\documentclass{article}
\input{../../../preambule/preambule}

\newcommand{\nom}{Acquisition, traitement et transmission de l'information numérique}
\renewcommand{\nomentete}{UE433, Partie 1 - \nom}

\renewcommand{\thesection}{\Alph{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\arabic{subsubsection}}

% Relu A/ B/ C/. AA. 05/03/15


\begin{document}

\titre{\nom}

\section*{Introduction}

Suite à l'UE 431 nous nous intéresserons dans cette UE aux aspects numériques du traitement et de la transmission de l'information.

\begin{exemple}
Soit un signal $x_c(t)$ analogique à temps continu (audio, issu d'un capteur de position, de vitesse). On veut effectuer un traitement numérique. En effet, on améliorera le rapport signal sur bruit, et la dispersion technologique des circuits est réduite par rapport à l'analogique.

%%\imgt{1/1.png}
\end{exemple}

La seconde partie de l'UE concerne le transport sur une distance plus ou moins longue des informations numériques.

%\imgt{1/2.png}

Le codage a pour but de mettre en forme le signal numérique pour garantir au maximum une bonne identification à l'arrivée des bits transmis.

%\imgt{1/3.png}

Il y a donc un compromis à faire entre bande passante et rapport signal sur bruit final. Avant le codage "canal", il y a le codage de source (UE 455), qui compresse le signal mais ajoute également des informations pour identifier les erreurs de transmission à la réception, et pour prévoir leur correction.

\newpage
\tableofcontents

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\section{Échantillonnage d'un signal numérique}

\newpage

\section{Exemple des filtres à capacités commutées}

\subsection{Cellule de base}

La structure d'une cellule de base donnée ci-dessous, fait appel à deux \emph{switches}, chacun commandé par une horloge.

%%\img{0.5}{2/7.png}

La première horloge présente une période de $T_e + \tau$ et est dissymétrique (haut sur $\tau$ et bas sur $T_e$). La deuxième horloge est presque complémentaire. Elles ont la même durée de passage à l'état haut, mais on s'arrange pour qu'il y ait un intervalle de garde entre les moments ou le switch 1 est passant et le moment où le second est passant, sans jamais avoir les deux passants en même temps.

%%\img{0.5}{2/8.png}

On suppose $R_{on}C << T_e,\tau_1,\tau_2$. En effet, $R_{on}$ peut être minimisé en diminuant la longueur de la grille $L_G$ de façon à ce que la charge/décharge de C soit considérée comme instantanée par rapport aux autres temps caractéristiques des signaux. On suppose également pour commencer que $x_c(t)$ évolue très lentement par rapport à la période d'échantillonnage $T_e$.\\

De $t=nT_e$ à $t=nT_e + \tau$, $\left\{ \begin{matrix}\text{switch1 passant}\\\text{switch2 bloqué}\end{matrix}\right.\rightarrow \left \{ \begin{matrix} x_E = x_c(nT_e)\\+Q = Cx_c(nT_e) = +Q_1\end{matrix} \right.$\\

De $t=nT_e + \tau$ à $t=nT_e + \tau2 - \frac{\tau_1}{2}$, les deux switchs sont bloqués, la charge +Q n'évolue pas et reste égale à $+Q_1$.\\

De $t=nT_e + \tau_2 - \frac{\tau_1}{2}$ à $t=nT_e + \tau_2 + \frac{\tau_1}{2}$, $\left\{ \begin{matrix}\text{switch1 bloqué}\\\text{switch2 passant}\end{matrix}\right.\rightarrow \left \{ \begin{matrix} x_E = v(nT_e)\\+Q = Cv(nT_e) = +Q_2\end{matrix} \right.$\\

Puis de $t=nT_e + \tau_2 + \frac{\tau_1}{2}$ à $t = (n+1)T_e$, les deux switchs sont bloqués, +Q reste égale à $+Q_2$.\\

Globalement sur une période $T_e$, on effectue un transfert de charges $\Delta Q$ à travers les deux interrupteurs, imposé par les tensions $x_c(nT_e)$ et $v(nT_e)$.\\

On a alors $\Delta Q = C(v(nT_e) - x_c(nT_e))$ sur le temps $T_e$, ce qui correspond au courant échangé via la cellule de base :
\[I = \frac{\Delta Q}{T_e} = \frac{C}{T_e}((v(nT_e) - x_c(nT_e))\]
On a une équivalence avec une résistance $R_e = \frac{1}{CF_e}$ à condition que $x_c$ et$v$ évoluent suffisamment lentement par rapport à $T_e$.\\

%\img{0.5}{2/10.png}

La valeur de $R_e$ est contrôlée par la fréquence d'échantillonnage de $F_e$. A la base de "filtres programmables" c'est à dire dont es caractéristiques peuvent être modifiées par $F_e$.\\

\subsection{Exemple de l'intégrateur}

Si $u$ et $v$ sont assez lents par rapport à $T_e$ et de type sinusoïdal, que l'on a un amplificateur opérationnel parfait, on a $\frac{U(j\omega)}{R_e} = -j\omega C_2V(j\omega)$, donc la fonction de transfert est:
\[\frac{V(j\omega)}{U(j\omega)} = -\frac{1}{j\omega C_2R_e} = -\frac{1}{j\omega}\frac{C_1F_e}{C_2}\]
L'intérêt par rapport à un circuit avec une "vraie" résistance $R_e$, est que la fonction de transfert dépend d'un rapport de capacités $\frac{C_1}{C_2}$ et non plus de la valeur de $C_2$ seule.\\

Remarque: $C_1$ et $C_2$ sont des capacités MOS.

%\img{0.5}{2/9.png}

Ce sont des condensateurs planaires de capacité $C=\frac{\epsilon_0 \epsilon_{ox} }{e_{ox}}WL$ où $\epsilon_0$ est la permittivité du vide et vaut $8.85\times 10^{-12}$F/m et $\epsilon_{ox}$ la permittivité relative de l'oxyde (3.8 pour du $SiO_2$).\\
Mais pour le $SiO_2$ le matériau est amorphe quand il est obtenu par oxydation thermique de Si, tandis que pour le Si, le matériau est cristallin c'est à dire que les atomes de Si sont répartis périodiquement dans l'espace.\\
Cependant, l'interface est mal définie, "rugueuse" entre les deux et donc l'épaisseur d'oxyde fluctue sur la surface WL.\\
La valeur de $C_2=\frac{\epsilon_0 \epsilon_{ox} }{e_{ox}}(WL)_2$ et de $C_1=\frac{\epsilon_0 \epsilon_{ox} }{e_{ox}}(WL)_1$ ne sont pas garantie. Mais le rapport $\frac{C_2}{C_1} = \frac{(WL)_2}{(WL)_1}$ est beaucoup mieux contrôlé.\\
Voir TP1 pour traitement plus précis de cet intégrateur...\\


Attention, le système est instable, il intègre son entrée mais aussi les défauts de l'amplificateur opérationnel dont des tensions continues de décalage, ce qui conduit à la saturation rapide de l'AO.\\
La solution est de mettre une résistance $R_2$ de grande valeur en parallèle de $C_2$, on a un gain fini pour $f<< \frac{1}{2\pi R_2C_2}$. Cette solution est difficilement intégrable.\\

 On peut aussi mettre une contre réaction par un AO câblé en soustracteur.\\

Ce sont les structures avec soustracteur qui sont à la base de "filtres universels programmables", c'est à dire d'un type de filtrage différent suivant la sortie considérée, et de fréquences caractéristiques modifiable par $F_e$.\\

\newpage
\subsection{Exemple de filtre passe bas}

%\img{0.5}{2/11.png}

Sur une période :
\begin{align*}
\intertext{Quand $H_1$ est passant et $H_2$ bloqué:	}
x(nT_e) &= u(nT_e)\\
Q_1 &= C_1 u(nT_e)\\
v(nT_e) &= w((n-1)T_e)\\
Q_2 &= C_2 w((n-1)T_e)\\
\intertext{Quand $H_2$ est passant et $H_1$ bloqué:	}
x((n+\frac{1}{2})T_e) &= v((n+\frac{1}{2})T_e) = w(nT_e)\\
Q_1 &= C_1 w(nT_e)\\
Q_2 &= C_2 w(nT_e)
\end{align*}
On effectue une re-répartition des charges présentes sur $C_1$ et $C_2$ pendant la première moitié de la période, mais on a conservation de la charge totale :
\[C_1u(nT_e) + C_2w((n-1)T_e) = (C_1 + C_2)w(nT_e)\]
C'est une "équation aux différences" liant l'entrée et la sortie du filtre.\\

En écriture simplifiée on a:
\[w_n = \frac{C_2}{C_1 + C_2}w_{n-1} + \frac{C_1}{C_1 + C_2}u_n\]

Après passage à la transformée en z on a la fonction de transfert du filtre:
\[\frac{W(z)}{U(z)} = \frac{C_1}{C_1+C_2-C_2z^{-1}} \quad \text{où } z= exp(pT_e)\]
soit:
\[H(j\omega) = \frac{C_1}{C_1+C_2-C_2exp(-j\omega T_e)}\]
Pour $f<<F_e$, $\overline{\omega} << 1$:
 \[H(j\overline{\omega}) = \frac{C_1}{C_1+C_2-C_2(1-j\overline{\omega})} = \frac{C_1}{C_1+jC_2\overline{\omega}}\]
C'est une fonction $F_e$-périodique et un filtre passe-bas pour $f<<F_e$.\\

En fait,

%\img{0.5}{2/12}

Le gabarit de filtre n'est pas forcement très satisfaisant. Pour faire mieux, on utilise des filtres numériques avec une conception de filtres par rapport à un cahier des charges donné et des calculs réalisés sur circuit numériques CMOS.


%--------------------------------
%--------------------------------
\newpage
\section{Filtres "numériques" (échantillonnés)}

\subsection{Généralités}

Les filtres à capacités commutées sont un premier exemple de filtres échantillonnés pouvant être intégrés sur une technologie CMOS mais comportent encore des parties analogiques avec des possibilités limitées pour la conception des filtres.

L'idée est de réaliser entièrement les opérations de filtrage par un traitement numérique sur processeur CMOS. (DSP : digital signal processing)

%\imgt{3/1.png}

avec \[y_E(nT_e) = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} h(nT_e) x((n-m)T_e)\]
où $h(mT_e)$ est la réponse impulsionnelle du filtre et la somme de $-\infty$ à $+\infty$ traduit le fait que le filtre n'est pas forcément causal. Si le filtre n'est pas causal, on a des retards systématiques de $kT_e$, $k$ entiers, entre l'entrée et la sortie. \\

On utilise par la suite des notations simplifiées :
\begin{align*}
y(n) & = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} h(m) x(n-m) \\
y(n) & = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} h(n-m) x(m)
\end{align*}

\noindent \textbf{Idée :} programmer (réaliser) l'ensemble des calculs nécessaires sur un circuit numérique, après conversion analogique / numérique (CAN).\\

\textbf{Intérêts :}
\begin{itemize}
\item améliorer le rapport signal à bruit
\item profiter de la puissance des circuits CMOS : aujourd'hui, circuits à quelques milliards de transistors à un prix raisonnable (ULSI : ultra large scale integration) grâce à la réduction progressive de la longueur de grille $L_G$ en fonction des années (de 0.1\micro m en 1971 à 30 nm ou un peu moins actuellement)
\item grande diversité possible pour la conception des filtres, avec une faible variabilité sur les caractéristiques des circuits, avec une grande vitesse de calcul
\end{itemize}

\textbf{Défauts :}
\begin{itemize}
\item respecter Shannon (vrai aussi pour les capacités commutées)
\item nécessité d'une horloge très stable (vrai aussi pour les capacités commutées)
\item Erreurs possibles sur les calculs à virgule flottante dans un DSP
\item Bruit de quantification (cf CAN)
\item Systèmes pas forcément en "temps réel"
\end{itemize}

\subsection{Caractéristiques des systèmes linéaires invariants dans le temps}

\subsubsection{Réponse impulsionnelle}

\[s_n \rightarrow \boxed{h} \rightarrow y_n = \sum_m h_m s_{n-m} \]

Entrée impulsionnelle :
\[ x_n = \acc{1 & \si n=0}{0 & \sinon} \]
\[ y_n = h_n \]

\subsubsection{Transformée en $z$}

\begin{align*}
y_E(nT_e) & = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} h((n-m)T_e)x_E(mT_e) \\
& = (\sum_{m=-\infty}^{+\infty}h((n-m)T_e) \delta(t-(n-m)T_e)) * x_E(t) \quad (=h(t) * x_E(t))
\intertext{La transformée de Laplace de $\delta((n-m)T_e)$ est $\exp(p(n-m)T_e)=z^{n-m}$ où $z=\exp(pT_e)$}
\intertext{Soit dans l'espace des $z$}
Y(z) & = H(z)X(z) \quad \avec H(z) = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} h_mz^{-m}
\end{align*}

\begin{rmq}
Une multiplication par $z^{-1}$ correspond à un retard de $T_e$ sur le signal
\end{rmq}

\subsubsection{Gain complexe}
\newcommand{\omegab}{\overline{\omega}}
\begin{align*}
H(e^{j\omega T_e}) & = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} h_m \exp(-jm\omega T_e) \\
H(e^{j \omegab}) & = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} h_m \exp(-jm\omegab) \quad \avec \omegab = \omega T_e = 2 \pi fT_e
\end{align*}

\subsubsection{Causalité}
\[ y_n = \sum_{m=N_0}^{+\infty} h_m x_{n-m} \]

Si $N_0 \geq 0$, $y_n$ ne dépend que de $x_n$ et $x_m$ avec $m<n$ : filtre causal.

Si $N_0 < 0$, $y_n$ dépend aussi de $x_m$ avec $m>n$ : filtre non causal.\\

Un filtre numérique non causal est réalisable physiquement quand on accepte un retard systématique de $|N_0|T_e$ entre l'entrée et la sortie.

\subsubsection{Stabilité}

\begin{dfn}
Un système est stable si et seulement si il présente une sortie qui reste finie quand l'entrée est finie, autrement dit : s'il existe $P>0$ tel que $\forall n, |x_n|<P$, alors il existe $Q>0$ tel que $\forall n, |y_n|<Q$.
\end{dfn}

\paragraph{Conséquence sur la réponse impulsionnelle} On peut démontrer qu'il filtre numérique est stable si et seulement si $\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h_n|$ est fini.

\begin{proof}
\textbf{Condition suffisante}

\[ |y_n| = |\sum_m h_m x_{n-m}| \leq \sum_m|h_m||x_{n-m}| \]
Si $|x_n|<l$ alors $|y_n| \leq P \sum_m |h_m|$ donc si $\sum_m |h_m|<R$, alors $|y_n| < PR$.\\

\textbf{Condition nécessaire}

Soit $x_n = \acc{-1 \si h_{-n} < 0}{1 & \sinon}$ (entrée finie)

Alors $y_0 = \sum_m h_m x_{0-m} = \sum_m h_{-m} x_m = \sum_m |h_m|$

$y_0$ doit rester fini donc $\sum_m |h_m|$ doit rester finie.
\end{proof}

\paragraph{Conséquence sur la transformée en $z$} voir la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle, ses pôles $p_0$ doivent être tels que $Re(p_0) < 0$.

Or, $z = \exp(pT_e)$ donc les pôles de $H(z)$ doivent être à l'intérieur (strictement) du cercle unité.

\subsubsection{Différents types de filtres}

\paragraph{À réponse impulsionnelle finie (RIF)} cas où $h_n$ est nul pour $|n| > N_0$. Naturellement filtres stables.

\begin{exemple}[ Calcul de la dérivée numérique d'un signal ]

%\img{0.5}{3/2.png}

$\dd{x_c}{t}(nT_e)$ est proche de $y_n = \frac{x_E(nt_e)-x_E((n-1)T_e)}{T_e}$ si $T_e$ assez faible

Soit $y_n = \sum_m h_m x_{n-m}$ avec $h_0 = \frac{1}{T_e}, h_1 = -\frac{1}{T_e}, h_n = 0 si n\neq 0 \ou 1$

\begin{align*}
y_n & = h(0)x_n - h(1)x_{n-1} \\
& = \frac{1}{T_e} x_n - \frac{1}{T_e} x_{n-1} \\
Y(z) &= \frac{X(z)}{T_e} - \frac{X(z)}{T_e}z^{-1} \\
H(z) & = \frac{1-z^{-1}}{T_e}
\end{align*}
\end{exemple}

\paragraph{À réponse impulsionnelle infinie (RII)} il n'existe pas $N_0 > 0$ tel que $h_m=0$ pour $|n| > N_0$. Non nécessairement stable.

\begin{exemple}[Intégration numérique par la méthode des trapèzes]
$\int_{(n-1)T_e}^{nT_e} x(t)dt$ est proche de $T_e\frac{x_E((n-1)T_e)+x_E(nT_e)}{2}$. On peut procéder de façon récursive sur un grand nombre de périodes :

\begin{align*}
y_n & = y_{n-1} + \frac{x_{n-1}+x_n}{2}T_e \\
Y(z) & = z^{-1}Y(z) + \frac{T_e}{2} X(z)(1+z^{-1}) \\
H(z) & = \frac{T_e}{2} \frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}
\end{align*}

On a aussi, si $|z| < 1$
\begin{align*}
H(z) &= \frac{T_e}{2}(1+z^{-1}) \sum_{n=0}^{+\infty} z^{-n} \\
H(z) &= \frac{T_e}{2} \snzi z^{-n} + \frac{T_e}{2} \snzi z^{-n-1} \\
H(z) &= \frac{T_e}{2} + T_e \sum_{n=1}^{+\infty} z^{-n}
\end{align*}
$h_0 = T_E/2$, $h_n=T_e$ si $n>0$ et $h_n=0$ si $n<0$\\

RII causale instable (récursif)
\end{exemple}

\subsection{Méthodes de synthèse}

Cahier des charges : programmation d'un filtre sur DSP sous la forme $y_n = \sum_m h_m x_{n-m}$ ou si le filtre est récursif par une équation aux différences du type $y_n = \sum_{m=-\infty}^{\infty} a_my_m + \sum_{m=-\infty}^{\infty} b_mx_m$ (causal)

$\rightarrow$ matérialisation simple en termes de calculs sur DSP notamment pour les filtres récursifs

\begin{exemple}
\[y_n = a_1y_{n-1} + b_0x_n + b_1x_{n-1} + b_2x_{n-2}\]

%\img{0.5}{4/1.png}
\end{exemple}

\subsubsection{Transposition d'un filtre à temps continu}

Le cahier des charges impose un gabarit $H_c(p)$ filtre à temps continu.

\[H_c(j\omega) = H_c(p=f(z)) = H_c(f(\exp(j\omega T_e))\]

où $f(z)$ doit conserver la stabilité (si $|z| < 1$, alors $Re(p=f(z))<0$).\\

On étudie ensuite $H(j\omega)$ afin de vérifier si elle vérifie bien le cahier des charges. Sinon, il faut réajuster des paramètres de $H_c$ ou le choix de la fonction de transposition.

\begin{exemple}[Transformée d'Euler] \[p=\frac{1-z^{-1}}{T_e}\]

Elle équivaut à $z = \frac{1}{1-pT_e}$.

\begin{itemize}
\item $H_c(p)$ est stable si ses pôles sont tels que $p_0=a+jb$ avec $a<0$ et $b\in \R$.

L'image de $p_0$ dans l'espace des $z$ est $z_0 = \frac{1}{1-aT_e -jbT_e}$ de module \[|z_0| = \frac{1}{\sqrt{(1-At_e)^2 + (bT_e)^2}} <1 \si a < 0\] La stabilité est conservée.

\item Vérifions dans quel domaine cette transformation est valable.\[ p = \frac{1-e^{-j\omega T_e}}{T_e} = e^{-j\omega T_e/2} \frac{2j}{T_e} \sin(\omega \frac{T_e}{2}) \donc |p| = \frac{2}{T_e}|\sin(\omega \frac{T_e}{2})| = \omega_a\]
Si $\omega \tdv 0$, $\omega_a \approx \omega$ donc $|H(j\omega)|$ et $|H_c(j\omega_a)|$ ont des comportements très proches

Pour $\omega$ plus grand, ce n'est plus vrai. Une distorsion apparaît entre $\omega$ et $\omega_a$ et augmente quand $\omega$ augmente. $|H_c(j\omega_a)|$ va avoir un comportement très différent de $|H-j\omega)|$.
%\img{0.5}{4/2}
%\img{0.5}{4/3}
\end{itemize}
\end{exemple}

\begin{exemple}[Transformée bilatère ou bilinéaire]
\[p=\frac{1}{\frac{1}{p}}=\frac{2}{T_e} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\]

Elle équivaut à $z=\frac{2+pT_e}{2-pT_e}$
\begin{itemize}
\item Soit $p_0=a+jb$ avec $a<0$ et $b\in \R$.

L'image de $p_0$ dans l'espace des $z$ a pour module \[ |z_0| = \sqrt{\frac{(2+aT_e)^2+(bT_e)^2}{(2-aT_e)^2+(bT_e)^2}} < 1 \si a < 0\]
La stabilité est conservée.

\item En remplaçant $z=\exp(j\omega T_e)$
\[ p = \frac{2}{T_e} j\tan(\omega \frac{T_e}{2}) = j\omega_a \]

Si $\omega \tdv 0$, $\omega_a \approx \omega$.

%\img{0.5}{4/4}
\end{itemize}
\end{exemple}



\subsubsection{Échantillonnage de la réponse impulsionnelle d'un filtre à temps continu}

\paragraph{Méthode brute}
\[ h_n = h_c(nT_e) \rightarrow y_n = \sum_{m=0}^{\infty} h_c(nT_e)x_{n-m}\]
Cette forme décrit un filtre causal mais avec une réponse impulsionnelle infinie.

\begin{exemple}[Filtre passe-bas d'ordre 1]

\begin{align*}
H_c & = \frac{A_0}{p-p_0} \avec Re(p_0) < 0 \\
h_c(t) & = A_0 \exp(p_0 t) \\
h_n & = A_0 \exp (p_0 nT_e) \\
H(z) & = A_0 \sum_{m=0}^{\infty} \exp(mp_0T_e)z^{-m} \\
& = \frac{A_0}{1-\exp(p_0T_e)z^{-1}}
\end{align*}
Pôle $z_0 = \exp(p_0T_e)$ avec $|z_0|=\exp(Re(p_0)T_e) < 1$
\end{exemple}

\paragraph{Méthode par fenêtrage} On pondère $h_c(nT_e)$ par une fenêtre $w(nT_e)$ de durée finie.

Soit $h_n=h_c(nT_e)w(nT_e)$ où $w(t)=0$ pour $|t| > T_0$ afin d'obtenir un filtre à réponse impulsionnelle finie.

\begin{exemple}[Fenêtrage rectangulaire]
\[ w(t) = \acc{ 1 & \si 0 \leq t \leq T_W = NT_e }{ 0 & \sinon } \]
On a donc
\begin{align*}
H(z) & = H_0(z) * w(z) \text{ où } \acc{ H_0(z) & = \sum_{n=0}^{\infty} h_c(nT_e)z^{-n} \text{ filtre RII précédent }}{ w(z) & = \sum_{n=0}^N z^{-n} } \\
w(z) & = \frac{1-z^{-(N+1)}}{1-z^{-1}}
\intertext{ Si $z=\exp(j\omegab)$ où $\omegab=\omega T_e$, alors }
w(\exp(j\omegab)) & = \exp(-jN\frac{\omegab}{2}) \frac{\sin(\frac{N+1}{2}\omegab)}{\sin(\frac{\omegab}{2})}
\end{align*}

Si $N>>1$ :
%\img{0.5}{4/5}

Conséquences sur $H(\exp(j\omegab))$ :
\begin{itemize}
\item apparition d'ondulations dans la réponse en fréquence la plus importante en amplitude correspondant à l'influence du lobe principale : phénomène de Gibbs, oscillations
\item dégradtion de la pente du filtre (pente plus faible à la coupure que pour le passe bas à temps continu prototype) d'autant plus grande que $N$ est faible
\end{itemize}
\end{exemple}

\begin{exemple}[Fenêtre de Hamming]
\[ w(nT_e) = \acc{ 0.54 + 0.46\cos(\frac{2\pi n}{2N_0}) & \si |n| \leq N_0}{ 0 & \sinon } \]

$|w(\exp(j\omegab))|$ a un lobe principal plus large que celui de la fenêtre rectangulaire mais des lobes secondaires plus faibles.

Il y a moins d'oscillations de Gibbs mais la pente est encore plus dégradée (réduction de la bande passante)
\end{exemple}

%\img{0.5}{4/poly}

\newpage
Pour caractériser les fenêtres, on utilise les paramètres suivants :
\begin{itemize}
\item Niveau de lobe secondaire : $N_S = 20\log(A_1/A_0)$ où $A_0$ amplitude du lobe principal et $A_1$ amplitude du lobe secondaire
\item FWHM : full width at half maximum ; largeur à mi hauteur du lobe principal
\end{itemize}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& Rectangulaire & Triangulaire & Hamming  & Hanning  & Blackmann-Harris \\
\hline
& & & $0.54+0.46\cos(\frac{\pi n}{N_0})$ & $0.5+0.5\cos(\frac{\pi n}{N_0})$ & $0.42 + 0.5 \cos(\frac{\pi n}{N_0}) + 0.08\cos(\frac{2\pi n}{N_0})$ \\
\hline
NS & -13dB & -25dB & -43dB & -32dB & -57 dB \\
\hline
FWHM & $\frac{2}{2N_0 +1}$ & $\frac{4}{2N_0 +1}$ & $\frac{4}{2N_0 +1}$ & $\frac{4}{2N_0 +1}$ & $\frac{6}{2N_0 +1}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Il y a donc un compromis entre amplitude des oscillations (risque de déstabilisation) et bande passante (rapidité du filtre) à réaliser.

%--------------------------------
%--------------------------------
\newpage
\section{Convertisseur analogique / numérique et numérique / analogique}

% Big schéma
%\imgt{4/6}

\subsection{Convertisseur numérique analogique}

\subsubsection{Principes}

% CNA
%\img{0.5}{4/7}

\subsubsection{Caractéristiques de transfert et défauts}

% graphe
%\imgt{4/8}

Résolution du convertisseur = impact du bit $a_0$ (LSB) = quantum de conversion :
\[ q = \frac{E}{2^n -1} \avec E = V_{ref} \sum_{k=0}^{n-1} 2^k = V_{ref} (2^n -1) \]

\newpage
Défauts possibles :
\begin{itemize}
\item Erreur de décalage
%\imgt{4/9}

\item Erreur de gain
%\imgt{4/10}

\item Erreur de linéarité
%\imgt{4/11}

\newpage
\item Erreur de monotonicité
%\imgt{4/12}
\end{itemize}

Ce sont des défauts n'apparaissant pas systématiquement mais qui peuvent apparaître en transitoire ou à mesure que le convertisseur se dégrade en fonctionnement.

On a les mêmes problèmes possibles sur les CAN, induits par des problèmes de fiabilité dans l'utilisation des convertisseurs, voire de variabilité sur les technologies CMOS les plus avancées (sensibles à des défauts à l'échelle d'un atome).

\newpage
\subsubsection{Réalisation}

\paragraph{Structures directes à courants pondérés}

\begin{itemize}

\item Principe
%\img{0.5}{4/13}

Conduit à une conversion très rapide. Cependant dans la réalité on ne relie pas une source de courant à un interrupteur. Sinon boum.

\item Méthode "brute de décoffrage" de mise en pratique

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\[ x = R \sum_{k=0}^{n-1} \frac{V_{DD}}{2^{n-1-k} R} a_k \]

Simple mais plus le nombre de bits augmente, plus on a besoin de résistances de valeurs différentes et grandes.

Problèmes de variabilité et d'intégration. OK jusqu'à 4 bits peut-être, pas vers l'infini et au-delà...

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\item Réseau R-2R

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Même résultat mais avec 2 valeurs de résistances à contrôler qui peuvent être faibles.
\end{itemize}

\paragraph{Structure à conversion indirecte}.\\

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Réalisation entièrement numérique mais retard systématique entre l'entrée et la sortie de $2^n T_e$.

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\subsection{Convertisseur analogique numérique}

\subsubsection{Principes et défauts}

Exemple de quantification :
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À une certaine plage de variation de $x_E$ on associe une valeur quantifiée $\Delta_k$ parmi $n$ valeurs possibles.

Si $x_E \in ]\Delta_k - \frac{p_k}{2}, \Delta_k + \frac{p_k}{2}]$, alors $\Delta = \Delta_k$ où $p_k=\Delta_{k+1} - \Delta_k$ pas de quantification.

\begin{rmq}
Par la suite sur la 1e partie de 433, on ne considérera que des quantifications à pas constant : \[\Delta_{k+1}-\Delta_k=q\]

Dans la 2e partie de 433, on étudiera des stratégies à pas non uniformes, souvent utilisées dans les télécoms (pas faible pour les petites valeurs de signal, plus important pour les grandes valeurs).
\end{rmq}

$2v_{max}=E$ plage de conversion

Puis codage des $n$ valeurs quantifiées sur $N$ bits (avec $2^N-1\geq n$)

\begin{exemple}

$\Delta_0 \tdv 0\dots00$

$\Delta_1 \tdv 0\dots01$

$\Delta_2 \tdv 0\dots10$
\end{exemple}

On a \[q=\frac{E}{2^N-1}\]

Défauts possibles ? Les mêmes que pour les CNA : erreurs de gain, de linéarité...


\newpage
\subsubsection{Bruit de quantification}

$b_q=x_E-\Delta_k$ varie de $-q/2$ à $q/2$ dans le cas de l'exemple de quantification précédent.

Cet écart systématique est traité dans les systèmes électroniques comme un bruit de quantification pour évaluer son impact sur les grandeurs de sortie.

\paragraph{Calcul de la puissance de bruit} Généralement fait dans le cas où $x_E(t)$ évolue linéairement par rapport au temps,  de $-V_{max}$ à $V_{max}$

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\[<b_q>=0 \et <b_q^2>=\frac{1}{T_q} \int_0^{T_q} b_q^2(t) dt = \frac{q^2}{12}\]

\paragraph{Rapport signal à bruit}
\begin{align*}
RSB_q & = 10 \log \frac{<x_c^2>}{<b_q^2>} \\
RSB_q & = 10 \log( \frac{12(2^N-1)^2}{E^2}<x_c^2>) \\
RSB_q & = N 20 \log 2 + 10 \log 12 + 10 \log \frac{<x_c^2>}{E^2} \quad \text{en supposant } 2^N >>1\\
& \approx 6N + 10,77 + 10 \log \frac{<x_c^2>}{E^2}
\end{align*}

On s'arrête là c'est-à-dire qu'on peut calculer un nombre minimal de bits nécessaires pour que $RSB_q$ dépasse une valeur limite donnée, si $<x_c^2>$ est connu

Si $<x_c^2>$ n'est pas connu, on utilise souvent une expression approchée de $RSB_q$, celle obtenue quand $x_c(t) = \frac{E}{2} \cos(2\pi f t)$

$<x_c^2> = E^2/8$ et $RSB_q = 6N+1,8$

\begin{rmq}
Parfois, on rajoute à cette expression un facteur de crête $F_c$ (en dB) et la formule devient \[RSB_q=6N+1,8-F_c\]
où $F_c$ représente l'influence des dépassements possibles de $x_c$ par rapport à la plage de conversion mais aussi de la forme de $x_c$...

$F_c$ : marge d'erreur sur la validité de la formule en $6N+1,8$ qu'on peut évaluer de façon empirique
\end{rmq}

\newpage
\subsection{Réalisation des CAN}

\subsubsection{Structures directes : convertisseurs flash ou semi-flash}

Flash : générer l'ensemble des valeurs $\Delta_k$ possibles et les comparer en même temps à $x_E$ : conversion immédiate

\begin{exemple}[Flash pour n=7]
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\end{exemple}

Rapide mais nécessite $2^N-1$ comparateurs de tension : $N=12$ au grand maximum en pratique.

Moins de comparateurs avec une structure semi-flash :
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Au lieu de 255 comparateurs pour une flash 8 bits

\subsubsection{Convertisseur à approximations successives}
%\img{0.3}{5/6}

Pas aussi rapide que la flash mais peut être intégré en CMOS

Stratégie :
\begin{itemize}
\item on commence avec $a_3=1$, $a_2=a_1=a_0=0$
\item si $x_E \geq x_a$ alors on maintient $a_3 = 1$ sinon $a_3=0$.
\item on itère avec $a_2 a_1 $ et $a_0$ mis successivement à 1 (on procède par dichotomie)
\end{itemize}

\begin{rmq}
on peut remplacer la logique de contrôle par un simple compteur qui s'arrête dès que $x_E \geq x_a$. Cependant le temps de conversion varie alors de $T_h$ à $(2^N-1)T_h$. Le temps de conversion est donc non-contrôlé et peut devenir très grand devant $T_h$.
\end{rmq}

\subsubsection{Convertisseur à rampe (analogique)}

\begin{itemize}
\item Convertisseur à simple rampe :

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On compte tant que $x_E \geq r$, on obtient les bits associés à $x_E$ et on remet l'intégrateur à 0.

On a un nombre de périodes d'horloges $M=\lfloor\frac{T_c}{T_h}\rfloor$ avec $T_c = \frac{RC}{V_{ref}}$

Cette solution est simple, assez rapide, mais très sensible aux dérives sur les valeurs de R et C.

\item Convertisseur à double rampe

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À $t_1$ fixé, l'interrupteur 1 bascule de $x_E$ à $-V_{ref}$.
À $t_2$, c'est la fin de la conversion, l'intégrateur a été ramené à 0 par l'interrupteur 2.


$t_2$ est tel que \[0=r(t_2) = \frac{-x_E}{RC}t_1 + \frac{V_{ref}}{RC}(t_2-t_1)\] d'où $\frac{t_2-t_1}{t_1} = \frac{x_E}{V_{ref}}$ : indépendant de R et C, possibilité de grande précision de conversion.
\end{itemize}

\newpage
\subsubsection{Convertisseur $\Delta$ et $\Sigma\Delta$}

\begin{itemize}
\item Idée : comparer $x_E$ à la sortie d'un intégrateur de pente $q= \pm\frac{V_{ref}}{2RC}$

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Si $x_c \leq r$, on a une pente de $-\frac{V_{ref}}{2RC}$ à la période $T_H$, si $x_c > r$ on a une pente de $+\frac{V_{ref}}{2RC}$

$\rightarrow$ convertisseur différentiel : on code la dérivée de $x_c$

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Q code le sens de variation de $x_c$, 1 seul bit est nécessaire.

On doit avoir \[|\frac{dx_c}{dt}| \leq \frac{V_{ref}}{2RC}\]

\item Convertisseur $\Sigma\Delta$ :
permet de pallier cette limitation en intégrant $x_c$ avant de passer par le convertisseur $\Delta$ : \[\frac{1}{\tau}x_c \leq \frac{V_{ref}}{2RC}\] $\tau$ est la grandeur caractéristique de l'intégration.


\end{itemize}

\end{document}
