diff --git a/414-Energie_Renouvelable/Cours/chap1.tex b/414-Energie_Renouvelable/Cours/chap1.tex
new file mode 100644
index 0000000..abf3435
--- /dev/null
+++ b/414-Energie_Renouvelable/Cours/chap1.tex
@@ -0,0 +1,373 @@
+\documentclass[main.tex]{subfiles}
+\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
+\begin{document}
+
+\section{Introduction}
+\emph{blabla ,les centrales nucléaire c'est 1GW , avec des machines synchrones. Les MCC sont pas utilisé en forte puissance. on préfère utiliser une machine synchrone ou une machine asynchrone (plus simple, moins cher,etc)}
+La machine asynchrone fonctionne en moteur ou en alternateur.
+
+Premier dépot déposé en 1888 par Nicolas Tesla.
+
+Utilisation des différentes technologies de moteur (brushless, bobinés) en automobile et industrie (80\% des moteur de l'industrie sont des machines asynchrones)
+
+
+\section{Principe de la machine asynchrone}
+en anglais on parle de \emph{Induction Motor}.
+On génère un champ magnétique tournant au stator
+Le courant électrique est induit dans le rotor , pas besoin de mettre des balais ou de bobinage au rotor.
+
+\subsection{Le stator triphasé}
+\subsubsection{Champs tournant}
+
+On a le schéma suivant, $n$ spires sont parcourues par un courant $i_{sa}$.
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \fill[gray!40,even odd rule] (0,0) circle(2.25) circle (3);
+    \fill[gray!20] (0,0) circle (2);
+    \draw[-latex,dash dot] (-4,0) -- (4,0);
+    \draw[-latex] (0,0) -- ++(30:4);
+    \draw[-latex] (1,0) arc(0:30:1) node[above]{$\theta$};
+    \draw (0,2.5)node[]{\small$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}
+          (0,-2.5)node[]{{$\otimes$}};
+    \draw[->,densely dashed, thin,rounded corners=5pt] (0, 0.25) -- (2.75, 0.25)  arc[start angle=5, end angle=175, radius=2.75]-- (0, 0.25);
+    \draw[->,densely dashed,thin,rounded corners=5pt] (0, -0.25) -- (2.75, -0.25)  arc[start angle=-5, end angle=-175, radius=2.75] -- (0, -0.25);
+  \end{tikzpicture}
+  \subcaption{Schéma du stator (monophasé)}
+\end{subfigure}%
+\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}
+      [axis lines = middle,
+      xlabel=$\theta$,ylabel=$\epsilon_s$,
+      xmax=3,xmin=-3,ymin=-1.5,ymax=1.5,
+      samples=41,
+      xtick={-1,1},ytick=\empty,
+      xticklabels={$-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$}]
+      \addplot+[no marks] plot coordinates {(-2,-1) (-1,-1) (-1,1) (1,1) (1,-1) (2,-1)};
+      \addplot+[no marks,color=black, dashed] {cos(pi*deg(x)/2)};
+    \end{axis}
+  \end{tikzpicture}
+  \subcaption{Force magnétomotrice $\epsilon_s$}
+\end{subfigure}
+\caption{Champ tournant dans le stator}
+\end{figure}
+Avec le théorème d'ampère on a :
+
+\begin{align*}
+  \oint \vec{H}.\vec{dl} &= n_s i_s\\
+  \underbrace{ \int H.dl}_{H_{fer}} &+ \underbrace{2H_c e}_{H_e} = n_s i_s\\
+  \intertext{Or on a: }
+  H_{mat.fer} &\ll H_{entrefer}
+                \intertext{Donc on a la force magnétomotrice}
+                \Aboxed{\epsilon_s = H_ee =\frac{n_si_s}{2}}
+\end{align*}
+On peux donc tracer :
+
+
+La répartition des fils autour du rotor influe sur l'allure de la force magnétomotrice. Par exemple pour une répartition uniforme de $n/3$ spires par encoche :
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{subfigure}{.5\textwidth}
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \fill[gray!40,even odd rule] (0,0) circle(2.25) circle (3);
+    \fill[gray!20] (0,0) circle (2);
+    \draw[-latex,dash dot] (-4,0) -- (4,0);
+    \draw[-latex] (0,0) -- ++(30:4);
+    \draw[-latex] (1,0) arc(0:30:1) node[above]{$\theta$};
+    \draw (0.6,2.46)node[]{\small$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}
+          (0.6,-2.46)node[]{{$\otimes$}};
+    \draw (0,2.5)node[]{\small$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}
+          (0,-2.5)node[]{{$\otimes$}};
+    \draw (-0.6,2.46)node[]{\small$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}
+          (-0.6,-2.46)node[]{{$\otimes$}};
+  \end{tikzpicture}
+  \subcaption{Schéma du stator (monophasé)}
+\end{subfigure}%
+\begin{subfigure}{0.5\linewidth}
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}
+      [axis lines = middle,
+      xlabel=$\theta$,ylabel=$\epsilon_s$,
+      xmax=3,xmin=-3,ymin=-1.5,ymax=1.5,
+      samples=41,
+      xtick={-1,1},ytick=\empty,
+      xticklabels={$-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$}]
+      \addplot+[no marks] plot coordinates {(-2,-1) (-1.5,-1) (-1.5,-0.5)   (-1,-0.5) (-1,0.5)(-0.5,0.5) (-0.5,1)  (0.5,1) (0.5,0.5) (1,0.5)(1,-0.5) (1.5,-0.5) (1.5,-1)(2,-1)};
+      \addplot+[no marks,color=black, dashed] {cos(pi*deg(x)/2)};
+    \end{axis}
+  \end{tikzpicture}
+  \subcaption{Force magnétomotrice $\epsilon_s$}
+\end{subfigure}
+\caption{Approximation sinusoïdale du champ tournant}
+\end{figure}
+
+en répartissant les bobinage sur le rotor de manière sinusoïdales , on peux générée une force magnétomotrice sinusoïdale également.
+
+\begin{rem}
+On utilise despetit fils pour éviter l'effet de peau en alternatif, mais cela augmente la resistivité et la puissance dissipée par effet joule, rien n'est parfait.
