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\documentclass[main.tex]{subfiles} \newcommand{\D}{\mathcal{D}}
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\newcommand{\Kc}{\mathcal{K}} \newcommand{\Lc}{\mathcal{L}} \begin{document}
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\section{Stabilité de Lagrange} Le premier a avoir introduit la notion de
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stabilité est Lagrange. Le concept est basé sur l'énergie potentielle $V$.
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Puisque les points d'équilibre du système correspondent aux points tels que
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$\derivp[V]{q}=0$ avec $q$ les coordonnées généralisées du mouvement, alors un
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point d'équilibre est stable suivant Lagrange si $\derivpp[V]{q} > 0$
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\begin{figure}[H] \centering \begin{tikzpicture} \draw[-latex] (-0.5,0) --
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(5,0) node[right]{$q$}; \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$R$};
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\draw (0.5,3) to[out=40,in=180] (4,0.5); \draw[decorate,
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decoration={border,amplitude=-0.2cm,angle=90,segment length=0.2cm}] (0.5,3)
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to[out=40,in=180] (4,0.5); \node(I) at (1,3.26) {$\bullet$}; \node(S) at
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(4,0.56) {$\bullet$}; \draw[latex-] (I) to[bend left] ++ (1,0.5)
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node[right]{instable}; \draw[latex-] (S) to[bend right] ++ (1,0.5)
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node[above]{stable}; \end{tikzpicture} \caption{Stabilité au sens de Lagrange}
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\end{figure}
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Suivant Lagrange, un point d'équilibre est stable si pour toutes conditions
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initiales, la trajectoire reste bornée.
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\begin{itemize} \item On contrôle la variation sur la trajectoire par celle sur
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la condition initiale. \item des petites variation sur la condition initiale
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implique de petite variation sur la trajectoire. \end{itemize}
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\begin{rem} La notion de stabilité en non linéaire concerne les points
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d'équilibre et non le système. Mathématiquement, Dirichlet a formalisé la
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stabilité au sens de Lagrange avec les trajectoires. \end{rem} \newpage
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\begin{defin} Un point d'équilibre $x^*$ est stable au sens de Lagrange si et
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seulement si
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\[\forall \delta > 0, \exists \varepsilon > 0 \text{ tel que } \forall t \in
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\R, || x_0-x^* || \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))-x^* || \leq
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\varepsilon\] \end{defin}
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Ainsi la stabilité suivant Lagrange est qu'un petit changement borné sur $x^*$
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implique un petit changement borné sur la trajectoire.
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\[\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)||
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\leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \epsilon \]
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Sans perte de généralité, on considère le point d'équilibre $x^* = 0$.
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\begin{rem} La stabilité suivant Lagrange n'implique pas la convergence mais
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seulement la bornitude\footnote{sic.} (la trajectoire reste bornée), ce n'est
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pas suffisant pour faire de l'automatique, il faut pouvoir garantir la
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convergence. On utilise donc la stabilité au sens de Lyapounov \end{rem}
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\section{Stabilité au sens de Lyapunov}
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\begin{defin} \[\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que }
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||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow || \chi(t,\chi(t_0,x_0)) || \leq
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\epsilon\] \end{defin}
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Attention : il n'y a pas d'implication entre les deux.
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\begin{rem} C'est $\varepsilon$ qui contrôle $\delta$. \end{rem} \begin{rem}
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La condition de Lagrange est sur la bornitude de la trajectoire (quelles
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que soient les conditions initiales, on borne la solution). Par contre, la
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condition de Lyapunov est sur la convergence dans un voisinage (il existe
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des conditions initiales pour lesquelles les trajectoires convergent vers
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$x^*$). \end{rem}
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\begin{exemple}[Oscillateur de Van der Pol] \[ \begin{cases} \dot{x_1} & =
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x_2\\ \dot{x_2} & = -x_1 + (1-x_ 1^2)x_2 \end{cases} \]
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Point d'équilibre $x^* =(0,0)$
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\begin{rem} Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der
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Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable. \end{rem}
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% \img{0.3}{3/2.png}
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$\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0)
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et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange. Par contre, pas stable
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au sens de Lyapunov car on a \[ \forall \delta > 0, \nexists \epsilon > 0
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\text{ tel que } ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| < \epsilon \]
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\end{exemple}
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\begin{exemple}[Pendule sans frottement] L'origine est stable suivant Lyapunov
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avec $\delta = \epsilon$.
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Elle n'est pas stable suivant Lagrange \[x_0=(x_1= \pi, x_2=0) : \nexists
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\epsilon >0 \text{ tel que } \|\chi(t,\chi(0,s_0))\| < \epsilon \]
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\end{exemple}
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\subsection{Stabilité uniforme} \begin{defin} Le point d'équilibre $x^* (x^*
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=0)$ est dit point d'équilibre uniformément stable si, pour la condition de
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Lyapunov, $\delta$ peut être choisi indépendamment des conditions initiales
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$t_0,x_0$ \end{defin}
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\begin{defin} On définit les \emph{fonctions de caractérisations} suivantes :
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\begin{enumerate} \item Si $\alpha : \R_+ \rightarrow \R_+$ est continue et
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strictement croissante, $\alpha$ est dite de classe $\Kc$.
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Si $\alpha$ croit indéfiniment (i.e. $\alpha (s) \rightarrow \infty$),
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alors $\alpha\in \Kc_{\infty}$
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\item $\phi$ est dite de classe $\Lc$ si $\phi:\R_+\rightarrow\R_+$ continue,
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strictement décroissante et $\phi(s) \rightarrow 0$
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\item $\beta$ est dite de classe $\Kc\Lc$ si $\beta:\R_+ \times \R_+
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\rightarrow \R_+$ si $\beta(.,r)\in \Lc \text{ et } \beta(s,.) \in \Kc$
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Typiquement $\beta(s,r)=\alpha(s).\phi(r) \text{ avec } \alpha\in\Kc, \phi
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\in \Lc$. \end{enumerate} \end{defin}
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\begin{exemple} $\beta(\|x_0\|,|t|)=\|x_0\|e^{-\lambda |t|} \text{ avec }
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\lambda >0$
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Ainsi le but est d'arriver à vérifier pour une trajectoire du système $
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\|\chi(t,x_0)\| \leq \beta(\|x_0\|,t),t \geq 0$ (enveloppe) \end{exemple}
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\begin{prop} L'origine est uniformément stable si et seulement si \[\exists
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c>0, \alpha \in \Kc \text{ tel que } \|\chi(t_0,x_0)\| \leq c \Rightarrow
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\|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \alpha (\|\chi(t_0,x_0)\|)\] \end{prop}
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\begin{proof} Condition suffisante.
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Soit $\alpha \in \Kc$ (strictement croissante et continue, donc $\alpha^{-1}$
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existe).
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Pour $\epsilon >0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que }
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\delta = \alpha^{-1}(\epsilon)$.
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Si $\|\chi(t_0,x_0)\| \leq \delta \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq
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\alpha(\alpha^{-1}(\epsilon)) \leq \epsilon$\\
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Condition nécessaire.
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$\forall \epsilon>0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que }
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\|s_0\| \leq \delta \Rightarrow \|s\| \leq \epsilon$
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Si $\epsilon_2 > \epsilon_1 \Rightarrow \delta_2 \geq \delta_1$ (suivant
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Lyapunov). On définit $\delta' \in \Kc \text{ tel que } \delta'<\delta$.
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Pour $\epsilon > 9, \exists \delta > 0 \text{ tel que }$ \begin{align*}
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\|s_0\| \leq \delta & \Rightarrow \|\delta\| \leq \epsilon\\ \|s_0\| \leq
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\delta' & \Rightarrow \|\delta\| \leq \epsilon \text{ car } \delta'<\delta
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\end{align*}
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Si on définit $\alpha(\|.\|)=(\delta')^{-1}$, $\forall \epsilon >0, \exists
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\delta'(\epsilon)$ où $\|s_0\|=\delta'(\epsilon) \Rightarrow \epsilon =
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(\delta')^{-1}(\|s_0\|)$
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Suivant Lyapunov, cela implique $\|s\| \leq \epsilon \leq \alpha (\|s_0\|)$
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\end{proof}
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\section{Attractivité (convergence)} \begin{defin} $\exists r > 0, \forall
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\sigma > 0, \exists T > 0 \text{ tel que } \|\chi(t_0,x_0)\| \leq r
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\Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \sigma, \forall t \geq T$
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% \img{0.5}{4/1.png}
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Autrement dit : $\|s_0\| \leq r \Rightarrow \lim_{t\rightarrow \infty}
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\|\chi_t\| = 0$.
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On parle d'attractivité uniforme si $T$ ne dépend pas de $t_0$. \end{defin}
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\begin{prop}[Stabilité asymptotique] L'origine est asymptotiquement stable si
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et seulement si \begin{itemize} \item stabilité au sens de Lyapunov et
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attractivité \item $\|s_0\| \leq r \Rightarrow \|s\| \leq \beta
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(\|s_0\|,t), \quad \beta \in \Kc\Lc$ \end{itemize} \end{prop}
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\begin{prop}[Stabilité exponentielle] L'origine est exponentiellement stable si
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et seulement si \begin{itemize} \item stabilité au sens de Lyapunov et
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attractivité \item $\exists \alpha, \lambda, r >0 \text{ tel que }
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\|s_0\| \leq r \Rightarrow \|s\| \leq \alpha \|s_0\| e^{-\lambda
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t}$ \end{itemize} \end{prop} \begin{prop}[Stabilité locale et
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globale] \begin{itemize} \item L'origine est globalement stable
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si la stabilité (asymptotique, exponentielle,...)
