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375 lines
12 KiB
TeX
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12 KiB
TeX
\documentclass[main.tex]{subfiles}
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\begin{document}
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\begin{defin}
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\begin{itemize}
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\item Un signal en bande de base est un signal n'ayant pas subit de
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transposition en fréquence.
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\item un code en bande de base consiste a choisir une forme d'impulsion/niveau de tension pour transmettre un débit $D$ dans un canal de bande passante $B$.
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\end{itemize}
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\end{defin}
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\begin{rem}
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Le codage en bande de base n'est pas un codage source ou canal ,pas cryptage du signal.
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\end{rem}
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\section{Mise en équation}
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\paragraph{Objectif} transmettre $d_n$ mot de code constitué d'une suite d'élements binaires $\{\beta_n\}$
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\begin{defin}
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Pour la suite on considère que l'on émet le signal (PAM):
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\[
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e(t) = \sum_{k}^{}a_kg(t-kT)
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\]
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\begin{itemize}
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\item $a_k$ pris dans un alphabet de tension $\{A_0 ... A_{M-1}\}$ à $M$ niveaux possibles
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\item $g(t)$ forme d'impulsion (rectangulaire de période $T$, triangulaire, Impulsion de Nyquist)
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\item T est la durée du symbole transmis $T = nT_b$(transmission d'un $n$-uplet d'élements binaire choisi parmis $M=2^n$ éléments possibles.)
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\end{itemize}
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\end{defin}
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\begin{exemple}[Cas binaire]
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$M=2$ . On a un seul élement binaire transmis pendant $T= 1 T_b$. $a_k\in\{A_0=0, A_1=+1 \}$.
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\end{exemple}
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\begin{exemple}[Cas quaternaire]
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$M=4=2^2$ . $T=2T_B$. $a_k\in\{A_0=0,A_1=+1,A_2=+2,A_3=+3\}$
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\end{exemple}
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\begin{defin}
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\begin{itemize}
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\item La\emph{ rapidité de modulation }en sortie du codeur ligne est :
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\[
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R = \frac{1}{T}= \frac{1}{nT_b}=\frac{D}{\log_2{M}}
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\]
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\item Le débit binaire est ; $D=1/T_b$ [bits/s]
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\item la rapidité de modulation $R=D/\log_2(M)$ [bauds]
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\end{itemize}
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\end{defin}
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On peux mettre $e(t)$ sous la forme
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\[
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e(t) = g(t) \star a(t) =g(t)\star \sum_{k}^{}a_k\delta(t-kT)
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\]
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La DSP du signal peux s'écrire alors (via la formule des interférences)
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\[
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\phi_{ee}(f) = |G(f)|^2 \phi_{aa}(f)
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\]
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Or comme $a(t)$ est aléatoire il est impossible de calculer $A(f)$. La DSP peux cependant s'obtenir par l'autocorrélation du signal\footnote{cf UE 451} Les propriétés statistiques permettent d'obtenir la DSP de $a$ (nature du codage de source, études des moments...)
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\begin{rem}
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La DSP de $e$ est constituée d'éventuelle raie et du module au carré de de la TF de $G(f)$. On peux par exemple rajouter une raie a la fréquence d'horloge pour la transmettre au récepteur (PLL ... )
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La fonction d'autocorrélation de $e(t)$ est périodique (cyclostationnarité) est utilisée dans certaines application pour la récupération du rythme $T$ et la synchronisation.
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\end{rem}
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\section{Classification}
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\subsection{Codes RZ et NRZ}
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\begin{defin}
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\begin{itemize}
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\item\emph{ RZ :Return to Zero:}
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\[
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g(t) =
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\begin{cases}
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\neq 0 & \forall t \in [0,\lambda T]\\
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= 0 & \forall t \in [\lambda T ,T]
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\end{cases}
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|
\]
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\item\emph{ NRZ : Non Return to Zero}
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\[
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|
g(t) \neq 0 \quad \forall t\in[0,T]
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\]
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\end{itemize}
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\end{defin}
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\subsection{Code ou format (M-aire) unipolaire et antipolaire}
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\begin{defin}
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Les codes \emph{unipolaires} ne changent pas de signe, les moyennes ne sont pas nulles.
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Pour les codes\emph{ antipolaire,} c'est l'inverse.
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On distingue les codes paires et impaires (utilisation du zéro)
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\end{defin}
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\begin{defin}
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Un code \emph{binaire} utilise 2 niveau de tension pour encoder le
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signal.
