\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}
\section{Principe du codage par transformée}

On considère une source $\vec{\mathcal{X}}\in \R^n$ ou $\in \R^{n\times m}$ (images).
Et une réalisation de cette source $\vec{x} \in \R^n$ ou $\vec{X}\in\R^{n\times m}$.

La représentation naturelle de $\vec{x}$ est la base canonique
de $\R^n$ .
Si $\vec{x}$ représente par exemple une suite de $N$ échantillons d'un signal audio, les composantes de $\vec{x}$ auront plus ou moins la meme variance, mais ils ne seronts (en général) pas indépendant  entre eux. POur exploiter cette propriété, on peux:
\begin{itemize}
\item réaliser un codage prédictif (voir chapitre 4)
\item réaliser un codage par transformée
\end{itemize}

Dans le second cas on essaie d'exprimer $\vec{x}$sur une ``meilleure'' base que la base canonique.

\section{Transformations}
\begin{defin}
  Une base de $\R^n$ est ensemble de $n$ vecteurs $\{\vec{u_1} ...\vec{u_n}\}$ linéairement indépendants.
  Si on pose
  \[
    \vec{U} = [ \vec{u_1} ... \vec{u_n}]
  \]
  Alors $\vec{U}$ est inversible.
\end{defin}

\paragraph{Transformation inverse}

\begin{defin}
  On dispose de $\vec{t}$ vecteur dont les composantes sont exprimées dans la base $\{\vec{u_1} ... \vec{u_n}\}$ dans la base canonique
    On a :
    \[
      \vec{x}= \sum_{i=1}^{n}t_i\vec{u_i} = \vec{U}\vec{t}
    \]
\end{defin}
\paragraph{Transformation directe}
\begin{defin}
  On dispose de $\vec{x}$ dont les composantes sont données dans la base canonique.
  On veux obtenir son vecteur de composante $\vec{t}$ dans la base $\{\vec{u_1} ... \vec{u_n}\}$:
  \[
    \vec{t} = \vec{U}^{-1}\vec{x}
  \]
\end{defin}

\paragraph{Base unitaires}
\begin{defin}
  Une base est dite \emph{unitaire} ssi
  \[
    \begin{cases}
      <\vec{u}_i ,\vec{u}_j> = 0 &\quad\forall i \neq j\\
      <\vec{u}_i ,\vec{u}_i> = 1 &\quad\forall i \in [1 ... n]
    \end{cases}
  \]
\end{defin}
\begin{prop}
  Pour une base unitaire on a:
  \begin{itemize}
  \item transformée inverse: $\vec{x}=\vec{Ut}$
  \item transformée directe: $\vec{t} = \vec{U}^T\vec{x}$
  \item $\vec{U}^T\vec{U}= \vec{U}\vec{U}^T = \vec{I_n}$
  \end{itemize}

  une transformée dans une base unitaire préserve la norme quadratique.
\end{prop}
\begin{proof}
  \[
    \|\vec{t}\|^2 = \vec{t}^T\vec{t} = \vec{x}^T \vec{U}^T\vec{U}\vec{x} = \vec{x}^T\vec{x} =\|\vec{x}\|^2
  \]
\end{proof}

\begin{rem}
  Une transformée est unitaire lorsqu'elle implique une base unitaire.
\end{rem}

Si on veux transformée une image $\vec{X}\in \R^{n\times n}$ il faut considéré un ensemble de matrice $\vec{U_1 ... U_{n\times n}}\}$ base de $\R^{n\times n}$.
  Pour réaliser la transformation :
  \begin{itemize}
  \item On construit un vecteur $\vec{x} \in R^{n^2}$ à partir des lignes ou des
    colonnes de $\vec{X}$.
  \item  Construire la matrice de transformation $\vec{U}\in \R^{n^2\times n^2}$
  \item Calculer $\vec{t} = \vec{U}^{-1}\vec{x}$
  \item Reformer $\vec{T} \in \R^{n\times m}$ à partir de $t$.
  \end{itemize}

\begin{defin}
Une transformée pour une image $\vec{x}\in \R^{n\times m}$ est dites \emph{séparable} s'il existe une matrice $\vec{U_s}$ telle que la matrice $\vec{T}$ transformée définie précédement puisse s'écrire
\[
  \vec{T} = \vec{U_s}^{-1}\vec{x}(\vec{U_s}^{-1})^T
\]
et si $U_s$ est unitaire:
\[
  \vec{T} = \vec{U_s}^T x \vec{U_s}
\]
\end{defin}

\begin{rem}
  Pour une transformée non séparable on a une complexité en $O(n^4)$.
  Pour une transformée séparable on a une complexité en $O(2n^3)$
\end{rem}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End:
