UE 421 : Contrôle de processus

9 décembre 2014

UE 421 : Contrôle de processus 2

Table des matières

1 Echantillonnage des signaux et transformée en z 5 1 Introduction : positionnement du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Modélisation des signaux échantillonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Transformée en z et lien avec Fourier / Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4 Transformée en z inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.1 Méthode par décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2 Méthode des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Modélisation des CAN et CNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.1 Convertisseur analogique numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Fonctions de transfert en z 13 1 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Obtention d’une fonction de transfert en z à partir d’une équation récurrente . . 15 3 Réponse temporelle de système à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1 Calcul à partir de la relation de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Calcul à partir de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Par décomposition modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Calcul de correcteurs en temps discret 21 1 Le correcteur PID Proportionnel - Intégral - Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Transposition des méthodes analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1 Approximation du BOZ par un retard équivalent . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Approximation de Padé pour les retards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Correction numérique obtenue par discrétisation approchée d’un correc-

teur continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Commande dans l’espace d’état 27

1 Concept du modèle d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3 Quelques propriétés de base, valables à temps continu ou discret . . . . . 29 1.4 Modèle d’état pour quelques associations de systèmes (TD1) . . . . . . . 30

2 Solution de l’équation d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1 Exponentiel d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Cas analogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Commandabilité et observabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1 Commandabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Observabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5 Relation modèle d’état / fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

UE 421 : Contrôle de processus

5.1 Modèle d’état vers fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2 Fonction de transfert / équation différentielle vers modèle d’état . . . . . 36 5.3 Changement de base vers une forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.4 Dualité observation-commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.5 Commandabilité et observabilité pour les formes canoniques . . . . . . . . 37

6 Stabilisation par retour d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Chapitre 1

Echantillonnage des signaux et transformée en z

1 Introduction : positionnement du problème

On va s’intéresser aux signaux analogiques vus comme des fonctions réelles

x : t ∈ ℝ → x(t) ∈ ℝ

Les processus évoluent continûment dans le temps.

− + c(t)

Structure de commande ϵ Système u(t) y(t)

Figure 1.1 – Asservissement analogique

La loi de commande est alors :

U(p) = C(p).[R(p) − Y (p)], transformée de Laplace de
u(t) = c(t) ∗ [r(t) − y(t)]

Problématique Il faut alors évaluer u(t) et le mettre en œuvre de manière analogique et/ou bon moment. Pour cela, il est nécessaire de calculer en temps réels et d’adapter u(t).

La solution est d’exploiter un calculateur numérique couplé à de l’électronique numérique pour implémenter la loi de commande. Par exemple :

— ordinateur à base de microprocesseurs cadencés par une horloge interne

— micro-contrôleurs

— DSP (Digital Signal Processing, puce à usage spécifique, non modifiable)

— Arduino L’information est transmise par des signaux binaires eux-mêmes étant des signaux numériques.

Cette information ne transporte pas l’énergie nécessaire pour contrôler le processus, mais seulement la loi de commande.

Les signaux numériques évoluent de manière discrète à des instants régulièrement espacés par un intervalle de temps donné par la période de l’horloge T_{h} = \frac{1}{f_{h}}.

On pose l’hypothèse que T_{h} est constante donc les différents instants correspondent à k.T_{h} où k ∈ ℕ.

UE 421 : Contrôle de processus

Définition

Le signal numérique u_{k} est défini comme une suite numérique :

ℕ → ℝ
k ↦ U_{k}

Calculateurs numériques

Ils servent à implémenter les lois de commande, c’est-à-dire les règles mathématiques d’évolution des signaux.

Calculateur numérique e_{k} CNA u_{k} Système analogique u(t) y(t)

CAN

Figure 1.2 – Interfaçage Numérique / Analogique

Remarque : CAN : Convertisseur Analogique Numérique CNA : Convertisseur Numérique Analogique

L’horloge permet le fonctionnement synchrone des différents composants de la structure de l’asservissement numérique.

2 Modélisation des signaux échantillonnés

Échantillonnage

Définition. Un échantillonnage idéal à la période d’échantillonnage T_{e} est représenté par :

u(t) T_{e} u^{∗}(t)

Figure 1.3 – Échantillonnage idéal

u^{∗}(t) = \{ \begin{matrix}u(k.T_{e}) = u_{k} & si t = k.T_{e} \\ 0 & si t ≠ k.T_{e} \end{matrix}

Peigne de Dirac

Définition. On définit le peigne de Dirac par :

p(t) = ∑_{k∈ℕ} δ_{0}(t − k.T_{e})

On peut donc réécrire l’expression de l’échantillonnage :

\begin{matrix}t \\ p(t) \\ T_{e} \end{matrix}

tp^{∗}(t)

Figure 1.4 – Peigne de Dirac et échantillonnage d’un signal

u^{∗}(t) = u(t).p(t)

= ∑_{k∈ℕ} u(t)δ_{0}(t − k.T_{e})

= ∑_{k∈ℕ} u(kT_{e})δ_{0}(t − k.T_{e})

u^{∗}(t) = ∑_{k∈ℕ} u_{k}δ_{0}(t − k.T_{e})

3 Transformée en z et lien avec Fourier / Laplace

Soit f(t) un signal.

Transformée de Laplace : L{f(t)} = ∫_{0}^{∞} f(t)e^{−pt}dt
Signal échantilloné : f^{∗}(t) = ∑_{k∈ℕ} f_{k}δ_{0}(t − kT_{e})

On calcule la transformée de Laplace du signal échantillonné :

F^{∗}(p) = L{f^{∗}(t)}

= ∫_{0}^{∞} ∑_{k∈ℕ} f_{k}δ_{0}(t − kT_{e})e^{−tp}dt

= ∫_{0}^{∞} ∑_{k∈ℕ} f_{k}e^{−kT_{e}p}δ_{0}(t − kT_{e})dt

= ∑_{k∈ℕ} f_{k}e^{−kT_{e}p}

F^{∗}(p) = ∑_{k∈ℕ} f_{k}(e^{−T_{e}p})^{−k}

En notant z = e^{T_{e}p}, on obtient

F (z) = F^{∗}(p)|_{z=e^{Tep}}

Transformée en z

Définition. On définit la transformée en z du signal numérique f_{k} :

F (z) = ∑_{k=0}^{∞} f_{k}z^{−k} , z = e^{T_{e}p}

On note F (z) = Z{f_{k}} Propriété. La transformée en z est linéaire :

Z{αu_{k} + βf_{k}} = αU(z) + βF (z)

Si R_{u} et R_{f} sont les rayons de convergence de U(z) et de F (z), alors R_{α_{u}+βf} = max{R_{u}, R_{f}}

Produit de convolution

Définition. On définit le produit de convolution entre deux signaux u_{k} et f_{k} :

u_{k} ∗ f_{k} = ∑_{n=−∞}^{∞} u_{n}f_{k−n}
= ∑_{n=0}^{∞} u_{n}f_{k−n} pour u et f causaux
Z{u_{k} ∗ f_{k}} = U(z).F (z)

Théorèmes importants

Théorème (Théorème d’avance).

Z{u_{k+d|d∈ℕ^{∗}}} = z^{d}U(z) − z^{d} ∑_{i=0}^{d−1} u_{i}z^{−i}

Théorème (Théorème du retard).

Z{u_{k−d|d∈ℕ^{∗}}} = z^{−d}U(z)

Théorème (Théorème de la sommation).

Z\{∑_{k=0}^{n} u_{k}\} = \frac{z}{z − 1}U(z)

Théorème (Théorème de la valeur initiale).

lim_{k→0} u_{k} = lim_{z→∞} U(z)

Théorème (Théorème de la valeur finale).

lim_{k→∞} u_{k} = lim_{z→1} \frac{z − 1}{z}U(z)

Cette limite est définie lorsque les pôles de \frac{z−1}{z}U(z) sont à l’intérieur du cercle de rayon 1. Propriété (Multiplication par le temps). Soit x(t) = te(t).

x^{∗}(nT_{e}) = x_{n} = nT_{e}e_{n}

X(z) = Z[x_{n}] = −zT_{e} \frac{∂E(z)}{∂z}

Lien avec la transformée de Fourier

On peut considérer le peigne de Dirac p(t) comme une fonction T_{e}-périodique, donc on peut la décomposer en série de Fourier :

p(t) = ∑_{n=0}^{∞} δ_{0}(t − nT_{e}) = ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}e^{j \frac{2πkt}{Te}}
où c_{k} = ∫_{−T_{e}/2}^{T_{e}/2}(∑_{n=0}^{∞} δ_{0}(t − nT_{e})e^{−j \frac{2πkt}{Te}})dt = ... = \frac{1}{T_{e}}

Ainsi,

f^{∗}(t) = f(t).p(t) = \frac{1}{T_{e}} ∑_{k=−∞}^{∞} f(t)e^{−j \frac{2πkt}{Te}}
F^{∗}(p) = ∫_{0}^{∞}( ∑_{k=−∞}^{∞} f(t)e^{−j \frac{2πkt}{Te}})e^{−pt}dt

= \frac{1}{T_{e}} ∑_{k=−∞}^{∞}(∫_{0}^{∞} f(t)e^{−(p−j \frac{2πk}{Te})t}dt)

F^{∗}(p) = \frac{1}{T_{e}} ∑_{k=−∞}^{∞} F (p − j \frac{2πk}{T_{e}})

Le spectre de f^{∗}(t) est périodique en fréquence, de période \frac{2π}{T_{e}}.

\begin{matrix}−4\frac{π}{T_{e}} \\ −2\frac{π}{T_{e}} \\ 2\frac{π}{T_{e}} \\ 4\frac{π}{T_{e}} \\ ω \\ |F (jω)| \end{matrix}

Figure 1.5 – Exemple d’un spectre périodique

Reconstitution d’un signal

Théorème. Un signal analogique f(t) dont la transformée de Fourier est nulle à l’extérieur de l’intervalle [−ω_{0}, ω_{0}], ω_{0} > 0, est parfaitement défini par ses échantillons f_{k} = f(kT_{e}) si

F_{e} = \frac{1}{T_{e}} vérifie ω_{e} > 2ω_{0} : Condition de Shannon

Dans ce cas, on peut reconstituer le signal :

f(t) = ∑_{k=−∞}^{∞} f_{k}sinc(ω_{e} \frac{t − kT_{e}}{2} )

Preuve : à base de développement en série de Fourier.

Remarque : la méthode de reconstruction de f(t) n’est pas causale car elle suppose de connaître le signal à tout instant. En pratique, on préfère utiliser un CNA pour des applications en temps réel.

4 Transformée en z inverse

Soit F (z) : ℂ → ℂ une fraction rationnelle propre (degré du numérateur < degré du dénominateur).

Problématique

Déterminer les échantillons (f_{k})_{k∈ℕ} tel que

F (z) = Z{(f_{k})_{k∈ℕ}} = ∑_{k=0}^{∞} f_{k}z^{−k}

4.1 Méthode par décomposition en éléments simples

On applique cette méthode à \frac{F (z)}{z} plutôt qu’à F (z), en utilisant les transformées usuelles.

Cas où F(z) possède des pôles distincts non nuls

F (z) = \frac{...}{(z − p_{1})...(z − p_{n})}
\frac{F (z)}{z} = \frac{...}{z(z − p_{1})...(z − p_{n})}

= \frac{C_{0}}{z} + \frac{C_{1}}{z − p_{1}} + ...

F (z) = C_{0} + \frac{C_{1}z}{z − p_{1}} + ... où C_{0} = F (0) et C_{i} = lim_{z→p_{i}} \frac{z − p_{i}}{z} F (z)

De plus, on a

Z^{−1}\{\frac{C_{j}z}{z − p_{j}} \} = C_{j}p_{j}^{k} pour i ≤ j ≤ n

Exemple :

W (z) = \frac{z + 3}{(z − 1)(z + 2)}

Décomposition en éléments simples

\frac{W (z)}{z} = \frac{z + 3}{z(z − 1)(z + 2)} = −\frac{3/2}{z} + \frac{4/3}{z − 1} + \frac{1/6}{z + 2}
W (z) = −\frac{3}{2} + \frac{4}{3} \frac{z}{z − 1} + \frac{1}{6} \frac{z}{z + 2}
w_{k} = −\frac{3}{2}δ_{k} + (\frac{4}{3} + \frac{1}{6}(−2)^{k}).1_{k}

Cas où F(z) possède un pôle multiple non nul, de multiplicité l supérieure ou égale à 1

W (z) = ... + \frac{C_{1}z}{z − p} + \frac{C_{2}z}{(z − p)^{2}} + ... + \frac{C_{l}z}{(z − p)^{l}} + ...

On a alors, ∀j = 0, 1, ..., l − 1

C_{l−j} = lim_{z→p}(\frac{1}{j!} \frac{∂^{j} \frac{(z−p)^{l}}{z} W (z)}{∂z^{j}})

Z^{−1}\{\frac{z}{(z − p)^{l}} \} = \frac{1}{(l − 1)!}k(k − 1)...(k − l + 2)p^{k−l+1}, k ≥ 0

Exemple dans le poly.

Cas d’un pôle nul, de multiplicité l supérieure ou égale à 1

W (z) = ... + C_{0} + \frac{C_{1}z}{z} + \frac{C_{2}z}{z^{2}} + ...

On a alors, ∀j = 0, 1, ..., l

C_{l−j} = lim_{z→p}(\frac{1}{j!} \frac{∂^{j} \frac{z^{l}}{z} W (z)}{∂z^{j}})

Z^{−1}[z^{−d}] = δ_{k−d}

Remarque :

\frac{z}{z − D} = \frac{1}{1 − Dz^{−1}} = lim_{N→∞} ∑_{k=0}^{N}(z^{−1}D)^{k} = ∑_{k=0}^{∞} D^{k}z^{−k}

On en déduit facilement que Z^{−1}\{\frac{z}{z−D} \} = D^{k}

4.2 Méthode des résidus

Méthode non exigée, voir polycopié

5 Modélisation des CAN et CNA

5.1 Convertisseur analogique numérique

Problématique :

y(t) → CAN → y_{k}

1. Échantillonnage : (discrétisation de l’axe des abscisses) on échantillonne sur les instants kT_{e}

2. Quantification du signal : (discrétisation de l’axe des ordonnées) On a q = \frac{u_{MAX}−u_{MIN}}{2^{n}}, avec n le nombre de bits de codages, indiquant le qualité, la précision du convertisseur.

Figure 1.6 – Discrétisation et échantillonnage

La limitation d’amplitude est source de saturation du signal échantillonné. La quantification génère un bruit sur le signal en sortie du CAN (appelé bruit de quantification). Ce bruit peut être modélisé par une variable aléatoire de moyenne nulle, de répartition uniforme et de variance donnée par q^{2}/12.

Dans le cadre de ce cours, on fera l’hypothèse que la quantification ne génère pas de bruit de quantification. Il n’y auras pas non plus de saturation : on parle de numérisation parfaite.

Remarque : ces opérations induisent également des retards de l’information.

Conséquence : en amont du CAN, on place un FAR^{1} , un filtre analogique passe-bas.

Convertisseur Numérique Analogique

Problématique : transformer un échantillon numérique en signal analogique défini ∀t. Challenge théorique : quel comportement entre (k − 1)T_{e} et kT_{e}. Idée : extrapolation des échantillons entre 2 instants d’échantillonnage.

Cas du Bloqueur d’Ordre Zéro B_{0}(p) fonction de transfert du filtre réalisant le BOZ.

b_{0}(t) = 1_{0}^{+}(t) − 1_{0}^{+}(t − T_{e})

Donc par transformée de Laplace inverse,

B_{0}(p) = \frac{1}{p} − \frac{1}{p}e^{−T_{e}p}

B_{0}(p) = \frac{1 − e^{−T_{e}p}}{p}

1. Filte anti-repliement de spectre

Fonctions de transfert en z

Rappel : filtre analogique linéaire

e(t) → G(p) → s(t)
s(t) = g(t) ∗ e(t)
S(p) = G(p)E(p)

1 Premières propriétés

Théorème. Si on applique un échantillonnage en entrée de e(t),

s(t) = g(t) ∗ e^{∗}(t)

1. s^{∗}(t) = g^{∗}(t) ∗ e^{∗}(t) où g^{∗}(t) est l’échantillonnage de g(t)

2. s_{n} = g_{n} ∗ e_{n} = ∑_{k=0}^{n} g_{n−k}e_{k}

Preuve:

1.

g^{∗}(t) ∗ e^{∗}(t) = ∫_{0}^{∞} g^{∗}(t − τ)e^{∗}(τ)dτ = ...

2.

s^{∗}(t) = s(t) ∑_{k=0}^{∞} δ_{0}(t − kT_{e}) = ∑_{k=0}^{∞} s_{k}δ_{0}(t − kT_{e})

Or, s(t) = ∫_{0}^{∞} g(t − τ)e^{∗}(τ)dτ avec e^{∗}(t) = ∑_{k=0}^{∞} e_{k}δ_{0}(t − kT_{e})

donc s(t) = ∫_{0}^{∞} g(t − τ)(∑_{k=0}^{∞} e_{k}δ_{0}(τ − kT_{e}))dτ

= ∑_{k=0}^{∞} e_{k} ∫_{0}^{∞} g(t − τ)δ_{0}(τ − kT_{e})dτ

= ∑_{k=0}^{∞} e_{k}g(t − kT_{e})

s_{n} = s(nT_{e}) = ∑_{k=0}^{∞} e_{k}g((n − k)T_{e}) = ∑_{k=0}^{∞} e_{k}g_{n−k}
□

Application : Discrétisation d’un système analogique avec CNA + BOZ Hypothèse : Synchronisation des convertisseurs

u_{k} → H(z) → y_{k}

CNA, BOZ ; u_{k} ; G(p) ; u(t) ; CAN ; y(t) ; y_{k}

Figure 2.1 – Discrétisation d’un système analogique

Fonction de transfert pour asservissement numérique

On cherche à déterminer la fonction de transfert H(z) = \frac{Y (z)}{U^{∗}(z)} de l’asservissement numérique suivant :

CNA u_{k} B_{0}(p) u^{∗}(t) G(p) CAN y(p) y^{∗}(t)

Figure 2.2 – Asservissement numérique

Théorème.

H(z) = (1 − z^{−1})Z[^{∗}L^{−1}[\frac{G(p)}{p}]]

   Preuve:

Y (p) = B_{0}(p)G(p)U^{∗}(p)

= (1 − e^{−T_{e}p})\frac{G(p)}{p}U^{∗}(p)

= \frac{G(p)}{p}U^{∗}(p) − \frac{G(p)}{p}U^{∗}(p)e^{−T_{e}p}

On pose G̃(p) = \frac{G(p)}{p}

Y (p) = G̃(p)U^{∗}(p) − G̃(p)U^{∗}(p)e^{−T_{e}p}

Avec Ỹ (p) = G̃(p)U^{∗}(p), par transformation inverse de Laplace,

ỹ(t) = g̃(t) ∗ u^{∗}(t)
ỹ_{n} = g̃_{n} ∗ u_{n}
Ỹ (z) = G̃(z)U(z)
Ainsi, Y (z) = Ỹ (z) − z^{−1}Ỹ (z)
= (1 − z^{−1})Ỹ (z)
H(z) = (1 − z^{−1})G̃(z)
H(z) = (1 − z^{−1})Z[^{∗}L^{−1}[G̃(p)]]
□

Remarque : comment choisir T_{e}? Tout système physique peut être représenté par un filtre passe-bas :

Règle empirique : 6f_{c} ≤ f_{e} ≤ 24f_{c}

Propriétés des systèmes discrétisés

1. Un système analogique linéaire reste linéaire après discrétisation.

2. L’ordre du système est conservé.

3. Les pôles du système discrétisé p_{d} sont liés aux pôles du système analogique p_{c} = e^{T_{e}p_{c}} (cela vient de z = e^{T_{e}p}). Attention, c’est faux pour les zéros !

4. La discrétisation d’une association en série n’est pas identique à la mise en série des discrétisés.

2 Obtention d’une fonction de transfert en z à partir d’une équation récurrente

a_{n}y_{k+n} + ... + a_{1}y_{k+1} + a_{0}y_{k} = b_{m}u_{k+m} + ... + b_{1}u_{k+1} + b_{0}u_{k}
avec a_{i}, b_{j} ∈ ℝ, a_{n} ≠ 0

Par causalité, on a n ≥ m.

Rappel : Théorème d’avance

Z[u_{k+d|d∈ℕ^{∗}}] = z^{d}U(z) − z^{d} ∑_{i=0}^{d−1} u_{i}z^{−i}

On applique la transformée en z à (EQ_{n}) = a_{n}y_{k+n} + ... + a_{1}y_{k+1} + a_{0}y_{k}

a_{n}y_{k+n}  a_{n}z^{n}Y (z)  −a_{n}[y_{0}...y_{n−1}][z^{n}...z]^{T}
+a_{n−1}y_{k+N−1}  +a_{n−1}z^{n−1}Y (z) −a_{n−1}[0, y_{0}...y_{n−2}][z^{n}...z]^{T}
...  → T Z →  ...  ...
+a_{1}y_{k+1}  +a_{1}z^{n−1}Y (z)  −a_{1}[0, ..., 0, y_{0}][z^{n}...z]^{T}
+a_{0}y_{k}  +a_{0}zY (z)
T Z(EQ_{n})  =  (∑_{l=0}^{n} a_{l}z^{l})Y (z) −CI_{y}(z)

On fait de même avec (EQ_{m}) = b_{m}u_{k+m} + ... + b_{1}u_{k+1} + b_{0}u_{k}. Conditions initiales données : les y_{k}, k = 0, ..., n − 1 et u_{k}, k = 0, ..., m − 1

CIy(z) = ∑_{j=0}^{n−1}(∑_{l=0}^{j} a_{n−l}y_{l−j})z^{n−j}

CIu(z) = ∑_{j=0}^{m−1}(∑_{l=0}^{j} b_{m−l}u_{l−j})z^{n−j}

Ainsi, en posant

A(z) = ∑_{l=0}^{n} a_{l}z^{l} et B(z) = ∑_{l=0}^{m} b_{l}z^{l}

A(z)Y (z) − CIy(z) = B(z)U(z) − CIu(z)

Y (z) = \frac{B(z)}{A(z)}U(z) + \frac{CIy(z) − CIu(z)}{A(z)}

On pose G(z) = \frac{B(z)}{A(z)}, appelée fonction de transfert du système.

Y (z) = G(z)U(z) + \frac{CI(z)}{A(z)}
où CI(z) = CIy(z) − CIu(z)
À CI nulles, Y (z) = G(z)U(z)

Définitions

Les pôles (zéros) du système sont les racines de A(z) (B(z)). Le gain statique (si défini) est lim_{z→0} G(z). Lorsqu’il n’y a plus de simplifications possibles entre pôles et zéros dans G(z), on parle de

fonction de transfert minimale. Alors, le degré de A(z) désigne l’ordre du système.

3 Réponse temporelle de système à temps discret

On considère le système à temps discret :

u_{k} → G(z) → y_{k}

G(z) = \frac{B(z)}{A(z)} et A(z) = ∑_{l=0}^{n} a_{l}z^{l}, B(z) = ∑_{l=0}^{m} b_{l}z^{l}

3.1 Calcul à partir de la relation de récurrence

On effectue un changement de variable muet pour exprimer y_{k} en fonction des instants précédents.

a_{n}y_{k+n} + ... + a_{1}y_{k+1} + a_{0}y_{k} = b_{m}u_{k+m} + ... + b_{1}u_{k+1} + b_{0}u_{k}
a_{n}y_{k} = −a_{n−1}y_{k−1} − ... − a_{1}y_{k−n+1} − a_{0}y_{k−n} + b_{m}u_{k+m−n} + ... + b_{1}u_{k−n+1} + b_{0}u_{k−n}

Intérêt : pratique pour le calcul en temps réel (simulation, implantation systèmes embarqués...). Les CI y_{−1}, y_{−2}... sont à préciser

3.2 Calcul à partir de la fonction de transfert

Si les CI sont nulles :

Y (z) = G(z)U(z)
y_{k} = Z^{−1}[G(z)U(z)]

En pratique, on effectue une décomposition en éléments simples de \frac{Y (z)}{z} et on applique Z^{−1}[.] à Y (z) en utilisant le tableau des transformées en z usuelles.

Exemple :

On cherche la réponse impulsionnelle (u_{k} = δ_{k}) de

G(z) = \frac{1}{(z − 1)(z − 2)}

On effectue la décomposition en éléments simples de \frac{Y (z)}{z}

\frac{Y (z)}{z} = \frac{1}{z(z − 1)(z − 2)}

= \frac{1}{2z} − \frac{1}{2(z − 1)} + \frac{1}{2(z − 2)}

Y (z) = \frac{1}{2} − \frac{1}{2} \frac{z}{z − 1} + \frac{1}{2} \frac{z}{z − 2}
y_{k} = \frac{1}{2}δ_{k} + \frac{1}{2}2^{k} − 1

SI les CI non nulles et connues :

Y (z) = G(z)U(z) + \frac{CIy(z) − CIu(z)}{A(z)}
y_{k} = Z^{−1}[G(z)U(z) + \frac{CIy(z) − CIu(z)}{A(z)}]

3.3 Par décomposition modale

G(z) = \frac{b_{m}z^{m} + ... + b_{0}}{a_{n}z^{n} + ... + a_{0}} = \frac{B(z)}{A(z)}

= \frac{K(z − z_{1})^{α_{1}}(z − z_{2})^{α_{2}}...(z − z_{r})^{α_{r}}}{(z − p_{1})^{γ_{1}}(z − p_{2})^{γ_{2}}...(z − p_{q})^{γ_{q}}} avec ∑_{1}^{q} γ_{i} = n, ∑_{1}^{r} α_{i} = m

γ_{i} est la multiplicité algébrique du pôle p_{i} ∈ ℂ. α_{i} est la multiplicité algébrique du zéro z_{i} ∈ ℂ Avec l’hypothèse a_{n} = 1, A(z) est un polynôme appelé Monique.

\frac{Y (z)}{z} = \frac{G(z)U(z)}{z} où U(z) quelconque, de pôles r_{1}, ..., r_{u}
d’où Y (z) = Y (0) + ∑_{i=1}^{q} G_{i}(z) + ∑_{i=1}^{r_{u}} U_{i}(z)

Remarque : U(z) influence la décomposition de G(z) et vice-verse.

G_{i}(z) = ∑_{j=1}^{γ_{i}} \frac{c_{ij}z}{(z − p_{j})^{j}}
g_{i_{k}} = Z^{−1}[G_{i}(z)]
= (c_{0} + c_{1}k + ... + c_{γ_{i}−1}k^{γ_{i}−1})p_{i}^{k}  = P_{i}(k)p_{i}^{k}

g_{i_{k}} correspond à l’évolution de la sortie y_{k} due au pôle p_{i} : mode p_{i}.

La sortie y_{k} est construite à partir de la contribution de chaque mode (et du type d’entrée)

y_{k} = Y (0)δ_{k} + ∑_{i=1}^{q} g_{i_{k}} + Z^{−1}[∑_{i=1}^{r_{u}} U_{i}(z)]

où ∑_{i=1}^{q} g_{i_{k}} est l’excitation des modes par l’entrée y_{k} Z^{−1}[∑_{i=1}^{r_{u}} U_{i}(z)] le régime forcé par u_{k}

Mode réel

— |p_{i}| < 1 ⇒ P_{i}(k)p_{i}^{k} →_{∞} 0 : mode convergent

— |p_{i}| > 1 ⇒ P_{i}(k)p_{i}^{k} divergence exponentielle

— |p_{i}| = 1etP_{i}(k) = c_{0} constant → mode entretenu (ni convergence, ni divergence)

— |p_{i}| = 1 et γ_{i} > 1, P_{i}(k)p^{k} → divergence polynomiale — Si p_{i} > 0 alors P_{i}(k)p_{i}^{k} tend à être du même signe : mode apériodique

— Si p_{i} < 0 alors P_{i}(k)p_{i}^{k} = (−1)^{k}|p_{i}|^{k}P_{i}(k) change de signe en fonction de la parité de k : mode oscillant

— Si p_{i} = 0 → P_{i}(k)p_{i}^{k} = 0∀k ≥ 1 : mode à réponse pile Remarque : un pôle discret nul p_{i} = 0 possède un équivalent en temps continu à partie réelle infiniment négative :

p_{i} = e^{T_{e}p_{ci}} = 0 ⇔ p_{i} → −∞

Mode complexe

À un pôle p_{i} complexe correspond son conjugué \overline{p_{i}} :

P_{a_{i}}(k)p_{i}^{k} + P_{b_{i}}(k)\overline{p_{i}}^{k} = ... = P (k)ρ_{i}^{k} sin(kθ_{i} + ϕ

où p_{i} = ρ_{i}e^{jθ_{i}} et ϕ dépend du contexte.

— |p_{i}| = ρ_{i} > 1 : divergence

— |p_{i}| = ρ_{i} < 1 : convergence en ρ_{i}^{k}

— |p_{i}| = ρ_{i} = 1 — si multiplicité de p_{i} = 1 : mode entretenu

— si multiplicité de p_{i} > 1 : divergence

— θ_{i} ≠ 0 oscillation à la fréquence θ

4 Stabilité

Définition (Stabilité EBSB). Un système discret est stable au sens EBSB si pour toute entrée u_{k} bornée, y_{k} reste bornée.

Théorème (Stabilité et réponse impulsionnelle). Un système est stable au sens EBSB si et seulement si sa réponse impulsionnelle est absolument sommable, c’est-à-dire ∑_{k=0}^{∞} |g_{k}| < ∞

Théorème : stabilité et pôles

Théorème (Stabilité et pôles). Un système discret est stable au sens EBSB si et seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert en z sont à l’intérieur du cercle unité (strictement, pas sur le cercle).

Remarque : cela suppose le calcul des pôles de G(z) = \frac{B(z)}{A(z)}

Figure 2.3 – Allure de la réponse temporelle en fonction de la position des pôles dans le plan z

Critère de Jury

À savoir utiliser, voir polycopié.

Critère de Routh-Hurwitz

À connaître par coeur, voir polycopié.

Rappel : En temps continu, le critère de Routh-Hurwitz permet de déterminer le nombre de racines instables de l’équation caractéristique, c’est-à-dire à partie réelle strictement positive.

Transformation en w :

z = \frac{1 + w}{1 − w} , w ≠ 1
w = \frac{z − 1}{z + 1}, z ≠ −1

Cette transformation transforme le disque unité du plan en z, en le demi-plan ouvert gauche du plan en w.

Cette transformation étant bijective, on l’utilise pour appliquer le critère de Routh au polynôme en la variable w.

Critère de stabilité de Schur-Cohn

Non exigible, voir polycopié.

UE 421 : Contrôle de processus

Critère de stabilité de Nyquist

À connaître par coeur, voir polycopié.

UE 421 : Contrôle de processus 20

Chapitre 3

Calcul de correcteurs en temps discret

1 Le correcteur PID Proportionnel - Intégral - Dérivée

Figure 3.1 – Correcteur PID

Le PID se traduit donc théoriquement par :

C(p) = K_{p}(1 + \frac{1}{T_{i}p} + T_{d}p)

En pratique, on considère plutôt :

C(p) = K_{p}(1 + \frac{1}{T_{i}p} + \frac{T_{d}p}{1 + ϵ_{p}})

où ϵ < \frac{T_{d}}{10^{N}}, avec N >> 10

U(p) = C(p)ϵ(p)

= K_{p}ϵ(p) + \frac{1}{T_{i}p}ϵ(p) + T_{d}pϵ(p)

u(t) = K_{p}(ϵ(t) + \frac{1}{T_{i}} ∫_{0}^{t} ϵ(τ)dτ + T_{d} \frac{dϵ(t)}{dt}

Avec t = kT_{e}, u_{k} = u(kT_{e}), ϵ_{k} = ϵ(kT_{e})

u_{k} = K_{p}ϵ_{k} + \frac{K_{p}}{T_{i}} ∫_{0}^{kT_{e}} ϵ(τ)dτ + K_{p}T_{d} \frac{ϵ_{k} − ϵ_{k−1}}{T_{e}}

Or, ∫_{0}^{kT_{e}} ϵ(τ)dτ ≈ ∑_{j=0}^{k} ϵ_{j}T_{e}

u_{k} = K_{p}ϵ_{k} + \frac{K_{p}T_{e}}{T_{i}} ∑_{j=0}^{k} ϵ_{j} + \frac{K_{p}T_{e}}{T_{i}} (ϵ_{k} − ϵ_{k−1}) (1)

où K_{p}, T_{i}, T_{d} sont trois paramètres à ajuster pour garantir stabilité en performances en boucle fermée.

Soit U(z) = Z[u_{k}], ϵ(z) = Z[ϵ_{k}]

U(z) = K_{p}(ϵ(z) + \frac{T_{e}}{T_{i}} \frac{z}{z − 1}ϵ(z) + \frac{T_{d}}{T_{e}} (1 − z^{−1})ϵ(z))
d’où C(z) = \frac{U(z)}{ϵ(z)} = K_{p}(1 + \frac{T_{e}}{T_{i}} \frac{z}{z − 1} + \frac{T_{d}}{T_{e}} (1 − z^{−1}))

Remarque : la loi de commande (1) n’est pas appropriée pour une implémentation en temps réel, car le terme ∑_{j=0}^{k} ϵ_{j} est difficile à manipuler.

On s’intéresse donc plutôt à :

u_{k} − u_{k−1} = K_{p}(ϵ_{k} − ϵ_{k−1}) + \frac{K_{p}T_{e}}{T_{i}} ϵ_{k} + \frac{K_{p}T_{d}}{T_{e}} (ϵ_{k} − 2ϵ_{k−1} + ϵ_{k−2})

Méthodes de réglage du PID :

— méthodes graphiques, réglage des marges de gain et de phase, bande passante, ..., sur le diagramme de Bode

— méthodes empiriques, mais la méthode de Takahashi^{1} ne s’applique ni aux systèmes instables, ni aux systèmes oscillants.

Les effets des composantes P, I et D sont similaires à ceux dans le cas analogique.

— l’action P augmente la bande passante, donc la rapidité du système, mais dégrade la stabilité. Une amplitude de commande élevée conduit alors à une saturation.

— l’action I augmente la précision, dégrade la rapidité et la stabilité. Elle est peu robuste aux perturbations basses fréquences (une perturbation constante sera intégrée).

— l’action D augmente la rapidité et la bande passante. Elle permet d’améliorer les marges de stabilité mais amplifie les bruits hautes fréquences (notamment les bruits de capteurs)

Conclusion : il faudra combiner judicieusement ces actions en fonction du système, des capteurs et des performances requises.

2 Transposition des méthodes analogiques

2.1 Approximation du BOZ par un retard équivalent

On rappelle l’expression de la fonction de transfert du BOZ :

B_{0}(p) = \frac{1 − e^{−T_{e}p}}{p}

= \frac{e^{− \frac{Te}{2} p}(e^{\frac{Te}{2} p} − e^{− \frac{Te}{2} p})}{p}

Or, e^{− \frac{Te}{2} p} = 1 − \frac{T_{e}}{2} p + o(\frac{T_{e}}{2} p)

e^{− \frac{Te}{2} p} = 1 + \frac{T_{e}}{2} p + o(\frac{T_{e}}{2} p)

Donc B_{0}(p) ≈ T_{e}e^{− \frac{Te}{2} p}

2.2 Approximation de Padé pour les retards

Cette approximation repose sur le développement de Taylor du terme de retard exponentiel. Elle fournit une fraction rationnelle causale.

À l’ordre 1,

e^{−T_{e}p} = \frac{e^{− \frac{Te}{2} p}}{e^{+ \frac{Te}{2} p}} = \frac{1 − \frac{T_{e}}{2} p}{1 + \frac{T_{e}}{2} p}

1. À savoir appliquer, voir polycopié

UE 421 : Contrôle de processus

À l’ordre 2,

e^{−T_{e}p} = \frac{1 − \frac{T_{e}}{2} p + \frac{T_{e}^{2}}{8} p^{2}}{1 + \frac{T_{e}}{2} p + \frac{T_{e}^{2}}{8} p^{2}}

Application au BOZ :

B_{0}(p) ≈ \frac{T_{e}}{1 + \frac{T_{e}}{2} p}

Conséquence : on peut donc appliquer les résultats des systèmes analogiques sur le système équivalent obtenu.

2.3 Correction numérique obtenue par discrétisation approchée d’un

correcteur continu

Approximation de l’opérateur intégral

x(t) = ∫_{0}^{t} e(τ)dτ
x_{k} = x(kT_{e}) = ∫_{0}^{kT_{e}} e(τ)dτ
x_{k} = ∑_{j=0}^{k} e_{j}T_{e}

Approximation d’Euler arrière

\frac{de(t)}{dt} = \frac{e_{k} − e_{k−1}}{T_{e}}
pE(p) = \frac{1 − z^{−1}}{t_{e}} E(z)

p = \frac{z − 1}{zT_{e}}

Approximation d’Euler avant

\frac{de(t)}{dt} = \frac{e_{k+1} − e_{k}}{T_{e}}
pE(p) = \frac{z − 1}{T_{e}}E(z)

p = \frac{z − 1}{T_{e}}

Approximation de Tustin

x_{k} − x_{k−1} = \frac{1}{2}(e_{k} + e_{k−1})T_{e}
(1 − z^{−1})X(z) = \frac{T_{e}}{2} (1 + z^{−1})E(z)
X(z) = \frac{T_{e}}{2} \frac{1 + z^{−1}}{1 − z^{−1}} E(z)

= \frac{T_{e}}{2} \frac{z + 1}{z − 1}E(z)

D’où

p = \frac{2}{T_{e}} \frac{z − 1}{z + 1}

Remarque : semblable à la transformation en w. Remarque : les approximations de p induisent des distorsions fréquentielles. Exemple : correcteur continu R_{C}(p)

R_{d}(z) = R_{c}(p)|_{p= \frac{2}{Te} \frac{z−1}{z+1}}

Réponse fréquentielle : z = e^{T_{e}p}, p = jω

R_{d}(e^{jT_{e}ω}) = R_{c}(\frac{2}{T_{e}} \frac{jT_{e}ω − 1}{jT_{e}ω + 1}
\frac{jT_{e}ω − 1}{jT_{e}ω + 1} = j tan(\frac{T_{e}}{2} ω)
R_{d}(e^{jT_{e}ω}) = R_{c}(j \frac{2}{T_{e}} tan(\frac{T_{e}}{2} )ω)

= R_{c}(jω̃) où ω̃ = \frac{2}{T_{e}} tan(\frac{T_{e}}{2} ω)

ω̃ est une ”pseudo-pulsation” qui varie de 0 à +∞ lorsque ω varie de 0 à \frac{π}{2} . Cela correspond à une distorsion de l’échelle fréquentielle.

Approximation de Tustin adaptée à la pulsation ω_{c} On voudrait que R_{d}(e^{jω_{c}T_{e}}) = R_{c}(jω_{c}), alors

p ← \frac{ω_{c}}{tan(\frac{ω_{c}T_{e}}{2} )} \frac{z − 1}{z + 1}

R_{c}(j \frac{ω_{c}}{tan(\frac{ω_{c}T_{e}}{2}} )) = R_{c}(jω_{c})

Approximation par correspondance pôle-zéro Exemple :

R_{c}(p) = \frac{p + a}{p + b}
z = e^{T_{e}p}
R_{d}(z) = \frac{z − e^{−T_{e}a}}{z − e^{−T_{e}b}} α
Gain statique : lim_{z→1} R_{d}(z) = α\frac{1 − e^{−T_{e}a}}{1 − e^{−T_{e}b}} = lim_{p→0} R_{c}(p) = \frac{a}{b}
α = \frac{a}{b} \frac{1 − e^{−T_{e}a}}{1 − e^{−T_{e}b}}

En résumé, on construit R_{d}(z) avec la même structure que R_{c}(p) en temres de zéros, pôles et gain statique. Précaution à prendre lorsque le degré du numérateur de R_{c}(p) est inférieur au degré du dénominateur de R_{c}(p) (i.e. R_{c}(p) strictement propre)

Exemple :

R_{c}(p) = \frac{p + a}{(p + b)(p + c)}
R_{d}(p) = \frac{(z + 1)(z − e^{−T_{e}a})}{(z − e^{−T_{e}b)(z−e^{−Tec})}} α
R_{d}(1) = R_{c}(0) → α = ...

Le terme (z+1) est ajouté pour permettre d’avoir le même gain de R_{d}(z)|_{z=e^{jTe \frac{π}{Te}}} = R_{c}(jω)|_{ω→∞} (correspondance du gain haute fréquence).

En conclusion, le choix d’une approximation dépend beaucoup des caractéristiques (zéros, ordre,...) du système.

À savoir pour le partiel

— Transformées en z et ses propriétés

— Tous les résultats sur les filtres linéaires numériques

— Méthode d’obtention des transformées en z d’un système discrétisé

— Définitions stabilité, critères algébriques pour la caractériser (connaître Routh-Hurwitz, savoir appliquer Jury)

— Réglage d’un correcteur PID analogique, savoir passer en TD (Euler, Tustin, méthode de correspondance pour le zéro)

— Transformation en w

— Correcteur RST

— Règle des retards relatifs

— Règles de rejet de la perturbation, conséquence sur le polynôme R

— Être en mesure de déterminer les degrés de polynômes R et S pour résoudre un problème : technique de simplification de pôles / zéros, introduction de polynôme auxiliaire

Commande dans l’espace d’état

1 Concept du modèle d’état

1.1 Définitions

Soit un système Σ, à temps continu, linéaire ou non :

u → Σ → y

u(t) ∈ ℝ^{m} commande y(t) ∈ ℝ^{p} sortie mesurée x(t) ∈ ℝ^{n} vecteur d’état, et ses composantes x_{i}(t) ∈ ℝ variables d’état

On appelle équation d’état du système (Σ) :

ẋ(t) = f(x(t), u(t), t)

f : ℝ^{n} × ℝ^{m} × R_{+} → ℝ^{n} : champs de vecteurs, relation non linéaire en x, u, t. x_{0} = x(0) ∈ ℝ^{n} : vecteur des conditions initiales. x(t) contient des grandeurs physiques ou non.

On appelle équation d’observation du système (Σ) :

y(t) = h(x(t), u(t), t) (équation algébrique)

Un modèle d’état est composé d’une équation d’état et d’une équation d’observation :

(Σ) \{ \begin{matrix}ẋ(t) & = f(x(t), u(t), t), x_{0} = x(0) \\ y(t) & = h(x(t), u(t), t) \end{matrix}

Dans le cas discret :

(Σ) \{ \begin{matrix}x_{k+1} & = f_{d}(x_{k}, u_{k}, k), x_{0} = x(0) \\ y_{k} & = h_{d}(x_{k}, u_{k}, k) \end{matrix}

u_{k} ∈ ℝ^{m} → Σ_{d} → y_{k} ∈ ℝ^{p}

x_{k} ∈ ℝ^{n} vecteur de suites numériques

Systèmes stationnaires : on peut simplifier comme suit :

\begin{matrix}Continu : \\ \{ & \begin{aligned}ẋ(t) & = f(x(t), u(t)), x_{0} = x(0) \\ y(t) & = h(x(t), u(t)) \end{aligned} \end{matrix}  \begin{matrix}Discret : \\ \{ & \begin{aligned}x_{k+1} & = f_{d}(x_{k}, u_{k}), x_{0} = x(0) \\ y_{k} & = h_{d}(x_{k}, u_{k}) \end{aligned} \end{matrix}

Systèmes linéaires stationnaires : on a alors :

\begin{matrix}Continu : \\ \{ & \begin{aligned}ẋ(t) & = Ax(t) + Bu(t), x_{0} = x(0) \\ y(t) & = Cx(t) + Du(t)) \end{aligned} \end{matrix}  \begin{matrix}Discret : \\ \{ & \begin{aligned}x_{k+1} & = A_{d}x_{k} + B_{d}u_{k}), x_{0} = x(0) \\ y_{k} & = C_{d}x_{k} + D_{d}u_{k}) \end{aligned} \end{matrix}

A, A_{d} ∈ ℝ^{n×n} matrices d’évolution

B, B_{d} ∈ ℝ^{n×m} matrices d’application de l’entrée commande u C, C_{d} ∈ ℝ^{p×n} matrices d’observation D, D_{d} ∈ ℝ^{p×n} matrices de transmission directe

Remarque Systèmes linéaires variant dans le temps :

\begin{aligned}& Continu : \\ \{ & \begin{aligned}ẋ(t) & = A(t)x(t) + B(t)u(t), x_{0} = x(0) \\ y(t) & = C(t)x(t) + D(t)u(t)) \end{aligned} \end{aligned} \begin{aligned}& Discret : \\ \{ & \begin{aligned}x_{k+1} & = A_{d}(k)x_{k} + B_{d}(k)u_{k}), x_{0} = x(0) \\ y_{k} & = C_{d}(k)x_{k} + D_{d}(k)u_{k}) \end{aligned} \end{aligned}

Schéma-bloc : cas linéaire stationnaire Insérer schéma bloc

Cadre du cours : systèmes linéaires, stationnaires, SISO (mono-entrée, mono-sortie). De plus, u ∈ ℝ (m = 1), y ∈ ℝ (p = 1).