+\end{rem}
+
+En utilisant un courant $i_s$ alternatif (à la pulsation $\omega$) on a une onde pulsante:
+\[
+  \epsilon_s =\frac{n_si_{max}}{2}cos(\omega t)
+\]
+
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}
+      [axis lines = middle,
+      xlabel=$\theta$,ylabel=$\epsilon_s$,
+      xmax=3,xmin=-3,ymin=-1.5,ymax=1.5,
+      samples=51,
+      xtick={-1,1},ytick={},
+      xticklabels={$-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$}]
+      \addplot+[no marks,color=black] {cos(pi*deg(x)/2)};
+      \addplot+[no marks,color=black, dashed] {0.2*cos(pi*deg(x)/2)};
+      \addplot+[no marks,color=black, dotted] {-0.5*cos(pi*deg(x)/2)};
+    \end{axis}
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{Évolution d'une onde pulsante en fonction du temps}
+\end{figure}
+
+
+Dans le cas triphasé on répartis les enroulements de manière sinusoïdales (seule un tour de bobinage est représenté) parcourus par $i_{sa} ,i_{sb},i_{sc}$ :
+\[
+  \begin{cases}
+    i_{sa}(t)=I\sqrt{2}\cos(\omega t) \\
+    i_{sb}(t)=I\sqrt{2}\cos(\omega t+ \frac{2\pi}{3}) \\
+    i_{sc}(t)=I\sqrt{2}\cos(\omega t-\frac{2\pi}{3})
+  \end{cases}
+  \text{ Soit }
+  \begin{cases}
+    \epsilon_{sa}(t) = \frac{n_si_s(t)}{2} \cos(\theta) \\
+    \epsilon_{sb}(t) = \frac{n_si_s(t)}{2} \cos(\theta-\frac{2\pi}{3}) \\
+    \epsilon_{sc}(t) = \frac{n_si_s(t)}{2} \cos(\theta+\frac{2\pi}{3}) \\
+  \end{cases}
+\]
+
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}
+      [axis lines = middle,
+      xlabel=$\theta$,ylabel=${\epsilon_{sa},\epsilon_{sb},\epsilon_{sc}}$,
+      xmax=3,xmin=-3,ymin=-1.5,ymax=1.5,
+      samples=51,
+      xtick={-1,1},ytick={},
+      xticklabels={$-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$}]
+      \addplot+[no marks,color=black] {cos(pi*deg(x)/2)};
+      \addplot+[no marks,color=black, dashed] {cos(pi*deg(x)/2+120)};
+      \addplot+[no marks,color=black, dotted] {cos(pi*deg(x)/2-120)};
+    \end{axis}
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{Évolution d'une onde pulsante en fonction du temps}
+\end{figure}
+Alors la force magnétomotrice totale vaut:
+\begin{align*}
+  \epsilon_s &=\epsilon_a +\epsilon_b+\epsilon_c \\
+      &= \frac{n_sI\sqrt{2}}{2}\left(
+        \cos(\theta)\cos(\theta)   + \cos(\omega t-\frac{2\pi}{3})\cos(\theta-\frac{2\pi}{3})
+ +\cos(\omega t-\frac{2\pi}{3})\cos(\theta-\frac{2\pi}{3})
+        \right)\\
+       \Aboxed{ &= \frac{3n_sI}{\sqrt{2}} \cos(\theta-\omega t)}
+\end{align*}
+
+On a créer un champ tournant , avec trois bobinage , le module de la force magnétomotrice est constant , son argument balaye tout l'espace.
+
+\subsection{Rotor à une spire en court circuit}
+\begin{figure}[H]
+  \begin{subfigure}{.5\textwidth}
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \fill[gray!20,even odd rule] (0,0) circle(2.25) circle (3);
+    \fill[gray!10] (0,0) circle (2);
+    \draw[-latex,dash dot] (-4,0) -- (4,0);
+    \draw
+    (110:1.8)node[blue]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}  (110:-1.8)node[blue]{{\Large$\otimes$}};
+\draw
+    (90:2.5)node[blue!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (90:-2.5)node[blue!50!black]{{\Large$\otimes$}}
+    (210:2.5)node[red!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (210:-2.5)node[red!50!black]{{\Large$\otimes$}}
+    (330:2.5)node[green!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (330:-2.5)node[green!50!black]{{\Large$\otimes$}};
+    \draw[-latex] (0,0) -- (20:3.5) ;
+    \draw[-latex] (3.2,0) arc(0:20:3.2) node[midway,right]{$\theta_r$};
+    \draw[thick,-latex] (0,0) -- (45:3.5)node[above]{$\overrightarrow{B_s}$};
+    \draw[-latex] (3.1,0) arc(0:45:3.1) node[near end, right]{$\theta_s$};
+  \end{tikzpicture}
+  \subcaption{Disposition du rotor (monophasé)}
+\end{subfigure}%
+\begin{subfigure}{.5\textwidth}
+  \centering
+  \begin{circuitikz}
+    \draw (0,0) to[V,v=$e$] ++(0,2) to[R,l=$R_r$] ++(0,2)-- ++(2,0) |-(0,0);
+  \end{circuitikz}
+  \caption{Schéma électrique du rotor en court circuit}
+\end{subfigure}
+\end{figure}
+On a :
+\begin{align*}
+  e&= -deriv{\Phi}{t} =R_r i_r
+  &= -L\deriv{i_r}{t}+B.n_rS_r\deriv{\theta_s-\theta_r}{t}\sin(\theta_s-\theta_r)\\
+\end{align*}
+Pour $\theta_s=\omega_st$ , position du champs statorique et $\theta_r = \Omega t+ \theta_{r_0}$ ,position du champ rotorique on a:
+
+\[
+  e = -L\deriv{i_r}{t}+B.n_rS_r(\omega_s-\Omega)\sin((\omega_s-\Omega)t+\theta_{r_0})
+\]
+
+\subsection{Rotor à 3 spires en court circuit}
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
+  \begin{tikzpicture}
+    \fill[gray!20,even odd rule] (0,0) circle(2.25) circle (3);
+    \fill[gray!10] (0,0) circle (2);
+    \draw[-latex,dash dot] (-4,0) -- (4,0);
+    \draw
+    (110:1.8)node[blue]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}  (110:-1.8)node[blue]{{\Large$\otimes$}}
+    (230:1.8)node[red]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (230:-1.8)node[red]{{\Large$\otimes$}}
+    (350:1.8)node[green]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (350:-1.8)node[green]{{\Large$\otimes$}};
+
+\draw
+    (90:2.5)node[blue!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (90:-2.5)node[blue!50!black]{{\Large$\otimes$}}
+    (210:2.5)node[red!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (210:-2.5)node[red!50!black]{{\Large$\otimes$}}
+    (330:2.5)node[green!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (330:-2.5)node[green!50!black]{{\Large$\otimes$}};
+    \draw[-latex] (0,0) -- (20:3.5) ;
+    \draw[-latex] (3.2,0) arc(0:20:3.2) node[midway,right]{$\theta_r$};
+    \draw[very thick,-latex] (0,0) -- (45:3.5)node[above]{$\overrightarrow{B_s}$};
+    \draw[-latex] (3.1,0) arc(0:45:3.1) node[near end, right]{$\theta_s$};
+        \draw[very thick,-latex] (0,0) -- (-45:3.5)node[below]{$\overrightarrow{B_r}$};
+  \end{tikzpicture}
+  \subcaption{Rotor triphasé}
+\end{subfigure}%
+\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
+  \begin{minipage}[h]{1.0\linewidth}
+    On a:
+    \begin{itemize}
+    \item Vitesse de rotation de $\overrightarrow{B_s}$ : $\omega_s$
+    \item Vitesse de rotation du rotor $\omega_r$
+    \item Vitesse de rotation de $\overrightarrow{B_s}$ dans le repère du rotor : $\omega_s-\omega_r$
+    \item Vitesse de rotation du champ $\overrightarrow{B_r}$ induit dans le rotor dans le repère du stator : $\omega_s$.
