\documentclass[main.tex]{subfiles} \begin{document} \section{Stationnarité et ergodicité} \begin{defin} Soit $(\Omega,\mathcal{E},P)$ un espace probabilisé. Une famille/suite de VA indexé par le temps est un \emph{signal aléatoire} $\in\C^n$ noté : $X_t(\omega) ~ \forall t\in \R$ (ou $X_n(\omega) ~ \forall n \in \Z$) \end{defin} En ptratique on s'interesse àdes des signaux de dimension 1. \paragraph{Rappel:} on appelle trajectoire la réalisation / acquisition d'un signal. il existe deux types de moyenne possible: \begin{itemize} \item temporelle, idem que celle des signaux déterministes \item Statistique, ideme que pour les VA. \end{itemize} \begin{exemple}Soit le SA suivant: $X(t,\omega) =A \sin(2\pi f_0 t)$ où $A$ est une variable aléatoire , (ici qui suit une loi uniforme). Alors une réalisation de ce SA est $x(t)=a\sin(2 \pi f_0 t)$. \begin{itemize} \item $\overline{x(t,\omega)} = 0 = m_x$ et $\overline{x^22(t,\omega)} = \frac{a^2}{2}$ \item $E[X(t,\omega)] =\sin(2 \pi f_0 t)E[A] = m_X(t)$. \end{itemize} \end{exemple} \subsection{Moyenne temporelle} On rappelle les différentes expression des 1er et 2nd ordre (si il existe) de trajectoire particulière. \begin{defin} Les moments d'ordre 1 temporel sont des \emph{moyennes temporelle}: \begin{itemize} \item Temps continu \[ \overline{x(t,\omega)}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x(t,\omega)\d t = m_x(\omega) \] \item Temps discret \[ \overline{x[n,\omega]} =\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N}x[n,\omega] =m_x(\omega) \] \end{itemize} \end{defin} \begin{defin} Les moments d'ordre 2 croisés définissent la fonction d'intercorrélation temporelle (($\omega$ est fixé ) \begin{itemize} \item Temps continu: \[ \overline{x(t,\omega)\cdot y^*(t-\tau,\omega)} = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x(t,\omega) y^*(t-\tau,\omega)\d t =C^p_{xy}(\tau,\omega) \] \item Temps discret: \[ \overline{x[n,\omega]y^*[n-k,\omega]} =\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N}x[n,\omega]y^*[n-k,\omega] \] \end{itemize} \end{defin} \begin{rem} On dit également que les Les moments temporels dépendent de la trajectoire. Si $y=x$ on parle d'autocorrélation. De plus $C_{xx}^p(0)$ est la \emph{puissance de $x$}. \end{rem} \subsection{Ergodicité} \begin{defin} \begin{itemize} \item Un processus est \emph{ergodique au sens stricte} si et seulement si toutes les moyennes temporelles sont indépendantes de la trajecoire considérée. \item Un processus est ergodique à l'ordre $n$ si et seulement si tous les moments jusqu'à l'ordre de $n$ sont indépendant de la trajectoire considéré. Les moments temporel d'un signal ergodique ne sont pas des variables aléatoires. \end{itemize} \end{defin} \begin{rem} Souvent $n=2$ Pour 2 SA on parle d'ergodicité dans leur ensemble. \end{rem} \subsection{Moyenne statistique} On considère les signaux aléatoire à des instants particuliers, fixé. \begin{rem} En fixant le temps on peux définir les fonctions de répartition et la densité de probabilité d'un signal aléatoire. Alors on peux exprimer les moments statistiques de ses signaux temporels: \end{rem} \begin{defin} On défini la moyenne statistique (moment d'ordre 1): \[ m_X(t) = E[X(t,\omega)] = \int_{\R}^{}x f_X(x,t) \d x \] et la fonction d'intercorrélation statistique (moment d'ordre 2): \[ \gamma_{xy}(t_1,t_2) =E[X(t_1,\omega)y^{*}(t_2,\omega)] = \iint xy^{*}f_{x,y,t_1,t_2}\d x\d y \] Il en est de meme dans le cas discret. \end{defin} \subsection{Stationnarité} \begin{defin} \begin{itemize} \item Un processus aléatoire est\emph{ stationanaire au sens strict} ssi toutes ses caractéristiques statistiques sont invariantes par tout changement de l'origine des temps. \[ f_{X}(x,t) = f_X(x,t+\tau) =f_X(x) \quad \forall \tau \] \item Un processus aléatoire est stationnaire au sens large /au second ordre ssi ses moments d'ordre 1 et 2 sont invariants par tout changement d'origine des temps. \[ E[|X(t,\omega)|^2] = E[|X(t',\omega)|^2] < +\infty \] \end{itemize} \end{defin} \subsection{Stationnarité et ergodicité} \begin{prop} Si un SA est à la fois stationnaire et ergodique les moyennes temporelles et statistiques sont égales. L'ensemple des processus stochastique,stationnaire, ergodique peux être obtenu à partir d'une seule trajectoire allant de $-\infty$ à $+\infty$. \end{prop} \begin{prop} Un SASE au second ordre est tel que: \[ m_x = E[X(t)]=\overline{x(t)}=m_x \] et \[ \gamma_{xx}(\tau) = E[X(t)X^{*}(t-\tau)]=\overline{x(t)x^{*}(t-\tau)} = C_{xx}^p(\tau) \] \end{prop} \section{Corrélation et densité spectrale de puissance} Ici on s'interesse la répartition de la puissance d'un SA en fonction de la fréquence (idem que la DSE pour des signaux à énergie finie). On se restreint à des SAS du 2nd ordre. \paragraph{Notation} : $x(t,\omega)$ représente le SA ou une des ses réalisation \\ $X(f)$ représente la TF d'un signal $x$ sous réserve d'existence. \begin{thm}[Wiener-Kintchine] \[ TF[\gamma_{xx}]=\Gamma_{XX}(f) = \text{ dsp de x(t)} \] \end{thm} \begin{prop}[Cas du TC] \begin{align*} \Gamma_{xy}(f) &= \int_\R \gamma_{xy}(\tau) e^{-j2\pi ft} \d t\\ \gamma_{xy}(\tau) & =\int_\R \Gamma_{xy}(f) e^{j 2\pi f\tau} \d f\\ \gamma_{xy}(0) & = \int_\R \Gamma_{xy}(f) \d f = \text{ puissance (statistique)}\\ \end{align*} \end{prop} \begin{prop}[Cas du TD] \begin{align*} \Gamma_{xy}(f) &=\sum \gamma_{xy}[k] e^{-j 2 \pi fk}\\ \gamma_{xy}[\tau] & = \int_{-1/2}^{1/2} \Gamma_{xy}(f)e^{j 2\pi f k} \d f\\ P_x = \gamma_{xx}[0] &= \int_{-1}^{1} \Gamma_{xx}(f)df \end{align*} \end{prop} \begin{exemple} cf TP1 \end{exemple} \begin{prop} \begin{itemize} \item $|\gamma_{xy}(\tau)| \le \gamma_{xx}(0) =P_x$ \item $\gamma_{xx}(-\tau)= \gamma_{xx}(\tau)^* \implies \Gamma_{xx}(f) \in \R$ \item $\Gamma_{xx}(f)>0$ \end{itemize} \end{prop} \begin{rem} très souvent on a $\gamma_{xx}(\tau) \xrightarrow[+\infty] |m_x|^2$ , ce qui signifie qu'on a aps d'effet ``mémoire'' àl'infini. Si $m_x \neq 0$ la DSP comporte une raie à l'origine de valeur $m_x$. \end{rem} \section{Periodogramme} \section{Signaux aléatoire particulier} \subsection{SA indépendants} \subsection{SA décorrélés} \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "main" %%% End: