From c5ff7d04f5accbdb70a0f72810f73aa8f9bc0f65 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Pierre-antoine Comby Date: Mon, 22 Apr 2019 20:10:51 +0200 Subject: [PATCH] finalisation du cours de 424 --- 424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap1.tex | 26 ++-- 424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap2.tex | 26 ++-- 424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap3.tex | 11 +- 424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap6.tex | 14 +- 424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap7.tex | 57 ++++---- 424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap8.tex | 163 +++------------------- 6 files changed, 89 insertions(+), 208 deletions(-) diff --git a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap1.tex b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap1.tex index 391fa23..c2bf1bd 100644 --- a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap1.tex +++ b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap1.tex @@ -3,16 +3,11 @@ % Corrigé jusqu'au 4.3 inclus, A 28/02/2015. \begin{document} -\paragraph{Objectifs } Donner les connaissances fondamentales sur l'analyse et la commande des systèmes non linéaires en abordant les techniques classiques. Le but est d'avoir une compréhension plus profonde des hypothèses sous-jacentes à la commande non linéaire, des outils disponibles pour l'analyse, la synthèse et les limites des résultats obtenues. -\begin{center} -\begin{itemize} -\item Analyse de la stabilité -\item Outils pour la commande non linéaire -\item Synthèse de lois de commande non linéaire -\end{itemize} -\end{center} +\paragraph{Objectifs du Module}: Donner les connaissances fondamentales sur l'analyse et la commande des systèmes non linéaires en abordant les techniques classiques. Le but est d'avoir une compréhension plus profonde des hypothèses sous-jacentes à la commande non linéaire, des outils disponibles pour l'analyse, la synthèse et les limites des résultats obtenues. -\newpage +Dans la première partie on s'interessera àl'analyse de la stabilité d'un système via différentes méthodes notamment la méthode du premier harmonique (dans le chapitre 4) et l'étude de la fonction de lyapunov (dans le chapitre 5). + +Dans la seconde partie on s'interessera à l'élaboration de commande du système non-linéaire, qui seront appliquée en TP. \section{Définition} \begin{defin} @@ -55,10 +50,11 @@ On peut donc représenter les systèmes selon le graphe suivant: \end{center} \section{Passage des EDP vers EDO } -Le passage s'effectue par approximation, car le modèle obtenu est de dimension infinie. + +Très souvent les systèmes étudiés sont régit par des équations aux dérivées partielles, pour faciliter leur étude on simplifie ces équations par approximation, car le modèle obtenu est de dimension infinie. \[\vec{\omega}(x,y,z,t) \approx \sum_{i=1}^Nq_i(t)\vec{\eta}(x,y,z)\] -La stabilité sera analysée sur l'aspect temporel car on ne peut pas avoir une dimension spatiale instable. +De plus La stabilité sera analysée sur l'aspect temporel car on ne peut pas avoir une dimension spatiale instable. \begin{example}[Poutre flexible] On regarde les différent modes d'excitations, obtenus par la méthode des éléments finis.\\ @@ -72,24 +68,24 @@ Dans le cas général, les systèmes sont décrits par la représentation d'éta y = g(x,t,u)& \text{ avec, } & x\in \mathbb{R}^n\text{, }u\in \mathbb{R}^m\text{, }y\in \mathbb{R}^l \end{matrix} \right.\] -\noindent \underline{Exemple}: Système LTV +\begin{exemple} Système LTV \begin{align*} f(x,t,u) = A(t)x + B(t) u\\ g(x,t,u) = C(t)x +D(t)u \end{align*} - +\end{exemple} Ainsi la solution est noté $\chi (t,x_0)$, qui donne la valeur de $x$ à l'intsant t pour une condirtion initiale $x_0$ \begin{defin} - La \emph{trajectoire} $\chi$ d'un système dynamique $G$ sur $\mathcal{D}\subset \R^n$ où $n$ est la dimension de $G$ , est une application : + La \emph{trajectoire} $\chi$ d'un système dynamique $\Sigma$ sur $\mathcal{D}\subset \R^n$ où $n$ est la dimension de $\Sigma$ , est une application : \[ \chi: \R \times \mathcal{D} \to \mathcal{D} \] vérifiant les propriétés: \begin{enumerate} - \item Continuité $\chi $ est continue su r$\R \times \mathcal{D}$ et $\forall x \in \mathcal{D}, \chi (\cdot,x) $ est dérivable sur $\R$ + \item Continuité $\chi $ est continue sur $\R \times \mathcal{D}$ et $\forall x \in \mathcal{D}, \chi (\cdot,x) $ est dérivable sur $\R$ \item Consistance $\chi(0,x) = x$ \item Propriété de Groupe $ \chi(t,\chi(\tau,x))=\chi(t+\tau,x)$ \end{enumerate} diff --git a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap2.tex b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap2.tex index 0c4080f..bc2d70e 100644 --- a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap2.tex +++ b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap2.tex @@ -20,10 +20,14 @@ Un système dynamique sur $\D \subset \R^n$, où $n$ est la dimension du systèm \begin{itemize} \item On dénote le système $(\D,\R,s)$ par $G$, où $\chi(\cdot,\cdot)$ est la trajectoire et $\D$ est l'espace de phase. \item On dénote la trajectoire $\chi(t,\cdot) : \D \rightarrow\D$ par $\chi_t(x_0)$ ou $\chi_t$. -\item Suivant l'axiome de consistance, $\chi_0(x_0)=x_0$ et suivant la propriété de groupe : +\end{itemize} +\end{rem} +\begin{prop} +Suivant l'axiome de consistance, $\chi_0(x_0)=x_0$ et suivant la propriété de groupe : \[ (\chi_{\tau} \circ \chi_t)(x_0) = (\chi_t \circ \chi_{\tau})(x_0) = \chi_{t+\tau}(x_0) \] Ainsi l'application inverse de $\chi_t$ est $\chi_{-t}$ où $\chi_t$ est un homéomorphisme (bijective, continue, inverse continue). - +\end{prop} +\begin{proof} En effet, montrons que $\chi_t$ est injective. Soit $y,z\in \D$ tels que $\chi_t(z)=\chi_t(y)$. @@ -32,9 +36,7 @@ On a $z=s_0(z)=\chi(0,z)=\chi(t-t,z)=\chi(-t,\chi(t,z))=\chi(-t,\chi(t,y))=\chi( $\chi_t$ est surjective : $\forall z \in D, \exists y z\in \D$ tel que $y=\chi(-t,z)$. Enfin, $\chi_t$ est continue sur $\R$ donc $\chi_{-t}$ est continue. -\end{itemize} -\end{rem} - +\end{proof} \begin{exemple} Système linéaire causal de dimension $n$ ($n$ variables d'état) @@ -58,8 +60,8 @@ Système linéaire $f(x)=\dd{e^{At}x}{t}|_{t=0}=Ax$ \end{exemple} \emph{Nous avons défini une trajectoire, mais à partir de $\dot{x}=f(x)$, est-elle unique ?} -\section{Théorème du point fixe} - +\section{Trajectoire et point d'équilibre} +\subsection{Théorème du point fixe} \begin{thm}[Point fixe] Soient $X$ un espace de Banach de norme $\|.\|$, $S$ un fermé de $X$ et $T:S\rightarrow S$ une application contractante sur $X$, i.e. $\exists \rho \in [0,1[$ tel que $\forall (x,y) \in S^2, ||T(x)-T(y)|| \leq \rho ||x-y||$,alors \[ \exists ! x^* \in S \text{ tel que } T(x^*)=x^*\] @@ -120,6 +122,8 @@ $T:S \rightarrow S$ est contractante pour $\tau - t_0 \leq \min \{ \frac{r}{\alp \paragraph{Rappel:} Dans le cas linéaire, le système $\dot{x} =A x $ est stable si toutes ses valeurs propres sont à partie réelle négative, il existe un unique point d'équilibre $\overline{x}$ stable tq $\dot{x} =0$ (si $\det(A) \neq 0$n $\overline{x}=0$). +\subsection{Points d'équilibres} + \begin{defin} \begin{itemize} \item Les \emph{points d'équilibre} d'un système vérifient $\dot{x_{eq}} = 0$ @@ -191,7 +195,7 @@ Cette méthode est réalisée pour les systèmes du second ordre ,plan de phase On élimine le temps de manière explicite ou non. \end{itemize} \end{enumerate} -Dans l'analyse de la stabilité on s'interresse au comportement dans un voisinage du point d'équilibre. +Dans l'analyse de la stabilité on s'intéresse au comportement dans un voisinage du point d'équilibre. \begin{defin} Pour déterminer \emph{l'index topologique} on utilise la méthode suivante: @@ -202,9 +206,9 @@ Pour déterminer \emph{l'index topologique} on utilise la méthode suivante: \item Pour chaque point $x_n$ on évalue $f(x_n$) où $f$ vérifie $\dot{x} =f(x)$. \item Tous les vecteurs $f(x_n)_{n=1...N}$ sont ramenés aux point d'équilibre. \end{enumerate} - Ainsi \emph{l'index topologique} est la mesure de l'angle (modulo $2\pi$) que l'extrimité des vecteurs $(f(x_i))$ parcourt dans le sens trigonométrique. + Ainsi \emph{l'index topologique} est la mesure de l'angle (modulo $2\pi$) que l'extrémité des vecteurs $(f(x_i))$ parcours dans le sens trigonométrique. \end{defin} -\begin{figure} +\begin{figure}[ht] \centering \begin{tikzpicture} \node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$}; @@ -247,7 +251,7 @@ Pour déterminer \emph{l'index topologique} on utilise la méthode suivante: \caption{Détermination de l'index topologique} \end{figure} -Il reste maintenat à chercher les trajectoires autour des points d'équilibres. +Il reste maintenant à chercher les trajectoires autour des points d'équilibres. \subsection{Méthode isocline} Pour cette méthode, il s'agit de poser : diff --git a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap3.tex b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap3.tex index 0ef4ab1..ab80052 100644 --- a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap3.tex +++ b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap3.tex @@ -1,7 +1,6 @@ \documentclass[main.tex]{subfiles} \begin{document} -Il s'agit de regarder la stabilité, la convergence vers un point d'équilibre,...\\ -On se place dans le cas présent en régime libre pour un système invariant, c'est à dire que $\dot{x} = f(x,u=0)$ et $y = g(x,u=0)$.\\ +Il s'agit de regarder la stabilité, la convergence vers un point d'équilibre. On se place dans le cas présent en régime libre pour un système invariant, c'est à dire que $\dot{x} = f(x,u=0)$ et $y = g(x,u=0)$.\\ On pose $u=0$, car la stabilité et la dynamique du système sont des caractéristiques intrinsèques d'un système, donc indépendantes de l'entrée.\\ @@ -28,8 +27,8 @@ On étudie donc le système autour de son point d'équilibre, en linéarisant so \end{align*} \begin{rem} -En N.L, la stabilité est associée aux points d'équilibre. Ainsi, un même système N.L peut avoir des points d'équilibre stables et instable. - Cette approximation peux être réalisé dans le cas d'un régime forcé: +En N.L, la stabilité est associée aux points d'équilibres. Ainsi, un même système N.L peut avoir des points d'équilibres stables et instables. + Cette approximation peux être également réalisée dans le cas d'un régime forcé: \[ \begin{cases} \dot{x} = f(x,u)\\ @@ -192,8 +191,8 @@ $\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et d \end{example} -\begin{thm}[Index de Poincaré] - Dans le plan de phase( pour un système d'ordre 2) avec $N$ le nombre de noeuds, centre et foyer et $S$ le nombre de points selles.\\ +\begin{thm}[Index de Poincaré]~\\ + Dans le plan de phase (pour un système d'ordre 2) avec $N$ le nombre de noeuds, centre et foyer et $S$ le nombre de points selles.\\ Si un cycle limite existe, les points d'équilibre que le cycle limite encercle sont tel que \[ \boxed{N =S +1} diff --git a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap6.tex b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap6.tex index e361a83..cb49523 100644 --- a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap6.tex +++ b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap6.tex @@ -78,7 +78,7 @@ On fait la confusion entre rang et dimension. \end{rem} \end{defin} -\begin{example} +\begin{exemple} \[ f_1(x) = \vect{x_1 \\ x_2 \\ 2}, f_2(x) = \begin{bmatrix} x_1 & x_3 \\ x_2 & x_3 \\2 & x_3 @@ -88,7 +88,7 @@ x_1 & x_3 \\ x_2 & x_3 \\2 & x_3 Si $x_2 = 0$, alors $\Delta(x) = vect\{( \vect{x_1 \\ 0 \\ 2} ) \} \text{ et }dim=1$. Si $x_2 \neq 0$, alors $\Delta(x) = vect\{(\vect{x_1 \\ x_2 \\ 2},\vect{1 \\ 1 \\ 0})\} \text{ et }dim=2$. -\end{example} +\end{exemple} \section{Commandabilité (atteignabilité, contrôlabilité)} @@ -103,7 +103,7 @@ Un système est\emph{ commandable} ssi $\forall x \in \R^n, \exists u$ tel que $ Le système (1) est commandable ssi la sous-algèbre de Lie $\D = \{g_1 \dots g_m, \Lc(E)\}$ avec $E=\{g_1 \dots g_m,f\}$ est de dimension $n$. \end{thm} -\begin{example}[linéaire] +\begin{exemple}[cas linéaire] \[ \dot{x} = Ax + Bu \] \[ E = \{Ax,B\}, [B,Ax] = AB \] @@ -114,7 +114,7 @@ suivant Cayley Hamilton: \[ \D = \{B,vect \{AB,AB^2,\dots,A^{n-1}B\}\}\] $dim \D = rang (B AB \dots A^{n-1}B)$ théorème de Kalman -\end{example} +\end{exemple} \section{Observabilité (distingabilité)} Soit le système NL (2) (affine en la commande) : @@ -127,11 +127,11 @@ y & = h(x) Un système est \emph{observable} si $\forall x_1,x_2 \in \R^n$ 2 conditions initiales telles que $x_1 \neq x_2$, $\exists$ une commande $u$ admissible telle que les sorties soient distinctes, $\forall t \geq t_0$ ($t_0$ instant initial). \end{defin} -\begin{defin}[Espace d'observabilité] -$\mathcal{V}$ est l'espace d'observabilité constitué de toutes les combinaisons linéaires obtenues à partir des dérivées de Lie $L_f$ et $L_g$ des fonctions $h_j(x),j=1 \dots p$ telles que $y\in\R^p$ +\begin{defin} +$\mathcal{V}$ est \emph{l'espace d'observabilité} constitué de toutes les combinaisons linéaires obtenues à partir des dérivées de Lie $L_f$ et $L_g$ des fonctions $h_j(x),j=1 \dots p$ telles que $y\in\R^p$ \[ \mathcal{V} = \{h_j,L_fh_j, L_g h_j, L^2_f h_j,\dots L_g L_f h_j, L_f L_g h_j,\dots \}\] -Soit $\nabla \mathcal{V}$ l'ensemble des différentielles (gradient) des éléments de $\mathcal{V}$ : +On note $\nabla \mathcal{V}$ l'ensemble des différentielles (gradient) des éléments de $\mathcal{V}$ : \[ \nabla \mathcal{V} = \{ \nabla h_j, \nabla L_f h_j ... \} \] \end{defin} diff --git a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap7.tex b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap7.tex index 5ed9b95..57cca23 100644 --- a/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap7.tex +++ b/424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap7.tex @@ -78,28 +78,29 @@ La nouvelle entrée de commande est $v$ telle que $u = \alpha(x) + \beta(x)v$ est le bouclage linéarisant statique car à un instant fixé, la linéarisation ne dépend que de $x$ à cet instant.\\ \subsubsection{Cas $r=n$} - +\begin{tabular}{c|c} \begin{minipage}[t]{0.5\linewidth} Choix de la base : -\begin{align*} +\[\begin{array}{ll} z_1 & = y = h(x) \\ z_2 & = \dot{y} = L_fh(x) \Rightarrow \dot{z_1} = z_2 \\ z_3 & = \ddot{y} = L_g^2h(x) \Rightarrow \dot{z_2} = z_3 \\ \vdots \\ y^{(n)} & = \dot{z_n} = L_f^nh(x) + L_gL_f^{n-1}h(x)u = v -\end{align*} -\end{minipage} +\end{array}\] +\end{minipage}& \begin{minipage}[t]{0.5\linewidth} Nouveau modèle : -\begin{align*} +\[\begin{array}{ll} + y & = z_1 \\ \dot{z_1} & = z_2 \\ &\vdots \\ &\vdots\\ \dot{z_{n-1}} & = z_n \\ \dot{z_n} & = a(z) + b(z)u = v -\end{align*} +\end{array}\] \end{minipage} - +\end{tabular} On a donc la commande suivante :\[ u = \frac{v-a(z)}{b(z)} \text{ avec } b(z) \neq 0 \] Qui nécessite le changement de base des variables d'états : \[ z = \phi(x) = \vect{\phi_1(x) \\ \vdots \\ \phi_n(x)} = \vect{ h(x) \\ L_fh(x) \\ \vdots \\ L_f^{n-1}h(x)} \] @@ -134,7 +135,7 @@ Qui nécessite le changement de base des variables d'états : \end{figure} \subsubsection{Cas $r\sigma$ le rejet de $w$ ne peut se faire que par une linéarisation dynamique : observateur NL si $w$ n'est pas canonique -\end{itemize} -\end{prop} - - -\subsection{Cas MIMO} -\[ \begin{cases} \dot{x} & = f(x) + \sum_{i=1}^m g_i(x)u_i + p(x) w \\ y & = h(x) \end{cases}, \quad x \in \R^n, u \in \R^m, y \in \R^d \] -Même principe que le cas SISO mais une linérisation MIMO où chaque nouvelle entrée $v_i$, permet de rejeter les perturbations sur $y_i$. - -\begin{rem} -L'incertitude sur le modèle peut être interprétée comme une perturbation. En effet, le modèle (1) s'écrit -\[ \begin{cases} f(x) & = f(x) + \Delta f(x) + g(x) u + \Delta g(x) u \\ y & = h(x) \end{cases} \] - -Suivant l'analyse sur le bouclage linéarisant, le rejet d'incertitude est obtenu si -\begin{align*} -L_{\Delta f} L_f^i h = 0 & 0 \leq i \leq r-2 \\ -L_{\Delta g} L_f^i h = 0 & 0 \leq i \leq r-1 -\end{align*} - -Ce résultat ne peut être vérifié qu'a posteriori car $\Delta f$ et $\Delta g$ sont inconnues. -\end{rem} - -\section{Robustesse en NL - Commande par mode glissant} - -%%\imgt{8/1} - -Un terme $u_r$ est ajouté à la commande de départ $u_{eq}$ ... - -\begin{exemple}[Onduleur de tension commandé en courant] -Sans avoir à modéliser la charge, on veut imposer la forme de courant : -%%\imgt{8/2} -\end{exemple} - -\subsection{Éléments de synthèse de