fin du cours 455 18/03

455-Codage_Sources/Cours/chap3.tex

@@ -229,6 +229,42 @@ Avantages :
   \begin{itemize}
   \item et bien... c'est pas simple.
   \end{itemize}
+
+\section{Schéma de prédiction en boucle fermée}
+
+Dans les schémas de codage avec pertes le récepteur dispose de $\tilde{x}_{n-M} ... \tilde{x}_{n-1}$ qui sont différents de $x_{n-M} ... x_{n-1}$.
+
+Les fonctions de corrélations estimées ainsi que les prédicteurs seront différents. L'erreur entre le signal initial et le signal reconstitué aura tendance à augmenter.
+
+Pour résoudre ce problème le codeur va comprendre un décodeur ``local'' qui va permettre d'estimer $\tilde{x}_{n-M} ... \tilde{x}_{n-1}$. Ensuite $\gamma_x$ et le prédicteurs seront estimée à partir de $\tilde{x}$ et non de $x$.
+
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}[thick,scale=0.9, every node/.style={scale=0.9}]
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{Utilisation d'un décodeur local}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{Décodeur distant}
+\end{figure}
+
+On montre qu'avec ce schéma les erreurs de quantification ne s'accumule pas.
+
+\[
+  x_n-\tilde{x}_n= x_n -\hat{x}_n+\hat{x}_n+\tilde{x}_n = e_n - \tilde{e}_n
+\]
+
+Sur le $n$-ième échantillion on a seulement l'erreur de quantification associé a cet échantillon.
+
+\begin{rem}
+  La qualité du prédicteur va influencer le débit et  dans une moindre mesure la distorsion 
+\end{rem}
+
+
 \end{document}
 
 %%% Local Variables:

455-Codage_Sources/Cours/chap4.tex

@@ -0,0 +1,105 @@
+\documentclass[main.tex]{subfiles}
+\begin{document}
+\section{Principe du codage par transformée}
+
+On considère une source $\vec{\mathcal{X}}\in \R^n$ ou $\in \R^{n\times m}$ (images).
+Et une réalisation de cette source $\vec{x} \in \R^n$ ou $\vec{X}\in\R^{n\times m}$.
+
+La représentation naturelle de $\vec{x}$ est la base canonique
+de $\R^n$ .
+Si $\vec{x}$ représente par exemple une suite de $N$ échantillons d'un signal audio, les composantes de $\vec{x}$ auront plus ou moins la meme variance, mais ils ne seronts (en général) pas indépendant  entre eux. POur exploiter cette propriété, on peux:
+\begin{itemize}
+\item réaliser un codage prédictif (voir chapitre 4)
+\item réaliser un codage par transformée
+\end{itemize}
+
+Dans le second cas on essaie d'exprimer $\vec{x}$sur une ``meilleure'' base que la base canonique.
+
+\section{Transformations}
+\begin{defin}
+  Une base de $\R^n$ est ensemble de $n$ vecteurs $\{\vec{u_1} ...\vec{u_n}\}$ linéairement indépendants.
+  Si on pose
+  \[
+    \vec{U} = [ \vec{u_1} ... \vec{u_n}]
+  \]
+  Alors $\vec{U}$ est inversible.
+\end{defin}
+
+\paragraph{Transformation inverse}
+
+\begin{defin}
+  On dispose de $\vec{t}$ vecteur dont les composantes sont exprimées dans la base $\{\vec{u_1} ... \vec{u_n}\}$ dans la base canonique
+    On a :
+    \[
+      \vec{x}= \sum_{i=1}^{n}t_i\vec{u_i} = \vec{U}\vec{t}
+    \]
+\end{defin}
+\paragraph{Transformation directe}
+\begin{defin}
+  On dispose de $\vec{x}$ dont les composantes sont données dans la base canonique.
+  On veux obtenir son vecteur de composante $\vec{t}$ dans la base $\{\vec{u_1} ... \vec{u_n}\}$:
+  \[
+    \vec{t} = \vec{U}^{-1}\vec{x}
+  \]
+\end{defin}
+
+\paragraph{Base unitaires}
+\begin{defin}
+  Une base est dite \emph{unitaire} ssi
+  \[
+    \begin{cases}
+      <\vec{u}_i ,\vec{u}_j> = 0 &\quad\forall i \neq j\\
+      <\vec{u}_i ,\vec{u}_i> = 1 &\quad\forall i \in [1 ... n]
+    \end{cases}
+  \]
+\end{defin}
+\begin{prop}
+  Pour une base unitaire on a:
+  \begin{itemize}
+  \item transformée inverse: $\vec{x}=\vec{Ut}$
+  \item transformée directe: $\vec{t} = \vec{U}^T\vec{x}$
+  \item $\vec{U}^T\vec{U}= \vec{U}\vec{U}^T = \vec{I_n}$
+  \end{itemize}
+
+  une transformée dans une base unitaire préserve la norme quadratique.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+  \[
+    \|\vec{t}\|^2 = \vec{t}^T\vec{t} = \vec{x}^T \vec{U}^T\vec{U}\vec{x} = \vec{x}^T\vec{x} =\|\vec{x}\|^2
+  \]
+\end{proof}
+
+\begin{rem}
+  Une transformée est unitaire lorsqu'elle implique une base unitaire.
+\end{rem}
+
+Si on veux transformée une image $\vec{X}\in \R^{n\times n}$ il faut considéré un ensemble de matrice $\vec{U_1 ... U_{n\times n}}\}$ base de $\R^{n\times n}$.
+  Pour réaliser la transformation :
+  \begin{itemize}
+  \item On construit un vecteur $\vec{x} \in R^{n^2}$ à partir des lignes ou des
+    colonnes de $\vec{X}$.
+  \item  Construire la matrice de transformation $\vec{U}\in \R^{n^2\times n^2}$
+  \item Calculer $\vec{t} = \vec{U}^{-1}\vec{x}$
+  \item Reformer $\vec{T} \in \R^{n\times m}$ à partir de $t$.
+  \end{itemize}
+
+\begin{defin}
+Une transformée pour une image $\vec{x}\in \R^{n\times m}$ est dites \emph{séparable} s'il existe une matrice $\vec{U_s}$ telle que la matrice $\vec{T}$ transformée définie précédement puisse s'écrire
+\[
+  \vec{T} = \vec{U_s}^{-1}\vec{x}(\vec{U_s}^{-1})^T
+\]
+et si $U_s$ est unitaire:
+\[
+  \vec{T} = \vec{U_s}^T x \vec{U_s}
+\]
+\end{defin}
+
+\begin{rem}
+  Pour une transformée non séparable on a une complexité en $O(n^4)$.
+  Pour une transformée séparable on a une complexité en $O(2n^3)$
+\end{rem}
+\end{document}
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "main"
+%%% End:

455-Codage_Sources/Cours/chapA.tex

@@ -10,9 +10,13 @@
 \section{Codage arithétique}
 \section{Codage LZW}
 \inputminted{python}{../algo_code/LZW.py}
-
+\section{Quantification}
-\section{Algorithme LBG}
+\subsection{Quantification uniforme}
+\subsection{Algorithme de Llyod-max}
+\subsection{Algorithme LBG}
 en 2D , ne pas essayer de tracer les cellule de voronoi
+\section{Codeur prédictif}
+Construire un schéma de prédiction en boucle fermée à fenêtre glissante dasn lequel $M$et  $p$ sont paramétrisable. On utilisera un quantificateur à zone morte de pas $\Delta$ paramétrisable.
 
 \end{document}