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Un code \emph{M-aire} en utilise $M$.
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\end{defin}
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\subsection{Code avec ou sans mémoire}
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\begin{defin}
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\begin{itemize}
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\item Code \emph{sans mémoire} :
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Transcodage systématique.
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\item Code \emph{avec mémoire}:
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Utilise les valeurs des bits précédemment transmis pour déterminer la valeur a émettre.
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\end{itemize}
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\end{defin}
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\begin{prop}
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Si on a un code sans mémoire, alors l'autocorrélation de $a$ peux s'écrire:
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\[
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\phi_{aa}(f) = \frac{\sigma_a^2}{T} + \frac{m_a^2}{T^2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(f-k/T)
|
|
\]
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\end{prop}
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\section{Code en BdeB usuels}
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\subsection{Rappel}: on a la DSP du signal d'apres la formule des interférences:
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\[
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\phi_{ee}(f) = |G(f)|^2\times \phi_{aa}(f)
|
|
\]
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\begin{prop}
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|
Pour un code en Bande de Base:
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\begin{itemize}
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|
\item à symbole indépendant (sans mémoire)
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|
\item à symbole identiquement distribués
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\end{itemize}
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|
Alors:
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\[
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|
\phi_{aa}(f) =\frac{\sigma_a^2}{T}+\frac{m_a}{T^2}\sum_{-\infty}^{+\infty}\delta(f-k/T)
|
|
\]
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|
\end{prop}
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\subsection{Code NRZ binaires}
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\subsubsection{Code NRZ Binaire antipolaire}
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\begin{figure}[H]
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|
\centering
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\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
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\begin{axis}
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[axis lines = middle,width =0.9\linewidth,height=5cm,
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|
xmin= 0,xmax =6, ymin=-1.3,ymax=1.5,xtick={1,2,3,4,5,6},
|
|
xticklabels={$T_b$,$2T_b$,$3T_b$,$4T_b$,$5T_b$,$6T_b$},
|
|
xticklabel style={yshift = -1.2cm},
|
|
ytick={-1,1},yticklabels={$-V$,$+V$}]
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|
\addplot[const plot, very thick] coordinates {(0,1) (1,-1) (2,1) (3,-1) (4,-1)
|
|
(5,1) (6,1)};
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|
\end{axis}
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|
\end{tikzpicture}
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|
\caption{Codage NRZ binaire}
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|
\end{figure}
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|
\begin{defin}
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|
Pour un code NRZ binaire antipolaire on a:
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\[
|
|
\begin{cases}
|
|
a_k = + 1 & \text{ si } \beta_k =1 \\
|
|
a_k = - 1 & \text{ si } \beta_k =0 \\
|
|
\end{cases}
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|
\]
|
|
Alors :
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|
\[
|
|
m_a = 0 \text{ et } \sigma_a^2 = V^2
|
|
\]
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|
Pour une forme d'impulsion rectangulaire on a donc:
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|
\[
|
|
\phi_{ee}(f)= V^2 T_b \left(\frac{\sin\pi fT_b}{\pi f T_b}\right)^2+ \delta(f)\frac{V^2}{4}
|
|
\]
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|
\end{defin}
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\subsubsection{Code NRZ binaire unipolaire}
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\begin{figure}[H]
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|
\centering
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\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
|
|
\begin{axis}
|
|
[axis lines = middle,width =0.9\linewidth,height=5cm,
|
|
xmin= 0,xmax =6, ymin=-1.3,ymax=1.5,xtick={1,2,3,4,5,6},
|
|
xticklabels={$T_b$,$2T_b$,$3T_b$,$4T_b$,$5T_b$,$6T_b$},
|
|
xticklabel style={yshift = -1.2cm},
|
|
ytick={-1,1},yticklabels={$-V$,$+V$}]
|
|
\addplot[const plot, very thick] coordinates {(0,1) (1,0) (2,1) (3,0) (4,0)
|
|
(5,1) (6,1)};
|
|
\end{axis}
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|
\end{tikzpicture}
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|
\caption{Codage NRZ binaire}
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|
\end{figure}
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\begin{defin}
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|
Pour un code NRZ binaire unipolaire on a:
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|
\[
|
|
\begin{cases}
|
|
a_k = + 1 & \text{ si } \beta_k =1 \\
|
|
a_k = 0 & \text{ si } \beta_k =0 \\
|
|
\end{cases}
|
|
\]
|
|
Alors :
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|
\[
|
|
m_a = +\frac{V}{2} \text{ et } \sigma_a^2 = \frac{V^2}{4}
|
|
\]
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|
Pour une forme d'impulsion rectangulaire on a donc:
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|
\[
|
|
\phi_{ee}(f)= \frac{V^2T_b}{4} \left(\frac{\sin\pi fT_b}{\pi f T_b}\right)^2
|
|
\]
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|
\end{defin}
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|
\subsubsection{Code NRZ M-aire}
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\begin{defin}
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|
On généralise le code NRZ binaire pour $a_k=\{\pm 1,\pm2 ... \pm
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(M/2-1)\}$ on a :
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\[ m_a = 0 \text{ et } \sigma_a^2 = \frac{2}{M} \sum_{p=0}^{(M/2)-1}(2p+1)^2
|
|
\]
|
|
Pour une forme d'impulsion rectangulaire de durée $T=nT_b$on a donc:
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|
\[
|
|
\phi_{ee}(f)= \frac{(M-1)^2}{3}V^3T \left(\frac{\sin\pi fT}{\pi f T}\right)^2
|
|
\]
|
|
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\end{defin}
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|
\subsubsection{Code RZ binaire}
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\begin{defin}
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|
On note $RZ_\lambda$ pour une impulsion rectangulaire de la forme:
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\[g(t)=
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|
\begin{cases}
|
|
+V & \forall t \in [0;\lambda T_b] \\
|
|
0 & \forall t \in [\lambda T_b,T_b]
|
|
\end{cases}
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|
\]
|
|
Alors :
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|
\[
|
|
\phi_{ee}(f)= \frac{V^2\lambda^2T_b}{4}\left(\frac{\sin\pi f_b\lambda T}{\pi f\lambda T_b}
|
|
\right)^2 + \frac{V^2\lambda^2T_b}{4}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \left(\frac{\sin k\pi\lambda}{k\pi\lambda}\right)^2\delta(f-k/T_b)
|
|
\]
|
|
\end{defin}
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|
\begin{rem}
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|
Le plus classique est le code $RZ_{1/2}$: on a une raie à $1/T_b$,
|
|
mais pour une longue suite de $0$la DSP s'annule.
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\end{rem}
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|
\subsubsection{Code Manchester}
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\begin{defin}
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\[
|
|
\begin{cases}
|
|
a_k = + 1 & \text{ si } \beta_k =1 \\
|
|
a_k = 0 & \text{ si } \beta_k =0 \\
|
|
\end{cases}
|
|
\]
|
|
Pour une impulsion rectangulaire on a donc:
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|
\[
|
|
g(t)=
|
|
\begin{cases}
|
|
+ V & \forall t \in [0,T_b/2] \\
|
|
-V & \forall t \in [T_b/2,T_b]\\
|
|
0 & \forall t \notin [0,T_b]
|
|
\end{cases}
|
|
\]
|
|
Alors:
|
|
\[
|
|
\phi_{ee}(f)= V^2T_b \left(\frac{\sin\pi fT_b/2}{\pi f T_b/2}\right)^2()\sin\pi fT_b/2)^2
|
|
\]
|
|
\end{defin}
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\begin{rem}
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|
Le codage de manchester est un transcodage ``1B2B'' : le 1 est
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codé par 1->0 alors que 0 est codé par 0->1. Les deux mots 11 et 00 ne
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sont pas utilisés. C'est le front montant ou descedant qui code l'information.
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|
La DSPd'un code de Manchester a une raie à la fréquence $f=1/T_b$,
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on peux faire de la synchronisation.
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\end{rem}
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\subsection{Code en Bande de base avec mémoire}
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\subsubsection{Code bipolaire $RZ_{1/2}$}
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\begin{defin}
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\[
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|
\begin{cases}
|
|
a_k = \pm 1 & \text{ si } \beta_k =1 \\
|
|
a_k = 0 & \text{ si } \beta_k =0 \\
|
|
\end{cases}
|
|
\]
|
|
Donc $m_a =0$ et $\sigma_a^2 = 1/2$.
|
|
Pour une impulsion rectangulaire on a donc:
|
|
\[
|
|
g(t)=
|
|
\begin{cases}
|
|
+ V & \forall t \in [0,T_b/2] \\
|
|
-V & \forall t \in [T_b/2,T_b]\\
|
|
\end{cases}
|
|
\]
|
|
Alors :
|
|
\[
|
|
\phi_{ee}(f)= \frac{V^2T_b}{\sin^2(\pi fT_b)}\sinc^2(\frac{\pi fT_b}{2})
|
|
\]
|
|
\end{defin}
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|
\begin{prop}[Cas d'un code avec mémoire]
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Pour un code avec mémoire :
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\[
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|
\phi_{aa}(f) = \frac{\sigma_a^2}{T}+\frac{2\sigma_a^2}{T}\sum_{k=1}^{\infty}R_{aa}(k)\cos(2\pi fk T)+\frac{m_a^2}{T^2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(f-k/T)
|
|
\]
|
|
Avec $R_{aa}$ la fonction d'autocorrélation normalise des symboles
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$a_k$
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\[
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|
R_{aa} = \frac{E[(a_n-m_a)(a_{n-k}-m_a)]}{\sigma_a^2}
|
|
\]
|
|
\end{prop}
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|
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\begin{rem}
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|
$e(t)$ prend 3 niveaux de tension (+V,-V,0), ou 1 est codé
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|
alternativement par +V et -V. C'est un code
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\emph{pseudo-ternaire}. Si $\beta_k$ possède une longue suite de zéro la
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DSP va s'annuler...
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\end{rem}
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\subsubsection{Code HDBn}
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\begin{defin}
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Pour éviter que la DSP s'annule on intercale des \emph{ bit de
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viols}pour limiter la succession de $n$ zéros.
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|
\end{defin}
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\begin{prop}
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|
Le $n$ de HBDn indique le nombre de 0 que l'on peut envoyer. On le choisit en fonction de la fiabilité du support et du matériel. La valeur pour le premier 1 à envoyer est fixée par convention entre l'émetteur et le récepteur.
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\end{prop}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[
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level distance=2cm,
|
|
level 1/.style={sibling distance=7cm},
|
|
level 2/.style={sibling distance=4.5cm},
|
|
edge from parent fork down]
|
|
\tikzset{if/.style={diamond,draw,aspect=2.5,inner sep=-3pt, label={[yshift=0.125cm]left:{\tiny\bf+}},
|
|
label={[yshift=0.125cm]right:{\tiny-}},}}
|
|
\node[if](I) {\begin{tabular}{c}
|
|
Polarité du \\dernier viol
|
|
\end{tabular}}
|
|
[edge from parent path={[-latex] (\tikzparentnode) -| (\tikzchildnode)}]
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|
|
|
child {node[if] {
|
|
\begin{tabular}{c}
|
|
Polarité du \\dernier 1
|
|
\end{tabular}}
|
|
child {node {\texttt{-V00V}}}
|
|
child {node {\texttt{000-V}}}
|
|
}
|
|
child {node[if] {
|
|
\begin{tabular}{c}
|
|
Polarité du \\dernier 1
|
|
\end{tabular}}
|
|
child {node {\texttt{000+V}}}
|
|
child {node {\texttt{+V000+V}}}
|
|
}
|
|
;
|
|
\node[above=1cm] at (I.north) (O) {\texttt{0000}};
|
|
\draw[-latex] (O) -- (I.north);
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
|
|
Pour compenser les bits de viols , on ajoute les \emph{ bits de bourrage.}
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|
\begin{exemple}~\\
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|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\begin{axis}
|
|
[axis lines = middle,width =0.9\linewidth,height=5cm,
|
|
xmin= -0.2,xmax =15, ymin=-1.3,ymax=1.5,
|
|
xticklabels={0,1,0,1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,1},
|
|
grid = major,
|
|
xticklabel style={yshift = 2cm,xshift=-0.5cm},
|
|
ytick={-1,1},yticklabels={$-V$,$+V$}]
|
|
\addplot[const plot, very thick] coordinates {(-1,1) (0,0) (1,-1) (2,0)(3,0)(4,0)(5,-1)(6,0)(7,1)(8,-1)(9,1)(10,0)(11,0)(12,1)(13,-1)(14,-1)}; \node at (axis cs:5.5,-0.5){V-};
|
|
\node at (axis cs:9.5,+0.5){B+};
|
|
\node at (axis cs:12.5,+0.5){V+};
|
|
\end{axis}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Codage HDB3}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{exemple}
|
|
|
|
\end{document}
|
|
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|
%%% Local Variables:
|
|
%%% mode: latex
|
|
%%% TeX-master: t
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|
%%% End:
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