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ne dépend pas de la condition initiale, i.e.
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$\forall t_0 \in \R \text{ et } x_0 \in \R^n$ et
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dit localement stable (asymptotiquement,
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exponentiellement,...) \item Si la stabilité dépend
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de la CI, i.e. $\exists V_t \subset \R$ ou $V_x \in \R^n$ tel
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que $\forall t_0 \in V_t$ et $\forall x_0 \in V_x$, l'origine
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est stable. \end{itemize} \end{prop} \paragraph{Problème}
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Généralement, on n'a pas de solution analytique de l'équation
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différentielle. Ainsi, la stabilité ne peut pas être vérifiée
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via la trajectoire.
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\begin{defin} $V$ est une \emph{fonction de Lyapunov} si : \begin{enumerate}
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\item $V : \begin{cases} \R^n & \rightarrow \R_+\\x & \mapsto V(x)
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\end{cases} $ telle que $V(0)=0$ et $V(x) \geq 0$ (définie semi-positive)
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ou telle que $V(0)=0$ et $V(x) > 0$ si $x\neq 0$ (définie positive)
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\item $V$ est radialement non bornée, i.e. $V(x) \rightarrow_{\|x\| \rightarrow
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\infty} \infty$ \end{enumerate} \end{defin}
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\begin{thm}[Stabilité au sens de Lyapunov] Soit $\dot{x}(t) = f(x(t))$ et
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$f(0)=0$ (origine est un point d'équilibre). On suppose qu'il existe $V$
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(fonction de Lyapunov) continue et différentiable tel que \[ \exists D
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\subset \R^n, 0 \in \D \text{ où } \forall x \in \D, \quad \dot{V}(x) =
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(\derivp[V]{x})^Tf(x) \leq 0 \] Alors l'origine est stable au sens de
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Lyapunov sur $\D$.
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Si $\D = \R^n$, 0 est globalement stable au sens de Lyapunov. \end{thm}
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\begin{proof} Si $x=0$ est stable, alors $\forall \epsilon > 0, \exists \delta
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> 0 \text{ tel que } \|s_0\| \leq \delta \Rightarrow \|s\| \leq \epsilon$.
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Pour $\epsilon > 0$ on définit $0<r\leq \epsilon$ avec $B_r(0) = \{ x \in \D
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\text{ tel que } \|x\| \leq r \}$
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Soit $\alpha = \min_{\|x\| = r} V(x)$ et on choisit $\beta$ tel que $\beta <
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\alpha$ et on définit $\Omega_{\beta} = \{ x \in B_r(0) \text{ tel que }
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V(x) \leq \beta \}$.
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$0\in \Omega_{\beta}$ car $V(0) = 0$ et $\Omega_{\beta} \subset B_r(0)$.
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Soit $x_0\in \Omega_{\beta} \subset \D$ : $\dot{V}(x) \leq 0$ \begin{align*}
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\Rightarrow & V(x(t)-V(x_0) \leq 0 \quad (\text{ car } \in \D) \\
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\Rightarrow & V(x(t)) \leq V(x_0) \leq \beta \quad (\text{ car } x_0 \in
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\Omega_{\beta}) \\ \Rightarrow & x(t) \in \Omega_{\beta} \subset B_r(0)\\
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\Rightarrow & \|x(t)\| \leq \epsilon \quad r \leq \epsilon \end{align*}
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(Autrement dit si on part de $\Omega_{\beta}$ on reste dans $\Omega_{\beta}$)
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$\delta(\epsilon)$ est le rayon de la boule de centre O et $\subset
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\Omega_{\beta}$ \end{proof}
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\begin{thm}[Stabilité asymptotique au sens de Lyapounov] Soient le système
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$G:\dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$ et $V:\D \rightarrow\R_+$ une fonction de
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Lyapunov continue et différentiable telle que \[ \forall x \in \D, \quad
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\dot{V}(x) = (\derivp[V]{x})^T f(x) \leq -Q(x), \quad \text{ où } Q(x)
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\text{ est définie positive } \]
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Alors l'origine est asymptotiquement stable. \end{thm}
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\begin{rem} $Q(x)$ dépend de toutes les variables d'état. Sinon la convergence
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asymptotique n'est vérifié que pour certaine direction. \end{rem}
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\begin{exemple}[Cas linéaire]
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$\dot{x}=Ax$ avec $x\in \R^n$
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Soit $P$ une matrice semi définie positive ($P^T = P \text{ et } \lambda(P) =
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0 \Leftrightarrow \forall x\in \R^n, x^T P x \geq 0$)
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On définit $V(x) = x^TPx$ fonction de Lyapunov
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\begin{align*} \dot{V}(x) & = \dot{x}^T P x + x^T P \dot{x} \\ & = x^T APx +
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x^T PAx \\&= x^T(A^TP + PA)x \end{align*}
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\emph{Suivant Lyapunov, A est Hurwitz si et seulement si $Re(\lambda(A)) <
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0$}.
