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4.3 KiB
TeX
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\documentclass[main.tex]{subfiles}
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\begin{document}
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\section{Formule des moments et des interférences}
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On considère les filtres:
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{\huge
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\node (e) at (0,0) {$e$};
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\node[rectangle,draw] (f) at (2,0) {$\mathcal{FL}$};
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\node (s) at (4,0) {$s$};
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\draw[->] (e) -- (f) -- (s);
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\end{tikzpicture}
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\end{center}}
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On s'interesse aux filtre linéaires:
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\begin{defin}
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\begin{itemize}
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\item Un fltre linéaire conservent la linéarité des systèmes auxquels il est appliqué.
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\item Il est temps-invariant.
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\item et stationnaire.
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\end{itemize}
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On peux caractériser un filtre linéaire par:
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\begin{itemize}
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\item sa réponse impulsionnelle $h$
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\item sa réponse fréquentielle $H= TF[h]$
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\item sa fonction de transfert $H_{II}$.
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\end{itemize}
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\end{defin}
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\begin{prop}[Moyenne]
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\[
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m_s = H(0) m_e
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\]
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\end{prop}
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Pour deux filtres on a :
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\node (e) at (0,0) {$e_1$};
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\node[rectangle,draw] (f) at (2,0) {$\mathcal{H}_1$};
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\node (s) at (4,0) {$s_1$};
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\draw[->] (e) -- (f) -- (s);
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\end{tikzpicture}\\[1.5em]
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\begin{tikzpicture}
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\node (e) at (0,0) {$e_2$};
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\node[rectangle,draw] (f) at (2,0) {$\mathcal{H}_2$};
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\node (s) at (4,0) {$s_2$};
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\draw[->] (e) -- (f) -- (s);
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\begin{prop}[Formule des interférences]
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\[
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\Gamma_{s_1,s_2}(f)=H_1(f)\cdot H_2(f)^*\cdot \Gamma_{e_1,e_2}(f)
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\]
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\end{prop}
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\section{Application}
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\subsection{Blanchiement d'un signal}
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Pour générer un bruit blanc $s(t)$ on veux :
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\[
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\Gamma_0 = |H(f)|^2\Gamma_{ee}(f)\implies |H(f)|^2 = \frac{\Gamma_0}{\Gamma_{ee}(f)}
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\]
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\subsection{Identification d'un filtre linéaire}
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On applique en entrée un bruit blanc tel que $\Gamma_{ee}(f)=\Gamma_0$.
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Alors:
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\[
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\Gamma_{se}=H(f)\Gamma_e(f) \implies H(f)=\frac{\Gamma_{se}(f)}{\Gamma_0} \propto \text{intercorrélation entrée sortie}
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\]
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\subsection{Signaux ARMA}
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On peux utilise un Filtre Linéaire (FL) pour définir un Signal Aléatoire.
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(SA).
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Le SA sera la sortie d'un filtre dynamique (Fonction de transfert rationnel ,stable ,causal) excité par un bruit blanc.
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\subsubsection{AR : autoregressif}
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\[
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\boxed{
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H_{II}(z) = \frac{1}{D(z)}=\frac{1}{1-\sum_{i=1}^qa_iz^{-i}}
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}
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\]
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Alors on aura en sortie du filtre:
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\[
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s_k= e_k + \sum_{i=1}^qa_is_{k-i}
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\]
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on parle aussi de filtre \og tout pôle\fg{}
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\subsubsection{MA : Moyenne ajustée}
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\[
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\boxed{
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H_{II}(z) = N(z)= 1+\sum_{i=1}^qb_iz^{-i}
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}
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\]
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Alors on aura en sortie du filtre:
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\[
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s_k= e_k + \sum_{i=1}^qb_ie_{k-i}
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\]
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\subsubsection{ARMA}
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\[
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H_{II}(z) = \frac{N(z)}{D(z)}
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\]
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On connait alors $\Gamma_{ss}$ et le modèle AR. (Équation de Yule WAlker, cf TP2)
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\subsection{Signaux AR : illustration}
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pour une entrée en bruit blanc , les poles proches du cercle unités sont dominant
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(approche géométrique , joli dessin)
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\subsection{Filtre Adapté (FA)}
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\paragraph{Contexte} Problème de transmission numérique (tout ou rien) d'un signal déterministe, connu avec bruit additif.
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\paragraph{Objectif} déterminer le meilleur traitement linéaire pour décider de la présence ou non d'un signal.
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Exemple en TD
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\paragraph{Méthode} :Maximiser le RSB à l'instant de décision : avec $|s_{n_0}^f|^2$ puissance instantanée à l'instant de décision.
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\[
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\boxed{
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\frac{|s_{n_0}^f|^2}{E[|b_n^f|^2]}
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}
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\]
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\begin{prop}[Application au bruit blanc]
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\begin{align*}
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E[|b_n^f|^2] &=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |H(f)|^2\Gamma_{bb}(f)df = \Gamma_0\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |H(f)|^2df \\
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|S_{n_0}^f|^2 &= \left| \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |H(f)|^2 S(f) e^{j2\pi n_0f}df\right| \leq \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |H(f)|^2df \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |S(f)|^2df
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\end{align*}
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On a égalité si $H(f)\propto S^{*}(f)e^{-j2\pi n_0f} \iff h_n \propto s_{n_0-n}^f$
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LA RI du filtre est donc
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\begin{itemize}
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\item un retour temporel
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\item translaté autour de l'instant de décision (attention a la causalité)
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\item conjugué.
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\end{itemize}
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\end{prop}
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\paragraph{Remarque}
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\begin{itemize}
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\item Le FA peut être non causal, la RI est alors tronqué et le filtre
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sous-optimal.
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\item Le FA est un corrélateur (d'énergie), l'objectif n'est pas de restituer le signal utile mais d'avoir le meilleur RSB à l'instant de décision.
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\end{itemize}
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\end{document}
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