fin du cours de probabilité
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@ -373,19 +373,252 @@ J =
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Au quel cas on a : $f_W(w) = f_Z(z)\frac{1}{|K|}$
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\end{rem}
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\subsection{Espérance et moments-fonction caractéristique}
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Dans la suite on considère la fonction suivante :
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\[
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g :
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\begin{cases}
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\R^2 \to \C^p\\
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Z = (X,Y) \mapsto g(Z) = \vect{g_1(X,Y)\\ \vdots \\ g_p(X,Y)}
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\end{cases}
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\]
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\begin{thm}[Théorème de transfert]
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On a :
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\[
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E[g(z)] = \iint_{\R^2} g(X,Y)f_{X,Y}(x,y)\d x\d y
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\]
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\end{thm}
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\begin{prop}
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Dans le cas de VA indépendante et pour $g$ séparable on a : $g(X,Y) = g_X(X)g_Y(Y)$ et alors :
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\[
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E[g(X,Y)]= E[g_X(X)]E[g_Y(Y)]
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\]
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\end{prop}
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\begin{defin}
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On peux également définir les moments d'un couple de VA:
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\begin{itemize}
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\item Moment d'ordre 1
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\[
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E[Z] = m_Z = \vect{m_X\\m_Y}
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\]
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\item Moment d'ordre 2 (Matrice de corrélation)
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\[
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E[ZZ^T] =E \left[\vect{X^2 & XY \\ XY & Y^2}
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\right] = \vect{E[X^2] & E[XY] \\ E[XY] & E[Y^2]} = C_{ZZ}
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\]
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\end{itemize}
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\end{defin}
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\begin{rem}
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$C_{ZZ}$ est symétrique positive: $ C_{ZZ}\in S_n^+(\R)$
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\end{rem}
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\begin{defin}
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On appelle matrice de covaraince la matrice de corrélation des variables centrées:
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\[
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\Sigma_{ZZ}= E[(X-m_x)(Y-m_Y)^T] = \vect{\sigma_x^2 & \rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y \\ \rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y & \sigma_Y^2}
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\]
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où
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$\rho_{XY} = \frac{E[(X-m_X)(Y-m_y)^T]}{\sigma_x\sigma_y} =E[X_rY_r]$ est le \emph{coefficient de corrélation}
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\end{defin}
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\begin{prop}
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\begin{itemize}
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\item $\Sigma_{ZZ}\in S_n^+$
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\item $ \rho_{XY} < 1$
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\item $\rho_{XY}=1$ ssi $\exists a,b,c \neq 0, aX+bY+c =0$. Les variables sont alignées.
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\item Si $\rho_{XY}=0$ on dit que les variables sont décoréllées
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\end{itemize}
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\end{prop}
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\begin{thm}
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L'indépendance de 2 variables aléatoires implique leur non corrélation.
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La réciproque n'est vraie que dans le cas gaussien.
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\end{thm}
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\subsection{Espérance de loi conditionnelle}
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\begin{defin}
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On note
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\[
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E[X|Y=y] = \int_{\R}^{}xf_{X|Y=y}(x)\d x = m_X(y)
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\]
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||||
\emph{l'espérance conditionnelle} de la VA $X$ sachant $Y=y$
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\end{defin}
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\begin{prop}
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On a :
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\[
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E[m_x(y)] = E[X]
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\]
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Directement :
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\begin{align*}
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E[m_X(y)]&= \int_{\R}^{}m_X(y)f(y)\d y\\
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&=\int_\R\int_\R x f_{XY}(x,y)\d x\d y\\
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||||
&=\int_{\R^2}^{}x f_{XY}(x,y)\d x\d y\\
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||||
&= E[X]
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||||
\end{align*}
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||||
\end{proof}
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\section{Variable aléatoire vectorielle et réelles}
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\subsection{Définition}
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\begin{defin}
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On généralise la notion de variable aléatoire et de couple de variable aléatoire :
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\[
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X :
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\begin{cases}
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\Omega \to \R^n\\
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||||
\omega \mapsto X(\omega) =\vect{X_1\\ \vdots\\ X_n}
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||||
\end{cases}
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\]
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||||
\end{defin}
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||||
\subsection{Fonction de répartition}
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\begin{defin}
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\begin{itemize}
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||||
\item Fonction de répartition conjointe:(toutes les composantes jouent le même rôle)
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\[
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F_{X_1...X_n}(x_1...x_n) = P \left(\bigcap_{i=1}^nX_i<x_i\right)
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\]
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||||
\item Fonction de répartition marginale de $X_i$:
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\[
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F_{X_i}=P(X_i<x_i)= P\left(X_i<x_i ; \bigcap_{j\neq i}X_j< +\infty \right)
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\]
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||||
\end{itemize}
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||||
Les propriétés démontrées dans le cas 2 se généralise au cas vectoriel.
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\end{defin}
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||||
\subsection{Densité de Probabilité}
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\begin{defin}
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||||
On défini la densité de probabilité conjointe:
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\[
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||||
f_X(x) = \derivp[^n]{\vec{x}} F_\vec{X}(\vec{x})
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\]
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Et alors :
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\[
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||||
P(X\in\mathcal{D}) = \int_{\mathcal{D}}f_X(x)\d x = \iint_{\mathcal{D}} ... \int f_{\vec{X}}(\vec{x}) \d \vec{x}
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||||
\]
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||||
\end{defin}
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||||
\begin{defin}
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||||
On généralise de même les notions de ddp margianle et conditionnelle:
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item ddp marginale:
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\[
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||||
f_{X_i}(x_i)= \frac{\d^n F_{x_i}(x_i)}{\d x_i} = \int_{\R^{n-1}}f_{\vec{X}}(\vec{x})\d x_1 ... \d x_{i-1}\d x_{i+1} ...\d x_n
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||||
\]
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||||
\item ddp conditionnelles:
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On considère $Y$ et $Z$ de VA vectorielles:
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\[
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f_{\vec{Y}|\vec{Z}=\vec{z}}(\vec{y}) = \frac{f_{\vec{YZ}}(\vec{y},\vec{z})}{f_{\vec{Z}(z)}}
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||||
\]
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{defin}
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||||
\subsection{Indépendance}
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\begin{thm}
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On donne une CNS d'indépencande dans leur ensemble des VA $X_i$:
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\[
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F_{\vec{X}}(\vec{x})= \prod_{i=1}^{n}F_{X_i}(x_i) \iff f_{\vec{X}}(\vec{x}) = \prod_{i=1}^{n}f_{X_i}(x_i)
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||||
\]
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||||
L'indépendance dans leur ensemble implique l'indépendance 2à2.
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\end{thm}
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\subsection{Changement de variable aléatoire}
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\begin{prop}
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Pour $g
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\begin{cases}
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\R^n \to \R^n\\
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||||
\vec{X} \mapsto g(\vec{X})=\vec{Y}
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||||
\end{cases}$ On peux définir le changement de variable:
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\[
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||||
f_{\vec{Y}(\vec{y}} =f_{\vec{X}}{\vec{x}}|\vec{J}| = f_{\vec{X}}(\vec{x}) \frac{1}{|\vec{K}|}
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||||
\]
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||||
où :
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||||
$\vec{J} = \derivp[\vec{x}]{\vec{y}^T}=x_{i,j}$ et $K = \derivp[\vec{y}]{\vec{x}^T} =y_{j,i}$
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||||
\end{prop}
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\subsection{Espérance, moments et fonction caractéristique}
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\begin{thm}[Théorème de transfert]
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\[
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||||
E[g(\vec{X})] = \int_{\R^n}^{}g(\vec{X})f_{\vec{X}}(\vec{x})\d\vec{x}
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||||
\]
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||||
\end{thm}
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||||
\begin{defin}
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\begin{itemize}
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||||
\item Moment d'ordre 1:
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\[
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||||
\vec{m_x}= E[\vec{X}]
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||||
\]
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||||
\item Moment d'ordre 2: (matrice de corrélation)
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||||
\[
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||||
\vec{C_{XX}}=E[\vec{X}\vec{X}^T]\ge 0
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||||
\]
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||||
\item Moment centrée d'ordre 2: (matrice de covariance)
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\[
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||||
\vec{\Sigma_{XX}} = E[(\vec{X-m_x})(\vec{Y-m_y})^T]
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||||
\]
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||||
\item Fonction caractèristique:
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\[
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||||
\phi_{\vec{X}}(\vec{u})= E[e^{j\vec{u}^T\vec{X}}]
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||||
\]
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{defin}
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||||
\subsection{Va Gaussienne et réelle}
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\begin{defin}
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On dit que $X = \vec{X_1\\ \vdots\\ X_n}$ est une VA gaussienne:
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\begin{description}
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||||
\item[$\iff$] $X_i$ sont gaussiens et indépendants dans leur ensembles
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||||
\item[$\iff$] $\sum_{i=1}^{n} \alpha_iX_i$ est une gaussienne.
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||||
\end{description}
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||||
\end{defin}
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||||
\renewcommand{\N}{\quad\mathcal{N}}
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\begin{prop}
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\begin{itemize}
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||||
\item $\vec{X} \N \implies X_i \N$. La réciproque n'est pas vraie (cf ex 9/10 p 14 du fascicule)
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\item $\vec{X} \N \implies $ loi conditionnelle gaussienne.
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||||
\item $X_i \N$ et indépendantes dans leur ensemble $\implies \vec{X} \N$.
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\item $\vec{X} \N$ et $X_i$ indépendants 2à2 $\implies$ indépendant dans leur ensemble.
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||||
\item $\vec{X} \N \implies \vec{ Y =AX+B } \N$
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\end{itemize}
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\end{prop}
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\section{Extension aux VA complexes}
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\begin{defin}
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||||
On généralise \emph{encore}:
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\[
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||||
\vec{Z}
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||||
\begin{cases}
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||||
\Omega \to \C^p\\
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||||
\omega \mapsto \vec{Z}(\omega) = \vec{X}+j\vec{Y}
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\end{cases}
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||||
\]
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\end{defin}
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||||
\paragraph{Notation} : $\vec{Z}^\dagger = (\vec{Z}^{*})^T$ transposé conjugué.
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\begin{prop}
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\begin{itemize}
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||||
\item Fonction de répartition:
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\[
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||||
f_{\vec{Z}}(\vec{z})= P(\vec{X}<\vec{x} ; \vec{Y}< \vec{y})
|
||||
\]
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||||
\item Matrice de corrélation:
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||||
\[
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||||
\vec{C_{zz}} = E[\vec{Z}\vec{Z}^\dagger]
|
||||
\]
|
||||
\item Matrice de covariance:
|
||||
\[
|
||||
\vec{\Sigma_{ZZ}} = E[(\vec{Z-m_z})(\vec{Z-m_z})^\dagger]
|
||||
\]
|
||||
\item Fonction caractéristique:
|
||||
\[
|
||||
\phi_{\vec{Z}}(\vec{u}) = E[e^{j\vec{u}^\dagger \vec{Z}}]
|
||||
\]
|
||||
\item La linéarité de l'espérance donne également:
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||||
\[
|
||||
E[g(\vec{Z})^*]= E[g(\vec{Z})]^*
|
||||
\]
|
||||
\end{itemize}
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||||
\end{prop}
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\end{document}
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@ -8,7 +8,7 @@
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\teacher{Cécile Durieu}
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\module{451}
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\usepackage{multicol}
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\renewcommand{\vec}{\mathbf}
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\begin{document}
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\maketitle
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