From d756f326b75cd3bb5cedf99887a37b25e2f9b649 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Pierre-antoine Comby Date: Mon, 28 Jan 2019 13:06:58 +0100 Subject: [PATCH] update 424 --- 424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4b.tex | 162 +++++++++++++++++++++ 1 file changed, 162 insertions(+) create mode 100644 424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4b.tex diff --git a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4b.tex b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4b.tex new file mode 100644 index 0000000..5da8f63 --- /dev/null +++ b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4b.tex @@ -0,0 +1,162 @@ +\documentclass[main.tex]{subfiles} +\newcommand{\D}{\mathcal{D}} +\newcommand{\Kc}{\mathcal{K}} +\newcommand{\Lc}{\mathcal{L}} +\begin{document} +\section{Critère Qualitatif} + +\paragraph{But}: Tracer les trajectoires $\chi(t,x_0),\forall x_0\in \D$ dans l'espace de phase $\R^n$ où $n$ est la dimension du système. + +Cette méthode est réalisée pour les systèmes du second ordre ,plan de phase dans $\R^2$, voire dans $\R^3$. Les systèmes mécaniques sont des exemples typiques, notamment via les équation de Lagrange $\ddot{q} =l(q,\dot{q})$ avec $q$ coordonnées généralisées. même si le modèle est d'ordre $2n$ où $n = dim(q)$ on peux tracer les coordonnées deux à deux $x_1= q_i ,x_2 = \dot{q_i}$, dans le plan de phase. + +\subsection{Méthode pour tracer les trajectoires} +\begin{enumerate} +\item Méthodes informatique : + \begin{itemize} + \item On utlise une intégration numérique pour différentes conditions initiale + \item Graphe des pentes générés numériquement en étudiant $\deriv[x_1]{x_2} = \frac{f_1(x_1,x_2)}{f_2(x_1,x_2)}$ + \end{itemize} +\item Méthode papier-crayon + \begin{itemize} + \item Méthode isocline : peut être manuelle et/ou numérique. + \item Solution explicite des équations\\ + On élimine le temps de manière explicite ou non. + \end{itemize} +\end{enumerate} +Dans l'analyse de la stabilité on s'interresse au comportement dans un voisinage du point d'équilibre. + +\begin{defin} +Pour déterminer \emph{l'index topologique} on utilise la méthode suivante: + \begin{enumerate} + \item Une courbe autour du point d'équilibre choisie d'une manière arbitraire et supposée de taille infinitésimale + \item Avec une paramétrisation dans le sens trigonométrique + \item On considère une suite arbitraire de point $(x_n)$ dans le sens de la paramétrisation + \item Pour chaque point $x_n$ on évalue $f(x_n$) où $f$ vérifie $\dot{x} =f(x)$. + \item Tous les vecteurs $f(x_n)_{n=1...N}$ sont ramenés aux point d'équilibre. + \end{enumerate} + Ainsi \emph{l'index topologique} est la mesure de l'angle (modulo $2\pi$) que l'extrimité des vecteurs $(f(x_i))$ parcourt dans le sens trigonométrique. +\end{defin} +\begin{figure}[H] + \centering + \begin{tikzpicture} + \node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$}; + \draw (x) circle (1.5) (20:1.5) node[inputarrow,rotate=110]{}; + \foreach \a in {0,1,2,3,4,5,6,7} + {\draw[red,-latex] (\a*45:1.5) -- ++(\a*45:0.5); + \node at (\a*45:2.4){$f(x_\a)$}; } + \node at (5,0){$\bullet$}; + \foreach \a in {0,1,2,3,4,5,6,7} + {\draw[red,-latex] (5,0) -- ++(\a*45:0.8); + \draw (5,0)++(\a*45:1.2)node{$f_\a$}; } + \node at (5,0){$\bullet$}; + \node[draw,rectangle] at (10,0){index = +1}; + \end{tikzpicture} + \begin{tikzpicture} + \node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$}; + \draw (x) circle (1.5)(20:1.5) node[inputarrow,rotate=110]{}; + \foreach \a/\r in {0/1.2,1/1,2/1,3/1,4/1.2,5/1,6/1,7/1} + {\draw[red,-latex] (\a*45:1.5) -- ++(-\a*45:0.5); + \node at (\a*45:\r*2){$f(x_\a)$}; } + \foreach \a in {0,1,2,3,4,5,6,7} + {\draw[red,-latex] (5,0) -- ++(-\a*45:0.8); + \draw (5,0)++(-\a*45:1.2)node{$f_\a$}; } + \node at (5,0){$\bullet$}; + \node[draw,rectangle] at (10,0){index = -1}; + \end{tikzpicture} + + \begin{tikzpicture} + \node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$}; + \draw (x) circle (1.5)(20:1.5) node[inputarrow,rotate=110]{}; + \foreach \a/\t/\r in {0/0/2.5,1/45/2.5,2/0/1.8,3/90/2,4/-45/2,5/45/1.8,6/0/1.8,7/90/2} + {\draw[red,-latex] (\a*45:1.5) -- ++(\t:0.7); + \node at (\a*45:\r){$f(x_\a)$}; } + \foreach \a/\l in {0/137,1/26,2/4,7/5} + {\draw[red,-latex] (5,0) -- ++(\a*45:0.8); + \draw (5,0)++(\a*45:1.2)node{$f_{\l}$}; } + \node at (5,0){$\bullet$}; + \node[draw,rectangle] at (10,0){index = 0}; + \end{tikzpicture} + \caption{Détermination de l'index topologique} +\end{figure} + +Il reste maintenat à chercher les trajectoires autour des points d'équilibres. + +\subsection{Méthode isocline} +Pour cette méthode, il s'agit de poser : +\begin{align*} +\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{f_2(x)}{f_1(x)} = Cst \\ +\end{align*} +C'est-à-dire de rechercher les points tel que la pente en $x$ est égale à une constante donnée.\\ + +\begin{example}[Pendule inversé] + Cas sans frottement : \[ + \begin{cases} + x_1 &= \theta \\ + x_2 &= \dot{\theta} + \end{cases} +\Rightarrow +\begin{cases} + x_1 & =x_2\\ + x_2 & = -\frac{g}{l}sin(x_1) +\end{cases} +\] +\smallbreak +Les iso-clines vérifient donc : +\begin{align*} +\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{-\frac{g}{l}sin(x_1)}{x_2}\\ +&=C +\intertext{donc les points décrivant la courbe ont pour équation:} +x_2 &= -\frac{g}{lC}sin(x_1) +\end{align*} +On trace alors alors ces courbes pour différentes valeurs de constante et l'on obtient: +\begin{center} +\includegraphics[scale=0.4]{1/graph2.png} +\end{center} + +L'iso-cline donne la pente de la trajectoire, ainsi, en suivant les pentes données d'iso-cline en iso-cline, on peut remonter à la trajectoire.\\ +A noter que pour $C$ infini on est sur l'axe de $x_1$ et pour $C$ nul sur celui de $x_2$.\\ + +\begin{rem} +sans frottement on atteint un cycle limite tandis qu'avec frottement on tend bien vers l'origine. +\end{rem} +\end{example} + +\subsection{Méthode par suppression temporelle} +\subsubsection{Méthode explicite} +À partir des solutions des équations différentielles on se débarasse de la paramétrisation temporelle pour obtenir la trajectoire: +\begin{exemple} + \[ + \begin{cases} + \dot{x_1} = x_0 \cos(t) + \dot{x_0} \sin(t)\\ + \dot{x_2} = -x_0 \sin(t) + \dot{x_0} \cos(t)\\ + \end{cases} + \] +On a $\dot{x_1}^2+\dot{x_2}^2 = x_0^2+\dot{x_0}^2$ soit un cercle de rayon $\sqrt{x_0^2+\dot{x_0}^2}$ +\end{exemple} + +\subsubsection{Méthode implicite} + +Le temps est élimié à partir de l'équation différentielle puis l'orbite est obtenue par intégration +\begin{exemple} +\[ + \begin{cases} + \dot{x_1}=x_2\\ +\dot{x_2} = -x_1 +\end{cases} +\implies \frac{\d x_2}{x_2} =\d t = \frac{\d x_1}{x_1} +\] +Donc : \[ + \int_{x_20}^{x_2}x_2\d x_2 = - \int_{x_10}^{x_1}x_1\d x_1 +\] +Ainsi on a : $ x_1^2+x_2^2 = x_{10}^2+x_{20}^2$. +\end{exemple} + +\begin{rem} + Les méthodes par élimination du temps ne s'appliquent que pour les systèmes avec des dynamiques relativement simple. +\end{rem} +\end{document} + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "main" +%%% End: