt{x_0^2+\dot{x_0}^2}$
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\end{exemple}
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\subsubsection{Méthode implicite}
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Le temps est élimié à partir de l'équation différentielle puis l'orbite est obtenue par intégration
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\begin{exemple}
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\[
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\begin{cases}
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\dot{x_1}=x_2\\
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\dot{x_2} = -x_1
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\end{cases}
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\implies \frac{\d x_2}{x_2} =\d t = \frac{\d x_1}{x_1}
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\]
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Donc : \[
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\int_{x_20}^{x_2}x_2\d x_2 = - \int_{x_10}^{x_1}x_1\d x_1
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\]
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Ainsi on a : $ x_1^2+x_2^2 = x_{10}^2+x_{20}^2$.
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\end{exemple}
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\begin{rem}
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Les méthodes par élimination du temps ne s'appliquent que pour les systèmes avec des dynamiques relativement simple.
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\end{rem}
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\end{document}
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