+    \end{itemize}
+    \begin{prop}
+      Le champ induit dans le rotor et le champ du stator  tournent à la même vitesse, appelé \emph{la vitesse de synchronisme}
+    \end{prop}
+  \end{minipage}
+\end{subfigure}
+\end{figure}
+
+\section{Modélisation de la machine asynchrone}
+On considère une machine  triphasé au rotor et au stator à une paire de pôle:
+
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{circuitikz}
+    \draw[red] (0:1.5) node(As){} to[L,v=$V_{as}$,i^<=$i_{as}$,color=red] ++(0:2.5);
+    \draw[red] (120:1.5)node(Bs){} to[L,v=$V_{bs}$,i^<=$i_{bs}$,color=red] ++(120:2.5);
+    \draw[red] (240:1.5)node(Cs){} to[L,v=$V_{cs}$,i^<=$i_{cs}$,color=red] ++(240:2.5);
+    \draw[dashed] (As) -- (0,0) (Bs) --(0,0) (Cs) --(0,0);
+
+    \draw[blue] (35:1) node(Ar){} to[L,v^=$V_{ar}$,i_<=$i_{ar}$,color=blue] ++(35:2.5);
+    \draw[blue] (155:1)node(Br){} to[L,v^=$V_{br}$,i_<=$i_{br}$,color=blue] ++(155:2.5);
+    \draw[blue] (275:1)node(Cr){} to[L,v^=$V_{cr}$,i_<=$i_{cr}$,color=blue] ++(275:2.5);
+    \draw[dotted] (Ar) -- (0,0) (Br) --(0,0) (Cr) --(0,0);
+    \draw (0,0) circle(4);
+    \draw[dotted] (0,0) circle(3.5);
+    \draw[-latex] (4.2,0) arc(0:35:4) node[midway,right]{$\theta =\Omega t$};
+  \end{circuitikz}
+  \caption{Modèle électrique}
+
+  \paragraph{Hypothèses}
+  \begin{itemize}
+  \item Alimentation sinus triphasé en Régime Permanent
+  \item Rotor triphasé en court-circuit
+  \item Couplage en étoile des enroulements équilibrés
+  \item Fmm sinusoïdales, pas de saturation magnétiques
+  \end{itemize}
+\end{figure}
+$\omega_s$ pulsation des courants statorique
+\subsection{Mise en équation}
+\subsubsection{Équation statorique}
+
+On a  les équations suivantes  pour le stator:
+\begin{align*}
+  v_{as} &= R_s i_{as}(t)+\deriv[\Phi_{as}(t)]{t}\\
+  \Phi_{as}(t) &= L_{s} i_{as} + M_s(i_{bs}+i_{bs}) \\&\quad+M_0 (\cos(\theta)i_{ar}(t)+\cos(\theta+\frac{2\pi}{3})i_{br}(t)+\cos(\theta+\frac{2\pi}{3})i_{br}(t)+\cos(\theta-\frac{2\pi}{3})i_{cr}(t))\\
+  \Phi_{as}(t) &= (L_s-M_s) i_{as}(t)+\frac{3M_0I_r}{\sqrt{2}}\cos(\theta+\omega_rt+\phi_r+\theta_0) \\
+  \Phi_{as}(t) &= (L_s-M_s) i_{as}(t)+\frac{3M_0I_r}{\sqrt{2}}\cos(\omega_st+\phi_s)
+\end{align*}
+On en déduit donc (Dans le formalisme complexe de l'ARQS)
+\[
+  \underline{V_{as}} = R_s \underline{I_s}+jL_{sc}\omega_s\underline{I_{as}}+j \frac{3}{2}M_0\omega_sI_r
+\]
+$I_r$ est à la pulsation $\omega_s$ !
+
+\subsubsection{Équations rotoriques}
+
+On fais les mêmes calculs pour le rotor :
+
+\begin{align*}
+  v_{ar}(t) &= R_ri_{ar}(t) + \deriv[\Phi]{t}\\
+  \Phi_{ar}(t) &= (L_{r}-M_r) i_{ar} +M_0( \cos(\theta)i_{as}(t)+\cos(\theta+\frac{2\pi}{3})i_{br}(t)+\cos(\theta+\frac{2\pi}{3})i_{br}(t)+\cos(\theta-\frac{2\pi}{3})i_{cr}(t))\\
+  \Phi_{ar}(t) &= (L_{r}-M_r) i_{ar} +\frac{3M_0I_s}{\sqrt{2}} \cos(\Omega t-\omega_st+\theta_0-\phi_s) \\
+  \Phi_{ar}(t) &= L_{rc} i_{ar} +\frac{3M_0I_s}{\sqrt{2}} \cos(\omega_rt +\phi_s')
+\end{align*}
+
+Donc on a dans le formalisme complexe de l'ARQS, avec le rotor en court-circuit:
+
+\[
+  V_{ar} = R_rI_{ar}+jL_{rc}\omega_rI_{ar}+j\frac32 M_0\omega_rI_s =0
+\]
+Soit en posant $g= \frac{\omega_s-\Omega}{\omega_s}=\frac{\omega_r}{\omega_s}$:
+\[
+  \frac{\underline{V_{ar}}}{g} = 0 = \frac{R_r}{g} + jL_{Rc}\omega_sI_{ar}+j\frac32 M_0 \omega_sI_s
+\]
+
+\subsubsection{Modèle par analogie}
+On a donc un couplage magnétique et on peux construire un modèle équivalent:
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{circuitikz}
+    \draw (0,0) to[open,v=$V_s$] ++(0,2) to[R,l=$R_s$,i>=$I_s$]++(2,0)to[short] ++(1,0) to[L,l_=$L_{sc}$] ++(0,-2) -- ++(-3,0);
+    \draw (4,0) to[L,l_=$L_{rc}$] ++(0,2)
+    to[short,i=$I_r$] ++(2,0)
+    to[R,l=$R_r/g$] ++(0,-2) to[short] ++(-2,0);
+  \end{circuitikz}
+  \caption{Modèle électrique équivalent}
+\end{figure}
+
+Le couplage n'est pas parfait: $\frac{3}{2}M_0 < \sqrt{L_{sc}L_{rc}}$. On fait l'analogie avec un transformateur parfait avec pertes :
+
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{circuitikz}
+    \draw (0,0) node[gyrator](G){}
+    (G.A1) -- ++(-1,0) coordinate(M) to[L,l_=$L_{sc}$] ++(0,-2) |- (G.A2)
+    (G.B1) to[L,l=$l_{fuites}$] ++(2,0) to[R,l=$R_r/g$] ++ (0,-2) |- (G.B2)
+    (M) to[R,l=$R_s$] ++(-2,0)
+    (G.A2) --  ++(-3,0) to[open,v=$V_s$] ++(0,2);
+\draw[latex-latex] (G.A1)++(0,0.2) to[bend left] ++(2,0) node[midway, above=1.5em]{$m$}
+    ;
+  \end{circuitikz}
+  \caption{Modèle électrique équivalent}
+\end{figure}
+
+On a donc l'impédance équivalente suivante à alimenter:
+
+TBA
+
+\subsection{Bilan de puissance}
+
+\begin{align*}
+  P_{transmise} &= \frac{R_r}{g}I_r^2 \\
+ P_{Joules} &= R_r I_r^2 \\
+ P_{meca} &= P_{transmise}-P_{joules} = R_rI_r(\frac{1}{g}-1)
+\end{align*}
+
+\end{document}
diff --git a/414-Energie_Renouvelable/Cours/chap3.tex b/414-Energie_Renouvelable/Cours/chap3.tex
new file mode 100644
index 0000000..692707c
--- /dev/null
+++ b/414-Energie_Renouvelable/Cours/chap3.tex
@@ -0,0 +1,166 @@
+\documentclass[main.tex]{subfiles}
+
+\begin{document}
+
+\section{Formule des moments et des interférences}
+On considère les filtres:
+{\huge
+\begin{center}
+  \begin{tikzpicture}
+    \node (e) at (0,0) {$e$};
+    \node[rectangle,draw] (f) at (2,0) {$\mathcal{FL}$};
+    \node (s) at (4,0) {$s$};
+    \draw[->] (e) -- (f) -- (s);
+  \end{tikzpicture}
+\end{center}}
+
+On s'interesse aux filtre linéaires:
+
+\begin{defin}
+    \begin{itemize}
+    \item Un fltre linéaire conservent la linéarité des systèmes auxquels il est appliqué.
