\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}
Dans cette partie on étudie l'influence du canal sur le signal.
\section{Caractéristique du canal}
\label{sec:carac_canal}
On choisit d'étudier un canal :
\begin{itemize}
\item linéarie et invariant (caractérisé par sa réponse impulsionnelle  $g(t)$, sa réponse fréquentielle $G(f)$ ...)
\item bruité par un bruit $n(t)$ additif.
\item de type passe-bas et de bande $B$.
 \item associé à un filtre de réception de réponse impulsionnelle $g_r(t)$.
\end{itemize}

Le signal recu et filtré par le fitre de réception:
\begin{align*}
  r(t) &= g_r(t) \star h(t) \star e(t) + g_r(t)\star n(t)\\
       &= g_r(t) \star h(t) \star \sum_{k}^{}a_kg(t-kT)+ b(t)
       &= \sum_{k}^{}a_ky(t-kT)+b(t)
\end{align*}
$b(t)$ représente la contribution totale du bruit après filtrage.

\begin{prop}
  On considère que le bruit est additif blan gaussien (BABG) àmoyenne nulle et de variance $\sigma^2$
  \[_B(b) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{\frac{-b^2}{2\sigma^2}}\]
\end{prop}
\begin{prop}
  Le filtre de reception peux être optimiser afin de maximiser le rapport signal sur bruit après réception:
  \[
    G_r^{opt}=(G(f).H(f))^*
  \]
\end{prop}
\begin{proof}
  
\end{proof}
Ainsi après échantillonnage à l'instant de décision on a :
\[
  r(t_0+nT) = \sum_{k}^{}a_ky(t_0+nT-kT)+b(t_0+nT)= d(t)
\]
soit:
\[
  r(t_0+nT) = a_ny(t_0)+\sum_{k\neq n}^{}a_ky(t_0+(n-k)T)+b(t_0+nT)
\]
\begin{defin}
  On défini le terme d'interférence entre symbole comme:
  \[
IES =  \sum_{k\neq n}^{} a_k y(t_0+(n-k)T)
\]
Que l'on peux exprimer comme:
\[
  \sum_{k\neq n}^{} a_k y(t_0+(n-k)T) = \sum_{k}^{}a_kg_r(t_0+nT)\star h(t_0+nT)\star g(t_0+(n-k)T)
\]
\end{defin}

\begin{prop}
  En considérant un récepteur parfaitement synchronisé on souhaite qu'à l'instant de prise de décision :

\[
  r(t_0+nT)  = a_n y(t_0)+ b(t_0+nT)
\]
Soit $IES = 0 $
\end{prop}

\begin{rem}
  Dans le cas d'un filtre de réception optimal, et pour une synchronisation parfaite, l'annulation de l'IES consiste à choisir une forme d'impulsion compatible avec le canal et telle que l'IES soit nulle.
\end{rem}
\section{Premier critère  du Nyquist}

\begin{thm}[Critère de Nyquist]
  On ne peux pas transmettre sans IES un signal de rapidité de modulation $R = 1/T$ dans une bande inférieure à $1/2T$.
  Un canal respecntant le premier criètre de Nyquist est tel ue:
  \[
    B \ge \frac{1}{2T} = B_{Nyquist}
  \]
\end{thm}
\begin{defin}
  On appelle Bande de \textsc{Nyquist} la bande minimale pour une durée de symbole $T$.
  \[
    B_{Nyquist} = \frac{1}{2T}
  \]
\end{defin}

\begin{proof}
  On considère un canal décrit en \ref{sec:carac_canal}. Sans bruit on a :

  \[
    r(t_0+nT) = a_ny(t_0)+\sum_{k\neq n}^{}a_k y(t_0+(n-k)T)
  \]
  On souhaite obtenir:
  \[
    r(t_0+nT) = a_ny(t_0) \implies y(t_0+nT) =
    \begin{cases}
      y(t_0) & text{ pour } n = 0\\
      0 & \forall n \neq 0 \\
    \end{cases}
  \]

  En sortie de l'échantillonneur on a la prise de décision :
  \[
    d(t) = y(t)\sum_{n}^{}\delta(t-t_0-nT)
  \]
  Soit dans l'espace de Fourrier:
  \[
    D(f) = \frac{1}{T}Y(f-\frac{n}{T})e^{-j2\pi n t_0/T} \tag{(*)}
  \]
  De plus on a également:
   \[
     d(t) = \sum_{n}^{}y(t_0+nT)\delta(t-t_0-nT)
   \]
   Soit dans l'espace de Fourrier:
   \[
     D(f) = \sum_{n}^{}y(t_0+nT)e^{-j 2 \pi f(t_0+nT)} \tag{(**)}
   \]
   Par unicité de la transformée de Fourier on a :
   \[
     \sum_{n}^{}Y(f-\frac{n}{T}) e^{-j2\pi (f-n/T)t_0} = T y(t_0)
   \]
   alors:
   \[
     Y^{(t_0)}(f)  = \frac{Y(f)}{y(t_0)}e^{j 2 \pi f t_0}
   \]

   Le premier critère de Nyquist s'écrit donc:
   \[
     \sum_{n}^{}Y^{(t_0)}(f-\frac{n}{T}) =T 
   \]
 \end{proof}

\section{Impulsion de Nyquist}
\section{Capacité de canal}


\end{document}
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