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\documentclass[../../Cours_M1.tex]{subfiles}
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\newcommand{\nomTD}{TP1 : Synthèse et réalisation de filtres actifs}
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\renewcommand{\nomentete}{UE431 - \nomTD}
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\renewcommand{\auteur}{Aymeric Arnould, Tom Colinot}
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\title{\nomTD}
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\author{\auteur}
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\renewcommand{\thesubsection}{\Roman{subsection}.}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section*{Préparation}
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\subsection{Mesure automatique du diagramme de Bode}
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\begin{itemize}
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\item On donne une fréquence maximale $f_{max}$, une fréquence minimale $f_{min}$ et un nombre de points $N$ et on désire générer une répartition logarithmique de ces points.
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Ainsi, on a pour le $n$-ème point :
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\begin{align*}
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\log(f_n) & = \log(f_{min}) + \frac{\log(f_{max})-\log(f_{min})}{N} \\
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f_n & = f_{min}(\frac{f_{max}}{f_{min}})^{n/N}
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\end{align*}
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\item Pour obtenir un fonctionnement correct des filtres à amplificateurs opérationnels, il faut veiller à ce que $2\pi f A_s < SR$, où $A_s$ est l'amplitude de sortie de l'AO.
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\item Pour effectuer le tracé du diagramme de Bode point par point, on génère une tension sinusoïdale d'amplitude $V_e$ pour chacune des fréquences $f_n$ réparties logarithmiquement sur l'intervalle choisi $[f_{min},f_{max}]$ choisi.
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On mesure pour chacune de ces fréquences l'amplitude $V_s$ du signal de sortie, et on trace le gain $G=20\log(V_s/V_e)$ en fonction de $f_n$. On ne mesure pas le déphasage car le cahier des charges n'impose pas de contrainte sur la phase.
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\end{itemize}
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\subsection{Synthèse d'un filtre passe-bas de Butterworth}
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\paragraph{Gabarit} On désire réaliser un filtre passe-bas de Butterworth admettant :
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\begin{itemize}
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\item une bande passante $f_p = 4,5kHz$ avec un gain $a=-3dB$
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\item un gain maximal $b=-35dB$ pour des fréquences supérieures à $f_a = 13kHz$
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\end{itemize}
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\begin{tikzpicture}[scale=1]
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\draw [>=latex,->] (0,0) node[left]{0} -- (8,0) node[right]{$f$} ;
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\draw [>=latex,->] (0,-3) -- (0,1) node[left]{$G_{dB}$};
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\draw [dashed] (0,-2) node[left]{$b=-35dB$} -- (3,-2) -- (3,0) node[above]{$f_p=4,5kHz$};
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\draw [dashed] (3,-2) -- (6,-2);
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\draw (0,-1) node[left]{$a=-3dB$} -- (3,-1) -- (3,-3);
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\draw (6,0) node[above]{$f_a=13kHz$} -- (6,-2) -- (8,-2);
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\end{tikzpicture}
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\caption{Gabarit du filtre passe bas}
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\end{figure}
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\paragraph{Sélectivité} La sélectivité du filtre correspond à $k= \frac{f_p}{f_a} = 0,35$.
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\paragraph{Fonction d'approximation d'un filtre de Butterworth}
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\[H^2(j\Omega) = \frac{1}{1+\epsilon^2\Omega^{2n}} \avec \Omega = \frac{f}{f_p}\]
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\begin{align*}
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\intertext{Déterminons l'expression de $\epsilon$ en fonction de $a$.}
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\text{Par définition } a & = 20 \log(H(j\Omega))|_{\Omega=1} \\
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& = 10 \log \frac{1}{1+\epsilon^2} \\
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10^{-\frac{a}{10}} & = 1 + \epsilon^2 \\
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\text{donc } & \boxed{\epsilon = \sqrt{10^{-\frac{a}{10}}-1}} \\
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\text{On a donc } & \epsilon = 1 \text{ pour } a = -3 dB
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\intertext{Déterminons ensuite l'expression de l'ordre minimal $n_{min}$ du filtre passe-bas normalisé.}
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\text{Par définition } b & = 20 \log(H(j\Omega))|_{\Omega=\Omega_a=1/k} \\
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& = 10 \log (\frac{1}{1+\epsilon^2k^{-2n}})\\
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10^{-\frac{b}{10}} & = 1 + \epsilon^2 k^{-2n} \\
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k^{-2n} & = \frac{10^{-\frac{b}{10}}-1}{\epsilon^2} \\
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\text{donc } & \boxed{n = \frac{\ln (\frac{10^{-\frac{b}{10}}-1}{\epsilon^2})}{2\ln(\frac{1}{k})}} \\
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& n \approx 3,84 \text{ pour } b = -35dB, k = 0,35\\
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\text{On a donc } & n_{min} = 4
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\end{align*}
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\paragraph{Calcul de la fonction de transfert normalisée $H(s)$ du filtre passe-bas prototype}
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\begin{align*}
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H(s) & = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2(-1)^ns^{2n}}} \avec s = p/\omega_p\\
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H^2(s) & = \frac{1}{1+s^8} \text{ avec } n=4
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\end{align*}
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On détermine $H$ à partir des racines du dénominateur de $H^2$ dont on ne garde que celles à partie réelle strictement négative.
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\[1+s^8 = 0 \Leftrightarrow s = e^{j\frac{2k+1}{8}\pi} k=0,..7 \]
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Les racines à partie réelle strictement négative sont $e^{j\frac{5\pi}{8}},e^{j\frac{7\pi}{8}},e^{-j\frac{5\pi}{8}},e^{-j\frac{7\pi}{8}}$
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\begin{align*}
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H(s) & = \frac{1}{(s-e^{j\frac{5\pi}{8}})(s-e^{j\frac{7\pi}{8}})(s-e^{-j\frac{5\pi}{8}})(s-e^{-j\frac{7\pi}{8}})} \\
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& = \frac{1}{(s^2-s(e^{j\frac{5\pi}{8}}+e^{-j\frac{5\pi}{8}})+1)(s^2-s(e^{j\frac{7\pi}{8}}+e^{-j\frac{7\pi}{8}})+1)} \\
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& = \frac{1}{(s^2-2s\cos(\frac{5\pi}{8})+1)(s^2-2s\cos(\frac{7\pi}{8})+1)} \\
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\text{donc } & \boxed{H(s) = \frac{1}{(s^2+0,7654s+1)(s^2+1,8478s+1)}} \\
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\end{align*}
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On retrouve bien ce résultat dans le tableau B1 pour un filtre passe-bas d'ordre 4.
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\subsection{Synthèse d'un filtre passe-bas de Tchebychev}
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Un filtre passe-bas de Tchébychev est caractérisé par la fonction d'approximation suivante :
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\[ F(\Omega) = \frac{1}{1+\epsilon^2T_a^2(\Omega)} \avec \begin{array}{ll}
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Ta(\Omega) = \cos[n.\arccos(\Omega)] & \Omega \leq 1 \\
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Ta(\Omega) = \cosh[n.\argch(\Omega)] & \Omega < 1
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\end{array}
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\et \Omega = \frac{f}{f_p}
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\]
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Déterminons l'expression de $\epsilon$ en fonction de $a$.
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\begin{align*}
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\text{Par définition } a & = 20 \log(F(\Omega))|_{\Omega=1} \\
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\text{Comme précédemmment, } \epsilon & = \sqrt{10^{-\frac{a}{10}}-1}
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\end{align*}
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Pour déterminer l'ordre minimal du filtre $n_{min}$, on utilise le point de coordonnées $(\Omega_a=\frac{1}{k},b)$ :
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\begin{align*}
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\text{Par définition, } b & = 10\log(\frac{1}{1+\epsilon^2T_n^2(\Omega_a)}) \\
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10^{-\frac{b}{10}} & = 1 + \epsilon^2T_n^2(\Omega_a) \\
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T_n^2(\Omega_a) & = \frac{10^{-\frac{b}{10}}-1}{\epsilon^2}
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\intertext{Comme $\Omega_a=1/k \approx 2.857 >1$, alors }
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T_n^2(\Omega_a)& = \cosh(n\argch(\Omega_a)) \\
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n & = \frac{\argch(\frac{\sqrt{10^{-\frac{b}{10}}-1}}{\epsilon^2})}{\argch(\Omega_a)}
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\end{align*}
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Avec $\epsilon = 1$, $b=-35dB$, et $\Omega_a = \frac{1}{0,35}=2,857$, on obtient
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\[ n = 2,76 \text{ donc } n_{min} = 3\]
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\paragraph{Fonction de transfert}
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On souhaite réaliser un filtre avec les mêmes caractéristiques que précédemment mais avec une ondulation dans la bande passante limitée à $a=-1dB$. Il faudra donc augmenter l'ordre par rapport au filtre déterminé ci-dessus.
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Pour un filtre d'ordre 4, on aura la fonction de transmission suivante :
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\[ \boxed{ H(s) = \frac{1}{(1,0136s^2 + 0,2828s +1)(3,5791s^2 + 2,4113s+1)} \avec s = \frac{p}{\omega_p} }\]
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\subsection{Réalisation des filtres passe-bas}
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\subsubsection{La structure de Sallen-Key}
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Pour réaliser les filtres passe-bas cascadables, il est intéressant d'utiliser des amplificateurs opérationnels qui fournissent des filtres à grande impédance d'entrée et faible impédance de sortie. On utilise ici la structure de Sallen-Key.
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[scale=0.6]{sk.png}
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\caption{Structure de Sallen-Key}
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\end{figure}
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On note $u_K$ la tension en entrée de l'amplificateur de tension, on a alors $s = Ku_K$.
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L'application du théorème de Millman au point A situé entre $Y_1$, $Y_2$ et $Y_4$ donne :
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\[V_A = \frac{Y_1e + Y_2u_K + Y_4s}{Y_1+Y_2+Y_4} = \frac{Y_1e + Y_2\frac{s}{K} + Y_4s}{Y_1+Y_2+Y_4}\]
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En entrée de l'amplificateur de tension, supposé idéal, le courant est quasi-nul donc on a un diviseur de tension :
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\[u_K = \frac{Y_2}{Y_2 + Y_3} V_A =\frac{s}{K}\]
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Ainsi, on en déduit :
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\begin{align*}
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\frac{Y_1}{Y_1+Y_2+Y_4}e & = (-\frac{\frac{Y_2}{K}+Y_4}{Y_1+Y_2+Y_4} + \frac{Y_2+Y_3}{Y_2K})s \\
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e & = (-\frac{\frac{Y_2}{K}+Y_4}{Y_1} + \frac{(Y_2+Y_3)(Y_1+Y_2+Y_4)}{Y_1Y_2K})s \\
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e & = (\frac{(Y_2+Y_3)(Y_1+Y_4)}{KY_2} + \frac{Y_2+Y_3}{K}-\frac{Y_2}{K}-Y_4)\frac{s}{Y_1} \\
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\frac{s}{e} & = \frac{KY_1Y_2}{(Y_2+Y_3)(Y_1+Y_4)+Y_2(Y_3-KY_4)}
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\end{align*}
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Pour réaliser l'amplificateur de tension parfait de gain K, on réalise le montage suivant :
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\begin{tikzpicture}{scale=0.5}
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\draw
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(4,1.5) node[op amp] (opamp) {}
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(0,0) node[ground]{} -- (0,2) to[R,l=$r_1$] (2,2) -- (opamp.-)
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(2,2) -- (2,3) to [R,l=$r_2$] (5,3) -- (5,1.5)
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(opamp.+) node[left]{$u_K$}
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(opamp.out) -- (6,1.5) node[right]{$s$}
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;
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\end{tikzpicture}
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\end{figure}
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On a $V_-=V_+$ et $V_- = \frac{r_1}{r_1+r_2} s$, d'où $u_K=\frac{r_1}{r_1+r_2}s $ donc le gain $K$ est défini par $K=1+\frac{r_2}{r_1}$
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On pose alors $Y_1 = \frac{1}{R_1}$, $Y_2=\frac{1}{R_2}$, $Y_3 = C_3p$ et $Y_4=C_4p$.
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\[ H_{SK}(p) = \frac{K}{R_1C_3R_2C_4p^2 + (R_1(C_3+(1-K)C_4)+R_2C_3)p+1} \]
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On a donc
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\begin{eqnarray*}
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H_{SK}(p) = \frac{K}{(\frac{p}{\omega_0})^2 + 2m\frac{p}{\omega_0}+1} \quad \avec \quad & \omega_0^2 & = \frac{1}{R_1C_3R_2C_4} \\
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|
& m & = \frac{(R_1(C_3+(1-K)C_4)+R_2C_3)}{2\sqrt{R_1C_3R_2C_4}}
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\end{eqnarray*}
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\noindent Comme $K$ intervient dans l'expression de $m$ et non dans celle de $\omega_0$, on peut régler indépendamment ces deux paramètres. Pour régler $m$ uniquement, on peut utiliser une résistance variable ($r_1$ ou $r_2$) pour faire varier $K$.
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\subsubsection{Réalisation du filtre passe-bas de Butterworth}
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On pose $R_1=R_2=R$ et $C_3=C_4=C$, on a :
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\[ H_{SK}(p) = \frac{K}{R^2C^2p^2 + RC(3-K)p+1} \]
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\[ H_{SK}(s) = \frac{K}{R^2C^2\omega_p^2s^2 + RC(3-K)\omega_ps+1} \]
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Or, on doit synthétiser :
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\[H(s) = \frac{1}{(s^2+0,7654s+1)(s^2+1,8478s+1)}\]
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Circuit 1 :\\
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\[H_{SK}(s) = \frac{K}{R^2C^2\omega_p^2s^2 + RC(3-K)\omega_ps+1} = \frac{1}{(s^2+0,7654s+1)}\]
|
|
\[
|
|
\left\{
|
|
\begin{array}{ll}
|
|
R^2C^2\omega_p^2 & = 1\\
|
|
RC(3-K)\omega_p & = 0,7654 \\
|
|
C & = 4,7nF
|
|
\end{array}
|
|
\right.
|
|
\rightarrow
|
|
\left\{
|
|
\begin{array}{ll}
|
|
R & = 7525 \Omega\\
|
|
K & = 2,2346 \\
|
|
C & = 4,7nF
|
|
\end{array}
|
|
\right.
|
|
\]
|
|
|
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Circuit 2 :\\
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\[H_{SK}(s) = \frac{K}{R^2C^2\omega_p^2s^2 + RC(3-K)\omega_ps+1} = \frac{1}{(s^2+1,8478s+1)}\]
|
|
\[
|
|
\left\{
|
|
\begin{array}{ll}
|
|
R^2C^2\omega_p^2 & = 1\\
|
|
RC(3-K)\omega_p & = 1,8478 \\
|
|
C & = 4,7nF
|
|
\end{array}
|
|
\right.
|
|
\rightarrow
|
|
\left\{
|
|
\begin{array}{ll}
|
|
R & = 7525 \Omega\\
|
|
K & = 1,1522 \\
|
|
C & = 4,7nF
|
|
\end{array}
|
|
\right.
|
|
\]
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Par choix des valeurs de $K$ dans chacun des circuits, la valeur du gain global ne sera pas unitaire. Si on veut un gain unitaire, il faudra rajouter un étage amplificateur ou atténuateur.
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\subsubsection{Réalisation du filtre passe-bas de Tchebychev}
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Si $K=2$ et $C_3=C_3=C$, alors on a
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\[H_{SK}(p) = \frac{K}{R_1R_2C^2p^2 + R_2Cp+1}\]
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La valeur de $K=2$ permet donc de simplifier les équations conduisant aux valeurs des paramètres.
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On voulait synthétiser :
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\[H(s) = \frac{1}{(1,0136s^2 + 0,2828s +1)(3,5791s^2 + 2,4113s+1)} \avec s = \frac{p}{\omega_p}\]
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|
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|
Circuit 1:\\
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|
\[H_{SK}(s) = \frac{K}{R_1R_2C^2\omega_p^2s^2+R_2C\omega_ps+1}
|
|
=\frac{1}{(1,0136s^2 + 0,2828s +1)}\]
|
|
\[
|
|
\left\{
|
|
\begin{array}{ll}
|
|
R_1R_2C^2\omega_p^2 & = 1,0136 \\
|
|
R_2C\omega_p & = 0.2828 \\
|
|
C & = 4,7 nF
|
|
\end{array}
|
|
\right.
|
|
\rightarrow
|
|
\left\{
|
|
\begin{array}{ll}
|
|
R_1 & = 26,98k\Omega \\
|
|
R_2 & = 2,13 k\Omega \\
|
|
C & = 4,7 nF
|
|
\end{array}
|
|
\right.
|
|
\]
|
|
|
|
Circuit 2:\\
|
|
\[H_{SK}(s) = \frac{K}{R_1R_2C^2\omega_p^2s^2+R_2C\omega_ps+1}
|
|
=\frac{1}{(3,5791s^2 + 2,4113s +1)}\]
|
|
\[
|
|
\left\{
|
|
\begin{array}{ll}
|
|
R_1R_2C^2\omega_p^2 & = 3,5791 \\
|
|
R_2C\omega_p & = 2,4113 \\
|
|
C & = 4,7 nF
|
|
\end{array}
|
|
\right.
|
|
\rightarrow
|
|
\left\{
|
|
\begin{array}{ll}
|
|
R_1 & = 11,17k\Omega \\
|
|
R_2 & = 18,15k\Omega \\
|
|
C & = 4,7 nF
|
|
\end{array}
|
|
\right.
|
|
\]
|
|
|
|
On avait \[m = \frac{(R_1(C_3+(1-K)C_4)+R_2C_3)}{2\sqrt{R_1C_3R_2C_4}} = \frac{(R_1(2-K) + R_2)C}{2\sqrt{R_1R_2C^2}}\]
|
|
|
|
La valeur de $K_{lim}$ conduisant à un coefficient d'amortissement $m$ négatif est $K_{lim} = 2+ \frac{R_2}{R_1}$.\\
|
|
|
|
Pour le circuit 1, $K_{lim} = 2 + \frac{2,13}{26,98} = 2,08$.
|
|
|
|
Pour le circuit 2, $K_{lim} = 2 + \frac{18,15}{11,15} = 3,62$.\\
|
|
|
|
Comme on a choisi $K=2$, on a $K\approx K_{lim}$ pour le circuit 1.
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|
|
|
Il faut déterminer un autre jeu de valeurs avec $C_3=C_4=C$ et $R_1=6,8k\Omega$.
|
|
|
|
\[H_{SK}(s) = \frac{K}{R_1R_2C^2\omega_ps^2+(R_1(2-K)+R_2)C\omega_ps + 1} = \frac{1}{(1,0136s^2 + 0,2828s +1)}\]
|
|
On a donc finalement pour le circuit 1 :
|
|
\[
|
|
\left\{
|
|
\begin{array}{ll}
|
|
R_1R_2C^2\omega_p^2 & = 1,0136 \\
|
|
(R_1(2-K)+R_2)C\omega_p & = 0.2828 \\
|
|
C & = 4,7 nF \\
|
|
R_1 & = 6,8k\Omega
|
|
\end{array}
|
|
\right.
|
|
\rightarrow
|
|
\left\{
|
|
\begin{array}{ll}
|
|
R_1 & = 6,8k\Omega \\
|
|
R_2 & = 8,4k\Omega \\
|
|
C & = 4,7 nF\\
|
|
K & = 2,9
|
|
\end{array}
|
|
\right.
|
|
\]
|
|
et pour le circuit 2 :
|
|
\[H_{SK}(s) = \frac{K}{R_1R_2C^2\omega_p^2s^2+R_2C\omega_ps+1}
|
|
=\frac{1}{(3,5791s^2 + 2,4113s +1)}\]
|
|
\[
|
|
\left\{
|
|
\begin{array}{ll}
|
|
R_1R_2C^2\omega_p^2 & = 3,5791 \\
|
|
R_2C\omega_p & = 2,4113 \\
|
|
C & = 4,7 nF
|
|
\end{array}
|
|
\right.
|
|
\rightarrow
|
|
\left\{
|
|
\begin{array}{ll}
|
|
R_1 & = 11,17k\Omega \\
|
|
R_2 & = 18,15k\Omega \\
|
|
C & = 4,7 nF
|
|
\end{array}
|
|
\right.
|
|
\]
|
|
|
|
\section*{Expérimentation}
|
|
\setcounter{subsection}{0}
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\subsection{Étude des filtres en simulation}
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|
\begin{enumerate}
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|
\item Les diagrammes de Bode des filtres de Butterworth et de Tchébychev simulés avec le logiciel sont donnés respectivement en annexes 1 et 2.
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Avec les valeurs des composants choisis, on retrouve les caractéristiques attendues : fréquence de coupure à -3dB de 4,5kHz, gain de -35dB à 13kHz.
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Les deux filtres respectent les gabarits imposés.
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\item Dans les deux cas, le gain à basse fréquence n'est pas unitaire (à cause de la synthèse des filtres), mais on peut toujours rajouter un filtre atténuateur pour diminuer le gain.
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Les deux filtres ont globalement même comportement, mais le filtre de Tchébychev comporte une légère ondulation du gain avant la coupure à -3dB.
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\item Dans le cas du filtre de Tchébychev, la dispersion des composants, et notamment de la valeur de $K$, est plus importante que pour un filtre de Butterworth. L'augmentation de la valeur de $K$ crée une ondulation plus importante en basse fréquence, surtout si on se rapproche de valeur limite d'instabilité $K_{lim}$.
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\end{enumerate}
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\subsection{Filtre passe-bas de Butterworth}
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\begin{enumerate}
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\item Pour régler le gain de chaque circuit, on se place à très basse fréquence $f=1Hz$. En visualisant l'entrée et la sortie d'un seul circuit, on peut ajuster le gain : on règle $R_2$, qui est un potentiomètre alors que $R_1$ est fixée, jusqu'à atteindre le gain voulu.
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\item Le diagramme de Bode a été relevé dans la partie suivante à l'aide du programme \textit{ScopeWithScopeGen}.
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\end{enumerate}
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\subsection{Étude des filtres à l'aide du logiciel de programmation graphique}
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La partie programmation graphique via l'environnement VEE Pro n'a pas été traitée pendant le TP. Les diagrammes de Bode ont été relevés via \textit{ScopeWithScopeGen}.
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\subsubsection{Diagrammes de Bode}
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Les diagrammes de Bode sont donnés en annexes 3 et 4.\\
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\textit{Filtre de Butterworth :}\\
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À basse fréquence, le gain est d'environ 8dB. Lorsque la fréquence augmente, le gain diminue et la limite à -3dB de la bande-passante est atteinte pour une fréquence de 4,5kHz. Le gabarit est bien respecté car on atteint -35dB pour une fréquence de 13kHz.
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L'ordre dans lequel sont cascadés les circuits peut avoir une influence. En effet, le circuit 2 présente une résonance. Si on le met en premier, selon l'amplitude du signal d'entrée, la sortie de ce circuit peut saturer l'entrée du circuit suivant : les performances ne seront pas celles attendues. \\
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\textit{Filtre de Tchebychev :}\\
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À basse fréquence, le gain est d'environ 15dB. Le filtre présente une résonance avant la limite de la bande passante. À 13kHZ, la différence de gain par rapport à la limite basse fréquence est légèrement inférieure au -35dB attendu. Cela est sûrement dû au réglage des gains, car nous avons eu du mal à ajuster les potentiomètres.
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\subsubsection{Comparaison des deux filtres passe-bas réalisés}
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Les deux filtres ont globalement la même réponse. Cependant, le filtre de Tchebychev présente une résonance à la limite de la bande passante, contrairement au filtre de Butterworth. La pente au-delà de la bande passante du filtre de Tchebychev est plus importante que celle de Butterworth.\\
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Les deux filtres ont donc des performances similaires, mais présentent des légères différences qui peuvent justifier l'utilisation de l'un ou de l'autre, selon le cahier des charges imposé.
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\end{document}
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