\documentclass[../../td]{subfiles} \begin{document} \subsection*{Exercice I} On considère le système \[ \accc{\dot{x_1} & = x_1 +x_2}{\dot{x_2} & = x_2^2 + u}{y & = x_1} \donc f(x) = \vect{x_1+x_2\\x_2^2}, g(x) = \vect{0 \\ 1} \et h(x) = x_1 \] \begin{enumerate} \item On peut balancer $u=-x_2^2 + v$ comme des bâtards mais on va suivre le cours : \begin{enumerate} \item Trouver le degré relatif \begin{align*} z_1 & = y = x_1 \\ z_2 & = \dot{y} = \dot{x_1} = x_1 + x_2, \quad r>1\\ z_3 & = \dot{z_2} = \dot{x_1} + \dot{x_2} = x_1 + x_2 + x_2^2 + u, \quad r=2 \end{align*} \item \[ \acc{\dot{z_1} = z_2}{\dot{z_2} = v} \quad \text{ modèle linéaire avec } \vect{z_1 \\ z_2} = \vect{x_1 \\ x_1 + x_2} \] \begin{align*} u & = v - x_1 - x_2 - x_2^2 \\ & = v - z_2 - ( z_2 - z_1 )^2 \end{align*} \end{enumerate} \img{0.5}{1} \newpage \item \[ \acc{ \dot{z_1} & = z_2 }{ \dot{z_2} & = \ddot{y} = v = \ddot{y_r} + a_1(\dot{y_r}-\dot{y})+a_2(y_r-y)} \] Équation caractéristique de la dynamique \[ x^2 + a_1 x + a_2 = 0 \] \img{0.5}{2} \item On considère maintenant le système suivant: \[\left\{\begin{matrix} \dot{x_1} = x_2\\ \dot{x_2} = x_1x_2+u\\ y = x_1 \end{matrix} \right. \] Cherchons dans un premier temps uen commande linéarisante. \begin{align*} z_1 = y &= x_1 = h(x)\\ z_2 = \dot{y} &= \frac{\partial h}{\partial x} \dot{x}\\ &= \begin{pmatrix}1 &0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1x_2 + u\end{pmatrix}\\ &= x_2\\ \ddot{y} &= \frac{\partial \dot{y}}{\partial x} \dot{x}\\ &= \begin{pmatrix} 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_2 \\x_1x_2+u\end{pmatrix}\\ &= x_1x_2 + u = v \end{align*} Ainsi, $r=2$ et le modèle linéaire correspond à: \[ \begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} \text{ et, } u = -x_1x_2 + v\] Pour imposer une consigne on a alors: \begin{align*} \ddot{\epsilon} + a_1 \dot{\epsilon} + a_0 \epsilon = 0\\ \epsilon &= y_c - y\\ &= y_c - z_1\\ \dot{\epsilon} &= \dot{y_c} - z_2\\ \ddot{\epsilon} &= \ddot{y_c} - \dot{z_2} \intertext{Comme $\dot{z_2} = v$ alors,} & \ddot{y_c} - \dot{z_2} + a_1 (\dot{y_c} - z_2) + a_0 ( y_c - z_1) = 0\\ \Rightarrow& v = \ddot{y_c} + a_1(\dot{y_c} - z_2) + a_0 ( y_c - z_1) \end{align*} \end{enumerate} \subsection*{Exercice 2:} On considère le système suivant: \[\left\{\begin{matrix} \dot{x_1} = x_1x_3\\ \dot{x_2} = x_1+x_2u\\ \dot{x_3} = 1 + x_3 u \end{matrix} \right. \] Examinons la commandabilité de ce système. Pour cela, on rappelle qu'il faut l'écrire sous la forme : \[\dot{x} = f(x) + g(x) u\] On a donc m=2 et, \begin{align*} &f(x) = \begin{pmatrix} x_1x_2 \\ x_1 \\1\end{pmatrix} &J_f = \begin{pmatrix}x_3 & 0 & x_1 \\ 1& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\\ &g(x) = \begin{pmatrix} 0\\ x_2 \\x_3 \end{pmatrix} &J_g = \begin{pmatrix} 0 &0&0 \\ 0&1&0 \\ 0& 0&1\end{pmatrix} \intertext{On calcul ensuite :} ad_fg &= [f,g] = \begin{pmatrix}-x_1x_3 \\x_1 \\ 1\end{pmatrix}\\ \text{donc, } J_{ad_fg} &= \begin{pmatrix}-x_3 & 0 & -x_1 \\ 1 & 0& 0 \\0 & 0& 0\end{pmatrix}\\ \text{reste à calculer, } ad_f^2g &= [f, ad_fg] = J_{ad_f g} - J_f ad_fg = \begin{pmatrix} -2 x_1 \\ 2x_1 x_3\\ 0 \end{pmatrix} \end{align*} Ainsi, on a $E = \{g, ad_fg, ad_f^2g\}$. Or pour $x=0$ le dernier vecteur est nul donc la dimension de E est inférieur à 3. Cela implique que le système n'est pas commandable. \subsection*{Exercice 3:} On considère ici le système suivant: \[\left\{\begin{matrix} \dot{x_1} = x_2 + u\\ \dot{x_2} = x_1^2 + x_2\\ \dot{x_3} = x_3 + u \\ y = x_1 \end{matrix} \right. \] Déterminons la dynamique est zéros, c'est à dire que l'on va choisir $u$ de sorte à maintenir la sortie à zéro ainsi que ses dérivées successives. Ainsi, on impose $y=0$ : \begin{align*} y = 0 &\Rightarrow x_1 = 0\\ &\Rightarrow \dot{x_1} = 0\\ &\Rightarrow x_2 + u = 0\\ &\Rightarrow u = -x_2\\ \text{on a aussi avec $x_1 = 0$, } &\dot{x_2} = x_2\\ \text{et aussi, } \dot{x_3} = x_3 - x_2 \end{align*} On a donc la dynamique du système donnée par les valeurs propres de $ A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$. Les valeurs propres étant $\pm 1$, la dynamique des zéros est instable (CF début du cours de 424). \end{document}