+    \item  Il est temps-invariant.
+    \item et stationnaire.
+    \end{itemize}
+    On peux caractériser un filtre linéaire par:
+    \begin{itemize}
+    \item sa réponse impulsionnelle $h$
+    \item sa réponse fréquentielle $H= TF[h]$
+    \item sa fonction de transfert $H_{II}$.
+    \end{itemize}
+\end{defin}
+
+\begin{prop}[Moyenne]
+  \[
+m_s = H(0) m_e
+  \]
+\end{prop}
+
+Pour deux filtres on a :
+\begin{center}
+  \begin{tikzpicture}
+    \node (e) at (0,0) {$e_1$};
+    \node[rectangle,draw] (f) at (2,0) {$\mathcal{H}_1$};
+    \node (s) at (4,0) {$s_1$};
+    \draw[->] (e) -- (f) -- (s);
+  \end{tikzpicture}\\[1.5em]
+  \begin{tikzpicture}
+    \node (e) at (0,0) {$e_2$};
+    \node[rectangle,draw] (f) at (2,0) {$\mathcal{H}_2$};
+    \node (s) at (4,0) {$s_2$};
+    \draw[->] (e) -- (f) -- (s);
+  \end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\begin{prop}[Formule des interférences]
+
+  \[
+\Gamma_{s_1,s_2}(f)=H_1(f)\cdot H_2(f)^*\cdot \Gamma_{e_1,e_2}(f)
+  \]
+\end{prop}
+\section{Application}
+\subsection{Blanchiement d'un signal}
+
+Pour générer un bruit blanc $s(t)$ on veux  :
+\[
+  \Gamma_0 = |H(f)|^2\Gamma_{ee}(f)\implies |H(f)|^2 = \frac{\Gamma_0}{\Gamma_{ee}(f)}
+\]
+
+
+\subsection{Identification d'un filtre linéaire}
+
+On applique en entrée un bruit blanc tel que $\Gamma_{ee}(f)=\Gamma_0$.
+Alors:
+\[
+  \Gamma_{se}=H(f)\Gamma_e(f) \implies H(f)=\frac{\Gamma_{se}(f)}{\Gamma_0} \propto \text{intercorrélation entrée sortie}
+\]
+
+
+\subsection{Signaux ARMA}
+
+On peux utilise un Filtre Linéaire (FL) pour définir un Signal Aléatoire.
+(SA).
+Le SA sera la sortie d'un filtre dynamique (Fonction de transfert rationnel ,stable ,causal) excité par un bruit blanc.
+
+
+\subsubsection{AR : autoregressif}
+
+
+\[
+  \boxed{
+    H_{II}(z) = \frac{1}{D(z)}=\frac{1}{1-\sum_{i=1}^qa_iz^{-i}}
+  }
+\]
+Alors on aura en sortie du filtre:
+\[
+  s_k= e_k + \sum_{i=1}^qa_is_{k-i}
+\]
+
+on parle aussi de filtre \og tout pôle\fg{}
+
+\subsubsection{MA : Moyenne ajustée}
+
+\[
+  \boxed{
+    H_{II}(z) = N(z)= 1+\sum_{i=1}^qb_iz^{-i}
+  }
+\]
+
+Alors on aura en sortie du filtre:
+\[
+  s_k= e_k + \sum_{i=1}^qb_ie_{k-i}
+\]
+
+
+\subsubsection{ARMA}
+
+\[
+H_{II}(z) = \frac{N(z)}{D(z)}
+\]
+
+On connait alors $\Gamma_{ss}$ et le modèle AR. (Équation de Yule WAlker, cf TP2)
+\subsection{Signaux AR : illustration}
+
+
+pour une entrée en bruit blanc , les poles proches du cercle unités sont dominant
+(approche géométrique , joli dessin)
+
+
+
+\subsection{Filtre Adapté (FA)}
+
+\paragraph{Contexte} Problème de transmission numérique (tout ou rien) d'un signal déterministe, connu avec bruit additif.
+\paragraph{Objectif} déterminer le meilleur traitement linéaire pour décider de la présence ou  non d'un signal.
+
+Exemple en TD
+\paragraph{Méthode} :Maximiser le RSB à l'instant de décision : avec $|s_{n_0}^f|^2$ puissance instantanée à l'instant de décision.
+\[
+  \boxed{
+    \frac{|s_{n_0}^f|^2}{E[|b_n^f|^2]}
+  }
+\]
+\begin{prop}[Application au bruit blanc]
+  \begin{align*}
+    E[|b_n^f|^2] &=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |H(f)|^2\Gamma_{bb}(f)df = \Gamma_0\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |H(f)|^2df \\
+|S_{n_0}^f|^2 &=  \left| \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |H(f)|^2 S(f) e^{j2\pi n_0f}df\right| \leq \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |H(f)|^2df \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} |S(f)|^2df
+  \end{align*}
+
+  On a égalité si $H(f)\propto S^{*}(f)e^{-j2\pi n_0f} \iff h_n \propto s_{n_0-n}^f$
+
+LA RI du filtre est donc
+  \begin{itemize}
+  \item un retour temporel
+  \item translaté autour de l'instant de décision (attention a la causalité)
+  \item conjugué.
+  \end{itemize}
+\end{prop}
+
+
+\paragraph{Remarque}
+\begin{itemize}
+\item Le FA peut être non causal, la RI est alors tronqué et le filtre
+  sous-optimal.
+\item Le FA est un corrélateur (d'énergie), l'objectif n'est pas de restituer le signal utile mais d'avoir le meilleur RSB à l'instant de décision.
+\end{itemize}
+
+\end{document}
diff --git a/414-Energie_Renouvelable/Cours/chap4.tex b/414-Energie_Renouvelable/Cours/chap4.tex
new file mode 100644
index 0000000..afc9362
--- /dev/null
+++ b/414-Energie_Renouvelable/Cours/chap4.tex
@@ -0,0 +1,538 @@
+\documentclass[main.tex]{subfiles}
+
+\newcommand\gauss[2]{1/(#2*sqrt(2*pi))*exp(-((x-#1)^2)/(2*#2^2))} % Gauss function, parameters mu and sigma
+\begin{document}
+\section{Introduction}
+\paragraph{Objectif}: Présenter quelques élements  de la théorue de l'estimation statistique.
+\subsection{Problématique}
+
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+  \node[draw, ellipse] (P) at (0,0) {
+    \begin{tabular}{c}
+paramètres \\$\theta = \vect{\theta_1\\ \vdots\\\theta_n}$
+    \end{tabular}};
+  \node[draw, ellipse] (O) at (5,4) {
+    \begin{tabular}{c}
+      Observation \\
+      Y=$g(\theta)$
+    \end{tabular}};
+  \node[draw, ellipse] (E) at (10,0){
+    \begin{tabular}{c}
+      Estimée\\
+      $\hat{\theta} = h(y)$
+    \end{tabular}};
+  \draw[->,>=latex] (P) to[out=90, in = 180] (O);
+  \draw[->,>=latex] (O) to[out=0, in=90] node[near end,left]{
+    \begin{tabular}{c}
+      Information à priori\\
+      + Critère
+    \end{tabular}}
+      (E);
+\end{tikzpicture}
+\caption{Méthode d'estimation classique}
+\end{figure}
+
+Le raisonnement se transpose alors sur la figure suivante:
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \draw[->,>=latex] (0,2) node{$\bullet$}node[right](theta){$\theta$} -- node[midway,left]{$\tilde{\theta}$}(-0.5,0) node{$\bullet$}node[right](hat){$\hat{\theta}$} ;
+    \node[draw,ellipse,fit= (theta) (hat)](par) {};
+    \node[below=5em] at (par) {\emph{Espace des paramètres}};
+    \node (y) at (5,2) {$\bullet$~$y$};
+    \node[draw,ellipse,minimum height=4cm,minimum width=2cm] (obs) at (5,1){};
+    \node[below=5em] at (obs){\emph{Espace des observations}};
+    \draw[->,>=latex] (theta) to[out=60, in=120] node[midway,above]{\emph{observation}} (y);
+    \draw[->,>=latex] (y) to[out=-120,in=30,bend left] node[midway,below=0.5em]{\emph{estimation}}(hat);
+
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{Raisonnement en espace algébrique}
+\end{figure}
+
+
+On défini les index suivants:
+\begin{description}
+\item[m] nombre d'expérience réalisée (taille de $y$)
+\item[n] nombre de paramètres (taille de $\theta$)
+\end{description}
+\paragraph{Estimateurs statistiques}
+On observe une réalisation $y= g(\theta)$ où $\theta$ est une VA. et on détermine $\hat{\theta} = h(Y)$ estimée.
+
+\paragraph{Exemple}
+\subparagraph{Exemple 1}$\Theta$ tension constante.\\
+$y(t) = \theta +b(t)$. soit $y_i = \theta + b_i$\\
+On défini donc $Y$ et $\Theta$ VA  et on a $Y = A\Theta + B$ -> régression linéaire.
+\subparagraph{Exemple 2} filtre $RC$ $y(t) = (1-e^{-t/\tau})u(t)+b(t)$ , $\Theta=\tau$. modèle non linéaire, traité en TD.
+
+\subsection{Performance-Qualité d'une estimation}
+\begin{prop}[Grandeurs utiles]
+  \begin{itemize}
+  \item erreur d'estimation
+    \[
+      \tilde{\theta} = \hat{\theta}-\theta
+    \]
+  \item moment d'ordre 1:
+\[
+E_{Y|\Theta}[\tilde{\theta}]= E_{Y|\Theta}[\hat{\theta}]-\theta
+\]
+\item Biais moyen :
+  \[
+    E[\tilde{\theta}] = E_{Y\Theta}[\tilde{\theta}] = E[\hat{\theta}]-\theta
+  \]
+\item moment d'ordre 2:
+  \begin{itemize}
+  \item covariance de l'erreur d'estimation
+    \[
+      C_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}} = E[(\tilde{\theta}-m_{\tilde{\theta}})(.)^T]
+    \]
+  \item Corrélation de l'erreur d'estimation
+    \[
+      \Gamma_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}} = E[\tilde{\theta}\tilde{\theta}^T]
+    \]
+  \item Puissance :(Estimateur Quadratique moyen)
+    \[
+      P_{\tilde{\theta}} = E[\| \tilde{\theta}\|^2] = tr(\Gamma_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}})
+    \]
+  \end{itemize}
+  \end{itemize}
+\end{prop}
+\subsection{Caractérisation des estimateurs}
+\begin{defin}
+  \begin{itemize}
+  \item Borne de Cramer Rao:
+    borne minimale du biais de variance (qui dépend de l'estimateur choisi)
+  \item Estimateur non biaisé: $E[\tilde{\theta}] = 0$
+  \item Estimateur efficace: Borne de Cramer-Rao atteinte.
+  \item Estimateur consistent: $E[\tilde{\theta}]\xrightarrow[N_{obs}\to\infty]{}0$ et $V[\tilde{\theta}]\xrightarrow[N_{obs}\to\infty]{}0$
+  \item Estimateur robuste:\\ Les performances de l'estimateur ne sont pas trop dégradé si on s'écarte un peu des hypothèses sous laquelle l'estimateur a été établi.
+  \item Complexité de l'estimateur:\\
+    sur l'o btention des connaissances et mise en oeuvre de l'estimateur.
+  \end{itemize}
+\end{defin}
+\section{Théorie classique de l'estimation}
+\subsection{Estimateur des moindres carrés}
+\begin{defin}
+  Pour $Y$ une VA de moyenne $m_y =m_{Y|\theta}$ on défini le critère :
+  \[
+    J_{MC} = (Y-m_y)^TM(Y-m_y)
+  \]
+  Avec $M$ matrice symétrique définie positive
+  et alors:
+   \[
+\hat{\theta}_{MC} = \arg\min_{\theta} J_{MC}(Y,\theta)
+   \]
+\end{defin}
+
+\subsubsection{Condition nécessaire d'existance}
+
+Si  $J_{MC}(y,\theta)$ est dérivable et pas de contrainte sur $\theta$.
+\[
+  \left.\nabla_J(\theta)\right|_{\hat{\theta}_{MC}} = \derivp[J_{MC}]{\theta} = 0 \quad \text{ Gradien}
+\]
+
+Il faut ensuite vérifié que c'est un minimum absolu:
+
+\[
+ \nabla^2_{J}(\theta) = \derivp[{}^2J_{MC}]{\theta\partial\theta^T} > 0 \quad \text{Hessien}
+\]
+
+
+\paragraph{Application}  $Y = A\theta{} + B$, avec $B$ une VA.
+le critère des moindres carrés est alors :
+\[
+J_{MC} = (Y-A\theta-m_B)^TM (Y-A\theta-m_B)
+\]
+On a une forme quadratique  positive  car $A^TMA \geq0 $. (dans le cas $>0$  on a une CNS sur ce qui suit)
+\subparagraph{Méthode 1}
+\[
+  \left.\nabla_J(\theta)\right|_{\hat{\theta}_{MC}} = 0  = -2 A^TM(Y-A\theta-m_B)
+\]
+Donc
+\[
+A^TMA \theta = A^TM(Y-m_B)
+\]
+Soit \[
+  \boxed{\hat{\theta}_{MC} = \underbrace{(A^TMA)^{-1}AM}_{D}(Y-m_B)}
+\]
+On remarque que $DA = I_n$.
+\subparagraph{Méthode 2} Pour $A^TMA>0$.
+
+\[
+J_{MC} = \underbracket{(D(Y-m_B)-\Theta)^TA^TMA(D(Y-m_B)-\theta)}_ {J_1(Y,\theta)} + \underbracket{(Y-m_B)^T(M-D^TA^TMAD)(Y-m_B)}_{J_2(Y)}
+\]
+Alors $\nabla J_{MC} = 0  \implies J_1 = 0 \implies D(Y-m_B) = \hat{\theta}_{MC}$
+
+
+\subsubsection{Caractéristique de l'estimateur}
+\begin{itemize}
+\item Estimateur non biaisé
+
+  \begin{align*}
+    \tilde{\theta}_{MC} &=\hat{\Theta}-\theta\\
+                   &= D(Y-m_B)-\theta \\
+                   &= D(B-m_B)
+  \end{align*}
+Donc $E[\hat{\theta_{MC}}] = 0 $
+\item moment d'ordre 2 :
+  \[
+      C_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}} = E[(\tilde{\theta}-m_{\tilde{\theta}})(.)^T] = D E[(B-m_B)(B-m_B)^T]D^T = D C_{BB}D^T
+    \]
+    \begin{itemize}
+    \item Cas MC ordinaire ($M=I_n$)
+      \[
+              C_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}} = (A^TA)^{-1}A^TC_{BB}A(A^TA)^{-1}
+      \]
+    \item Cas MC pondéré ($M = C_{BB}^{-1}$)
+      \[
+        C_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}} = (A^TC_{BB}^{-1}A)^{-1}
+      \]
+    \end{itemize}
+  \item Cas $\theta$ scalaire $Y_i = \theta +B_i$ donc :
+     \[
+       C_{BB} =
+       \begin{bmatrix}
+         \sigma_1^2 &  &0 \\
+         & \ddots &  \\
+         0 & & \sigma_m^2
+       \end{bmatrix} \text{ et }A = \vect{1\\ \vdots \\ 1}
+     \]
+     \begin{itemize}
+     \item Cas MCO : $A^TA = m $
+       \[
+         \hat{\theta_{MC}} =\frac{\Sigma(y_i-m_{bi})}{m} \quad \text{ et } \quad \sigma_{\tilde{\theta}}^2 = \frac{\Sigma\sigma_i^2}{m^2}
+       \]
+     \item cas MCP pour $M = C_{BB}^{-1} = diag(\sigma_1^{-2}, \dots, \sigma_m^{-2})$
+\[
+  A^TC_{BB}A  = \sum_{i=1}^m \frac{1}{\sigma_i^2} \quad \text{ donc } \quad \hat{\theta}_{MCP} = \frac{1}{\sum \frac{1}{\sigma_i^2}}\sum_{}^{}\frac{Y_i-mB_i}{\sigma_i^2}
+\]
+\begin{itemize}
+\item $\hat{\theta_{MCP}}$ défini un barycentre
+\item Pour $\sigma_i = \sigma$ on a $M=\sigma I \implies MCO =MCP $
+\end{itemize}
+
+\end{itemize}
+\item Comparaison MCO et MCP (avec $M = C_{BB}$)
+  \begin{align*}
+    \sigma_{MCO}^2 &\leq \sigma_{MCP}^2\\
+    \frac{1}{\sum\sigma_i^{-2}} & \leq \frac{1}{m^2}\sum\sigma_i^2\\
+    m ^2 &\leq \frac{1}{\sum\sigma_i^{-2}} \sum\sigma_i^2
+  \end{align*}
+
+\end{itemize}
+
+\subsection{Estimateur du maximum de vraisemblance}
+\begin{defin}
+On considère $f_{Y}(y)$ ddp de $y$ paramétrée par $\theta$. On a $f_{Y|\theta}(y) = V(Y,\theta)$. on pose également $L(Y,\theta) = \ln(V(Y,\theta))$.
+
+on défini alors:
+\[
+\hat{\theta}_{MV} = \arg\min f_{Y|\theta}(y) = \arg\min L(Y,\theta)
+\]
+\end{defin}
+
+GRAPHE
+
+\paragraph{Exemple} Modèle avec bruit additif gaussien.
+
+
+\begin{prop}
+  Dans le cas d'un brui Gaussien et pour $M = C_{BB}^{-1}$
+  \[
+    \hat{\theta}_{MCP}=\hat{\theta}_{MV}
+  \]
+
+\end{prop}
+
+\paragraph{Remarque}
+L'estimateur de MV n'est pas nécessairement efficace mais si un estimateur sans biais existe et est efficace c'est celui-ci.
+
+Si $m \to\infty $ on montre que le MV est asymptotiquement efficace. (loi des grands nombres)
+\section{Théorie générale de l'estimation}
+\subsection{Estimateur linéaire en moyenne quadratique (ELMQ)}
+
+\begin{defin}
+  Un ELMQ fourni une estimée de la forme
+  \[
+   \hat{\theta} = HY +C
+ \]
+  à partir de l'erreur quadratique moyenne $E[\|\tilde{\theta}\|^2] = E[\tilde{\theta}\tilde{\theta}^T] =P_{\tilde{\theta}}$
+\end{defin}
+\paragraph{Concept} $H$ et $C$ tel que $P_{\tilde{\theta}}$ minimal.
+\[
+(1) \quad  \derivp[P_{\tilde{\theta}}]{H} = 0 \quad\text{ et }\quad (2)\quad \derivp[P_{\tilde{\theta}}]{C} = 0
+\]
+\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
+\item
+
+  \begin{prop}
+  \[
+    \derivp[P_{\tilde{\theta}}]{H} =2E[HY+C-\theta] = 2E[\tilde{\theta}] = 0
+  \]
+    L'ELMQ est un estimateur non biaisé.
+  \end{prop}
+  et donc :
+  \begin{align*}
+    C &= -Hm_Y+m_\theta\\
+    \hat{\theta} &= H(Y-m_y)+m_\theta \\
+    \tilde{\theta} &= H(Y-m_y) - (\theta-m_\theta)
+  \end{align*}
+
+\item
+  \begin{prop}
+      \[
+    \derivp[P_{\tilde{\theta}}]{C} =2E[(HY+C-\theta)Y^T] = 2E[\tilde{\theta}Y^T] = 0
+  \]
+  $\tilde{\theta} \perp Y $ quand la puissance est minimale, $\tilde{\theta}$ et $Y$ sont décorrélées, on a extrait toute l'information commune.
+  \end{prop}
+  \begin{figure}[H]\centering
+
+  \begin{tikzpicture}
+    \draw (-1,0,4.2) -- ++(0,0,-7) -- ++(5,0,0) -- ++(0,0,7) -- ++(-5,0,0)node[above,left]{\emph{
+        \begin{tabular}{c}
+          sous espace \\
+          d'observation
+        \end{tabular}}};
+    \draw[->,>=latex] (1,0,3) -- (1,0,1) node[left]{$y_1$};
+    \draw[->,>=latex] (1,0,3) -- (2,0,3) node[below]{$y_2$};
+    \draw[->,>=latex] (1,0,3) -- (2,0,2) node[right]{$\hat{\theta}$};
+    \draw[dashed] (2,0,2) -- node[midway,right]{$\tilde{\theta}$} (2,3,2)node{$\times$} node[above]{$\theta$};
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{Représentation des paramètres}
+\end{figure}
+  De plus :
+  \begin{align*}
+    E[\tilde{\theta}Y^T]& =E[\tilde{\theta}(Y-m_Y)^T] \\
+                   &= E[(H(Y-m_Y)-\theta-m_\theta)(Y-m_y)^T]\\
+                   &= HC_{yy}-C_{\theta Y} = 0 \implies H = C_{\theta Y}C_{YY}^{-1}
+  \end{align*}
+
+  on a donc
+  \[
+    \boxed{\hat{\theta}=C_{\theta Y}C_{YY}^{-1}(Y-m_Y)+m_\theta}
+  \]
+
+  \paragraph{Remarque} L'ELMQ nécessite des connaissances du premier et du second ordre sur $\theta$ et $Y$.
+
+  \begin{prop}
+   \[
+     C_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}} = C_{\theta\theta}-C_{\theta Y}C_{YY}^{-1}C_{Y\theta}
+   \]
+   La corrélation entre $\theta$ et $Y$ permet de diminuer l'ELMQ.
+ \end{prop}
+\end{enumerate}
+
+
+\subsection{Estimateur Bayésiens}
+\subsubsection{Fonction coût/pénalité}
+\begin{defin}
+  On appelle fonction de coût ou fonction de pénalité une fonction qui mesure l'erreur entrainée par la prise de la valeur $\hat{\theta}$ pour $\theta$.
+  \[
+    C(\hat{\theta},\theta) \geq 0 \quad \text{ ou encore }\quad C(\tilde{\theta}) \ge 0
+  \]
+  On prendra le plus souvent une \og bonne \fg{} fonction (continue, paire , croissante ...)
+\end{defin}
+
+\paragraph{Exemple de coût} on représente les fonctions de coût usuelles:
+
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}[axis lines=middle,
+      xlabel={$\tilde{\theta}$},
+      ylabel={$C(\tilde{\theta})$},
+      ytick={0},
+      ymax=20,
+      xtick={-1,1},
+      xticklabels={$-\frac{\Delta}{2}$,$\frac{\Delta}{2}$},
+      legend pos=outer north east
+      ]
+      \addplot+[no marks]{0.8*x^2};
+      \addlegendentry{cout quadratique $|\tilde{\theta}|^2$}
+      \addplot+[no marks]{2*abs(x)};
+      \addlegendentry{cout en valeur absolue $|\tilde{\theta}|$}
+      \addplot+[no marks] coordinates{(-5,4)(-1,4)(-1,0)(1,0)(1,4)(5,4)};
+      \addlegendentry{cout uniforme $1 -\Pi_\Delta(\tilde{\theta})$}
+    \end{axis}
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{Représentation des fonctions de coût classique}
+\end{figure}
+
+\begin{defin}
+  On appelle estimateur bayésiens l'estimateur qui minimise le coût moyen :
+  \begin{align*}
+    E_{\theta,Y}[C(\hat{\theta},\theta)] &= \int_{\R^{m+n}}C(\hat{\theta},\theta)f_{\theta Y}(\theta,y)d\theta dy\\ &=\int_{\R^m}\left(\underbrace{\int_{\R^n}C(\hat{\theta},\theta)f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta}_{E_{\theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)]}\right) f_{Y}(y)dy
+  \end{align*}
+On minimise donc $ E_{\theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)]$ à coût conditionnel donné
+  \[
+    \hat{\theta}_{B} = \arg\min_{\hat{\theta}}E_{\theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)]
+  \]
+\end{defin}
+
+\subsubsection{Estimateur du maximum a posteriori (MAP)}
+
+On considère un cout uniforme.
+\begin{defin}
+  En prenant:
+  \begin{align*}
+    E_{\theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)] &= \int_{\R^m}(1-\Pi_{\Delta}(\tilde{\theta}))f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta
+    &= 1 - \int_{\hat{\theta}-\Delta/2}^{{\hat{\theta}+\Delta/2}}f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta
+      &\simeq 1- \Delta^nf_{\theta|Y=y}(\hat{\theta})
+  \end{align*}
+  Soit \[
+    \hat{\theta}_{MAP}=\arg\max_{\theta} f_{\theta|Y=y}(\theta)
+  \]
+\end{defin}
+
+\paragraph{Lien MAP-MV}
+
+on a  $f_{\theta|Y=y}(\theta) f_{Y}(y) = f_{\theta Y}(\theta,y)$. Avec $f_\theta(\theta) = C^{ste}$ quand $f_{\theta Y}(\theta,y)$ à une valeur significative (ie $C_{\theta\theta}$ grand / $\sigma_\theta$  grand ) alors :
+ \[
+\arg\max f_{\theta|Y=y}(\theta) \simeq \arg\max f_{Y|\Theta=\theta}(y)
+ \]
+
+ On considère alors que $\theta$ est un paramètre  aléatoire mais très mal connu. (ddp uniforme sur un interval tres grand, peu d'infos sur $\theta$).
+
+\emph{cf. TD \og file d'attente\fg{}}
+
+\paragraph{Exemple et Application}
+
+On considère $\theta$ scalaire aléatoire avec: $Y_i = \theta +B_i$ Avec :
+
+$
+\begin{cases}
+B \hookrightarrow  \mathcal{N}(0,C_{BB})\\
+\Theta \hookrightarrow\mathcal{N}(m_\theta,\sigma_\theta^2) \\
+B \perp \Theta
+\end{cases}$
+
+\subparagraph{Rappel} MC=MV avec:
+$\begin{cases}
+m_B=0\\
+\hat{\theta}_{MV} =\hat{\theta}_{MC} = \frac{\sum_{i=1}^{m}Y_i}{m}\\
+
+E[\hat{\theta}_{MV}] = E[\theta]=m_\theta \text{ et } \sigma_{\tilde{\theta}_{MV}}=\frac{\sigma_B}{m}\\
+\end{cases}$
+
+On a donc:
+\[
+  f_{Y|\theta}(y)=f_{B}(Y-A\theta) = \prod_{i=1}^{m}f_{B_i}(Y_i-\theta) = C_1 \exp\left(-\frac{1}{2}\frac{\sum(Y_i-\theta)^2}{\sigma_B^2}\right)
+\]
+Or
+\[
+  f_{\theta|Y=y}(\theta) = \frac{f_{Y|\theta}(y)f_\theta(\theta)}{f_Y(y)} = C_2 \exp\left(-\frac{1}{2}\underbrace{\left[\frac{\sum(Y_i-\theta)^2}{\sigma_B^2}+\frac{(\theta-m_\theta)^2}{\sigma_\theta^2}\right]}_{J_{MAP}}\right)
+\]
+Le critère est ici une forme quadratique, donc :
+
+\[
+  \hat{\theta}_{MAP} = \arg\max f_{\theta|Y=y}(\theta)  = \arg\min J_{MAP}(\theta,Y)
+\]
+Alors on a la CNS :
+\[
+\deriv[J_{MAP}]{\theta} = 0 = 2 \left[ -\sum_{i=1}^{m}\frac{Y_i-\theta}{\sigma_b^2}+\frac{(\theta-m_\theta)^2}{\sigma_\theta^2}\right]
+\]
+Soit une expression barycentrique :
+\[
+  \hat{\theta}_{MAP} = \frac{\frac{m}{\sigma_B^2}\sum_{}^{}\frac{Y_i}{m}+\frac{m_\theta}{\sigma_\theta^2}}{\frac{m}{\sigma_B^2}+\frac{1}{\sigma_\theta^2}}
+\]
+Donc :
+\begin{prop}
+\[
+E[\hat{\theta}_{MAP}]  = m_\theta
+\]
+L'estimateur est non biaisé. De plus :
+\[
+  \sigma_{\tilde{\theta}_{MAP}}^2= \frac{1}{\frac{1}{\sigma_{MV}}+\frac{1}{\sigma_\theta^2}} <
+  \begin{cases}
+    \sigma_\theta^2 \\
+    \sigma_{MV}^2
+  \end{cases}
+\]
+On a fait mieux en prenant en compte toutes les sources d'informations.
+\end{prop}
+
+\paragraph{Remarque}
+\begin{itemize}
+\item Si $\sigma_\theta>>\sigma_{MV}$ alors $\hat{\theta}_{MAP}\simeq \hat{\theta}_{MV}$ (ce qui arrive pour $\sigma_B$ ou $m$ grand)
+\item Si $\sigma_\theta<<\sigma_{MV}$ et $\hat{\theta}_{MAP} \simeq m_\theta$ (l'obersavation apporte peu d'info)
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{Estimateur en moyenne quadratique (EQM)}
+
+\begin{defin}
+  On le cout moyen de l'EQM:
+  \[
+    C(\hat{\theta},\theta) = (\hat{\theta}-\theta)^T M (\hat{\theta}-\theta)
+  \]
+  Avec $M>0$.
+  On cherche a minimiser le cout moyen mais sans contrainte de linéarité avec une matrice de pondération qui peux prendre en compte des facteurs d'echelles ou des unités différentes.
+\end{defin}
+
+
+\paragraph{Etude de l'estimateur} On veut minimiser $E_{\Theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)]$
+\begin{align*}
+  \nabla_{\hat{\theta}}E_{\Theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)] &= 0 \\
+  E_{\theta|Y}[2M(\hat{\theta}-\theta)] &= 0 \\
+  2M E_{\theta|Y}[\underbracket{\hat{\theta}}_{h(y)}]-E_{\theta|Y}[\theta]&=0 \\
+  2M(\hat{\theta}-E_{\theta|Y}[\theta]) &= 0 \\
+  \Aboxed{ \hat{\theta}_{MQ} &=E_{\theta|Y}[\theta]} \\
+                          &= \int_{\R^n}\theta f_{\theta|y}(\theta)d\theta = h(Y=y)
+\end{align*}
+
+Par conséquent: $E[\hat{\theta}_{MQ}]=E[\theta]$. on a un estimateur non biaisé.
+\paragraph{Remarque}
+Si $f_{\theta|Y}$ possède un axe de symétrie (ex: gaussienne) :
+
+
+FIGURE . ($\hat{\theta}_{MQ}=\hat{\theta}_{MAP}$ dans le cas gaussien. Différent avec deux bosses.)
+
+
+Dans le cas général la contrainte de linéarité pour l'ELMQ conduit à une valeur plus grande qu'avec l'EQM. Dans le cas gaussien: $\hat{\theta}_{ELMQ}=\hat{\theta}_{MQ}$, mais $\hat{\theta}_{MQ}$ nécessite plus de connaissance (ddp).
+
+\subsubsection{Estimateur en valeur absolu}
+
+\begin{defin}
+  on s'interesse au cas $n=1$ (un paramètre)
+  On choisit le cout moyen :
+  \[
+    C(\hat{\theta},\theta) = |\hat{\theta}-\theta|
+  \]
+  Alors :
+  \[
+    E_{\theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)] = \int_{-\infty}^{\hat{\theta}}(\hat{\theta}-\theta)f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta-\int_{\hat{\theta}}^{+\infty}(\hat{\theta}-\theta)f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta
+  \]
+\end{defin}
+
+Donc :
+\begin{align*}
+  0 =&  \nabla_{\hat{\theta}}E_{\theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)] \\
+     =& \dots \\
+     =&\int_{-\infty}^{\hat{\theta}}f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta-\int_{\hat{\theta}}^{+\infty}f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta
+\end{align*}
+
+\begin{prop}
+  L'estimée est alors $\hat{\theta}_{VA}$ tel que :
+  \[
+    \int_{-\infty}^{\hat{\theta}}f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta = \int_{\hat{\theta}}^{+\infty}f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta
+  \]
+  On parle de médiane a posteriori. Le résultat se généralise pour tout $n$.
+\end{prop}
+
+\paragraph{Remarque} Dans le cas où $f_{\theta|Y=y}(\theta)$ possède un axe de symétrie (ex gaussienne) on a :
+\[
+  \hat{\theta}_{VA} =\hat{\theta}_{MV} \equals^{\stackrel{\max}{\downarrow}} \hat{\theta}_{MAP}
+\]
+
+\paragraph{Exemple} Localisation d'un véhicule / Ellipsoïde de confiance (cf poly).
+\section{Conclusion}
+\begin{itemize}
+\item L'estimateur statistique dépend des connaissances a priori, de la complexité des calculs et de la robustesse attendue.
+\item Dans certains cas particuliers/ limites on retrouve des estimateurs intuitifs /empirique.
+\item La loi normale joue un rôle important (hypothèses qui se justifie par la loi des grands nombres): les calculs sont simplifiés et conduisent au même résultat.
+
+\end{itemize}
+
+
+
+\end{document}
diff --git a/414-Energie_Renouvelable/Cours/main.tex b/414-Energie_Renouvelable/Cours/main.tex
new file mode 100644
index 0000000..61bc599
--- /dev/null
+++ b/414-Energie_Renouvelable/Cours/main.tex
@@ -0,0 +1,26 @@
+\documentclass{../../cours}
+\usepackage{../../raccourcis}
+
+% Mise en page
+\title{Note de Cours}
+\author{Pierre-Antoine Comby}
+\teacher{Anthony Juton \& Olivier Villain \& Emmanuel Hoang}
+\module{414 \\ Production d'électricité à partir d'énergie renouvelables}
+\usepackage{multicol}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+\tableofcontents
+\chapter{La machine asynchrone - principe et modèle}
+\emph{Anthony Juton}
+\subfile{chap1.tex}
+\chapter{L'énergie eolienne}
+\chapter{La machine asynchrone en génératrice}
+\chapter{La machine asynchrone à double excitation}
+\chapter{Physique de la conversion électrovoltaïque}
+\chapter{Électronique de puissance pour les parcs éoliens connectés au réseau}
+
+
+
+\end{document}