la commande} - -\begin{enumerate} -\item Synthétiser une commande sans prise en compte de l'incertitude ni de la perturbation : surface de glissement (poursuite asymptotique) -\item Commande gardant les états sur la surface de glissement ayant pour hypothèse l'incertitude ou la perturbation bornées : variation de la structure du système par commutation -\end{enumerate} - -\begin{defin} - La \emph{Surface de glissement ou commutation} -$S(x,t)$ est la surface autour (dans un voisinage) de laquelle le système évolue avec une dynamique imposée par $S$. -\end{defin} - -\begin{defin} -Un système est à \emph{structure variable} si son entrée commute entre deux valeurs suivant une logique bien spécifique $\sigma(x)$ -%%\img{0.5}{8/3} -\end{defin} - -\begin{defin} - \emph{La Commande par mode glissant} est une commande discontinue ayant pour objectif de faire converger le système en $S$. On utilise la fonction de Lyapunov \[ V(x,t) = \frac{1}{2}S^2(x,t) \] - -Pour avoir convergence vers la surface de glissement, il faut avoir -\[ \dot{V}(x,t) = S(x,t) \dot{X}(x,t) \leq 0 \] - -$\sigma(x)$ est la logique qui impose $S\dot{S} \leq 0$ -\end{defin} - -\begin{rem} -$S\dot{S}$ est la condition d'existence d'un régime glissant sur la surface $S$. -\end{rem} - -\subsection{Application de la commande par mode glissant} - -La poursuite asymptotique est une méthode de détermination de $S$. - -Soit $\epsilon(t) = y_c(t) - y(t)$ où $y_c$ est la consigne et $y$ la sortie. - -On pose $S = \epsilon^{(m)}(t) + \beta_{m-1}\epsilon^{(m-1)} + \dots + \beta_1 \dot{\epsilon} + \beta_0 \epsilon$ où $\beta_i, i =0,\dots,m-1$ sont choisis pour imposer la dynamique de convergence. - -\begin{rem} -Par exemple, on peut choisir $S = (\frac{d}{dt} + \lambda)^m \epsilon, \lambda >0$ - -Choix de la commande (bouclage linéarisant) -\end{rem} - -On pose $m=r-1$ où $r$ est le degré relatif et on a -\begin{align*} -u & = \frac{1}{L_gL_f^{r-1}h(x)} (-L_f^rh(x) + y_c^{(r)} + \sum_{i=1}^r \beta_{i-2} \epsilon^{(i-1)} + \alpha K sgn(S) ) \\ -u & = \frac{1}{L_gL_f^{r-1}h(x)} (-L_f^rh(x) + y_c^{(r)} + \dot{S} + \alpha K sgn(S) ) -\end{align*} - - -Ainsi en utilisant le changement de variable $z_i = L_f^{i-1}h(x) = \phi_i(x), i = 1,\dots,r$, la commande linéarisante avec poursuite asymptotique et robuste s'écrit : -\[ u = \frac{1}{b(z,\eta)} (-a(z,\eta) + y_c^{(r)} + \dot{S} + \alpha K sgn(S)) \] -avec pour modèle normal : -\begin{align*} -\dot{z_1} & = z_2 \\ -& \vdots \\ -\dot{z_{r-1}} & = z_r \\ -\dot{z_r} & = y_c^{(r)} + \dot{S} + \alpha K sgn(S) + \Delta a (z,\eta) \\ -\dot{\eta} & = q(z,\eta) + \Delta q(z,\eta) + \Delta p(z,\eta)u \\ -\text{ avec } & \Delta a (z,\eta) = L_{\Delta f} L_f^{r-1} h(x), \Delta q(z,\eta) = L_{\Delta f} \eta, \Delta p(z,\eta) = L_{\Delta f} \eta -\end{align*} - -On suppose que $|\Delta a (z,\eta)| < K < \infty$ donc pour avoir $\dot{z_r} = y_c^{(r)}$, on doit poser $\dot{S} = - \alpha K sgn(S) - \Delta a(z,\eta)$. - -Cas $S>0 \Rightarrow \dot{S} < -K(\alpha-1) < 0 \si \alpha > 1$ - -Cas $S<0 \Rightarrow \dot{S} > K(\alpha-1) > 0 \si \alpha < 1$ - -Ainsi on vérifie la condition d'existence du régime glissant, alors quand la trajectoire atteint $S$, alors $y \to y_c$ suivant la dynamique imposée par $S$. \end{document} %%% Local Variables: