\documentclass[main.tex]{subfiles} \begin{document} \begin{enumerate} \item À l'extérieur du carré, $f_{XY}(x,y) = 0$. À l'intérieur, le couple ($X,Y$) est uniformément réparti donc : \[ f_{XY}(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{a^2} & \si x\in[0,a[, y\in[0,a[ \\ 0 & \sinon \end{array} \right. \] $f_{XY}(x,y) = g_X(x)g_Y(x)$, $f_{XY}$ est séparable donc $X$ et $Y$ sont indépendantes. \item On considère la VA $Z = X + Y$. Comme $X\in[0,a[$ et $Y\in[0,a[$, $Z\in[0,2a[$ Calculons la fonction de répartition de la VA Z. \begin{align*} F_Z(z) & = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \si z > 2a \\ ? & \si z \in [0,2a] \\ 0 & \si z < 0 \end{array} \right.\\ \intertext{Si $z\in[0,2a[$, l'expression de la fonction de répartition n'est pas immédiate :} F_Z(z) & = P[Z=latex,->] (-1,0) -- (7,0) node[right]{$x$} ; \draw [>=latex,->] (0,-1) -- (0,7) node[left]{$y$}; \draw (3,0) node[below]{$a$} -- (3,3) -- (0,3) node[left]{$a$}; \draw [dashed,blue] (-1,2) node[left]{$D_z, z\in[0,a[$} -- (2,-1); \draw (0,6) node[left]{$2a$} -- (6,0) node[below]{$2a$}; \fill [color=blue] (0,1) -- (1,0) -- (0,0); \draw [>=latex,->] (9,0) -- (17,0) node[right]{$x$} ; \draw [>=latex,->] (10,-1) -- (10,7) node[left]{$y$}; \draw (13,0) node[below]{$a$} -- (13,3) -- (10,3) node[left]{$a$}; \draw [dashed,red] (9,5) node[left]{$D_z, z\in[a,2a[$} -- (15,-1); \draw (10,6) node[left]{$2a$} -- (16,0) node[below]{$2a$}; \fill [color=red] (10,3) -- (11,3) -- (13,1) -- (13,0) -- (10,0); \end{tikzpicture} \end{center} On peut donc résumer les résultats comme suit : \begin{multicols}{2} \[F_Z(z) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \si z < 0 \\ \frac{z^2/2}{a^2} & \si z\in[0,a] \\ \frac{a^2-\frac{(2a-z)^2}{2}}{a^2} & \si z\in[a,2a] \\ 1 & \si z > 2a \end{array} \right. \] \[f_Z(z) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \si z < 0 \text{ ou } z > 2a \\ \frac{z}{a^2} & \si z\in[0,a] \\ \frac{2a-z}{a^2} & \si z\in[a,2a] \end{array} \right. \] \end{multicols} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1] \draw [>=latex,<->] (5,0) node[right]{$z$} -- (0,0) -- (0,2) node[left]{$f_Z(z)$}; \draw (0,0) node[below]{$0$} -- (2,1) -- (4,0) node[below]{$2a$}; \draw [dashed] (0,1) node[left]{$1/a$} -- (2,1) -- (2,0) node[below]{$a$}; \end{tikzpicture} \end{center} \item On commence par expliciter $F_Z(z)$ en fonction de $f_{XY}(x,y)$ : \begin{align*} F_Z(z) & = P[Z=latex,->] (-2,0) -- (5,0) node[right]{$x$} ; \draw [>=latex,->] (0,-2) -- (0,3) node[left]{$y$}; \draw [dashed] (-1,3) -- (4,-2); \draw [>=latex,->,red] (3,-2.5) -- (3,-1.5); \draw [red] (3,-1.5) -- (3,-1) ; \draw [dashed, red] (0,-1) node[left]{$y=z-x$} -- (3,-1) -- (3,0) node[above]{$x$}; \end{tikzpicture} \end{center} On en déduit $f_Z(z)$ \begin{align*} f_Z(z) & = \frac{dF_Z(z)}{dz} = \frac{d}{dz} \int_ {-\infty}^{+\infty} ( \int_{-\infty}^{z-x} f_{XY}(x,y)dy)dx \\ & = \int_ {-\infty}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial z} ( \int_{-\infty}^{z-x} f_{XY}(x,y)dy)dx \\ f_Z(z) & = \int_ {-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,z-x)dx \end{align*} \item Les VA $X$ et $Y$ indépendantes donc la ddp $f_{XY}(x,y)$ est séparable : \begin{align*} f_Z(z) & = \int_ {-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,z-x)dx \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)f_Y(z-x)dx \\ f_Z(z) & = (f_X * f_Y)(z) \end{align*} \item Par définition de la fonction caractéristique de la VA $Z$ : \begin{align*} \phi_Z(u) & = E[e^{juZ}] \\ & = \int_{\mathbb{R}} f_Z(z) e^{juz} dz \\ \intertext{Ainsi, on peut réécrire } \phi_Z(u) & = TF[f_Z(z)]_{f=-\frac{u}{2\pi}} \\ & = E[e^{ju(X+Y)}] = E[e^{juX}e^{juY}] \\ \intertext{Et par indépendance de $X$ et $Y$,} \phi_Z(u) & = \phi_X(u)\phi_Y(u) \\ f_Z(z) & = TF^{-1}[\phi_Z(u)](z) \\ & = (TF^{-1}[\phi_X(u)] * TF^{-1}[\phi_Y(u)])(z) \\ f_Z(z) & =(f_X * f_Y)(z) \end{align*} \item $X_1,...X_n$ indépendantes dans leur ensemble \begin{eqnarray*} Y_{12} = & X_1 + X_2 & \rightarrow f_{Y_{12}}(y) = (f_{X_1}*f_{X_2})(y) \\ Y_{123} = & X_1 + X_2 + X_3 = Y_{12} + X_3 & \rightarrow f_{Y_{123}}(y) = (f_{Y_{12}} * f_{X_3})(y) = (f_{X_1}*f_{X_2}*f_{X_3})(y) \end{eqnarray*} Par récurrence, on montre alors que pour $Y = X_1 + ... + X_n$, \[f_Y(y) = (f_{X_1}* ... * f_{X_n})(y) \] On montre que pour $X_n, n=1,...,N$ VA réelles et scalaires indépendantes et identiquement distribuées, centrées et d'écart-type $\sigma$, \[Z_N = \frac{\sum_{n=1}^N X_n}{\sqrt{N}} \text{ tend vers une VA gaussienne quand N tend vers } +\infty \] \item Par linéarité de l'espérance, et comme les variables $X_N$ sont centrées ($E[X_N] = 0$), \[ E[Z_N] = E[\frac{\sum_{n=1}^N X_n}{\sqrt{N}}] = \frac{\sum_{n=1}^N E[X_n]}{\sqrt{N}} = 0 \] De plus, \begin{align*} \sigma_Z^2 & = E[(Z_N - m_{Z_N})^2] = E[Z_N^2] \\ & = \frac{1}{N} E[(\sum_{n=1}^N X_n)^2] \\ & = \frac{1}{N} E[ \sum_{n=1}^N X_n^2 + \sum_{i\neq j} X_iX_j] \\ & = \frac{1}{N} (\sum_ {n=1}^N E[X_n^2] + \sum_{i\neq j} E[X_iX_j]) \\ & = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \sigma^2 \\ & = \sigma^2 \end{align*} \newpage \item Deux personnes se donnent rendez-vous entre 18h et 19h. On associe aux deux instants d'arrivées deux VA X et Y indépendantes, de ddp uniforme sur l'intervalle [18,19]. On introduit la VA $\Delta = |Y-X|$. Calculons sa fonction de répartition. \begin{align*} F_{\Delta}(\delta) & = P[\Delta \leq \delta] \\ & = P[ |Y-X| \leq \delta ] \\ & = P[ Y-X \leq \delta \et X-Y \leq \delta ] \\ & = P[ Y \leq X + \delta \et Y \geq X - \delta ] \end{align*} \begin{figure}[h!] \centering \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \draw [>=latex,->] (-1,0) -- (7,0) node[right]{$x$} ; \draw [>=latex,->] (0,-1) -- (0,7) node[left]{$y$}; \draw [dashed] (1,0) node[below]{$18$} -- (1,7); \draw [dashed] (5,0) node[below]{$19$} -- (5,7); \draw [dashed] (0,1) node[left]{$18$} -- (7,1); \draw [dashed] (0,5) node[left]{$19$} -- (7,5) ; \draw [blue] (0,1.5) -- (6,7.5) node[right]{$y=x+\delta$}; \draw [blue] (1.5,0) -- (7.5,6) node[right]{$y=x-\delta$}; \fill [color=blue!20] (1,1) -- (1,2.5) -- (3.5,5) -- (5,5) -- (5,3.5) -- (2.5,1) -- (1,1); \draw [dashed] (2.5,-1) -- (2.5,1); \draw [<->] (1,-1) -- (2.5,-1); \draw (1.75,-1) node[below]{$\delta$}; \draw [<->] (5,-1) -- (2.5,-1); \draw (3.75,-1) node[below]{$1-\delta$}; \end{tikzpicture} \end{figure} Ainsi, \[F_{\Delta}(\delta) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \si \delta < 0 \\ 1 - (1-\delta)^2 & \si 0 \leq \delta < 1\\ 1 & \si \delta \geq 1 \end{array} \right. \] Donc \[f_{\Delta}(\delta) = \left\{ \begin{array}{ll} 2 - 2 \delta & \si 0 \leq \delta < 1\\ 0 & \sinon \end{array} \right. \] \end{enumerate} \end{document}