1.2 Quelques exemples

Robot manipulateur à 1 bras

PFD : équation de mouvement

Jθ̈(t) = C_{m}(t) + C_{g}(t)
Jθ̈ = C_{m}(t) − \frac{L}{2}mg cos θ

On pose C_{m}(t) = u(t)

θ̈(t) = \frac{1}{J} u(t) − \frac{mgL}{2J} cos(θ(t))

On a donc :

ẋ(t) = [ \begin{matrix}θ̇(t) \\ θ̈(t) \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}θ̇(t) \\ −\frac{mgL}{2J} cos(θ(t)) \end{matrix} ] + [ 0_{\frac{1}{J}} ] u(t)

Cas d’un robot à n liaisons en série, n-actionné

M(q)q̈ + C(q, q̇)q̇ + Dq̇ + g(q) = τ

q(t) = [ θ_{1}(t) ; ⋮ ; θ_{n}(t) ] ∈ ℝ^{n}, τ = [ τ_{1}(t) ; ⋮ ; τ_{n}(t) ]

M(q) = M(q)^{T} ∈ ℝ^{n×n} matrice d’inertie, définie positive
C(q, q̇)q̇  ∈ ℝ^{n}  forces centrifuges et de Coriolis
g(q) = \frac{∂u(q)}{∂q}  ∈ ℝ^{n}  énergie potentielle totale due à la gravité
Dq̇  frottements visqueux dans les liaisons

\begin{matrix}u(t) \\ R \\ L \\ i_{L} \\ C \\ v_{c} \\ i_{D} \end{matrix}

x(t) = [ \begin{matrix}q(t) \\ q̇(t) \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2n}

ẋ(t) = [ \begin{matrix}q̇(t) \\ q̈(t) \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}q̇(t) \\ −M^{−1}(q)C(q, q̇)q̇ − M^{−1}Dq̇ − M^{−1}(q)g(q) \end{matrix} ] + [ \begin{matrix}0_{n×n} \\ M^{−1} \end{matrix} ]

Circuit avec diode à effet tunnel

Lois de Kirchoff :

Noeud A : i_{L} = i_{C} + i_{D} = h(v_{D}) + v_{C}

⇒ C \frac{dv_{D}}{dt} = i_{L} − h(v_{D})

Maille 1 : u(t) − Ri_{L}(t) − L\frac{di_{L}}{dt} − v_{C}(t) = 0

⇒ Ri_{L} + L\frac{di_{L}}{dt} + v_{D} = u(t)

Maille 2 : v_{C}(t) = v_{D}(t)

x(t) = [ \begin{matrix}i_{L} \\ v_{D} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2}, 2 variables d’état

ẋ(t) = [ ẋ_{1} ; ẋ_{2} ] = [ \begin{matrix}−\frac{R}{L}i_{L} & −\frac{1}{L}v_{D} \\ \frac{1}{C} i_{L} & −\frac{1}{C} h(v_{D}) \end{matrix} ] + [ 0^{\frac{1}{L}} ] u(t)

1.3 Quelques propriétés de base, valables à temps continu ou discret

Non-unicité d’un modèle d’état

Cas continu :

\{ \begin{matrix}ẋ(t) & = Ax(t) + Bu(t), x_{0} = x(0) \\ y(t) & = Cx(t) + Du(t)) \end{matrix}

Soit T ∈ ℝ^{n×n} inversible. Soit z(t) ∈ ℝ^{n} tel que

x(t) = T z(t)
ẋ(t) = T ż(t)

\{ \begin{matrix}T ż(t) & = AT (t) + Bu(t) \\ y(t) & = CT z(t) + Du(t)) \end{matrix}

\{ \begin{matrix}ż(t) & = T^{−1}AT z(t) + T^{−1}Bu(t) \\ y & = CT z(t) + Du(t) \end{matrix} , z(0) = T^{−1}x_{0}

\{ \begin{matrix}ż(t) & = Ãz(t) + B̃z(t) \\ y & = C̃z(t) + Du(t) \end{matrix}

D est invariant par changement de coordonnées régulier (x(t) = T z(t)) Il existe une infinité de modèles d’état pour un même système (linéaire et stationnaire).

Remarque voir plus bas quelques changement de coordonnées vers des formes d’état canoniques.

1.4 Modèle d’état pour quelques associations de systèmes (TD1)

Soient

(S_{1}) \{ \begin{matrix}ẋ_{1} & = A_{1}x_{1} + B_{1}u_{1} \\ y_{1} & = C_{1}x_{1} + D_{1}u_{1} \end{matrix}
(S_{2}) \{ \begin{matrix}ẋ_{2} & = A_{2}x_{2} + B_{2}u_{2} \\ y_{2} & = C_{2}x_{2} + D_{2}u_{2} \end{matrix}

Association en série (schéma)

2 Solution de l’équation d’état

2.1 Exponentiel d’une matrice

Définition. Soit 𝕂 = ℝ ou ℂ.

∀A ∈ 𝕂^{n×n}, e^{A} ∈ 𝕂^{n×n} et e^{A} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{A^{k}}{k!}

On admet la convergence de la série.

Remarque e^{0_{n×n}} = 1_{n} Propriété.

e^{1} = lim_{k→∞}(1_{n} + \frac{1}{k} A)^{k}

1. (e^{A})^{T} = e^{A^{T}}

2. e^{A} inversible et (e^{A})^{−1} = e^{−A}

3. Si A = diag(A_{k}) où A_{k} ∈ 𝕂^{n_{i}×n_{i}}, i=1.. k, e^{A} = diag(e^{A_{k}})

4. Soit X inversible ∈ 𝕂^{n×n}, e^{XAX^{−1}} = Xe^{A}X^{−1}

5. Si A, B ∈ 𝕂^{n×n} sont similaires e^{A} et e^{B} sont similaires aussi

6. Si A, B ∈ 𝕂^{n×n} sont similaires et unitaires e^{A} et e^{B} le sont aussi

7. Si A est hermitienne (A = \overline{A}^{T}) alors e^{A} est définie positive

8. Si A est anti-hermitienne, alors e^{A} est unitaire

9. Si A est normale (AA^{∗} = A^{∗}A), alors e^{A} est normale aussi Propriété.

t ∈ ℝ, \frac{de^{At}}{dt} = Ae^{tA} = e^{tA}A

UE 421 : Contrôle de processus Démonstration.

e^{tA} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{t^{k}}{k!} A^{k}
\frac{de^{At}}{dt} = \frac{d}{dt} ∑_{k=0}^{∞} \frac{t^{k}}{k!} A^{k} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{t^{k−1}}{(k − 1)!}A^{k}

= A ∑_{k=1}^{∞} \frac{t^{k−1}}{(k − 1)!}A^{k−1} = Ae^{tA}

Propriété. Soient A, B ∈ 𝕂^{n×n}

1.

∀t ∈ ℝ_{+}, AB = BA ⇔ e^{tA}e^{tB} = e^{t(A+B)}

2.

si AB = BA, alors e^{A+B} = e^{A}e^{B} = e^{B}e^{A}

Théorème Soit A ∈ 𝕂^{n×n}

e^{tA} = ∑_{k=0}^{n−1} Ψ_{k}(t)A^{k}, ∀t ∈ ℝ
e^{tA} = \frac{1}{2πj} ∫_{C}(z1_{n} − A)^{−1}e^{tz}dz

où C est un contour fermé du plan complexe contenant Spec(A) (valeurs propres de A) Soit P_{A} le polynôme caractéristique de A

P_{A}(s) = det(s1_{n} − A) = s^{n} + a_{n−1}s^{n−1} + ... + a_{1}s + a_{0}, a_{j} ∈ ℝ, j = 0...n − 1

On montre que

sP_{A}^{(k+1)}(s) = P_{A}^{(k)}(s) − a_{k}, k = 0, ...n − 1 avec P_{A}^{(0)}(s) = P_{A}(s) et P_{A}^{(n)}(s) = 1
Ψ_{k}(t) = \frac{1}{2πj} ∫_{C} \frac{P_{A}^{(k+1)}(z)}{P_{A}^{(k)}(z)}e^{tz}dz

On montre que ∀k = 0, 1...n − 1 et t ≥ 0

Ψ_{k}^{(n)}(t) + a_{n−1}Ψ_{k}^{(n−1)}(t) + ... + a_{1}Ψ_{k}^{(0)}(t) + a_{0}Ψ_{k}(t) = 0

avec ∀k, l = 0...n − 1, k ≠ l, on a Ψ_{k}^{(l)}(0) = δ_{kl} Théorème Soit A ∈ 𝕂^{n×n} et Ψ_{0}(t)...Ψ_{n−1}(t) définis précédemment.

Alors ∀s ∈ ℂ \ Spec(A),

L[e^{tA}] = ∫_{0}^{∞} e^{−st}e^{At}dt = (s1_{n} − A)^{−1}

On appelle (s1_{n} − A)^{−1} résolvante de A.

UE 421 : Contrôle de processus

De plus,

Ψ̂_{k}(s) = L[Ψ_{k}(t)]_{k=0..n−1}

= \frac{P_{A}^{(k+1)}(s)}{P_{A}^{(k)}(s)}

(p1_{n} − A)^{−1} = L[e^{tA}]

= ∑_{k=0}^{n−1} Ψ̂_{k}(s)A^{k}

2.2 Cas analogique

(S) : \{ \begin{matrix}ẋ & = Ax + Bu, x(0) = x_{0} ∈ ℝ^{n} \\ y & = Cx + Du \end{matrix}

x(t) = e^{At}x_{0} + ∫_{0}^{t} e^{A(t−τ)}Bu(τ)dτ

Démonstration.

ẋ = Ax + Bu
e^{−tA}(ẋ − Ax) = e^{−tA}Bu
∫ \frac{d}{dt}(e^{−tA}x(t)) = ∫ e^{−tA}Bu(t)
e^{−tA}x(t) − e^{−t_{0}A}x_{0}(t) = ∫_{t_{0}}^{t} e^{−τA}Bu(τ)dτ avec t_{0} = 0

Réciproquement

ẋ(t) = Ae^{tA}x_{0} + \frac{d}{dt} ∫_{0}^{t} e^{A(t−τ)}Bu(τ)dτ
= Ae^{tA}x_{0} + ∫_{0}^{t} Ae^{(t−τ)A}Bu(τ)dτ + Bu(t)
= A(e^{tA}x_{0} + ∫_{0}^{t} e^{(t−τ)A}Bu(τ)dτ) + Bu(t)
= Ax(t) + Bu(t)

2.3 Cas discret

(S) : \{ \begin{matrix}x_{k+1} & = A_{d}x_{k} + B_{d}u_{k}, x_{0} ∈ ℝ^{n} \\ y_{k} & = C_{d}x_{k} + D_{d}u_{k} \end{matrix}

k = 0 x_{1} = A_{d}x_{0} + B_{d}u_{0}
k = 1 x_{2} = A_{d}x_{1} + B_{d}u_{1}
A_{d}^{2}x_{0} + A_{d}B_{d}u_{0} + B_{d}u_{1}

⋮

x_{k}  = A_{d}^{k}x_{0} + ∑_{j=0}^{k−1} A_{j}^{k−1−j}B_{d}u_{j}

En pratique, soit V ∈ 𝕂^{n×} inversible, tel que V^{−1}AV = J, J ∈ 𝕂^{n×n} matrice de Jordan ou bien J = Λ = diag(λ_{1}...λ_{n}), λ_{i} valeurs propres de A Propriété.

A^{k} = V J^{k}V^{−1}

ou bien si J = Λ = diag(λ_{1}...λ_{n}),

A^{k} = V Λ^{k}V^{−1}

e^{tA} = e^{tV JV^{−1}} = V e^{tJ}V^{−1}

ou si J = Λ = diag(λ_{1}...λ_{n}),

e^{tA} = V e^{tΛ}V^{−1}

Λ^{k} = diag(λ_{i}^{k})

e^{tΛ} = diag(e^{tλ_{i}})

Remarque : si x(t) ou x_{k} connu,

y(t) = Cx(t) + Du(t)
y − k = C_{d}x_{k} + d_{d}u_{k}

3 Commandabilité et observabilité

Problème : existe-t-il une commande u(t) permettant de passer d’un point de fonctionnement à t = t_{1} à un autre à t = t_{2} ?

3.1 Commandabilité

Définition (Cas analogique). Le système (S) est dit commandable si

∀x(t = t_{0}) = x_{0} ∈ 𝕂^{N} et ∀x_{f} = x(t = t_{f}) ∈ 𝕂^{n}

il existe une commande u(t) continue (par morceaux) qui amène l’état x(t) de l’état x_{0} à t = t_{0} vers x_{f} à t = t_{f}.

Définition (Cas discret). Le système (S_{d}) est commandable si

∀x_{d} ∈ 𝕂^{n} et ∀x_{f} ∈ 𝕂^{n}

il existe une séquence d’échantillons de commande [u_{0}, u_{1}, … u_{k}] qui amène le système S_{d} de l’état de x_{d} pour k = 0 à x_{f} pour k = n.

Définition (analogique ou discret). On appelle matrice de commandabilité (dite de Kalman), la matrice notée (obtenue par concaténation)

C(A, B) = [B AB A^{2}B … A^{n−1}B] ∈ 𝕂^{n×n}

Théorème. Cas analogique ou discret :

Le système (S) est commandable si et seulement si (matrice de rang plein)

rang(C(A, B) = n)

Le système (S_{d}) est commandable si et seulement si

rang(C(A_{d}, B_{d}) = n)

Propriété (Corollaire spécifique aux systèmes monovariables). Le systèmes (S) ou (S_{d}) est commandable si et seulement si

det(C(A, B)) ≠ 0 ( ou det(C(A_{d}, B_{d})) ≠ 0)

Démonstration.

x_{k} = A_{d}^{k}x_{0} + ∑_{j=0}^{k−1} A_{j}^{k−1−j}B_{d}u_{j}

Pour atteindre n’impotre quel état de 𝕂^{N}, il faut que

Im{A_{d}^{k−1−j}B_{d}}_{j=0...k−1} = ℝ^{n}

De plus, ∀k ≥ n,

Im{A_{d}^{k−1−j}B_{d}}_{j=0...k−1} = Im{A_{d}^{n−1−j}B_{d}}_{j=0...n−1}

En effet, d’après le théorème d’Hamilton-Cayley, la matrice A est racine de son polynôme caractéristique : P_{A}(A) = 0 donc A^{n} = − ∑_{k=0}^{n−1} a_{k}A^{k}.

Dire que Im{A_{d}^{k−1−j}B_{d}}_{j=0...n−1} = 𝕂^{n} ⇔ rang(C(A_{d}, B_{d})) = n

Propriété. Soit x_{d} ∈ 𝕂^{n}, x_{f} ∈ 𝕂^{n},

x_{f} − A_{d}^{n}x_{d} = [B AB … A^{n−1}b][u_{n−1} … u_{0}]^{T}

Si C(A, B) inversible i.e. système commandable, alors on en déduit la séquence de commande permettant de passe de x_{d} pour k = 0 à x_{f} pour k = n.

3.2 Observabilité

Définition. Le système (S) est observable si ∀x_{0} ∈ ℝ^{n} pour t = t_{0}, il est possible de déterminer cet état uniquement en se servant de l’entrée u(t) ou u_{k} et de la sortie y(t) ou y_{k}.

Définition. On appelle matrice d’observabilité (dite de Kalman), la matrice

O(A, C) = [ C ; CA ; ⋮ ; CA^{n−1} ] ∈ 𝕂^{n×n}

Théorème. Le systèmes (S) ou (S_{d}) est observalble si et seulement si

rang(O(A, C)) = n (ourang(O(A_{d}, C_{d})) = n

Propriété (Corollaire).

rang(O(A, C)) = n ⇔ det(O(A, C)) ≠ 0

Démonstration. Dans le cas discret,

y_{k} = C_{d}A_{d}^{k}x_{0} + ∑_{j=0}^{k−1} C_{d}A_{d}^{k−1−j}B_{d}u_{j} + D_{d}u_{k}

[ C ; CA ; ⋮ ; CA^{k−1} ] x_{d} = [ y_{0} ; y_{1} ; ⋮ ; y_{k} ] − M [ u_{0} ; u_{1} ; ⋮ ; u_{k−1} ]

avec

M = [ \begin{matrix}0 \\ CB & ... \\ CAB & ... & ... \\ ⋮ & ... & ... & ... \\ CA^{k−2} & … & CAB & CB & 0 \end{matrix} ]

k ≥ n − 1 x_{d} s’obtient si et seulement si rang(O(C, A)) = n

Définition. On définit le Gramien de commandabilité, noté W_{c} ∈ ℝ^{n×n}

W_{c}(t_{0}, t_{1}) = ∫_{t_{0}}^{t} e^{τA}BB^{T} e^{τA^{T}} dτ = W_{c}(t_{0}, t_{1})^{T} ≥ 0

Théorème. Le système (S) d’équation d’état ẋ = Ax + Bu est commandable si et seulement si W_{c} inversible, c’est-à-dire W_{c} > 0.

Démonstration. a) Si W_{c} inversible, alors ẋ = Ax + Bu (commandable)

Soient x_{0}, X_{1} ∈ ℝ^{n}. Soit v(t) bornée sur [t_{0}, t_{1}] défini par v(t) = B^{T} e^{A(t_{1}−τ)}W_{c}(t_{0}, t_{1})^{−1}(x_{1} − e^{A(t_{1}−t_{0})}x_{0}), v(t) solution de ˙ \overline{x} = A\overline{x} + Bv, \overline{x}(t_{0}) = X_{0} On a

\overline{x}(t_{1}) = e^{A(t_{1}−t_{0})}x_{0} + ∫_{t_{0}}^{t_{1}} e^{A(t_{1}−τ)}Bv(τ)dτ

= e^{A(t_{1}−t_{0})}x_{0} + ∫_{t_{0}}^{t_{1}} e^{A(t_{1}−τ)}BBe^{A^{T} (t_{1}−τ)}W_{c}(t_{0}, t_{1})^{−1}(x_{1} − e^{A(t_{1}−t_{0})}x_{0})dτ + W_{c}(t_{0}, t_{1})W_{c}(t_{0}, t_{1})^{−1}(x_{1} − e^{A(t_{1}−t_{0})}x_{0}), ∀x_{1} ∈ ℝ^{n}

= x_{1}

b) Si ẋ = Ax + Bu commandable, alors W_{c} inversible. Montrons que si W_{c} non inversible, alors ẋ = Ax + Bu non commandable.

∃y ∈ ℝ^{n} \ {0} tel que W_{c}y = 0

⇔y^{T} W_{c}y = 0
⇔ ∫_{t_{0}}^{t_{1}} y^{T} e^{Aτ} BB^{T} e^{A^{T} τ} ydτ = 0
⇔ = 0 ⇒  B^{T} e^{A^{T} τ} y = 0∀τ ∈ [t_{0}, t_{1}]
⇔y^{T} e^{Aτ} B = 0

Soit u tel que ẋ = Ax + Bu, x(t_{0}) = 0

x(t_{1}) = ∫_{t_{0}}^{t_{1}} e^{A(t_{1}−τ)}Bu(τ)dτ

⇒ y^{T} x(t_{1}) = 0

Or si y ∈ ℝ^{n} \{0} il existe x_{1} ∈ ℝ^{n} tel que y^{T} x_{1} ≠ 0 par exemple x_{1} = y donc ∀u, x(t_{1}) ≠ x_{1} non commandable.

Propriété (asymptotique du Gramien). W_{c}(0, ∞) solution de l’équation de Lyapumov AP + P A^{T} + BB^{T} = 0

Gramien d’observabilité :

W_{o}(t_{0}, t_{1}) = ∫_{t_{0}}^{t_{1}} e^{A^{T} t}C^{T} Ce^{At}dt

W_{o}(0, ∞) solution de A^{T} P + P A + C^{T} C = 0

4 Stabilité

Voir polycopié

5 Relation modèle d’état / fonction de transfert

5.1 Modèle d’état vers fonction de transfert

u(t) → (S) → y(t)

(S) : \{ \begin{matrix}ẋ & = Ax + Bu, x(0) = x_{0} ∈ ℝ^{n} \\ y & = Cx + Du \end{matrix}

Soient Y (p) = L{y(t)}, U(p) = L{u(t)}, p ∈ ℂ. X(p) = L{x(t)} = [X_{1}(p) … X_{n}(p)]^{T} Alors on a

L{ẋ} = pX(p) − x_{0}
pX(p) − x_{0} = AX(p) + BU(p)
(p1_{n} − A)X(p) = BU(p) + x_{0}
X(p) = (p1_{n} − A)^{−1}BU(p) + (p1_{n} − A)^{−1}x_{0}

Remarque : X(p) = L{∫_{0}^{t} e^{−A(t−τ)}Bu(τ)dτ} + L{e^{At}x_{0}}

Y (p) = CX(p) + DU(p)
Y (p) = [C(p1_{n} − A)^{−1}B + D]U(p) + C(p1_{n} − A)^{−1}x_{0}

Soit G(p) la fonction de transfert entre u et y.

G(p) = C(p1_{n} − A)^{−1}B + D

Propriété. Les valeurs propres de A (les modes de (S)) sont les pôles de la fonction de transfert G(p).

Démonstration.

(p1_{n} − A)^{−1} = \frac{1}{det(p1_{n} − A)}Adj(p1_{n} − A)

Or, P_{A}(p) = det(p1_{n} − A). Adj(p1_{n} − A) ∈ 𝕂^{n×n}[X] Les éléments de Adj(p1_{n} − A) sont des polynômes d’ordre n − 1

G(p) = \frac{CAdj(p1_{n} − A)B + DP_{A}(p)}{P_{A}(p)}

5.2 Fonction de transfert / équation différentielle vers modèle d’état

Voir polycopié

Formes canoniques à matrice d’évolution compagnon

Exemple : 4y^{(3)}(t) − 2y^{(1)}(t) + 8y(t) = 2u^{(1)}(t) − u(t)

On se ramène à une forme conforme au cours (coefficient de plus haut degré égal à 1) :

y^{(3)}(t) − \frac{1}{2}y^{(1)}(t) + 2y(t) = \frac{1}{2}u^{(1)}(t) − \frac{1}{4}u(t)

Forme compagnon horizontal de type I :

A_{c} = [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ −2 & 1/2 & 0 \end{matrix} ] B_{c} = [ \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ]

C_{c} = [−1/4 1/2 0], D = 0

Forme compagnon horizontal de type II :

A_{c} = [ \begin{matrix}0 & 1/2 & −2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] B_{c} = [ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ]

C_{c} = [0 1/2 − 1/4], D = 0

Forme compagnon vertical de type I :

A_{o} = [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1 \\ −2 & 0 & 0 \end{matrix} ] B_{o} = [ \begin{matrix}−1/4 \\ 1/2 \\ 0 \end{matrix} ]

C_{c} = [1 0 0], D = 0

Forme modale (pôles simples)

G(s) = \frac{p^{2} − 1}{(p + 1)(p + 2)(p + 3)}

= \frac{α_{1}}{p^{2} − 1} + \frac{α_{2}}{p + 2} + \frac{α_{3}}{p + 3}

(S) \{ \begin{matrix}ẋ_{m} & = [ \begin{matrix}−1 \\ & −2 \\ & & −3 \end{matrix} ] x_{m} + [ \begin{matrix}α_{1}γ_{1} \\ α_{2}γ_{2} \\ α_{3}γ_{3} \end{matrix} ] u \\ y & = [1/γ_{1} 1/γ_{2} 1/γ_{3}]x_{m} + 0, ∀γ_{i} ≠ 0 \end{matrix}

5.3 Changement de base vers une forme canonique

Voir polycopié

5.4 Dualité observation-commande

(S) : \{ \begin{matrix}ẋ & = Ax + Bu, x(0) = x_{0} ∈ ℝ^{n} \\ y & = Cx + Du \end{matrix}

G(s) = C(s1_{n} − A)^{−1}B + D ∈ ℝ[X]

G(s) est scalaire, donc en transposant (G(s) = G(s)^{T} , D = D^{T}) :

G(s) = B^{T} (s1_{n} − A)^{−1}C^{T} + D ∈ ℝ[X]

Ainsi, ∃x̃ ∈ ℝ^{n} tel que

(S) : \{ \begin{matrix}˙x̃ & = A^{T} x̃ + C^{T} u \\ y & = B^{T} x̃ + Du \end{matrix}

C’est la forme duale du modèle d’état (monovariable uniquement).

5.5 Commandabilité et observabilité pour les formes canoniques

Une forme canonique :

— de commandabilité est toujours commandable, l’observabilité est à étudier

— d’observabilité est toujours observable, la commandabilité est à étudier Cas des formes modales :

(S) : \{ \begin{matrix}[ ξ̇_{1} ; ⋮ ; ξ̇_{n} ] & = [ \begin{matrix}λ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & λ_{n} \end{matrix} ] . [ ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n} ] + [ z_{1} ; ⋮ ; z_{n} ] u \\ y & = [γ_{1} … γ_{n}] [ z_{1} ; ⋮ ; z_{n} ] + D_{n} \end{matrix}

(S) est commandable (resp. observable) si et seulement si tous les modes sont commandables (resp. observables)

Si dans la matrice d’application exprimée dans la base modale, un des coefficients est nul, alors le mode correspondant, donc le système, n’est pas commandable. Il en est de même pour la matrice d’observation et l’observabilité.

Cas des formes de Jordan : (exemple)

ẋ = [ \begin{matrix}λ_{1} & 1 \\ & λ_{1} \\ & & λ_{1} \end{matrix} ] x + [ ⋮ ] u, u ∈ ℝ

Ce n’est pas un système commandable.

Dans un système monovariable (y ∈ ℝ, u ∈ ℝ), si un mode multiple est associé à au moins 2 blocs de Jordan, alors ce mode n’est pas commandable / observable.

6 Stabilisation par retour d’état

(S) : \{ \begin{matrix}ẋ & = Ax + Bu, x(0) = x_{0} ∈ ℝ^{n} \\ y & = Cx + Du \end{matrix}

Étant donné un système en boucle ouverte où A peut posséder des modes / pôles instables, faiblements amortis, lents,... le but est de se donner un ensemble {λ_{1}^{des}, …, λ_{n}^{des}} ∈ ℂ^{n} autoconjugué, et de chercher une loi de commande u(t) permettant d’obtenir en boucle fermée un système dont les pôles / modes sont {λ_{1}^{des}, …, λ_{n}^{des}}.

Hypothèses : x(t) = [ x_{1}(t) ; ⋮ ; x_{n}(t) ] ∈ 𝕂^{n}.

On suppose que les x_{k}(t) sont mesurables, i.e. x(t) est mesurable.