\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}
Dans cette partie on étudie l'influence du canal sur le signal.
\subsection{Caractéristique du canal}
On choisit d'étudier un canal :
\begin{itemize}
\item linéarie et invariant (caractérisé par sa réponse impulsionnelle  $g(t)$, sa réponse fréquentielle $G(f)$ ...)
\item bruité par un bruit $n(t)$ additif.
\item de type passe-bas et de bande $B$.
 \item associé à un filtre de réception de réponse impulsionnelle $g_r(t)$.
\end{itemize}

Le signal recu et filtré par le fitre de réception:
\begin{align*}
  r(t) &= g_r(t) \star h(t) \star e(t) + g_r(t)\star n(t)\\
       &= g_r(t) \star h(t) \star \sum_{k}^{}a_kg(t-kT)+ b(t)
       &= \sum_{k}^{}a_ky(t-kT)+b(t)
\end{align*}
$b(t)$ représente la contribution totale du bruit après filtrage.

\begin{prop}
  On considère que le bruit est additif blan gaussien (BABG) àmoyenne nulle et de variance $\sigma^2$
  \[_B(b) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{\frac{-b^2}{2\sigma^2}}\]
\end{prop}
\begin{prop}
  Le filtre de reception peux être optimiser afin de maximiser le rapport signal sur bruit après réception:
  \[
    G_r^{opt}=(G(f).H(f))^*
  \]
\end{prop}
\begin{proof}
  
\end{proof}
Ainsi après échantillonnage à l'instant de décision on a :
\[
  r(t_0+nT) = \sum_{k}^{}a_ky(t_0+nT-kT)+b(t_0+nT)= d(t)
\]
soit:
\[
  r(t_0+nT) = a_ny(t_0)+\sum_{k\neq n}^{}a_ky(t_0+(n-k)T)+b(t_0+nT)
\]
\begin{defin}
  On défini le terme d'interférence entre symbole comme:
  \[
IES =  \sum_{k\neq n}^{} a_k y(t_0+(n-k)T)
\]
Que l'on peux exprimer comme:
\[
  \sum_{k\neq n}^{} a_k y(t_0+(n-k)T) = \sum_{k}^{}a_kg_r(t_0+nT)\star h(t_0+nT)\star g(t_0+(n-k)T)
\]
\end{defin}

\begin{prop}
  En considérant un récepteur parfaitement synchronisé on souhaite qu'à l'instant de prise de décision :

\[
  r(t_0+nT)  = a_n y(t_0)+ b(t_0+nT)
\]
Soit $IES = 0 $
\end{prop}

\begin{rem}
  Dans le cas d'un filtre de réception optimal, et pour une synchronisation parfaite, l'annulation de l'IES consiste à choisir une forme d'impulsion compatible avec le canal et telle que l'IES soit nulle.
\end{rem}
\subsection{Premier critère  du Nyquist}
\subsection{Impulsion de Nyquist}
\subsection{Capacité de canal}





\end{document}
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