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\documentclass[../../td]{subfiles}
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\begin{document}
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\subsection*{Exercice 1: Stabilité en non linéaire}
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\begin{enumerate}
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\item
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LE bout de l'autre génie.
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\[x(t) = x_0 \frac{1+t_0}{1+t}\]
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\[\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \tq ||x_0|| \leq \delta \Rightarrow ||x(t) || \leq \epsilon\]
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contraposée
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\[\exists \epsilon \tq \forall \delta >0, ||x_0|| \leq \delta \et ||x(t) || \geq \epsilon\]
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\begin{align*}
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|x(t)| = |x_0| \frac{1+t_0}{1+t} &> \frac{|x_0|t_0}{1+t}\\
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& > |x_0| = \epsilon \si t_0 \rightarrow \infty
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\end{align*}
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\end{enumerate}
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\subsection*{Exercice 2: Pendule simple}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item On applique le PFD selon l'axe $u_\theta$ :\\
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\begin{align*}
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m\ddot{\theta}l &= -mg.sin(\theta)\\
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\ddot{\theta} &= -\frac{g}{l} sin(\theta)
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\end{align*}
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\item On pose le vecteur $x = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\theta \\ \dot{\theta}\end{pmatrix}$, on a donc le système d'état:\\
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\[ \dot{x} = \begin{pmatrix}\dot{x_1} \\ \dot{x_2}\end{pmatrix}\ = \begin{pmatrix}x_2 \\ -\frac{g}{l} sin(x_1)\end{pmatrix}\]\\
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\item On a $E = \frac{1}{2}m v^2$ avec $v= l\dot{\theta}$ :
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\[\boxed{E = \frac{ml^2}{2} x_2^2}\]
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Et $P = mgl(1-cos(\theta))$:
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\[\boxed{P = mgl(1-cos(x_1))}\]
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\item On pose $V(x) = E + P$ d'où en zéro:
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\begin{align*}
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V(0) &= \frac{ml^2}{2} x_{20}^2 + mgl(1-cos(x_{10})) = 0
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\intertext{si $x \neq 0$ et $|x_1| < 2 \pi$, alors $cos(x_1)<1$ donc $E+P >0$}
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\frac{\partial V}{\partial x_1} &= mgl.sin(x_1)\\
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\frac{\partial V}{\partial x_2} &= ml^2 x_2\\
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\dot{V}(x) &= \dot{x_1} mglsin(x_1) + ml^2x_2\dot{x_2}\\
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\dot{V}(x) &= \dot{x_1} mglsin(x_1) + ml^2x_2(-\frac{g}{l}sin(x_1)) = 0\\
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\end{align*}
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Pour $|x_1| < \pi$, l'origine sera stable
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Il n'existe pas de Q(x) tel que $\dot{V(x) \leq -Q(x)}$\\
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Barhashin : $\dot{V}(x) = \{ x_2 \in \R \et |x_1| < 2\pi \}$ \\
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Pas de stabilité asymptotique
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\end{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item On applique le PFD selon l'axe $u_\theta$ :\\
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\begin{align*}
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m\ddot{\theta}l &= -mg.sin(\theta) - \alpha l \dot{\theta}\\
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\ddot{\theta} &= -\frac{g}{l} sin(\theta) -\alpha \frac{1}{m}\dot{\theta}
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\end{align*}
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\item On pose le vecteur $x = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\theta \\ \dot{\theta}\end{pmatrix}$, on a donc le système d'état:\\
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\[ \dot{x} = \begin{pmatrix}\dot{x_1} \\ \dot{x_2}\end{pmatrix}\ = \begin{pmatrix}x_2 \\ -\frac{g}{l} sin(x_1)- \frac{\alpha}{m}x_2\end{pmatrix}\]\\
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\item On a $E = \frac{1}{2}m v^2$ avec $v= l\dot{\theta}$ :
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\[\boxed{E = \frac{ml^2}{2} x_2^2}\]
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Et $P = mgl(1-cos(\theta))$:
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\[\boxed{P = mgl(1-cos(x_1))}\]
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\item On pose $V(x) = E + P$ d'où en zéro:
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\begin{align*}
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V(0) &= \frac{ml^2}{2} x_{20}^2 + mgl(1-cos(x_{10})) = 0
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\intertext{si $x \neq 0$ et $|x_1| < 2 \pi$, alors $cos(x_1)<1$ donc $E+P >0$}
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\frac{\partial V}{\partial x_1} &= mgl.sin(x_1)\\
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\frac{\partial V}{\partial x_2} &= ml^2 x_2\\
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\dot{V}(x) &= \dot{x_1} mglsin(x_1) + ml^2x_2\dot{x_2}\\
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\dot{V}(x) &= \dot{x_1} mglsin(x_1) + ml^2x_2(-\frac{g}{l}sin(x_1))-\frac{\alpha}{m}x_2 - l^2\alpha x_2^2 \leq 0\\
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\intertext{Pour $|x_1| < \pi$, l'origine sera stable}
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\end{align*}
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Il n'existe pas de Q(x) tel que $\dot{V(x) \leq -Q(x)}$\\
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Barhashin :
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\begin{align*}
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\dot{V(x)} = 0 \Rightarrow x_2 =0 \Rightarrow \dot{x_1} = 0\\
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\pour |x_1- < \pi \Rightarrow x_2 = 0\\
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\donc \dot{x_2} = 0 \Rightarrow sin(x_1) = 0
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\end{align*}
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Si $x_1 = 0$, $\pi$ , $-\pi$ il n'y a pas de stabilité asymptotique.\\
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L'origine est stable asymptotiquement pour $(x_1,x_2) \ in ]-\pi ; \pi[\times \R$
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\[
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V(x) = \begin{pmatrix}
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x_1 & x_2\end{pmatrix}. \begin{pmatrix}
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\frac{\alpha^2}{2m^2} & \frac{\alpha}{2m} \\ \frac{\alpha}{2m} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
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x_1 \\x_2
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\end{pmatrix} + \frac{g}{l}(1-cos(x_1))\]
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\[V(0) = 0\]
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\[V(x) = \begin{pmatrix}
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x_1 & x_2\end{pmatrix} P \begin{pmatrix}
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x_1 \\ x_2
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\end{pmatrix} + \frac{g}{l}(1 - cos(x_1))\]
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Or, $P >0$ car:
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\[\frac{\alpha^2}{2m^2}>0 \et \frac{\alpha^2}{2m^2} - \frac{\alpha}{4m^2}>0 \et |x_1| < 0\pi\]
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donc:
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\[P \begin{pmatrix}
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P_{11} & P_{12} \\
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P_{12}^T & P_{22}
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\end{pmatrix} >0 \Leftrightarrow (Lemme de Schur) P_{11} >0 \et (peutetre) P_{11} - P_{12}P_{22}^+P_{12}^T
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>0 (P^+ est la pseudo inverse)
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\]
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\begin{align*}
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\dot{V}(x) &= -\frac{1}{2}(\frac{g\alpha}{lm})x_1 sin(x_1) - \frac{\alpha}{2m} x_2^2 \leq 0\\
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&\leq -\frac{g\alpha}{4lm} x_1sin(x_1) - \frac{\alpha}{4m}x_2^2 = Q(x)
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\end{align*}
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L'origine est localement asymptotiquement stable.
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\end{enumerate}
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\subsection*{Exercice 3: Exemple de systèmes}
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\begin{enumerate}
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\item \begin{enumerate}
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On pose $V(x) = \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2)$, et on a bien $V(0) = 0$.
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$\dot{V}(x) = x_1\dot{x_1} + x_2 \dot{x_2} = -(x_1^2 + x_2^2)$.\\
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On a alors $V(x) \leq -Q(x)$ avec $Q(x) = \frac{x_1^2 + x_2^2}{2}$, donc l'origine est globalement asymptotiquement stable.\\
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\item Vérifions la stabilité exponentielle:
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$\exists \alpha>0$, $\beta>0$, $\gamma>0$, et $x>1$ tel que $\dot{V} \leq - \gamma||x--^c$ et $\alpha||x||^c \leq V(x) \leq \beta ||x||^c$\\
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Pour la norme euclidienne, on prend $c=2$ et avec $\gamma = 1$\\
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$\dot{V} \leq -\gamma||x||^2$\\
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Avec $\alpha = \frac{1}{4}$ et $\beta = 1$ la condition 2 est respectée donc on a la stabilité exponentielle.
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\end{enumerate}
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\item On considère le système suivant:
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\[ \acc{\dot{x_1} = x_2 + x_3^4}{\dot{x_2} = -5sin(x_1) - x_2 + u_1}{\dot{x_3} = -kx_3 + u_2} \]
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\begin{enumerate}
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\item Pour $u_1 = u_2 = 0$, l'origine est stable car $\dot{x} = 0 $.\\
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\item Pour linéariser, on passe par la matrice du jacobien prise en (0,0,0):
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\[
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\begin{pmatrix}
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\delta \dot{x_1} \\\delta \dot{x_2} \\\delta \dot{x_3}
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\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
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0 & 1& 0\\-5 & -1 & 0\\0 & 0& -k
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\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}
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\delta x_1 \\ \delta x_2 \\ \delta x_3
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\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}
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\delta x_1 \\ \delta x_2 \\ \delta x_3
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\end{pmatrix}\]
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\[
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det(\lambda I - A) = (\lambda + k)(\lambda^2 + \lambda + 5)
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\]
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La stabilité suivant le critère de Routh donne que c'est stable si $k>0$
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\item \[V(x) = 5(1-cos(x_1)) + \frac{1}{2} \dot{x_2}^2 + \frac{3}{2k}x_3^4
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|x_1| < 2\pi\]
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\[\dot{V}(x) = 5x_3^4sinx_1 - x_2^2 \leq -x_3^4 - x_2^2 \leq 0 \text{(ne marche pas car ne dépend pas de $x_1$)}\]
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\[\dot{V}(x) \leq \frac{5}{2} x_3^4 sin x_1 -\frac{1}{2}x_2^2 - 3 x_3^4 \leq -\frac{1}{2}x_3^4 - \frac{1}{2}x_2^2\]
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\[Q(x) = -\frac{5}{2}x_3^4sinx_1 + \frac{1}{2}x_2^2 + 3x_3^4 \geq 0 \text{ a condition que } |x_1| < \pi
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\]
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{document}
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