suppression des macros custom
This commit is contained in:
Pierre-antoine Comby
parent
90db77d5c4
commit
c9283f845e
9 changed files with 134 additions and 70 deletions
|
|
@ -70,10 +70,6 @@ Il n'existe pas de point d'équilibre en linéaire ce qui contredit le résultat
|
|||
|
||||
On considère le système constitué d'un moteur a courant continu asservie en position avec une correction tachymétrique, donné par la figure ci-dessous. R(.) représente la caractéristique d'un relais symétrique avec seuil $\Delta$ et hystérésis $h$.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
%\includegraphics[scale=0.5]{figure1.png}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On pose $e(t) = 0$, la transformée inverse donne donc, d'une part:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
|
|
@ -101,10 +97,6 @@ Attention! La fonction R(.) fait sortir un $U_0$ a ne pas oublier.\\
|
|||
On a simplement $\beta = \frac{L}{\tau}$.\\
|
||||
Et d'une façon presque obscure $a = \frac{\Delta + h}{2KU_0\tau}$ et $\alpha a = \frac{\Delta - h}{2KU_0\tau}$.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
%\includegraphics[scale=0.5]{figure2.png}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\item On pose $\frac{d\overline{\theta}}{d\overline{t}} + \frac{d^2\overline{\theta}}{d\overline{t}^2} = \lambda$ avec $\lambda = 1$ , 0 ou -1 en fonction de $\epsilon$ ou de $\frac{d\epsilon}{dt}$.\\
|
||||
|
||||
On a comme condition initiale : $\overline{\theta}(t=0) = \overline{\theta_0}$ et $\overline{\omega}(t=0) = \overline{\omega_0}$. Ce qui conduit à:
|
||||
|
|
@ -155,24 +147,38 @@ $x_1(t) = - x_2(t)$ et $\frac{dx_2}{dx_1} = \frac{\lambda - x_2}{x_2} =_{x_2=0}
|
|||
\lambda = -1 \text{ et, } x_2 >-1 &\Rightarrow \text{concavité tournée vers $x_1 < 0$}\\
|
||||
\lambda = 1 \text{ et, } x_2 < 1 &\Rightarrow \text{concavité tournée vers $x_1 > 0$}\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\img{0.25}{1.png}
|
||||
\begin{figure}[ht]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{1}
|
||||
\caption{ }
|
||||
\label{fig:label}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\newpage
|
||||
On a en sortie du comparateur: $\epsilon = x_1 + \beta x_2$
|
||||
Sachant que l'on a la caractéristique: (attention, on a permuté avec $-R(\epsilon)$
|
||||
|
||||
\img{0.4}{2.png}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[ht]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{2}
|
||||
\caption{ }
|
||||
\label{fig:label}
|
||||
\end{figure}
|
||||
On en déduit que:
|
||||
|
||||
\img{0.4}{3.png}
|
||||
\begin{figure}[ht]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{3}
|
||||
\caption{ }
|
||||
\label{fig:label}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
Ainsi, selon la où l'on est, on va avoir différent $\lambda$, et on va pouvoir recouper ce graph avec celui de l'espace de phase précédent pour avoir le comportement du système dans l'espace de phase.
|
||||
On parcourt donc l'espace de phase en partant du point P, puis on se déplace vers le point Q par la droite de pente -1, puis de Q a R et S pour revenir vers T sur la portion de courbe ou se situe P.
|
||||
|
||||
\img{0.4}{4.png}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[ht]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{4}
|
||||
\caption{ }
|
||||
\label{fig:label}
|
||||
\end{figure}
|
||||
Si $x_{2T} < x_{2P}$, alors on a stabilité et on converge vers le point d'équilibre 0.\\
|
||||
Si $x_{2T} > x_{2P}$, alors on a un comportement instable et le système diverge.\\
|
||||
Si $x_{2T} = x_{2P}$, alors on est sur le cycle limite.\\
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -7,9 +7,9 @@
|
|||
\[ y =
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{array}{cc}
|
||||
0 & \si |X| \leq \frac{\Delta}{2} \\
|
||||
x-\frac{\Delta}{2} & \si X > \frac{\Delta}{2} \\
|
||||
x+\frac{\Delta}{2} & \si X < -\frac{\Delta}{2}
|
||||
0 & \text{ si } |X| \leq \frac{\Delta}{2} \\
|
||||
x-\frac{\Delta}{2} & \text{ si } X > \frac{\Delta}{2} \\
|
||||
x+\frac{\Delta}{2} & \text{ si } X < -\frac{\Delta}{2}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\]
|
||||
|
|
@ -32,7 +32,7 @@ On a alors $N(X) = \frac{P}{X}$.
|
|||
\item Pour le relais avec hystérésis
|
||||
|
||||
%\img{0.5}{3}
|
||||
On pose $X\sin(\omega t_1) = \frac{h}{2} \donc t_1 = \frac{1}{\omega} arcsin(\frac{h}{2X})$
|
||||
On pose $X\sin(\omega t_1) = \frac{h}{2} \text{ donc } t_1 = \frac{1}{\omega} arcsin(\frac{h}{2X})$
|
||||
|
||||
\begin{figure}[h!]
|
||||
\centering
|
||||
|
|
@ -101,10 +101,8 @@ donc
|
|||
\begin{itemize}
|
||||
\item La NL est statique
|
||||
\item Un filtre passe-bas d'ordre relatif $>1$ est en aval de la NL
|
||||
|
||||
\begin{rmq}
|
||||
Si le filtre est $\frac{p+1}{p^2 / \omega^2 + 2m/\omega p +1}$, on ne peut pas appliquer la méthode du 1er harmonique.
|
||||
\end{rmq}
|
||||
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\item On a $Q=0$ car la NL est impaire.
|
||||
|
|
@ -132,16 +130,16 @@ Im=0 & \Rightarrow X_0 = \frac{4Mk_2T_1(k_1T_2-kT_1)}{\pi(T_1+T_2)}
|
|||
On peut alors réécrire \[\omega_0^2 = \frac{k_1+k}{T_1(k_1T_2-kT_1)} \]
|
||||
|
||||
\paragraph{Stabilité du cycle limite}
|
||||
\[ \drond{R}{X}|_0 \drond{I}{\omega}|_0 - \drond{I}{X}|_0 \drond{R}{\omega}|_0 > 0 \]
|
||||
\[ \derivp[R]{X}|_0 \derivp[I]{\omega}|_0 - \derivp[I]{X}|_0 \derivp[R]{\omega}|_0 > 0 \]
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\drond{R}{X}|_0 & = (k+k_1)k_2 \dd{N}{X}|_0 < 0 \\
|
||||
\drond{R}{\omega}|_0 & = -2(T_1+T_2)\omega_0 < 0 \\
|
||||
\drond{I}{X}|_0 & = kk_2T_1 \dd{N}{X}|_0 \omega_0< 0 \\
|
||||
\drond{I}{\omega}|_0 & = 1 + kk_2T_1N(X_0)-3T_1T_2\omega_0 = -2T_1T_2\omega_0^2 < 0
|
||||
\derivp[R]{X}|_0 & = (k+k_1)k_2 \dd{N}{X}|_0 < 0 \\
|
||||
\derivp[R]{\omega}|_0 & = -2(T_1+T_2)\omega_0 < 0 \\
|
||||
\derivp[I]{X}|_0 & = kk_2T_1 \dd{N}{X}|_0 \omega_0< 0 \\
|
||||
\derivp[I]{\omega}|_0 & = 1 + kk_2T_1N(X_0)-3T_1T_2\omega_0 = -2T_1T_2\omega_0^2 < 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
Le cycle limite est stable si $\drond{R}{X}|_0 \drond{I}{\omega}|_0 - \drond{I}{X}|_0 \drond{R}{\omega}|_0 > 0$
|
||||
Le cycle limite est stable si $\derivp[R]{X}|_0 \derivp[I]{\omega}|_0 - \derivp[I]{X}|_0 \derivp[R]{\omega}|_0 > 0$
|
||||
\[-2(k+k_1)k_2\dd{N}{X}T_1T_2\omega_0^2 + 2(T_1+T_2)\omega_0^2kk_2T_1\dd{N}{X}> 0\]
|
||||
|
||||
soit
|
||||
|
|
@ -175,11 +173,11 @@ Il n'y a pas d'intersection entre les deux : d'après la méthode du 1er harmoni
|
|||
|
||||
L'entrée du filtre du 1er ordre $u=M$
|
||||
|
||||
\[y(t) = KM(1-e^{-t/\tau}) \Rightarrow \exists t_1 \tq y(t_1) > h/2 \car KM>h/2 \]
|
||||
\[y(t) = KM(1-e^{-t/\tau}) \Rightarrow \exists t_1 \text{ tq } y(t_1) > h/2 \text{ car } KM>h/2 \]
|
||||
\[x(t) = -y(t) < -h/2 \Rightarrow u = -M\]
|
||||
|
||||
et avec le même raisonnement,
|
||||
\[ \exists t_2 \tq y(t_2) < -h/2 \]
|
||||
\[ \exists t_2 \text{ tq } y(t_2) < -h/2 \]
|
||||
\[ x(t) > h/2 \]
|
||||
|
||||
donc pour $KM>h/2$, il existe un cycle limite.
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -18,31 +18,28 @@ Donc on a la trajectoire :
|
|||
\[ x(t) = x_0 \exp(-6t\cos t + 6t_0\cos t_0 + 6\sin t - 6\sin t_0 - t^2 + t_0^2) \]
|
||||
|
||||
\item Stabilité au sens de Lyapunov :
|
||||
\[ \forall \epsilon > 0, \exists \delta >0 \tq ||x_0|| \leq \delta \Rightarrow ||x|| \leq \epsilon \]
|
||||
\[ \forall \epsilon > 0, \exists \delta >0 \text{ tq } ||x_0|| \leq \delta \Rightarrow ||x|| \leq \epsilon \]
|
||||
|
||||
Soit $\epsilon>0 \tq |x(t)| \leq \epsilon$. Exprimons $\delta$ en fonction de $\epsilon$ tel que $|x_0| \leq \delta$.
|
||||
Soit $\epsilon>0 \text{ tq } |x(t)| \leq \epsilon$. Exprimons $\delta$ en fonction de $\epsilon$ tel que $|x_0| \leq \delta$.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
|x(t)| & \leq |x_0| \exp (6t_0 \cos t_0 - 6\sin t_0 + t_0^2 + 6 + 6 t - t^2) \\
|
||||
\text{Or, } & 0 < (3-t)^2 = 9-6t+t^2 \Rightarrow 6t-t^2 < 9 \\
|
||||
\donc |x(t)| & \leq |x_0| C \quad \avec C = \exp(6t_0 \cos t_0 - 6\sin t_0 + t_0^2 + 12) > 0 \\
|
||||
\text{ donc } |x(t)| & \leq |x_0| C \quad \avec C = \exp(6t_0 \cos t_0 - 6\sin t_0 + t_0^2 + 12) > 0 \\
|
||||
\Rightarrow \delta & = \frac{\epsilon}{C}
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\begin{rmq}
|
||||
Le fait que le $\delta$ dépende de $t_0$ n'empêche pas que l'origine soit stable au sens de Lyapunov. Cela montre que la stabilité n'est pas uniforme.
|
||||
\end{rmq}
|
||||
|
||||
\item Stabilité au sens de Lagrange :
|
||||
\[ \forall \delta > 0, \exists \epsilon >0 \tq |x_0| \leq \delta \Rightarrow |x| \leq \epsilon \]
|
||||
\[ \forall \delta > 0, \exists \epsilon >0 \text{ tq } |x_0| \leq \delta \Rightarrow |x| \leq \epsilon \]
|
||||
|
||||
$t_0=2\pi n$ et $t=t_0 + \pi$
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
x(t) & = x_0 \exp(6.2\pi n + A\pi^2 n^2 - 6(2\pi n + \pi) - (2\pi n + \pi)^2) \\
|
||||
& = x_0\exp((4n+1)\pi(6-\pi)) \tdv \infty \si n \tdv \infty
|
||||
& = x_0\exp((4n+1)\pi(6-\pi)) \to \infty \text{ si } n \to \infty
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
$|x_0| \leq \delta$ alors que $\nexists \epsilon > 0 \tq |x| \leq \epsilon$ : l'origine n'est pas stable au sens de Lagrange.
|
||||
$|x_0| \leq \delta$ alors que $\nexists \epsilon > 0 \text{ tq } |x| \leq \epsilon$ : l'origine n'est pas stable au sens de Lagrange.
|
||||
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
|
@ -61,16 +58,16 @@ Donc on a la trajectoire :
|
|||
\[ x(t) = x_0 \frac{1+t_0}{1+t} \]
|
||||
|
||||
\item Stabilité au sens de Lagrange :
|
||||
\[ \forall \delta > 0, \exists \epsilon >0 \tq |x_0| \leq \delta \Rightarrow |x| \leq \epsilon \]
|
||||
\[ \forall \delta > 0, \exists \epsilon >0 \text{ tq } |x_0| \leq \delta \Rightarrow |x| \leq \epsilon \]
|
||||
|
||||
Soit $\delta > 0 \tq |x_0| \leq \delta$, il faut exprimer $\epsilon$ en fonction de $\delta \tq |x(t)| \leq \epsilon$.
|
||||
Soit $\delta > 0 \text{ tq } |x_0| \leq \delta$, il faut exprimer $\epsilon$ en fonction de $\delta \text{ tq } |x(t)| \leq \epsilon$.
|
||||
|
||||
\[ |x(t)| = |x_0|\frac{1+t_0}{1+t} \avec t,t_0>0 \et t\geq t_0 \donc \frac{1+t_0}{1+t} \leq 1\]
|
||||
\[ |x(t)| = |x_0|\frac{1+t_0}{1+t} \avec t,t_0>0 \et t\geq t_0 \text{ donc } \frac{1+t_0}{1+t} \leq 1\]
|
||||
|
||||
On prend $\epsilon=\delta$ et l'origine est stable au sens de Lagrange.
|
||||
|
||||
\item Stabilité au sens de Lyapunov :
|
||||
\[ \forall \epsilon > 0, \exists \delta >0 \tq |x_0| \leq \delta \Rightarrow |x| \leq \epsilon \]
|
||||
\[ \forall \epsilon > 0, \exists \delta >0 \text{ tq } |x_0| \leq \delta \Rightarrow |x| \leq \epsilon \]
|
||||
|
||||
Soit $\epsilon>0$. On pose $\delta=\epsilon$
|
||||
\[ |x_0| \leq \delta=\epsilon \Rightarrow |x| = |x_0|\frac{1+t_0}{1+t} \leq \epsilon \frac{1+t_0}{1+t} \leq \epsilon \] chibrage de l'exo
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -8,12 +8,12 @@ LE bout de l'autre génie.
|
|||
|
||||
|
||||
\[x(t) = x_0 \frac{1+t_0}{1+t}\]
|
||||
\[\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \tq ||x_0|| \leq \delta \Rightarrow ||x(t) || \leq \epsilon\]
|
||||
\[\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \text{ tq } ||x_0|| \leq \delta \Rightarrow ||x(t) || \leq \epsilon\]
|
||||
contraposée
|
||||
\[\exists \epsilon \tq \forall \delta >0, ||x_0|| \leq \delta \et ||x(t) || \geq \epsilon\]
|
||||
\[\exists \epsilon \text{ tq } \forall \delta >0, ||x_0|| \leq \delta \et ||x(t) || \geq \epsilon\]
|
||||
\begin{align*}
|
||||
|x(t)| = |x_0| \frac{1+t_0}{1+t} &> \frac{|x_0|t_0}{1+t}\\
|
||||
& > |x_0| = \epsilon \si t_0 \rightarrow \infty
|
||||
& > |x_0| = \epsilon \text{ si } t_0 \rightarrow \infty
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
|
@ -85,8 +85,8 @@ Il n'existe pas de Q(x) tel que $\dot{V(x) \leq -Q(x)}$\\
|
|||
Barhashin :
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\dot{V(x)} = 0 \Rightarrow x_2 =0 \Rightarrow \dot{x_1} = 0\\
|
||||
\pour |x_1- < \pi \Rightarrow x_2 = 0\\
|
||||
\donc \dot{x_2} = 0 \Rightarrow sin(x_1) = 0
|
||||
\text{ pour } |x_1- < \pi \Rightarrow x_2 = 0\\
|
||||
\text{ donc } \dot{x_2} = 0 \Rightarrow sin(x_1) = 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
Si $x_1 = 0$, $\pi$ , $-\pi$ il n'y a pas de stabilité asymptotique.\\
|
||||
|
||||
|
|
@ -137,7 +137,12 @@ Avec $\alpha = \frac{1}{4}$ et $\beta = 1$ la condition 2 est respectée donc on
|
|||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\item On considère le système suivant:
|
||||
\[ \acc{\dot{x_1} = x_2 + x_3^4}{\dot{x_2} = -5sin(x_1) - x_2 + u_1}{\dot{x_3} = -kx_3 + u_2} \]
|
||||
\[ \begin{cases}
|
||||
\dot{x_1} = x_2 + x_3^4 \\
|
||||
\dot{x_2} = -5sin(x_1) - x_2 + u_1 \\
|
||||
\dot{x_3} = -kx_3 + u_2 \\
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Pour $u_1 = u_2 = 0$, l'origine est stable car $\dot{x} = 0 $.\\
|
||||
|
||||
|
|
@ -168,3 +173,9 @@ La stabilité suivant le critère de Routh donne que c'est stable si $k>0$
|
|||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "../main"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -2,7 +2,13 @@
|
|||
\begin{document}
|
||||
\subsection*{Exercice 1: Forme quadratique de la fonction de Lyapunov}
|
||||
Soit le système donné par:
|
||||
\[\acc{\dot{x_1} = f_1(x_1,x_2,...,x_n)}{\dot{x_2} = f_2(x_1,x_2,...,x_n)}{\dot{x_n} = f_n(x_1,x_2,...,x_n)}\]
|
||||
\[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\dot{x_1} = f_1(x_1,x_2,...,x_n) \\
|
||||
\dot{x_2} = f_2(x_1,x_2,...,x_n)\\
|
||||
\dot{x_n} = f_n(x_1,x_2,...,x_n)
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
L'approximation linéaire pour le point d'équilibre $x_0$ est :
|
||||
|
|
@ -59,7 +65,7 @@ Comme $V = \sum_{k=1}^2 z_k z_k^*$ alors,
|
|||
\Rightarrow& \alpha x_1^2 + \beta x_2^2 > 1
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\img{0.5}{1.png}
|
||||
%\img{0.5}{1.png}
|
||||
Au voisinage de l'origine, ($\alpha x_1^2 + \beta x_2^2 >1$), c'est instable, mais en dehors de la trajectoire converge. On a un cycle limite pour $\alpha x_1^2 + \beta x_2^2 =1$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
|
|
@ -76,21 +82,27 @@ Au voisinage de l'origine, ($\alpha x_1^2 + \beta x_2^2 >1$), c'est instable, ma
|
|||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\subsection*{Exercice III : Commandabilité et observabilité}
|
||||
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
|
||||
\newcommand{\Vc}{\mathcal{V}}
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On considère le système :
|
||||
$ \acc{ \dot{x_1} & = -x_2 -x_2^2}{ \dot{x_2} & = u}$
|
||||
$ \begin{cases}
|
||||
\dot{x_1} & = -x_2 -x_2^2\\
|
||||
\dot{x_2} & = u
|
||||
\end{cases}
|
||||
$
|
||||
|
||||
On a donc $f(x) = \vect{ -x_2-x_2^2 \\ 0} \et g(x) = \vect{0 \\ 1}$.
|
||||
|
||||
$E=\{f(x),g(x)\}$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
[f,g] & = J_gf - J_fg \\
|
||||
& = \matd{0 & 0}{0 & 0}f(x)-\matd{0 & -1 -2x_2}{0 & 0} \vect{0 \\ 1} = \vect{1 + 2x_2 \\ 0}\\
|
||||
& = \vect{0 & 0 \\ 0 & 0}f(x)-\vect{0 & -1 -2x_2\\0 & 0} \vect{0 \\ 1} = \vect{1 + 2x_2 \\ 0}\\
|
||||
[f,[f,g]] & = J_{[f,g]}f - J_f[f,g] \\
|
||||
& = \matd{0 & 2}{0 & 0} \vect{-x_2 -x_2^2 \\ 0} - \matd{0 & -1-2x_2}{0 & 0} \vect{ 1 + 2x_2 \\ 0} = \vect{0 \\ 0} \\
|
||||
& = \vect{0 & 2\\0 & 0} \vect{-x_2 -x_2^2 \\ 0} - \vect{0 & -1-2x_2\\0 & 0} \vect{ 1 + 2x_2 \\ 0} = \vect{0 \\ 0} \\
|
||||
[g,[f,g]] & = J_g[f,g] - J_{[f,g]}g \\
|
||||
& = 0 - \matd{0 & 2}{0 & 0} \vect{0 \\ 1} = -\vect{2 \\ 0}
|
||||
& = 0 - \vect{0 & 2\\0 & 0} \vect{0 \\ 1} = -\vect{2 \\ 0}
|
||||
\end{align*}
|
||||
On a donc : \[
|
||||
\D = \{\vect{0 \\ 1}, \vect{2 \\ 0}, \vect{1+2x_2 \\ 0}\}\]
|
||||
|
|
@ -123,3 +135,8 @@ Le système est donc observable.
|
|||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "../main"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -4,7 +4,13 @@
|
|||
\subsection*{Exercice I}
|
||||
|
||||
On considère le système
|
||||
\[ \accc{\dot{x_1} & = x_1 +x_2}{\dot{x_2} & = x_2^2 + u}{y & = x_1} \donc f(x) = \vect{x_1+x_2\\x_2^2}, g(x) = \vect{0 \\ 1} \et h(x) = x_1 \]
|
||||
\[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\dot{x_1} & = x_1 +x_2\\
|
||||
\dot{x_2} & = x_2^2 + u\\
|
||||
y & = x_1
|
||||
\end{cases}
|
||||
\text{ donc } f(x) = \vect{x_1+x_2\\x_2^2}, g(x) = \vect{0 \\ 1} \et h(x) = x_1 \]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On peut balancer $u=-x_2^2 + v$ comme des bâtards mais on va suivre le cours :
|
||||
|
|
@ -18,23 +24,38 @@ z_3 & = \dot{z_2} = \dot{x_1} + \dot{x_2} = x_1 + x_2 + x_2^2 + u, \quad r=2
|
|||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\item
|
||||
\[ \acc{\dot{z_1} = z_2}{\dot{z_2} = v} \quad \text{ modèle linéaire avec } \vect{z_1 \\ z_2} = \vect{x_1 \\ x_1 + x_2} \]
|
||||
\[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\dot{z_1} = z_2\\
|
||||
\dot{z_2} = v
|
||||
\end{cases}
|
||||
\quad \text{ modèle linéaire avec } \vect{z_1 \\ z_2} = \vect{x_1 \\ x_1 + x_2} \]
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
u & = v - x_1 - x_2 - x_2^2 \\
|
||||
& = v - z_2 - ( z_2 - z_1 )^2
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\begin{figure}[ht]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{1}
|
||||
\caption{ }
|
||||
\label{fig:label}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\img{0.5}{1}
|
||||
%\img{0.5}{1}
|
||||
|
||||
\newpage
|
||||
\item \[ \acc{ \dot{z_1} & = z_2 }{ \dot{z_2} & = \ddot{y} = v = \ddot{y_r} + a_1(\dot{y_r}-\dot{y})+a_2(y_r-y)} \]
|
||||
\item \[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\dot{z_1} & = z_2 \\ \dot{z_2} & = \ddot{y} = v = \ddot{y_r} + a_1(\dot{y_r}-\dot{y})+a_2(y_r-y)
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Équation caractéristique de la dynamique
|
||||
\[ x^2 + a_1 x + a_2 = 0 \]
|
||||
|
||||
\img{0.5}{2}
|
||||
%\img{0.5}{2}
|
||||
|
||||
\item On considère maintenant le système suivant:
|
||||
\[\left\{\begin{matrix}
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -52,7 +52,7 @@ u_1 \\ \omega
|
|||
Ainsi, D(x) (la matrice devant le vecteur de commande, hein!) est inversible si $2x_3-x_2 \neq 0 $.\\
|
||||
Si cette condition est réalisable alors le modèle est linéarisable.
|
||||
|
||||
\imgt{1}
|
||||
%\imgt{1}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -3,7 +3,12 @@
|
|||
\subsection*{Exercice I: Platitude}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On considère le système suivant:
|
||||
\[\acc{\dot{x_1} &= x_2 - x_1 cos x_1}{\dot{x_2} &= (x_2^2 + u)(5 + sinx_1)} \]
|
||||
\[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\dot{x_1} &= x_2 - x_1 cos x_1\\
|
||||
\dot{x_2} &= (x_2^2 + u)(5 + sinx_1)
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Montrons que $x_1$ est une sortie plate, pour cela, il faut exprimer u en fonction de $x_1$ et ses dérivées uniquement:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
|
|
@ -32,7 +37,12 @@ On a bien les commandes en fonctions de $x_1$,$x_3$ et leurs dérivées uniqueme
|
|||
|
||||
\subsection*{Exercice II: Planification}
|
||||
On considère le système suivant:
|
||||
\[\acc{\dot{x_1} &= x_2}{\dot{x_2} &= \alpha\dot{x_1} + u} \]
|
||||
\[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\dot{x_1} &= x_2\\
|
||||
\dot{x_2} &= \alpha\dot{x_1} + u
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Trouvons la sortie plate y. On remarque que pour $y=x_1$ on a $u = \ddot{y} - \alpha \dot{y}$, donc ce y convient (est une sortie plate) et on a alors le système:
|
||||
\[ \left\{\begin{matrix}
|
||||
|
|
@ -105,3 +115,8 @@ Terme 3 et 4: mode glissant
|
|||
|
||||
$\alpha >1 K tel que |\Delta \alpha x_2^2| < K$
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "../main"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -15,7 +15,7 @@
|
|||
\def\l@section{\@dottedtocline{1}{1em}{3em}}
|
||||
\makeatother
|
||||
|
||||
\graphicspath{{TD1/}{TD2/}{TD3/}{TD4/}{TD5/}{TD6/}{TD7/}{TD8/}{TD9/}
|
||||
\graphicspath{{TD1/}{TD2/}{TD3/}{TD4/}{TD5/}{TD6/}{TD7/}{TD8/}{TD9/}}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
|
|
@ -26,8 +26,8 @@
|
|||
\section{Methode du premier harmonique}
|
||||
\subfile{TD2/TD2.tex}
|
||||
\section{Stabilité en non linéaire}
|
||||
\subfile{TD3/TD3a.tex}
|
||||
\subfile{TD3/TD3b.tex}
|
||||
\subfile{TD3a/TD3a.tex}
|
||||
\subfile{TD3b/TD3b.tex}
|
||||
\section{Choix de la fonction de Lyapunov candidate, Commandabilité et Observabilité}
|
||||
\subfile{TD4/TD4.tex}
|
||||
\section{Bouclage linéarisant par retour d'état statique}
|
||||
|
|
@ -39,7 +39,6 @@
|
|||
\section{Commande hiérarchisée et robustesse}
|
||||
\subfile{TD8/TD8.tex}
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in a new issue