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$\exists P > 0 \text{ tel que } A^TP + PA$ définie négative.
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On pose $P = \int_0^{\infty} e^{A^Tt}Qe^{At} dt$ avec $Q$ définie positive.
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On a donc $P$ définie positive.
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\[ \int_0^{\infty} (A^T e^{A^Tt} Q e^{At} + e^{A^T t} Q e^{At} A)dt =
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\int_0^{\infty} \dd{e^{A^Tt} Q e^{At}}{t} dt =
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\left[e^{A^Tt}Qe^{At}\right]_0^{\infty}\]
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Si $A$ est Hurwitz : $e^{At} \xrightarrow[t\rightarrow \infty]{} 0$
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\[A^T P + PA = -Q \text{ définie négative (équation de Lyapunov)} \]
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Pour le système linéaire \[ \dot{V}(x) = x^T (A^T P + PA)x \leq -x^T Q x\]
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$\Rightarrow$ Stabilité de Lyapunov $\Leftrightarrow$ Stabilité
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asymptotique
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\end{exemple}
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\begin{thm}[Stabilité exponentielle] Soient le système $G: \dot{x}=f(x)$ et
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$f(0)=0$, $\exists V : \D \rightarrow \R_+$ fonction de Lyapunov continue et
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différentiable telle que \begin{enumerate} \item $\exists \alpha > 0, \beta >
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0$ et $c\geq 1$ tel que \[ \quad \forall x \in \D, \quad \alpha
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\|x\|^c \leq V(x) \leq \beta \|x\|^c\] \item $\exists \gamma > 0$ tel que \[
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\quad \forall x \in \D, \dot{V} \leq - \gamma V \leq - \gamma \|x\|^c \]
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\end{enumerate} Alors l'origine est exponentiellement stable. Si $\D=\R^n$, on
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a aussi la stabilité globale. \end{thm}
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\begin{proof} $\dot{V} \leq -\gamma V \Rightarrow V(x(t)) \leq
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V(x(0))e^{-\gamma t}$
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si $\dot{\hat{V}}=-\gamma \hat{V}$ \begin{align*} V(x(0)) & \leq \beta
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\|x(0)\|^c \\ \text{ et } V(x(t)) & \geq \alpha \|x(t)\|^c \\
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V(x(0))e^{-\gamma t} & \geq \\ \beta\|x(0)\|^c e^{-\gamma t} & \geq
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\qquad \Rightarrow \|x(t)\| \leq
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(\frac{\beta}{\alpha})^{1/c}\|x(0)\|e^{-\frac{\gamma}{c}t} \end{align*}
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\end{proof}
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\begin{corol} Le syst linéaire est aussi exponentiellement stable: \[ V = x^T P
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x \implies \alpha \|x\| \le V(x) \le \beta \|x\|^c \] Avec $\alpha$ plus petite
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valeur propre de $P$ et $\beta$ plus grande valeur propre de $P$. \end{corol}
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si on a la stabilité asymptotique \[ \dot{V}=x^T(A^TP+PA)x x^T R x \le -\gamma
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V x^T R x \le -\gamma \|x\|^2 \] \begin{exemple} $\begin{cases} \dot{x_1} & =
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-x_1^3 + x_2 ^3 + x_1x_2^2\\\dot{x_2} & = - x_2^2 x_1 - 5x_2^3 \end{cases}$
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$(x_1,x_2)=(0,0),f(0)=0$ est-il asymptotiquement stable ?
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On pose $V(x) = \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2)$. $V(0) = 0$ et $V(x)>0, \forall x
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\neq 0$.
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\[ \dot{V}(x) = x_1\dot{x_1} + x_2 \dot{x_2} = -x_1^4 + x_1^2 x_2^2 - 5 x_2^4
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\leq -\frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq - Q(x) \text{ tel que } Q(x)
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\geq 0 \]
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L'origine est globalement asymptotiquement stable.\\
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Est-il exponentiellement stable ?
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\[ \alpha \|x(t)\|^c \leq V(x(t)) \leq \beta \|x(t)\|^c \]
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$\beta=1,\alpha=\frac{1}{4}$
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\[ \dot{V} \leq - \frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq -\frac{9}{2}(x_1^4
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+ x_2^4) \]
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Pour $\D = \{ \|x\| \leq 1 \}, x_1^2 +x_2^2 \geq x_1^4 + x_2^4$ donc $-(x_1^2
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+ x_2^2) \leq -(x_1^4+x_2^4)$ : on ne peut pas borner $\dot{V}$ par $V$.
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Avec ce $V(x)$ on ne peut décider de la convergence exponentielle.
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\end{exemple}
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Si on arrive pas a vérifier la stabilité alors le point d'équilibre (ou
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l'origine) peut-être instable. Dans ce cas, comment vérifier l'instabilité du
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point d'équilibre (origine)?\\
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\begin{thm}[Théorème de Lyapunov d'instabilité] Soit le système G: $x=f(x)$,
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$f(0)=0$ et $t\geq 0$. Si $\exists V : \D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow
|
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\mathbb{R}_+$ continue, différentiable et définie positive ($0 \in \D$),
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tel que \[\forall x \in \D^*, \quad \dot{V}(x) = \left( \frac{\partial
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|
V}{\partial x}\right)^T f(x) >0 \] alors l'origine est instable. \end{thm} Le
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système accumule de l'énergie et deviens instable \begin{proof} Instable
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$\Leftrightarrow$ $\exists \epsilon>0$ tel que $\forall \delta >0$, alors
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$\|x_0\| \leq \delta$ et $\|x\| \geq \epsilon$\\
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$\forall \delta > 0$ soit $r \in ]0;\delta[$ tel que:\\ $B_r(0) = \{ x\in \D$
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|
tel que $ \|x\| \leq r \}$ est compact.\\ On pose $\alpha = max_{B_r(0)}
|
|
V(x)$ et $x_0 \in B_r(0)$\\ $V(x_0) = \alpha$, ainsi $V(x) - V(x_0) >0$ :
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|
\begin{align*} \Rightarrow & V(x) > \alpha\\ \Rightarrow & x \notin B_r(0)
|
|
\\ \Rightarrow & x \in B_r^c(0)\\ \Rightarrow & \|x\|> r \end{align*} Donc
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$\exists \epsilon >0$ tel que $\|x\| \geq \epsilon > r$ \end{proof}
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\subsection{Théorème simplifiant l'analyse de la stabilité}
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\begin{thm}[Théorème de Barbashin-Krasovsky (Stabilité asymptotique)] Soit
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$\{0\}$ un point d'équilibre du système $\dot{x} = f(x)$ , où $f:\D
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\rightarrow \mathbb{R}^n$, localement lipschitzienne. On suppose qu'il
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existe $V$ continue, différentiable et définie positive telle que \[\dot{V}
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\leq 0\] Soit $S = \{x \in \D$ tel que $\dot{V(x)} = 0\}$.
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Si $x=0$ est le seul élément de $S$, alors l'origine est asymptotiquement
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stable. \end{thm}
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\begin{exemple} Soit le système : \[ \begin{cases} \dot{x_1} &= -x_1^3 + 2
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x_2^3\\\dot{x_2} &= -2x_1x_2^2 \end{cases} \] L'origine est un point
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d'équilibre.\\ \begin{align*} V(x) &= \frac{1}{2}x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 >0\\
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\dot{V(x)} &= x_1\dot{x_1} + x_2\dot{x_2} = -x_1^4 \leq 0 \end{align*} On
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ne peut pas conclure sur la stabilité asymptotique car $Q(x) =
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\frac{1}{2}x_1^4$ ne dépend pas de $x_2$. \\
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On utilise le théorème de Barbashin : \begin{align*} S = \{x \in \D \text{
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tel que }\dot{V(x)} = 0\} \Rightarrow x_1 = 0\\ \Rightarrow &
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\dot{x_2} = 0\\ \Rightarrow & x_2 = 0\\ \Rightarrow & S = \{0\}\\
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\Rightarrow & \text{Stabilité asymptotique} \end{align*} \end{exemple}
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\begin{thm}[Principe d'invariance de LaSalle] Soient $ \dot{x} = f(x)$ avec $f:
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\D \rightarrow \mathbb{R}^n$, $\Omega$ un compact positivement invariant
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tel que $\Omega \subset \D$, $V:\D\rightarrow\mathbb{R}_+$ continue,
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différentiable tel que $\dot{V} \leq 0 $ dans $\Omega$, $E= \{x \in \Omega$
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tel que $ \dot{V}=0\}$ et M le plus grand ensemble positivement invariant
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inclus dans E.
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Alors toute solution $x$ tel que $x_0 \in \Omega$ converge vers M quand $t
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\longrightarrow \infty$. Autrement dit $\overline{M}$ est l'attracteur.
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\end{thm}
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\begin{exemple}[Barbashin] Soit le système \[ \begin{cases} \dot{x_1} & =x_2\\
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\dot{x_2} & = -h(x_1) - g(x_2) \end{cases} \] où $h,g:[-a,a] \rightarrow \R$
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avec $h(0)=g(0)=0$
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et $\forall x \neq 0, \quad x.h(x) >0 \text{ et } x.g(x) >0$.\\
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L'origine est un point d'équilibre.\\
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Fonction de Lyapunov candidate : \[ V(x) = \int_0^{x_1} h(s)ds +
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\frac{1}{2}x_2^2 \]
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$x_1 = 0$ et $x_2=0 \Rightarrow V(x)=0$
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$x_1 \neq 0$ ou $x_2 \neq 0 \Rightarrow V(x) > 0$
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donc $V$ est définie positive.\\
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\begin{align*} \dot{V}(x) & = h(x_1) \dot{x_1}+ x_2 \dot{x_2}\\ & = h(x_1)x_1
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- x_2h(x_1) - g(x_1)x_2 \\ & = -g(x_2)x_2 \leq -Q(x) \text{ définie positive,
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dépend de } x_1 \text{ et } x_2 \end{align*}
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Barbashin :
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$E = \{ x \in \R^2, \dot{V}(x) = 0 \}$
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$\dot{V}(x)=0 \Rightarrow x_2 = 0 \Rightarrow \dot{x_1}=0$
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$\dot{x_2} = 0 + x_2 = 0 \Rightarrow h(x_1)=0 \Rightarrow x_1 = 0$
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Alors $E=\{0\}$ stabilité asymptotique globale. \end{exemple}
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\begin{exemple}[Invariance de La Salle] Soit le système $\dot{x} = ax + u$, $a$
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inconnu mais borné.
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$u=-kx$ et $\dot{k}= \gamma x^2, \gamma >0$
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On pose $x_1=x$ et $x_2=k$ \[ \begin{cases} \dot{x_1} & = ax_1 - x_2x_1
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\\\dot{x_2}& = \gamma x_1^2 \end{cases} \]
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La fonction de Lyapunov candidate \[ V(x) = \frac{1}{2} x_1^2 +
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\frac{1}{2\gamma} (x_2-b)^2, \quad \text{ avec } b>a \text{ car $a$ est
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borné} \] $V(0,b)=0$ et non pas l'origine
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$V(x) \geq 0, \forall x \in \R^d$ \begin{align*} \dot{V}(x) & = x_1 \dot{x_1}
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+ \frac{1}{\gamma}(x_2-b)\dot{x_2} \\ & = ax_1^2 - x_1^2 x_2 + (x_2-b)x_1^2
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\\ & = x_1^2 (a-b) \leq 0 \end{align*}
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$E = \{ x \in \R^2, \dot{V}=0 \} = \{ x_1 = 0 \}$ : attracteur
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Pour le système de départ, on veut montrer que $x\to0$ ie..e. $x_1 \to 0$
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donc (attracteur) $x_1 \to 0$ \end{exemple}
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\section{Extension du théorème de Lyapunov aux systèmes non autonomes, i.e.
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$\dot{x}=f(t,x)$}
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\begin{defin} On considère \emph{un système non autonome} \[G : \dot{x}(t) =
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f(t,x)\], $x(t_0=x_0, \forall t\geq t_0$ avec $f(t,0)=0$, $\forall t \geq 0
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\Rightarrow x = 0$ est un point d'équilibre.
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L'origine est stable au sens de Lyapunov si et seulement si \[ \forall
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\epsilon > 0 \text{ et } t_0 \geq 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } \|
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S(t_0,x_0) \| \leq \delta \Rightarrow \| S(t,S(t_0,x_0)) \| \leq \epsilon,
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\forall t \geq t_0 \] \end{defin}
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\begin{thm}[Théorème de Lyapunov] L'origine du système $G$ est stable au sens
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de Lyapunov s'il existe une $V:[0,+\infty[ \times \D \rightarrow \R_+$ continue
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et différentiable telle que : \begin{itemize} \item $V(t,0) = 0, \forall t\geq
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0$ \item $V(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \D \setminus
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\{0\}$ \item $\dot{V}(t,x) = \derivp[V(t,x)]{t} + (\derivp[V(t,x)]{x})^Tf(t,x)
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\leq 0$, $\forall (t,x) \in \R_+ \times \D$ \end{itemize}
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S'il existe $Q(t,x)$ tel que \begin{itemize} \item $Q(t,0)=0, \forall t \geq
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0$ \item $Q(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \D \setminus \{0\}$ \item
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$\dot{V}(t,x) \leq - Q(t,x), \forall (t,x) \in \R_+ \times \D$ \end{itemize}
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Alors l'origine est asymptotiquement stable.\\
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Si $\exists \alpha > 0, \beta > 0, \gamma > 0 \text{ et } c \geq 1 \text{ tel
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que }$ \begin{itemize} \item $\alpha \|x\|^c \leq V(t,x) \leq \beta \|x\|^c$
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\item $\dot{V}(,x) \leq - \gamma \|x\|^c$ \end{itemize}
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Alors l'origine est exponentiellement stable.
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\end{thm}
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\begin{rem} Si $\D = \R^n$ : l'origine est globalement stable \end{rem}
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Les démonstrations sont calquées sur celles du cas autonome, avec $x_1 = t \in
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\R_ +$, $x_2 = x \in \R^n$, $x_2 = x \in \R^n$ donc $\dot{x_1} = 1$ et
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|
$\dot{x_2} = f(x_1,x_2)$
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\begin{exemple}[Système linéaire non stationnaire] $\dot{x}(t) = A(t) x(t)$ et
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$x(0)=x_0, t \geq 0$
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Soit $V(t,x)=x^TP(t)x$ où $P(t) > 9, \forall t \in \R_ +$
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$V(t,0) = 0, \forall t \in \R_+$ et $V(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+
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\times \R^n \setminus \{0\}$
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\begin{align*} & \dot{V}(t,x) = x^T(t) \dot{P}(t) x(t) + x^T(t)A^T(t)P(t)x(t)
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+ x^T(t)P(t)A(t)x(t) \leq 0 \\ & \Leftrightarrow \dot{P}(t) + A^T(t)P(t) +
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P(t)A(t) \leq 0 \\ \end{align*} Inégalité de Lyapunov dynamique
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Stabilité asymptotique : \[ P(t)+A^T(t)P(t) + P(t)A(t) = - Q(t) \] Équation
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de Lyapunov dynamique
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\[ \lambda_{min}(P(t)) \|x\|^{1=c} \leq V(t,x) \leq \lambda_{max}(P(t))
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\|x\|^{1=c} \]
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|
$\forall t \in \R_+, \exists \gamma > 0$ \[ \dot{V}(t,x) \leq
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-\lambda_{min}(Q(t))\|x\| \] stabilité exponentielle \end{exemple}
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\begin{rem} Dans le cas non autonome, la fonction de Lyapunov candidate peut ne
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pas dépendre du temps, mais elle doit dépendre de toutes les variables d'état.
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\end{rem}
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\begin{exemple} Soit le système non-linéaire \begin{align*} \dot{x_1}(t) & =
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-x_1^3(t) + \sin \omega t x_2(t) \\ \dot{x_2}(t) & = - \sin \omega t x_1(t) -
|
|
x_2^3(t) \end{align*} avec $x_1(0) = x_{10}, x_2(0) = x_{20}$ et $t\geq 0$
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|
L'origine est bien un point d'équilibre. Est-il asymptotiquement stable ?
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\begin{align*} V(x) & = \frac{1}{2} x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 \\ \dot{V}(x) &
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= x_1 (-x_1^3 + \sin \omega t x_2) + x_2(-\sin \omega t x_1 - x_2^3) \\ &
|
|
= -x_1^4 - x_2 ^4 \leq 0 \text{ : stable } \\ & \leq - \frac{1}{2}(x_1^4
|
|
+ x_2^4) = -Q(x) \text{ : globalement asymptotiquement stable }
|
|
\end{align*} \end{exemple}
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\section{Stabilité entrées-états (SEE)/ Input-States Stability (ISS)}
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Soit le système $ G: \dot{x}=f(x,u)$ où $f:\R^n \times \R^m \rightarrow \R^n$
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($m$ désigne le nombre d'entrées)
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Soit l'origine un point d'équilibre :
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\begin{enumerate} \item S'il est globalement stable, alors on peur analyser la
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SEE \item S'il est localement stable, alors la SEE est locale ($\D \subset
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|
\R^n$) \end{enumerate}
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Dans le cas 1, on analyse la stabilité du système en SEE. Dans le cas 2, on
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analyse localement ($\D$) la stabilité du système en SEE.
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\begin{defin} Le système est dit SEE si $\forall u(t)$ et $\forall x_0 \in
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|
\R^n$ bornées, il existe une solution $x(t,x_0), \forall t \geq 0$ et
|
|
$\exists \alpha \in \Kc\Lc$ et $\exists\gamma \in \Kc_{\infty}$ tels que :
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\[ \|x(t,x_0)\| \leq \alpha(\|x_0\|,t) + \gamma(\|u\|_{\infty})\]
|
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où $\|u\|_{\infty} = \sup_{t\geq0}\|u(t)\| = \sup_{t\geq0} (u^Tu)^{1/2}$
|
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\end{defin} \begin{prop} Par définition: \begin{itemize} \item Pour $u=0$ ,
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|
l'origine est asymptotiquement stable. \item Pour $u$ bornée, la trajectoire
|
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est bornée. \end{itemize} \end{prop} \begin{rem} \[ \lim_{t \to \infty}
|
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\|x(t,x_0)\| \leq \gamma (\|u\|_{\infty}) \]
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|
$\gamma$ gain asymptotique du système \end{rem}
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\emph{Cette définition dépend de la trajectoire, alors il faut trouver une
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condition suffisamment indépendante de la trajectoire.}
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\begin{exemple} Soit le système $\dot{x}= Ax + Bu$
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A Hurwitz implique que l'origine est stable.
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Le système est-il SEE ? \[ x(t,x_0) = e^{At}x_0 + \int_0^t e^{A(t-\tau)}
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Bu(\tau) de \tau \]
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\begin{align*} \|x(t,x_0)\| \leq e^{\lambda_{min}(A)t}\|x_0\| + \frac{1}{k}
|
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\|B\|.\|u\|_{\infty} = \frac{1}{k} \gamma(\|u\|_{\infty}) \text{ où } k =
|
|
-\lambda_{max}(A) \end{align*}
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|
$\|B\| = \sup_{\|v\|=1} \|Bv\|$ , on a bien un SEE \end{exemple}
|
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\begin{thm}[Condition suffisante de SEE] ~\\ Le système $\dot{x}= f(x,u)$ est
|
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SEE si $f$ est lipschitzienne et l'origine (pour $\dot{x}=f(x,0)$) est
|
|
globalement exponentiellement stable. \end{thm}
|
|
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|
\begin{exemple} Pour le système $\dot{x} = -x+(1+x^2)u$ : \begin{itemize} \item
|
|
$f(x,0)$ origine exp stable. (car sys linéaire) \item $f$ n'est pas
|
|
lipschitzienne pour les deux variables. En effet pour $u=1$ on a
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$\dot{x} = -x+1+x^2 > 0; \forall x_0$ \end{itemize} \end{exemple}
|
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\section{Attracteur} \begin{defin} Un ensemble $M \subset D$ est positivement
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invariant du système
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\begin{equation}\label{eq:sys} G:\dot{x}(t) = f(x(t)), x(0) = x_0, t\in \R
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\quad \tag{$\ast$} \end{equation}
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si $\chi_t(M) \subseteq M$ pour $t\geq 0$ où $\chi_t(M) = \{ \chi_t(x), x\in
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M \}$.\\
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Il est négativement invariant suivant la dynamique \eqref{eq:sys} si
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$\chi_t(M) \subseteq M$ pour $t<0$. Ainsi $M$ est un ensemble invariant suivant
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\eqref{eq:sys} si $\chi_t(M) \subseteq M, \quad \forall t \in \R$ \end{defin}
|
|
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\begin{prop} Si $M \subset D$ est un ensemble invariant suivant \eqref{eq:sys},
|
|
alors $\overline{M}$ l'adhérence de $M$ est invariant. \end{prop}
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\begin{proof} Soit la suite $(x_n)_{n\in\N} \subset M$ tel que $x_n \rightarrow
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x$ avec $x\in \overline{M}$.
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Puisque $M$ est invariant, alors $(\chi_t(x_n))_{n\in\N} \subset M$. De plus,
|
|
$\chi_t(x_n) \rightarrow \chi_t(x) \in \overline{M}$ car c'est un fermé.
|
|
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|
Ainsi, $\overline{M}$ est invariant suivant \eqref{eq:sys}. \end{proof}
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\begin{defin} Un ensemble invariant fermé $M \subset D$ est un
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\emph{attracteur} du système \eqref{eq:sys}, s'il existe un voisinage $N$ de
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$M$ tel que $\forall x \in N, \exists t \in \R$ tel que $\chi_t(x) \in M$
|
|
\end{defin}
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\begin{rem} Un cycle limite stable ou semi-stable est un attracteur. \end{rem}
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\begin{exemple} Soit le système : \[ \begin{cases} \dot{x_1}(t) = -x_2(t) +
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|
x_1(t)(1-x_1^2(t) - x_2^2(t)) \\ \dot{x_2}(t) = x_1(t) + x_2(t)(1-x_1^2(t) -
|
|
x_2^2(t)) \end{cases} \]
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En utilisant les coordonnées polaires, on trouve l'attracteur de $M$.\\
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On a en effet $r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ et $ \theta =
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\arctan\frac{x_2}{x_1}$
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donc $\dot{r} = \derivp[r]{x_1} \dot{x_1} + \derivp[r]{x_2}\dot{x_2} =
|
|
r(1-r^2)$ et $\dot{\theta} = \derivp[\theta]{x_1}\dot{x_1} +
|
|
\derivp[\theta]{x_2}\dot{x_2} = 1$\\
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Ainsi,
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$r>1 \quad \dot{r}<0 \Rightarrow r \rightarrow 1$
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$r<1 \quad \dot{r}>0 \Rightarrow r \rightarrow 1$
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$r=1$ un fermé $\Rightarrow$ Attracteur où $\forall (x_1,x_2) \in \R^2 /
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\{(0,0)\}$ car $x_1=x_2=0$ est un point d'équilibre, les trajectoires
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convergent vers le cercle unité. Suivant le théorème de Poincaré-Bendixon le
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cercle unité est un cycle limite, car c'est un compact et ne contient pas de
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point d'équilibre. \end{exemple} \end{document}
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