\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}
Il s'agit de regarder la stabilité, la convergence vers un point d'équilibre,...\\
On se place dans le cas présent  en régime libre pour un système invariant, c'est à dire que $\dot{x} = f(x,u=0)$ et $y = g(x,u=0)$.\\

\begin{rem}
On pose $u=0$, car la stabilité et la dynamique du système sont des caractéristiques intrinsèques d'un système, donc indépendantes de l'entrée.\\
\end{rem}

Pour étudier la stabilité, on se place dans le plan de phase. Celui-ci permet de situer les points d'équilibres et de vérifier la stabilité. Sa dimension est égale au nombre de variables d'état.\\

Ainsi, pour des systèmes du second ordre, on va avoir:
\[\begin{matrix}
x= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} &\text{et}& f(x)=\begin{pmatrix}f_1(x)\\f_2(x)\end{pmatrix}
\end{matrix}\]
L'espace des phases devient alors ici un plan de phase dans lequel on va rechercher les trajectoires.\\

Dans la suite, on s'intéressera au cas de dimension deux pour positionner et comprendre le problème.\\

\section{Méthode la plus utilisée : iso-clines}
Pour cette méthode, il s'agit de poser :
\begin{align*}
\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{f_2(x)}{f_1(x)} = Cst \\
\end{align*}
C'est-à-dire de rechercher les points tel que la pente en $x$ est égale à une constante donnée.\\

\begin{example}[Pendule inversé]
  Cas sans frottement : \[
    \begin{cases}
    x_1 &= \theta \\
    x_2 &= \dot{\theta}
  \end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
  x_1 & =x_2\\
  x_2 & = -\frac{g}{l}sin(x_1)
\end{cases}
\]
\smallbreak
Les iso-clines vérifient donc :
\begin{align*}
\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{-\frac{g}{l}sin(x_1)}{x_2}\\
&=C
\intertext{donc les points décrivant la courbe ont pour équation:}
x_2 &= -\frac{g}{lC}sin(x_1)
\end{align*}
On trace alors alors ces courbes pour différentes valeurs de constante et l'on obtient:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{1/graph2.png}
\end{center}

L'iso-cline donne la pente de la trajectoire, ainsi, en suivant les pentes données d'iso-cline en iso-cline, on peut remonter à la trajectoire.\\
A noter que pour $C$ infini on est sur l'axe de $x_1$ et pour $C$ nul sur celui de $x_2$.\\

\begin{rem}
sans frottement on atteint un cycle limite tandis qu'avec frottement on tend bien vers l'origine.
\end{rem}
\end{example}

\section{Point d'équilibre }
Les points d'équilibre sont les solutions à l'équation $\dot{x}=0$.\\

\begin{example}[Pendule simple]
\begin{align*}
\dot{x_1} = 0 &\Rightarrow x_2 =0\\
\dot{x_2} = 0 &\Rightarrow x_1 = n\pi \text{	avec, } n\in \mathbb{Z}
\end{align*}
\end{example}

\begin{rem}
Dans le cas où le système L possède un point d'équilibre, i.e. si la matrice $A$ est inversible, il est unique et $x=0$. Par contre, un système N.L peut avoir plusieurs points d'équilibre.\end{rem}

\section{Analyse qualitative du comportement}
Soit le système LTI obtenu à partir de la linéarisation autour d'un point d'équilibre $x_0$.\\
On dit que ce point d'équilibre est stable si c'est un point de convergence des trajectoire, ou instable si c'est un point de divergence des trajectoires.\\

On étudie donc le système autour de son point d'équilibre, en linéarisant son équation autour de ce point. On a donc l'équation:
\begin{align*}
\delta \dot{x}&= A \delta x\\
\text{où, } A&= \frac{\partial f(x)}{\partial x}|_{x=x_0} \text{	Jacobien de f en $x_0$}\\
\text{et, }\delta x &= x-x_0
\end{align*}
\bigbreak

\begin{rem}
En N.L, la stabilité est associée aux points d'équilibre. Ainsi, un même système N.L peut avoir des points d'équilibre stables et instable.
\end{rem}

\begin{example}[Pendule] $x=\begin{pmatrix}2n\pi\\0\end{pmatrix}$ stable et $\begin{pmatrix}(2n+1)\pi\\0\end{pmatrix}$ instable.
\end{example}

L'analyse qualitative de la stabilité est faite par linéarisation.\\

La trajectoire pour une condition initiale $\delta x_0$ est solution de l'équation différentielle précédente, ie \[\delta x(t) = M exp(Jt)M^{-1}\delta x_0\] où J est la matrice diagonale ou de Jordan de A, la matrice d'évolution, et M la matrice de vecteurs propres tel que : $M^{-1}AM = J$.\\

\subsection{Cas $\mathbb{R}$}
$J = \begin{pmatrix}
\lambda_1 &0 \\0&\lambda_2
\end{pmatrix}$ où $\lambda_1 \neq \lambda_2$\\
On pose le changement de variable $\delta z = M^{-1}\delta x$ : Base Modale.\\ Donc on a $\delta z_0 = M^{-1}\delta x_0$ comme valeur initiales, d'où :
\begin{align*}
\delta z_1(t) &= e^{\lambda_1t}\delta z_{01}\\
\delta z_2(t) &= e^{\lambda_2t}\delta z_{02}
\end{align*}
Ceci permet de tracer les trajectoires dans la base modale.\\

\begin{enumerate}

\item Dans le cas où  $\lambda_2 < \lambda_1 < 0$ ou $0 <  \lambda_1 < \lambda_2$, on obtient:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph3.png}
\end{center}
D'un coté on à la convergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$ et de l'autre la divergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$. On a un noeud qui est donc soit stable soit instable.\\

\item Dans le cas où  $\lambda_2 < 0 < \lambda_1 $, on obtient:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph4.png}
\end{center}
On est dans un cas instable et il n'y a pas de point d'équilibre.\\


\item Dans le cas ou $\lambda_1 = 0$, on a:
\begin{align*}
\delta z_1 &= \delta z_{01}\\
\delta z_2 &= e^{\lambda t} \delta z_{02}
\end{align*}
d'où le graphique:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph6.png}
\end{center}
Il n'y a pas de point d'équilibre car A est non inversible ce qui implique que $\dot{x}=Ax \Rightarrow x=0$\\

\begin{rem}
Il n'y a pas de point d'équilibre d'après la définition $ \dot{x} = 0$ même si graphiquement on converge vers un point.
\end{rem}

\item Dans le cas où $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$\\
Si $J = \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}$ le sous espace propre est de dimension 2.\\
On a un point d'équilibre.


Si la dimension du sous espace propre est de 1, $J = \begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}$, donc :
\begin{align*}
\delta z_1 &= t e^{\lambda t} \delta z_{01} + e^{\lambda t} \delta z_{02}\\
\delta z_2 &= e^{\lambda t} \delta z_{02}
\end{align*}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph5.png}
\end{center}

\end{enumerate}


\subsection{Cas $\mathbb{C}$}
 On a maintenant $\lambda_{1,2} = \alpha \pm j\beta$. On considère la représentation d'état : $\delta \dot{z_1} = M^{-1} \delta x$ tel que :
 \begin{align*}
 \delta \dot{z_1} &= \alpha \delta z_1 - \beta \delta z_2\\
 \delta \dot{z_2} &= \beta \delta z_1 + \alpha \delta z_2
 \intertext{On utilise les coordonnées polaires :}
 r = \sqrt{\delta z_1^2 + \delta z_2^2} &\text{ et, } \theta = arctan\left(\frac{\delta z_2}{\delta z_1}\right)
\intertext{on a donc :}
\dot{\theta} &= \beta\\
\dot{r} &= \alpha r
 \end{align*}
Ainsi, on obtient :
\[\left \{ \begin{matrix}
\theta(t) = \theta_0 + \beta t\\
r(t) = e^{\alpha t} r_0
\end{matrix}\right.\]


\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph7.png}
\end{center}

\[
  \begin{cases}

  \delta z_1(t) & = e^{\lambda t} \\
  \delta z_{10} + te^{\lambda t} \delta z_{20}\\
  \delta z_2(t) & = e^{\lambda t} \delta z_{20}
\end{cases}
\]

\section{Cycle limite}
On considère un système oscillant, c'est à dire qu'il existe $T>0$ tel que $\forall t > 0$, $x(t+T) = x(t)$.\\
(On exclut cependant le cas $x(t)$ = constante).


\paragraph{Cycle limite stable}:\\
Pour toutes les conditions initiales appartenant au voisinage du cycle limite,\\
\[\exists t_0 > 0 \text{ et }T > 0 \text{ tel que } \forall t>t_0, \quad x(t+T) = x(t)\]
i.e. toute trajectoire dans un voisinage du cycle limite converge dans un temps fini vers le cycle limite.

\paragraph{Cycle limite instable}:\\
Toutes les trajectoires divergent du cycle limite.\\
Pour toutes les CI n'appartenant pas au cycle limite, $ \exists t > 0 \text{ tel que} x(t) \notin \text{cycle limite} $.

\paragraph{Cycle semi-stable}:\\
 Une partie des trajectoires converge et d'autres divergent du cycle limite.

\section*{Théorème de Bendixon}

\begin{thm}
Soit le système du second ordre $\dot{x}=f(x)$ avec $f$ le champ de vecteurs tel que $f:D\rightarrow\R^2$ avec $D$ un connexe (d'un seul tenant, non formé de la réunion d'ensemble disjoint) de $\R^2$ ne contenant pas de point d'équilibre.
Si:
\begin{itemize}
\item $\exists x \in D$ tel que $\div f(x) \neq 0$
\item $\div f$ ne change pas de signe dans $D$
\end{itemize}
Alors $\dot{x}=f(x)$ n'a pas de cycle limite inclus dans $D$.
\end{thm}

\begin{proof}
Par l'absurde, soit $\Gamma = \{x\in D, x(t), 0 \leq t \leq T\}$ est un cycle limite.

$\forall x \in \Gamma$, $f(x)$ est tangent à $\Gamma$ tel que $f(x).n(x)=0$ où $n(x)$ est le vecteur normal de $\Gamma$ en $x$.

Suivant le théorème de Green,
\[ \oint_{\Gamma} f(x)n(x)dx = \iint_S \div f(x)dS  \text{ donc } \iint_S \div f(x)dS = 0\]

Si $\exists x \in D$ tel que $\div f(x) \neq 0$ et que $\div f$ ne change pas de signe dans $D$ (donc a fortiori dans $S\subset D$), on déduit de la continuité de l'opérateur $\div f$ dans $D$ que $\iint_S \div f(x)dS \neq 0$ : contradictoire.

Ainsi, $D$ ne contient pas de cycle limite.
\end{proof}

\begin{example}
Soit le système NL du 2nd ordre $\ddot{x}(t) + \alpha \dot{x}(t) + g(x(t)) = 0$, avec $x(0) = x_0$ et $\dot{x}(0) = \dot{x}_0$ où $\alpha \neq 0$ et $g:\R \rightarrow \R$ continue avec $g(0)=0$. \\

Représentation d'état :

\[
  \begin{cases}
\dot{x}_1(t) & = x_2(t) = f_1(x)\\
  \dot{x}_2(t) & = - \alpha x_2(t) - g(x_1(t)) = f_2(x)
\end{cases}
\text{ avec } x_1(t) = x(t) \text{ et }x_2(t) = \dot{x}(t) \]

Calculons $\div f = \derivp[f_1]{x_1} + \derivp[f_2]{x_2} = -\alpha$.

$\div f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cycle limite $(D=\R^2)$.
\end{example}

\section*{Théorème de Poincaré-Bendixon}

\begin{thm}
Soient le système du 2nd ordre $\dot{x}=f(x)$ et $O_{x_0}^+$ une trajectoire positive, i.e $O_{x_0}^+ = \{ x \in D, x = S(t,x_0), t \geq 0\}$ où $S(.,x) : \R \rightarrow D$ définit une solution de $\dot{x}=f(x)$ pour une trajectoire passant par $x$, avec un ensemble limite $\omega(x_0)$ i.e. $\omega(x_0) = \bigcap_{t \geq 0} \overline{O_{x_0}^+}$ \footnote{adhérence = plus petit fermé contenant l'ensemble}\\

Si $\omega(x_0)$ est compact et ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
\end{thm}

Interprétation :

Dans le cas du 2nd ordre, si on a une convergence des trajectoires vers un compact (fermé borné de $\R^2$) qui ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
\paragraph{Examples du poly page 4} Système hybride = commutation entre 2 systèmes linéaires\\

Example 1 :
\begin{align*}
\dot{x} & =
          \begin{bmatrix}
-1 & 10 \\-100 & -1 x = A_1x
\end{bmatrix}\\
\dot{x} & =
          \begin{bmatrix}
-1 & 100 \\ -10 & -1 x = A_2x
\end{bmatrix}
\quad \text{v.p. } \lambda_{1,2} = -1 \pm j31,62
\end{align*}

Les deux systèmes sont stables



Stabilité locale mais le système est instable globalement.\\

Important : l'analyse faite par linéarisation donne uniquement une information sur la stabilité locale et non globale.\\

Exemple 2 :
\begin{align*}
\dot{x} & =
          \begin{bmatrix}
1 &- 10\\100 & 1 x
\end{bmatrix}
= A_1x \\
\dot{x} & =
          \begin{bmatrix}
1 & -100\\10 & 1
\end{bmatrix}
x = A_2x \quad \text{v.p. } \lambda_{1,2} = -1 \pm j31,62
\end{align*}

Les deux systèmes sont instables.

En choisissant bien la permutation, on rend le système global stable.

\paragraph{Conclusion} l'analyse de la stabilité par linéarisation ne donne pas une CNS de stabilité des systèmes non linéaires (point d'équilibre), d'où l'importance de définir un autre moyen d'analyse. \\

\begin{rem}
Il existe d'autres méthodes pour tracer les trajectoires dans le plan de phase.
\end{rem}

\begin{example}[Élimination du temps]
\begin{multicols}{2}
\noindent Méthode explicite :
\[
  \begin{cases}
x_1(t) & = x_0 \cos t + \dot{x}_0 \sin t\\x_2(t) & = -x_0 \sin t + x_0 \cos t
\end{cases}
\]

\[x_1^2(t) + x_2^2(t) = x_0^2 + \dot{x}_0^2 \]
On a éliminé le temps mais c'est assez \emph{spicifique} à la représentation d'état.

\noindent Méthode implicite :
\[ \dot{x} =
  \begin{bmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 0
\end{bmatrix}
x \text{ donc }
  \begin{cases}
  \dd{x_1}{t} & = x_2\\ \dd{x_2}{t} & = -x_1
\end{cases}
\]
\[dt = \frac{dx_1}{x_2} = -\frac{dx_2}{x_1}\]
\[x_1dx_1 = -x_2dx_2 \text{ donc } x_1^2 + x_2^2 = x_{20}^2 + x_{10}^2\]
\end{multicols}
\end{example}
\end{document}
